第1课时 三角形 一级训练
1．已知在△ABC 中，若∠A ＝70°－∠B ，则∠C ＝( )
A ．35° B ．70° C ．110° D ．140°
2．如图4－2－14，在△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝60°，点D 在BC 的延长线上，则∠ACD ＝( )
A ．100° B ．120° C ．130° D ．150°
图4－2－14 图4－2－15
3．已知如图4－2－15的两个三角形全等，则α的度数是( )
A ．72° B ．60° C ．58° D ．50°
4．(2011年湖南怀化) 如图4－2－16，∠A ，∠1，∠2的大小关系是( )
图4－2－17 图4－2－16
A. ∠A >∠1>∠2 B. ∠2>∠1>∠A C. ∠A >∠2>∠1 D. ∠2>∠A >∠1
5．(2011年江西) 如图4－2－17，下列条件中，不能证明△ABD ≌△ACD 的是( )
A ．BD ＝DC ，AB ＝AC B ．∠ADB ＝∠ADC ，∠BAD ＝∠CAD
C ．∠B ＝∠C ，∠BAD ＝∠CAD D ．∠B ＝∠C ，BD ＝DC
6．(2011年上海) 下列命题中，是真命题的是( )
A ．周长相等的锐角三角形都全等 B ．周长相等的直角三角形都全等
C ．周长相等的钝角三角形都全等 D ．周长相等的等腰直角三角形都全等
7．(2012年山东德州) 不一定在三角形内部的线段是( )
A ．三角形的角平分线 B ．三角形的中线
C ．三角形的高 D ．三角形的中位线
8．(2012年山东济宁) 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图4－2－18，
则能说明∠AOC ＝∠BOC 的依据是( )
A ．SSS B ．ASA C ．AAS D ．角平分线上的点到角两
边距离相等
9．(2011年安徽芜湖) 如图4－2－19，已知在△ABC 中，∠ABC ＝45°， F 是高AD 和BE 的交点，
CD ＝4，则线段DF 的长度为( )
A ．2 2 B ．4 C ．3 2 D ．4
2
10．以三条线段3,4，x －5为边组成三角形，则x 的取值范围为________．
11．若△ABC 的周长为a ，点D ，E ，F 分别是△ABC 三边的中点，则△DEF 的周长为__________．
12．(2011年江西) 如图4－2－20，两块完全相同的含30°的直角三角形叠放在
一起，且∠DAB ＝30°. 有以下四个结论：①AF ⊥BC ；②△ADG ≌△ACF; ③O
为BC 的中点； ④AG ∶DE 3∶4. 其中正确结论的序号是__________．
图4－2－20
二级训练
13．(2011年山东威海) 在△ABC 中，AB ＞AC ，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，点F 在边BC 上，
连接DE ，DF ，EF ，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD 与△EDF 全等？( )
A ．EF ∥AB B ．BF ＝CF C ．∠A ＝∠DFE D ．∠B ＝∠DEF
14．(2011年浙江) 如图4－2－21，点D ，E 分别在AC ，AB 上．
(1)已知BD ＝CE ，CD ＝BE ，求证：AB ＝AC ；
(2)分别将“BD ＝CE ”记为①，“CD ＝BE ” 记为②，“AB ＝AC ”记为③. 添加
条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2.
命题1是________命题，命题2是_________命题(选择“真”或“假”填入空格) ．
15．(2012年湖北随州) 如图4－2－22，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．
求证：(1)△ABD ≌△ACD ；(2)BE ＝CE
.
图4－2－22
三级训练
16．(2011年湖南衡阳) 如图4－2－23，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，AC ＝5，将△ABC 折叠，
使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为________．
图4－2－23
17．如图4－2－24，两根旗杆间相距12 m，某人从点B 沿BA 走向点A ，一定时间后他到达点M ，此时他仰望旗杆的顶点C 和D ，两次视线的夹角为90°，且CM ＝DM ，已知旗杆AC 的高为3 m，该人的运动速度为1 m/s，求这个人运动了多长时间？
图4－2－24
第2课时 等腰三角形与直角三角形
一级训练
1．(2011年湖南邵阳) 如图4－2－31所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝50°，则∠A ＝( )
A ．40° B ．50° C ．80° D ．100°
图4－2－31 图
2．(2011年浙江舟山) 如图4－2－32，边长为4的等边△
线，则四边形BCED 的面积为( )
A ．2 3 B ．3 3 C. 4 3 D. 6 3
3．如图4－2－33，在△ABC 中，∠C ＝90°，EF ∥AB ，∠1＝50°，则∠B 的度数为( )
图4－2－33
A ．50° B ．60° C ．30° D ．40°
4．(2010年广东深圳) 如图4－2－34，在△ABC 中，AC ＝AD ＝
DAC ＝80°，则∠B 的度数是( )
A ．40° B ．35° C ．25° D ．20°
4－2－32 ABC 中，DE 为中位BD ，∠
图4－2－35
图4－2－34
5．(2012年山东济宁) 如图4－2－35，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(－2,3) ，以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于( )
A ．－4和－3之间 B ．3和4之间 C ．－5和－4之间 D ．4和5之间
6．下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是( )
A ．两边之和大于第三边 B ．有一个角的平分线垂直于这个角的对边
C ．有两个锐角的和等于90° D ．内角和等于180°
7．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝x ，BC ＝6，则腰长x 的取值范围是( )
A ．0＜x ＜3 B ．x ＞3 C ．3＜x ＜6 D ．x ＞6
8．(2011年江苏无锡) 如图4－2－36，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，若CD ＝5 cm，则EF ＝_________cm.
图4－2－36
9．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( )
A ．7 B ．11 C ．7或11 D ．7或10
10．(2011年山东德州) 下列命题中，其逆命题成立的是________(只填写序号) ．
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．
11．如图4－2－37，△ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上的任意一点，DE ⊥
AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F . 若BC ＝2，则DE ＋DF ＝______.
