第二十章 光的衍射
1、 某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽a =0. 15mm 。缝后放一个焦距f =400mm 的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为8. 0mm ，求入射光的波长。
解：由题意，第三级暗纹到O 点的距离 x =
又根据光路图有 tan θ=8=4(mm ) 2x f
且单缝暗纹公式 a sin θ=k λ=3λ 取k =3
a sin θa tan θax 0. 15⨯4≈==mm =500nm 所以 λ=333f 3⨯400
2、波长为600nm 的单色光垂直入射到宽度为a =0. 10mm 的单缝上，观察夫琅和费衍射图样，透镜焦距f =1. 0m ，屏在透镜的焦平面处，求：
（1）中央衍射明条纹的宽度∆x 0；
（2）第二级暗条纹离透镜的焦点的距离x 2。
解：（1）关于中心O 对称的两条第一级暗纹之间的距离为中央明纹宽度 第一级暗纹到中心的距离 x 1=f tan θ1≈f θ1 ① 又由单缝衍射暗纹公式 a sin θ=k λ
对第一级暗纹丝 k =1 而sin θ1≈θ1
所以 a θ1=λ
由②求出θ1代入① x 1=
所以中央明纹宽度 ② λa f
2λf 2⨯600⨯10-9⨯1∆x 0=2x 1==(m ) =12(mm ) -3a 0. 10⨯10
（2）由暗纹公式a sin θ=k λ 取k =2 且sin θ2≈θ2
2λ2λf =12(mm ) 所以 θ2= x 2=f tan θ2≈f θ2=a a
3、在某个单缝衍射实验中，光源发出的光有两种波长λ1和λ2，若λ1的第一级衍
射极小与λ2的第二级衍射极小相重合，求：
（1）这两种波长之间有何关系？
（2）在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其它极小相重合？ 解：（1）由单缝衍射暗纹公式a sin θ=k λ
对λ1：取k =1 a sin θ=λ1 对λ2：取k =2 a sin θ'=2λ2
由于λ1的第一级衍射极小与λ2的第二级衍射极小重合，所以
θ=θ' 则 λ1=2λ2
（2）对λ1：a sin θ=k 1λ1 对λ2： a sin θ'=k 2λ2
由于重合，所以θ=θ' 即
k 1λ21==⇒k 2=2k 1 k 2λ12
所以有其它极小相重合 当k 1取1、2、3、…、k 2取2、4、6、…、 k 1λ1=k 2λ2
4、在单缝的夫琅和费衍射实验中，若入射光中有两种波长的光，λ1=400nm ，λ2=760nm 。已知单缝的宽度a =1. 00⨯10-4m 。透镜焦距f =50. 0cm 。求：
（1）这两种光第一级衍射明纹中心之间的距离。
（2）若用光栅常数a +b =1. 0⨯10-5m 的光栅替换单缝，其他条件和上一问相同，则两种光第一级衍射明纹之间的距离为多少？
解：（1）由单缝衍射明纹公式a sin θ=(2k +1)
考虑第一级明纹有k =1 所以 λ2
a sin θ1=33λ1 a sin θ2=λ2 22
设第二种光第一级衍射明纹中心位置坐标为x 1、x 2则有 3λ1 (sinθ1≈tan θ1) 2a
3λ2 x 2=f tan θ2≈f (sinθ2≈tan θ2) 2a x 1=f tan θ1≈f
则两种光第一级衍射明纹中心之间的距离 3λ2-λ1f 2a -93(760-400) ⨯10=⨯50⨯10-2⨯=0. 27(cm ) 21. 0⨯10-4
（2）由光栅方程 (a +b )sin θ=k λ
取k =1 (a +b )sin θ1=λ1
(a +b )sin θ2=λ2
∆x =x 2-x 1=f (tan θ2-tan θ1)≈f (sin θ2-sin θ1) （θ1、θ2很小） ∆x =x 2-x 1=
(760-400) ⨯10-9
=f =50⨯10⨯=1. 8(cm ) a +b 1. 0⨯10-5λ2-λ1-2
5、以氢放电管发出的光垂直照射在某光栅上，在衍射角φ=41︒的方向上看到λ1=6562A和λ2=4101A的谱线相重合，求光栅常数的最小值。
解：两谱线重合时有 k 1λ1=k 2λ2
k 1λ25== 取最小的k 1、k 2 则 k 1=5，k 2=8 k 2λ18
由光栅方程 (a +b )sin φ=k λ
k 1λ15⨯6562⨯10-10
∴ a +b ===5(μm) sin φsin 41
6、用钠光（λ=5893A）垂直照射到某光栅上，测得第三级光谱的衍射角为60︒。
（1）若换用另一光源测得第二级光谱的衍射角为30︒，求后一光源发光的波长。
（2）若以白光（4000A -7600A）照射在光栅上，求第二级光谱的张角。 解：（1）由光栅方程 (a +b )sin θ=k λ ①
换另