图4－2－37
12．(2012年江苏淮安) 如图4－2－38，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，
已知∠BDC ＝45°，BD ＝2，AB ＝20. 求∠A 的度数．
图4－2－38
二级训练
13．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为( )
A ．75°或15° B ．36°或60° C ．75° D ．30°
14．(2012年贵州黔西南州) 如图4－2－39，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是
BC 的中点，DE ⊥BC ，CE ∥AD ，若AC ＝2，CE ＝4，则四边形ACEB 的周长
为______．
图4－2－39
15．(2011年山东枣庄) 如图4－2－40，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
图4－2－40
(1)画线段AD ∥BC 且使AD ＝BC ，连接CD ；
(2)线段AC 的长为________，CD 的长为________，AD 的长为
________；
(3)△ACD 为________三角形，四边形ABCD 的面积为________；
(4)若E 为BC 的中点，则tan ∠CAE 的值是______．
三级训练
16．如图4－2－41，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三
角形．若斜边AB ＝4，则图中阴影部分的面积为________．
图4 －2－41
17．(2011年湖北黄冈) 如图4－2－42，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为AC 边上的中点，过点D 作DE 丄DF ，交AB 于点E ，交BC 于点F ，若AE ＝4，FC ＝3，求EF 的长．
图4－2－42
第1课时 多边形与平行四边形
一级训练
1．(2011年广东) 正八边形的每个内角为( )
A ．120° B ．135° C ．140° D ．144°
2．用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一个顶点周围的正方形的个数是( )
A ．3 B ．4 C ．5 D ．
6
3．(2011年湖南邵阳) 如图4－3－6，▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AB ≠AD ，则下列式子不正确的是( )
A ．AC ⊥BD B ．AB ＝CD
B ． C ．BO ＝OD D ．∠BAD ＝∠BCD
图4－3－6
4．如图4－3－7，在▱ABCD 中，AC ，BD 为对角线，BC ＝6，BC 边上的高
为4，则阴影部分的面积为( )
图4－3－7
A ．3 B ．6 C ．12 D ．24
5．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是( )
A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
6．在▱ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的比值是( )
A ．1∶2∶3∶4 B ．1∶2∶2∶1 C ．2∶2∶1∶1 D ．2∶1∶2∶1
7．(2012年广西南宁) 如图4－3－8，在平行四边形ABCD 中，AB ＝3 cm，BC
＝5 cm，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA 的取值范围是( )
图4－3－8
A ．2 cm＜OA ＜5 cm B ．2 cm＜OA ＜8 cm C ．1 cm＜OA ＜4 cm D ．3 cm＜OA ＜8 cm
8．(2011年江苏泰州) 在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB ＝CD ，AD ＝BC ；③AO ＝CO ，BO ＝DO ；④AB ∥CD ，AD ＝BC . 其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( )
A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组
9．(2011年四川广安) 若凸n 边形的内角和为1 260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是_________．
10．在下列四组多边形地板砖中： ①正三角形与正方形； ②正三角形与正六边形； ③正六边形与正方形； ④正八边形与正方形. 将每组中的两种多边形结合， 能密铺地面的是__________(填正确序号) ．
11．(2011年四川宜宾) 如图4－3－9，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，E ，F 在AC 上，G ，H 在BD 上，AF ＝CE ，BH ＝DG .
求证：GF ∥HE .
图4－3－9
12．如图4－3－10，E ，F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE ＝AF . 请你猜想：BE 与DF 有怎样的位置关系和数量关系？
并对你的猜想加以证明．
图4－3－10
二级训练
13．(2009年广东茂名) 如图4－3－11，杨伯家小院子的四棵小树E ，F ，G ，H 刚好在其梯形院子ABCD 各边的中点上，若在四边形EFGH 种上小草，则这块草地的形状是( )
A ．平行四边形 B ．矩形 C ．正方形 D ．菱形
图4－3－11 图4－3－12
14．(2011年浙江金华) 如图4－3－12，在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，∠ABC ＝60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则△DEF 的面积是________．
15．(2010年广东) 如图4－3－13，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 、等边△ABE . 已知∠BAC ＝30°，EF ⊥AB ，垂足为F ，连接DF .
(1)试说明AC ＝EF ；
(2)求证：四边形ADFE 是平行四边形．
图4－3－
13
三级训练
16．如图4－3－14，在五边形ABCDE 中，∠BAE ＝120°， ∠B ＝∠E ＝90°，AB ＝BC ，AE ＝DE ，在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得△AMN 的周长最小时，则∠AMN ＋∠ANM 的度数为( )
A. 100° B ．110° C. 120° D. 130°
图4－3－14
17．(2012年山东威海)(1)如图4－3－15(1)，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，直线EF 过点O ，分别交AD ，BC 于点E ，F . 求证：AE ＝CF .
(2)如图4－3－15(2)，将▱ABCD (纸片) 沿过对角线交点O 的直线EF 折叠，点A 落在点A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 1交CD 于点G ，A 1B 1分别交CD ，DE 于点H ，I . 求证：EI ＝FG .
图4－3－15
第2课时 特殊的平行四边形
一级训练
1．(2012年江苏宜昌) 如图4－3－23，在菱形ABCD 中，AB ＝5，∠BCD ＝120°，
则△ABC 的周长等于( )
A ．20 B ．15 C ．10 D ．5 图4－3－23
2．下列说法不正确的是( )
A ．一组邻边相等的矩形是正方形 B ．对角线相等的菱形是正方形
C ．对角线互相垂直的矩形是正方形 D ．有一个角是直角的平行四边形是正方形
3．(2011年江苏无锡) 菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A ．对角线互相垂直 B ．对角线相等 C ．对角线互相平分 D ．对角互补
4．(2012年湖南张家界) 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是( )
A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形
5．如图4－3－24，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOD ＝120°，AB
＝2，则矩形的对角线AC 的长是( )
A ．2 B ．4 C ．2 3 D ．4 3
图4－3－24
6．(2012年天津) 如图4－3－25，在边长为2的正方形ABCD 中，M 为边AD 的
中点，延长MD 至点E ，使ME ＝MC ，以DE 为边作正方形DEFG ，点G 在边
CD 上，则DG 的长为( ) A. 3－1 B ．3－5 C. 5＋1 D. 5－1
图4－3－25
7．(2011年江苏南京) 如图4－3－26，菱形ABCD 的边长是2 cm，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，则菱形ABCD 的面积为________cm2.
图4－3－26 图4－3－27
8．(2011年江苏淮安) 在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC . 请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形．你添加的条件是__________(写出一种即可) ．
9．(2012年吉林长春) 如图4－3－27，▱ABCD 的顶点B 在矩形AEFC 的边EF 上，点B 与点E ，F 不重合，若△ACD 的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为______．
10．(2011年广东模拟) 已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内的一点，且PB ＝PD ＝2 3，那么AP 的长为__________．
11．(2011年陕西) 如图4－3－28，在正方形ABCD 中，点G 是BC 上任意一点，连接AG ，过B ，D 两点分别作BE ⊥AG ，DF ⊥AG ，垂足分别为E ，F 两点，求证：△ADF ≌△BAE
.
图4－3－28
12．如图4－3－29，O 为矩形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD .
(1)试判断四边形OCED 的形状，并说明理由；
(2)若AB ＝6，BC ＝8，求四边形OCED 的面积．
图4－3－29
二级训练
13．如图4－3－30，在矩形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边
与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为
( )
A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 图4－3－30
14．(2012年四川宜宾) 如图4－3－31，已知正方形ABCD 的边长为1，连接AC ，
BD ，CE 平分∠ACD 交BD 于点E ，则DE ＝______.
图4－3－31
15．(2010年山东青岛) 已知：如图4－3－32，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC 和CD 上，AE ＝AF .
(1)求证：BE ＝DF ；
(2)连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM ＝OA ，连接EM ，FM . 判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．
图4－3－32
三级训练
16．(2011年广东深圳) 如图4－3－33(1)，一张矩形纸片ABCD ，其中AD ＝8 cm，AB ＝6 cm，先沿
对角线BD 对折，点C 落在点C ′的位置，BC ′交AD 于点G .
(1)求证：AG ＝C ′G ；
(2)如图4－3－33(2)，再折叠一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN ，EN 交AD 于点M ，求EM 的
长．
(1) (2)
图4－3－33
第3课时 梯形
一级训练
1．(2012年山东临沂) 如图4－3－41，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，
下列结论不一定正确的是( )
A ．AC ＝BD B ．OB ＝OC C ．∠BCD ＝∠BDC D ．∠ABD ＝∠ACD
图4－3－41 图4－3－42
2．(2012年福建漳州) 如图4－3－42，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，
∠B ＝80°，则∠D 的度数是( )
A ．120° B ．110° C ．100° D ．80°
3．(2011年山东滨州) 如图4－3－43，在一张△ABC 纸片中， ∠C ＝90°， ∠B ＝60°，
DE 是中位线，现把纸片沿中位线DE 剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的
矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数（ ）
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
4．(2011年广西来宾) 如图4－3－44，在直角梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，
∠DAB ＝90°，∠ABC ＝60°，EF 为中位线，且BC ＝EF ＝4，那么AB ＝( )
A ．3 B ．5 C ．6 D ．
8
5．(2011年浙江台州) 如图4－3－45，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC
＝90°，对角线BD ，AC 相交于点O . 下列条件中，不能判断对角线互相垂
直的是( )
图4－3－45
A ．∠1＝∠4 B. ∠1＝∠3 C ．∠2＝∠3 D ．OB 2＋OC 2＝BC 2
6．(2012年江苏无锡) 如图4－3－46，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，
AB ＝5，BC ＝9，CD 的垂直平分线交BC 于点E ，连接DE ，则四边形ABED
的周长等于( )
A ．17 B ．18 C ．19 D ．20 图4－3－46
7．等腰梯形的中位线长是15 ，一条对角线平分一个60°的底角，则梯形的周长为______．
8．(2011年江苏南京) 等腰梯形的腰长为5 cm，它的周长是22 cm，则它的中位线长为________cm.
9．(2011年湖南邵阳) 如图4－3－47，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，
AD ＝BC ，AC ⊥BC ，∠B ＝60°，BC ＝2 cm，则上底DC 的长是________cm.
图4－3－47
10．(2011年江苏宿迁) 如图4－3－48，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，
∠ADC 的平分线与∠BCD 的平分线的交点E 恰在AB 上．若AD ＝7 cm，
BC ＝8 cm，则AB 的长度是________cm.
图4－3－48
二级训练
11．(2012年湖北咸宁) 如图4－3－49，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，
BE 平分∠ABC ，且交CD 于点E ，E 为CD 的中点，EF ∥BC 交AB 于点F ，EG
∥AB 交BC 于点G . 当AD ＝2，BC ＝12时，四边形BGEF 的周长为________．
图4－3－49
12．如图4－3－50，在菱形ABCD 中， ∠DAB ＝60°，过点C 作
CE ⊥AC ，且与AB 的延长线交于点E .
求证：四边形AECD 是等腰梯形．
图4－3－50
第3课时 梯形
【分层训练】
1．C 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A
7．50 8.6 9.2 10.15
11．28
12．证明： ∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠CAE ＝12∠DAB ＝30°.
又∵CE ⊥AC, ∴∠E ＝90°－30°＝60°.
∴∠E ＝∠DAE .
∵AD ∥BC, ∴CE 不平行AD .
又∵DC ∥AE, ∴四边形AECD 是等腰梯形．
第2课时 特殊的平行四边形
【分层训练】
1．B 2.D 3.A 4.C 5.B 6.D
7．2 8．∠A ＝90°或∠B ＝90°或∠C ＝90°或∠D ＝90°或AC ＝BD (答案不唯一，写出一种即可)
9．3 10.2 3或4 11．证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴DA ＝AB ，∠1＋∠2＝90°.
又∵BE ⊥AG ，DF ⊥AG ，
∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°.
∴∠2＝∠3，∠1＝∠4.
又∵AD ＝AB ，
∴△ADF ≌△BAE .
12．解：(1)四边形OCED 是菱形．理由如下：
∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，
∴四边形OCED 是平行四边形．
又∵在矩形ABCD 中，OC ＝OD ，
∴四边形OCED 是菱形.
(2)连接OE . 由菱形OCED ，得CD ⊥OE ，
∴OE ∥BC .
又∵CE ∥BD ，∴四边形BCEO 是平行四边形．
∴OE ＝BC ＝8.
11∴S 四边形OCED ·CD ＝8×6＝24. 22
13．D 14. 2－1
15．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°.
∵AE ＝AF ，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF .
∴BE ＝DF .
(2)解：四边形AEMF 是菱形．证明如下：
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BCA ＝∠DCA ＝45°，BC ＝DC .
∵BE ＝DF ，∴BC －BE ＝DC －DF ，即CE ＝CF .
∴OE ＝OF .
∵OM ＝OA ，∴四边形AEMF 是平行四边形．
∵AE ＝AF ，∴平行四边形AEMF 是菱形．
16．(1)证明：∵沿对角线BD 对折，点C 落在点C ′的位置，∴∠A ＝∠C ′，AB ＝C ′D ， ∴在△GAB 与△GC ′D 中，
⎧⎪∠A ＝∠C ′，
⎨∠AGB ＝∠C ′GD ，
⎪⎩AB ＝C ′D ，
∴△GAB ≌△GC ′D .
∴AG ＝C ′G .
(2)解：∵点D 与点A 重合，得折痕EN ，
∴DM ＝4 cm，NM ＝3 cm.
由折叠及平行线的性质，得
∠END ＝∠NDC ＝∠NDE ，
∴EN ＝ED . 设EM ＝x ，则ED ＝EN ＝x ＋3.
由勾股定理，得ED 2＝EM 2＋DM 2，
即(x ＋3) 2＝x 2＋42.
解得x ＝76，即EM ＝76.
第1课时 多边形与平行四边形
【分层训练】
1．B 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D 7.C
8．C 9.6
10．①②④ 解析：①正三角形内角为60°，正方形内角为90°，可以由3个正三角形和2个正方形可以密铺；②正六边形内角为120°，可由2个正三角形2个正六边形密铺；③正六边形和正方形无法密铺；④正八边形内角为135°，正方形内角为90°，2个正八边形和1个正方形可以密铺．故选
D.
11．证明：∵在平行四边形ABCD 中，OA ＝OC ，
又已知AF ＝CE ，
∴AF －OA ＝CE －OC . ∴OF ＝OE .
同理，得OG ＝OH .
∴四边形EGFH 是平行四边形．
∴GF ∥HE .
12．解：猜想：BE ∥DF ，BE ＝DF .
证法一：如图
D13.
图D13
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BC ＝AD ，∠1＝∠2，
又∵CE ＝AF ，
∴△BCE ≌DAF .
∴BE ＝DF ，∠3＝∠4.
∴BE ∥DF .
证法二：如图
D14.
图D14
连接BD ，交AC 于点O ，
连接DE ，BF ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BO ＝OD ，AO ＝CO .
又∵AF ＝CE ，
∴AE ＝CF .
∴EO ＝FO .
∴四边形BEDF 是平行四边形．
∴BE 綊DF .
13．A
14．2 3 提示：△EFD 的面积与△EHD 的面积相等．
15．证明：(1)∵在Rt △ABC 中，
∠BAC ＝30°，∴AB ＝2BC .
又△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ，
∴∠AEF ＝30°.
∴AE ＝2AF ，且AB ＝2AF . ∴AF ＝CB .
而∠ACB ＝∠AFE ＝90°，
∴△AFE ≌△BCA . ∴AC ＝EF .
(2)由(1)知道AC ＝EF ，而△ACD 是等边三角形，
∴∠DAC ＝60°. ∴EF ＝AC ＝AD ，且AD ⊥AB . 而EF ⊥AB ，
∴EF ∥AD . ∴四边形ADFE 是平行四边形．
16．C
17．证明：(1)如图D15，∵四边形ABCD 是平行四边形，
图D15
∴AD ∥BC ，OA ＝OC .
∴∠1＝∠2.
在△AOE 和△COF 中，
∠1＝∠2，⎧⎪⎨OA ＝OC ，
⎪⎩∠3＝∠4，
∴△AOE ≌△COF (ASA)．
∴AE ＝CF .
(2)如图D16，∵四边形ABCD 是平行四边形，
图D16
∴∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D .
由(1)，得AE ＝CF .
由折叠的性质，可得AE ＝A 1E ，∠A 1＝∠A ，∠B 1＝∠B .
∴A 1E ＝CF ，∠A 1＝∠A ＝∠C ，∠B 1＝∠B ＝∠D .
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4.
∵∠5＝∠3，∠4＝∠6，
∴∠5＝∠6.
在△AIE 与△CGF 中，
∠A 1＝∠C ，⎧⎪⎨∠5＝∠6，
⎪⎩A 1E ＝CF ，
∴△AIE ≌△CGF (AAS)．
∴EI ＝FG .
第2课时 等腰三角形与直角三角形
【分层训练】
1．C 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.5
9．C
10．①④ 3
12．解：∵在直角三角形BDC 中，
∠BDC ＝45°，BD ＝ 102，
∴BC ＝CD ＝10 .
又∵∠C ＝90°，AB ＝20，
∴∠A ＝30°.
13．A 解析：三角形的高可在三角形内、三角形外，于是可得等腰三角形的顶角为30°或150°，故底角为75°或15°.
14．10＋13
15．解：(1)如图
D11.
图D11
(2)2
16．8
17．解：连接BD ，如图D12.
1 5 (3)直角 10 (4) 2
图D12
∵在等腰直角三角形ABC 中，D 为AC 边上的中点，
∴BD ⊥AC ，BD ＝CD ＝AD ，∠ABD ＝45°.
∴∠C ＝45°. ∴∠ABD ＝∠C .
又∵DE ⊥DF ，
∴∠FDC ＋∠BDF ＝∠EDB ＋∠BDF . ∴∠FDC ＝∠EDB .
在△EDB 与△FDC 中，
⎧∠EBD ＝∠C
∵⎪，⎨BD ＝CD ，
⎪⎩∠EDB ＝∠FDC ，
∴△EDB ≌△FDC (ASA)．
∴BE ＝FC ＝3.
∴AB ＝7，则BC ＝7.
∴BF ＝4.
在RT △EBF 中，
EF 2＝BE 2＋BF 2＝32＋42，
∴EF ＝5.
第1课时 三角形
【分层训练】
1．C 2.C 3.D 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A 9.B
10．6
a a 11. 解析：由题意，可得△DEF 的三边为△ABC 的中位线，故其周长为. 22
12．①②③④ 13.C
14．(1)证明：连接BC ，
∵ BD ＝CE ，CD ＝BE ，BC ＝CB ，
∴ △DBC ≌△ECB (SSS)．
∴ ∠DBC ＝∠ECB .
∴ AB ＝AC .
(2)真 假
15．证明：(1)∵D 是BC 的中点，
∴BD ＝CD .
在△ABD 和△ACD 中，
BD ＝CD ，⎧⎪⎨AB ＝AC ，
⎪⎩AD ＝AD (公共边)，
∴△ABD ≌△ACD (SSS)． (2)由(1)，可知：△ABD ≌△ACD ， ∴∠BAD ＝∠CAD ，即∠BAE ＝∠CAE . 在△ABE 和△ACE 中， AB ＝AC ，⎧⎪⎨∠BAE ＝∠CAE ，
⎪⎩AE ＝AE ，
∴△ABE ≌△ACE (SAS)．
∴BE ＝CE (全等三角形的对应边相等).
16．7 解析：因为将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，所以EC ＝AE ，故△ABE 的周长为AB ＋BE ＋AE ＝AB ＋BE ＋EC ＝AB ＋BC ＝3＋4＝7.
17．解：∵∠CMD ＝90°，
∴∠CMA ＋∠DMB ＝90°.
又∵∠CAM ＝90°，
∴∠CMA ＋∠ACM ＝90°.
∴∠ACM ＝∠DMB .
又∵CM ＝MD ，
∴Rt △ACM ≌Rt △BMD .
∴AC ＝BM ＝3.
∴他到达点M 时，运动时间为3÷1＝3(s)． 答：这人运动了3 s.
第1课时 三角形 一级训练
1．已知在△ABC 中，若∠A ＝70°－∠B ，则∠C ＝( )
A ．35° B ．70° C ．110° D ．140°
2．如图4－2－14，在△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝60°，点D 在BC 的延长线上，则∠ACD ＝( )
A ．100° B ．120° C ．130° D ．150°
图4－2－14 图4－2－15
3．已知如图4－2－15的两个三角形全等，则α的度数是( )
A ．72° B ．60° C ．58° D ．50°
4．(2011年湖南怀化) 如图4－2－16，∠A ，∠1，∠2的大小关系是( )
图4－2－17 图4－2－16
A. ∠A >∠1>∠2 B. ∠2>∠1>∠A C. ∠A >∠2>∠1 D. ∠2>∠A >∠1
5．(2011年江西) 如图4－2－17，下列条件中，不能证明△ABD ≌△ACD 的是( )
A ．BD ＝DC ，AB ＝AC B ．∠ADB ＝∠ADC ，∠BAD ＝∠CAD
C ．∠B ＝∠C ，∠BAD ＝∠CAD D ．∠B ＝∠C ，BD ＝DC
6．(2011年上海) 下列命题中，是真命题的是( )
A ．周长相等的锐角三角形都全等 B ．周长相等的直角三角形都全等
C ．周长相等的钝角三角形都全等 D ．周长相等的等腰直角三角形都全等
7．(2012年山东德州) 不一定在三角形内部的线段是( )
A ．三角形的角平分线 B ．三角形的中线
C ．三角形的高 D ．三角形的中位线
8．(2012年山东济宁) 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图4－2－18，
则能说明∠AOC ＝∠BOC 的依据是( )
A ．SSS B ．ASA C ．AAS D ．角平分线上的点到角两
边距离相等
9．(2011年安徽芜湖) 如图4－2－19，已知在△ABC 中，∠ABC ＝45°， F 是高AD 和BE 的交点，
CD ＝4，则线段DF 的长度为( )
A ．2 2 B ．4 C ．3 2 D ．4
2
10．以三条线段3,4，x －5为边组成三角形，则x 的取值范围为________．
11．若△ABC 的周长为a ，点D ，E ，F 分别是△ABC 三边的中点，则△DEF 的周长为__________．
12．(2011年江西) 如图4－2－20，两块完全相同的含30°的直角三角形叠放在
一起，且∠DAB ＝30°. 有以下四个结论：①AF ⊥BC ；②△ADG ≌△ACF; ③O
为BC 的中点； ④AG ∶DE 3∶4. 其中正确结论的序号是__________．
图4－2－20
二级训练
13．(2011年山东威海) 在△ABC 中，AB ＞AC ，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，点F 在边BC 上，
连接DE ，DF ，EF ，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD 与△EDF 全等？( )
A ．EF ∥AB B ．BF ＝CF C ．∠A ＝∠DFE D ．∠B ＝∠DEF
14．(2011年浙江) 如图4－2－21，点D ，E 分别在AC ，AB 上．
(1)已知BD ＝CE ，CD ＝BE ，求证：AB ＝AC ；
(2)分别将“BD ＝CE ”记为①，“CD ＝BE ” 记为②，“AB ＝AC ”记为③. 添加
条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2.
命题1是________命题，命题2是_________命题(选择“真”或“假”填入空格) ．
15．(2012年湖北随州) 如图4－2－22，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．
求证：(1)△ABD ≌△ACD ；(2)BE ＝CE
.
图4－2－22
三级训练
16．(2011年湖南衡阳) 如图4－2－23，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，AC ＝5，将△ABC 折叠，
使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为________．
图4－2－23
17．如图4－2－24，两根旗杆间相距12 m，某人从点B 沿BA 走向点A ，一定时间后他到达点M ，此时他仰望旗杆的顶点C 和D ，两次视线的夹角为90°，且CM ＝DM ，已知旗杆AC 的高为3 m，该人的运动速度为1 m/s，求这个人运动了多长时间？
图4－2－24
第2课时 等腰三角形与直角三角形
一级训练
1．(2011年湖南邵阳) 如图4－2－31所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝50°，则∠A ＝( )
A ．40° B ．50° C ．80° D ．100°
图4－2－31 图
2．(2011年浙江舟山) 如图4－2－32，边长为4的等边△
线，则四边形BCED 的面积为( )
A ．2 3 B ．3 3 C. 4 3 D. 6 3
3．如图4－2－33，在△ABC 中，∠C ＝90°，EF ∥AB ，∠1＝50°，则∠B 的度数为( )
图4－2－33
A ．50° B ．60° C ．30° D ．40°
4．(2010年广东深圳) 如图4－2－34，在△ABC 中，AC ＝AD ＝
DAC ＝80°，则∠B 的度数是( )
A ．40° B ．35° C ．25° D ．20°
4－2－32 ABC 中，DE 为中位BD ，∠
图4－2－35
图4－2－34
5．(2012年山东济宁) 如图4－2－35，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(－2,3) ，以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于( )
A ．－4和－3之间 B ．3和4之间 C ．－5和－4之间 D ．4和5之间
6．下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是( )
A ．两边之和大于第三边 B ．有一个角的平分线垂直于这个角的对边
C ．有两个锐角的和等于90° D ．内角和等于180°
7．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝x ，BC ＝6，则腰长x 的取值范围是( )
A ．0＜x ＜3 B ．x ＞3 C ．3＜x ＜6 D ．x ＞6
8．(2011年江苏无锡) 如图4－2－36，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，若CD ＝5 cm，则EF ＝_________cm.
图4－2－36
9．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( )
A ．7 B ．11 C ．7或11 D ．7或10
10．(2011年山东德州) 下列命题中，其逆命题成立的是________(只填写序号) ．
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．
11．如图4－2－37，△ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上的任意一点，DE ⊥
AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F . 若BC ＝2，则DE ＋DF ＝______.
图4－2－37
12．(2012年江苏淮安) 如图4－2－38，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，
已知∠BDC ＝45°，BD ＝2，AB ＝20. 求∠A 的度数．
图4－2－38
二级训练
13．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为( )
A ．75°或15° B ．36°或60° C ．75° D ．30°
14．(2012年贵州黔西南州) 如图4－2－39，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是
BC 的中点，DE ⊥BC ，CE ∥AD ，若AC ＝2，CE ＝4，则四边形ACEB 的周长
为______．
图4－2－39
15．(2011年山东枣庄) 如图4－2－40，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
图4－2－40
(1)画线段AD ∥BC 且使AD ＝BC ，连接CD ；
(2)线段AC 的长为________，CD 的长为________，AD 的长为
________；
(3)△ACD 为________三角形，四边形ABCD 的面积为________；
(4)若E 为BC 的中点，则tan ∠CAE 的值是______．
三级训练
16．如图4－2－41，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三
角形．若斜边AB ＝4，则图中阴影部分的面积为________．
图4 －2－41
17．(2011年湖北黄冈) 如图4－2－42，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为AC 边上的中点，过点D 作DE 丄DF ，交AB 于点E ，交BC 于点F ，若AE ＝4，FC ＝3，求EF 的长．
图4－2－42
第1课时 多边形与平行四边形
一级训练
1．(2011年广东) 正八边形的每个内角为( )
A ．120° B ．135° C ．140° D ．144°
2．用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一个顶点周围的正方形的个数是( )
A ．3 B ．4 C ．5 D ．
6
3．(2011年湖南邵阳) 如图4－3－6，▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AB ≠AD ，则下列式子不正确的是( )
A ．AC ⊥BD B ．AB ＝CD
B ． C ．BO ＝OD D ．∠BAD ＝∠BCD
图4－3－6
4．如图4－3－7，在▱ABCD 中，AC ，BD 为对角线，BC ＝6，BC 边上的高
为4，则阴影部分的面积为( )
图4－3－7
A ．3 B ．6 C ．12 D ．24
5．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是( )
A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
6．在▱ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的比值是( )
A ．1∶2∶3∶4 B ．1∶2∶2∶1 C ．2∶2∶1∶1 D ．2∶1∶2∶1
7．(2012年广西南宁) 如图4－3－8，在平行四边形ABCD 中，AB ＝3 cm，BC
＝5 cm，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA 的取值范围是( )
图4－3－8
A ．2 cm＜OA ＜5 cm B ．2 cm＜OA ＜8 cm C ．1 cm＜OA ＜4 cm D ．3 cm＜OA ＜8 cm
8．(2011年江苏泰州) 在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB ＝CD ，AD ＝BC ；③AO ＝CO ，BO ＝DO ；④AB ∥CD ，AD ＝BC . 其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( )
A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组
9．(2011年四川广安) 若凸n 边形的内角和为1 260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是_________．
10．在下列四组多边形地板砖中： ①正三角形与正方形； ②正三角形与正六边形； ③正六边形与正方形； ④正八边形与正方形. 将每组中的两种多边形结合， 能密铺地面的是__________(填正确序号) ．
11．(2011年四川宜宾) 如图4－3－9，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，E ，F 在AC 上，G ，H 在BD 上，AF ＝CE ，BH ＝DG .
求证：GF ∥HE .
图4－3－9
12．如图4－3－10，E ，F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE ＝AF . 请你猜想：BE 与DF 有怎样的位置关系和数量关系？
并对你的猜想加以证明．
图4－3－10
二级训练
13．(2009年广东茂名) 如图4－3－11，杨伯家小院子的四棵小树E ，F ，G ，H 刚好在其梯形院子ABCD 各边的中点上，若在四边形EFGH 种上小草，则这块草地的形状是( )
A ．平行四边形 B ．矩形 C ．正方形 D ．菱形
图4－3－11 图4－3－12
14．(2011年浙江金华) 如图4－3－12，在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，∠ABC ＝60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则△DEF 的面积是________．
15．(2010年广东) 如图4－3－13，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 、等边△ABE . 已知∠BAC ＝30°，EF ⊥AB ，垂足为F ，连接DF .
(1)试说明AC ＝EF ；
(2)求证：四边形ADFE 是平行四边形．
图4－3－
13
三级训练
16．如图4－3－14，在五边形ABCDE 中，∠BAE ＝120°， ∠B ＝∠E ＝90°，AB ＝BC ，AE ＝DE ，在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得△AMN 的周长最小时，则∠AMN ＋∠ANM 的度数为( )
A. 100° B ．110° C. 120° D. 130°
图4－3－14
17．(2012年山东威海)(1)如图4－3－15(1)，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，直线EF 过点O ，分别交AD ，BC 于点E ，F . 求证：AE ＝CF .
(2)如图4－3－15(2)，将▱ABCD (纸片) 沿过对角线交点O 的直线EF 折叠，点A 落在点A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 1交CD 于点G ，A 1B 1分别交CD ，DE 于点H ，I . 求证：EI ＝FG .
图4－3－15
第2课时 特殊的平行四边形
一级训练
1．(2012年江苏宜昌) 如图4－3－23，在菱形ABCD 中，AB ＝5，∠BCD ＝120°，
则△ABC 的周长等于( )
A ．20 B ．15 C ．10 D ．5 图4－3－23
2．下列说法不正确的是( )
A ．一组邻边相等的矩形是正方形 B ．对角线相等的菱形是正方形
C ．对角线互相垂直的矩形是正方形 D ．有一个角是直角的平行四边形是正方形
3．(2011年江苏无锡) 菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A ．对角线互相垂直 B ．对角线相等 C ．对角线互相平分 D ．对角互补
4．(2012年湖南张家界) 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是( )
A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形
5．如图4－3－24，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOD ＝120°，AB
＝2，则矩形的对角线AC 的长是( )
A ．2 B ．4 C ．2 3 D ．4 3
图4－3－24
6．(2012年天津) 如图4－3－25，在边长为2的正方形ABCD 中，M 为边AD 的
中点，延长MD 至点E ，使ME ＝MC ，以DE 为边作正方形DEFG ，点G 在边
CD 上，则DG 的长为( ) A. 3－1 B ．3－5 C. 5＋1 D. 5－1
图4－3－25
7．(2011年江苏南京) 如图4－3－26，菱形ABCD 的边长是2 cm，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，则菱形ABCD 的面积为________cm2.
图4－3－26 图4－3－27
8．(2011年江苏淮安) 在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC . 请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形．你添加的条件是__________(写出一种即可) ．
9．(2012年吉林长春) 如图4－3－27，▱ABCD 的顶点B 在矩形AEFC 的边EF 上，点B 与点E ，F 不重合，若△ACD 的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为______．
10．(2011年广东模拟) 已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内的一点，且PB ＝PD ＝2 3，那么AP 的长为__________．
11．(2011年陕西) 如图4－3－28，在正方形ABCD 中，点G 是BC 上任意一点，连接AG ，过B ，D 两点分别作BE ⊥AG ，DF ⊥AG ，垂足分别为E ，F 两点，求证：△ADF ≌△BAE
.
图4－3－28
12．如图4－3－29，O 为矩形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD .
(1)试判断四边形OCED 的形状，并说明理由；
(2)若AB ＝6，BC ＝8，求四边形OCED 的面积．
图4－3－29
二级训练
13．如图4－3－30，在矩形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边
与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为
( )
A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 图4－3－30
14．(2012年四川宜宾) 如图4－3－31，已知正方形ABCD 的边长为1，连接AC ，
BD ，CE 平分∠ACD 交BD 于点E ，则DE ＝______.
图4－3－31
15．(2010年山东青岛) 已知：如图4－3－32，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC 和CD 上，AE ＝AF .
(1)求证：BE ＝DF ；
(2)连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM ＝OA ，连接EM ，FM . 判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．
图4－3－32
三级训练
16．(2011年广东深圳) 如图4－3－33(1)，一张矩形纸片ABCD ，其中AD ＝8 cm，AB ＝6 cm，先沿
对角线BD 对折，点C 落在点C ′的位置，BC ′交AD 于点G .
(1)求证：AG ＝C ′G ；
(2)如图4－3－33(2)，再折叠一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN ，EN 交AD 于点M ，求EM 的
长．
(1) (2)
图4－3－33
第3课时 梯形
一级训练
1．(2012年山东临沂) 如图4－3－41，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，
下列结论不一定正确的是( )
A ．AC ＝BD B ．OB ＝OC C ．∠BCD ＝∠BDC D ．∠ABD ＝∠ACD
图4－3－41 图4－3－42
2．(2012年福建漳州) 如图4－3－42，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，
∠B ＝80°，则∠D 的度数是( )
A ．120° B ．110° C ．100° D ．80°
3．(2011年山东滨州) 如图4－3－43，在一张△ABC 纸片中， ∠C ＝90°， ∠B ＝60°，
DE 是中位线，现把纸片沿中位线DE 剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的
矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数（ ）
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
4．(2011年广西来宾) 如图4－3－44，在直角梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，
∠DAB ＝90°，∠ABC ＝60°，EF 为中位线，且BC ＝EF ＝4，那么AB ＝( )
A ．3 B ．5 C ．6 D ．
8
5．(2011年浙江台州) 如图4－3－45，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC
＝90°，对角线BD ，AC 相交于点O . 下列条件中，不能判断对角线互相垂
直的是( )
图4－3－45
A ．∠1＝∠4 B. ∠1＝∠3 C ．∠2＝∠3 D ．OB 2＋OC 2＝BC 2
6．(2012年江苏无锡) 如图4－3－46，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，
AB ＝5，BC ＝9，CD 的垂直平分线交BC 于点E ，连接DE ，则四边形ABED
的周长等于( )
A ．17 B ．18 C ．19 D ．20 图4－3－46
7．等腰梯形的中位线长是15 ，一条对角线平分一个60°的底角，则梯形的周长为______．
8．(2011年江苏南京) 等腰梯形的腰长为5 cm，它的周长是22 cm，则它的中位线长为________cm.
9．(2011年湖南邵阳) 如图4－3－47，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，
AD ＝BC ，AC ⊥BC ，∠B ＝60°，BC ＝2 cm，则上底DC 的长是________cm.
图4－3－47
10．(2011年江苏宿迁) 如图4－3－48，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，
∠ADC 的平分线与∠BCD 的平分线的交点E 恰在AB 上．若AD ＝7 cm，
BC ＝8 cm，则AB 的长度是________cm.
图4－3－48
二级训练
11．(2012年湖北咸宁) 如图4－3－49，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，
BE 平分∠ABC ，且交CD 于点E ，E 为CD 的中点，EF ∥BC 交AB 于点F ，EG
∥AB 交BC 于点G . 当AD ＝2，BC ＝12时，四边形BGEF 的周长为________．
图4－3－49
12．如图4－3－50，在菱形ABCD 中， ∠DAB ＝60°，过点C 作
CE ⊥AC ，且与AB 的延长线交于点E .
求证：四边形AECD 是等腰梯形．
图4－3－50
第3课时 梯形
【分层训练】
1．C 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A
7．50 8.6 9.2 10.15
11．28
12．证明： ∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠CAE ＝12∠DAB ＝30°.
又∵CE ⊥AC, ∴∠E ＝90°－30°＝60°.
∴∠E ＝∠DAE .
∵AD ∥BC, ∴CE 不平行AD .
又∵DC ∥AE, ∴四边形AECD 是等腰梯形．
第2课时 特殊的平行四边形
【分层训练】
1．B 2.D 3.A 4.C 5.B 6.D
7．2 8．∠A ＝90°或∠B ＝90°或∠C ＝90°或∠D ＝90°或AC ＝BD (答案不唯一，写出一种即可)
9．3 10.2 3或4 11．证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴DA ＝AB ，∠1＋∠2＝90°.
又∵BE ⊥AG ，DF ⊥AG ，
∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°.
∴∠2＝∠3，∠1＝∠4.
又∵AD ＝AB ，
∴△ADF ≌△BAE .
12．解：(1)四边形OCED 是菱形．理由如下：
∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，
∴四边形OCED 是平行四边形．
又∵在矩形ABCD 中，OC ＝OD ，
∴四边形OCED 是菱形.
(2)连接OE . 由菱形OCED ，得CD ⊥OE ，
∴OE ∥BC .
又∵CE ∥BD ，∴四边形BCEO 是平行四边形．
∴OE ＝BC ＝8.
11∴S 四边形OCED ·CD ＝8×6＝24. 22
13．D 14. 2－1
15．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°.
∵AE ＝AF ，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF .
∴BE ＝DF .
(2)解：四边形AEMF 是菱形．证明如下：
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BCA ＝∠DCA ＝45°，BC ＝DC .
∵BE ＝DF ，∴BC －BE ＝DC －DF ，即CE ＝CF .
∴OE ＝OF .
∵OM ＝OA ，∴四边形AEMF 是平行四边形．
∵AE ＝AF ，∴平行四边形AEMF 是菱形．
16．(1)证明：∵沿对角线BD 对折，点C 落在点C ′的位置，∴∠A ＝∠C ′，AB ＝C ′D ， ∴在△GAB 与△GC ′D 中，
⎧⎪∠A ＝∠C ′，
⎨∠AGB ＝∠C ′GD ，
⎪⎩AB ＝C ′D ，
∴△GAB ≌△GC ′D .
∴AG ＝C ′G .
(2)解：∵点D 与点A 重合，得折痕EN ，
∴DM ＝4 cm，NM ＝3 cm.
由折叠及平行线的性质，得
∠END ＝∠NDC ＝∠NDE ，
∴EN ＝ED . 设EM ＝x ，则ED ＝EN ＝x ＋3.
由勾股定理，得ED 2＝EM 2＋DM 2，
即(x ＋3) 2＝x 2＋42.
解得x ＝76，即EM ＝76.
第1课时 多边形与平行四边形
【分层训练】
1．B 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D 7.C
8．C 9.6
10．①②④ 解析：①正三角形内角为60°，正方形内角为90°，可以由3个正三角形和2个正方形可以密铺；②正六边形内角为120°，可由2个正三角形2个正六边形密铺；③正六边形和正方形无法密铺；④正八边形内角为135°，正方形内角为90°，2个正八边形和1个正方形可以密铺．故选
D.
11．证明：∵在平行四边形ABCD 中，OA ＝OC ，
又已知AF ＝CE ，
∴AF －OA ＝CE －OC . ∴OF ＝OE .
同理，得OG ＝OH .
∴四边形EGFH 是平行四边形．
∴GF ∥HE .
12．解：猜想：BE ∥DF ，BE ＝DF .
证法一：如图
D13.
图D13
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BC ＝AD ，∠1＝∠2，
又∵CE ＝AF ，
∴△BCE ≌DAF .
∴BE ＝DF ，∠3＝∠4.
∴BE ∥DF .
证法二：如图
D14.
图D14
连接BD ，交AC 于点O ，
连接DE ，BF ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BO ＝OD ，AO ＝CO .
又∵AF ＝CE ，
∴AE ＝CF .
∴EO ＝FO .
∴四边形BEDF 是平行四边形．
∴BE 綊DF .
13．A
14．2 3 提示：△EFD 的面积与△EHD 的面积相等．
15．证明：(1)∵在Rt △ABC 中，
∠BAC ＝30°，∴AB ＝2BC .
又△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ，
∴∠AEF ＝30°.
∴AE ＝2AF ，且AB ＝2AF . ∴AF ＝CB .
而∠ACB ＝∠AFE ＝90°，
∴△AFE ≌△BCA . ∴AC ＝EF .
(2)由(1)知道AC ＝EF ，而△ACD 是等边三角形，
∴∠DAC ＝60°. ∴EF ＝AC ＝AD ，且AD ⊥AB . 而EF ⊥AB ，
∴EF ∥AD . ∴四边形ADFE 是平行四边形．
16．C
17．证明：(1)如图D15，∵四边形ABCD 是平行四边形，
图D15
∴AD ∥BC ，OA ＝OC .
∴∠1＝∠2.
在△AOE 和△COF 中，
∠1＝∠2，⎧⎪⎨OA ＝OC ，
⎪⎩∠3＝∠4，
∴△AOE ≌△COF (ASA)．
∴AE ＝CF .
(2)如图D16，∵四边形ABCD 是平行四边形，
图D16
∴∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D .
由(1)，得AE ＝CF .
由折叠的性质，可得AE ＝A 1E ，∠A 1＝∠A ，∠B 1＝∠B .
∴A 1E ＝CF ，∠A 1＝∠A ＝∠C ，∠B 1＝∠B ＝∠D .
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4.
∵∠5＝∠3，∠4＝∠6，
∴∠5＝∠6.
在△AIE 与△CGF 中，
∠A 1＝∠C ，⎧⎪⎨∠5＝∠6，
⎪⎩A 1E ＝CF ，
∴△AIE ≌△CGF (AAS)．
∴EI ＝FG .
第2课时 等腰三角形与直角三角形
【分层训练】
1．C 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.5
9．C
10．①④ 3
12．解：∵在直角三角形BDC 中，
∠BDC ＝45°，BD ＝ 102，
∴BC ＝CD ＝10 .
又∵∠C ＝90°，AB ＝20，
∴∠A ＝30°.
13．A 解析：三角形的高可在三角形内、三角形外，于是可得等腰三角形的顶角为30°或150°，故底角为75°或15°.
14．10＋13
15．解：(1)如图
D11.
图D11
(2)2
16．8
17．解：连接BD ，如图D12.
1 5 (3)直角 10 (4) 2
图D12
∵在等腰直角三角形ABC 中，D 为AC 边上的中点，
∴BD ⊥AC ，BD ＝CD ＝AD ，∠ABD ＝45°.
∴∠C ＝45°. ∴∠ABD ＝∠C .
又∵DE ⊥DF ，
∴∠FDC ＋∠BDF ＝∠EDB ＋∠BDF . ∴∠FDC ＝∠EDB .
在△EDB 与△FDC 中，
⎧∠EBD ＝∠C
∵⎪，⎨BD ＝CD ，
⎪⎩∠EDB ＝∠FDC ，
∴△EDB ≌△FDC (ASA)．
∴BE ＝FC ＝3.
∴AB ＝7，则BC ＝7.
∴BF ＝4.
在RT △EBF 中，
EF 2＝BE 2＋BF 2＝32＋42，
∴EF ＝5.
第1课时 三角形
【分层训练】
1．C 2.C 3.D 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A 9.B
10．6
a a 11. 解析：由题意，可得△DEF 的三边为△ABC 的中位线，故其周长为. 22
12．①②③④ 13.C
14．(1)证明：连接BC ，
∵ BD ＝CE ，CD ＝BE ，BC ＝CB ，
∴ △DBC ≌△ECB (SSS)．
∴ ∠DBC ＝∠ECB .
∴ AB ＝AC .
(2)真 假
15．证明：(1)∵D 是BC 的中点，
∴BD ＝CD .
在△ABD 和△ACD 中，
BD ＝CD ，⎧⎪⎨AB ＝AC ，
⎪⎩AD ＝AD (公共边)，
∴△ABD ≌△ACD (SSS)． (2)由(1)，可知：△ABD ≌△ACD ， ∴∠BAD ＝∠CAD ，即∠BAE ＝∠CAE . 在△ABE 和△ACE 中， AB ＝AC ，⎧⎪⎨∠BAE ＝∠CAE ，
⎪⎩AE ＝AE ，
∴△ABE ≌△ACE (SAS)．
∴BE ＝CE (全等三角形的对应边相等).
16．7 解析：因为将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，所以EC ＝AE ，故△ABE 的周长为AB ＋BE ＋AE ＝AB ＋BE ＋EC ＝AB ＋BC ＝3＋4＝7.
17．解：∵∠CMD ＝90°，
∴∠CMA ＋∠DMB ＝90°.
又∵∠CAM ＝90°，
∴∠CMA ＋∠ACM ＝90°.
∴∠ACM ＝∠DMB .
又∵CM ＝MD ，
∴Rt △ACM ≌Rt △BMD .
∴AC ＝BM ＝3.
∴他到达点M 时，运动时间为3÷1＝3(s)． 答：这人运动了3 s.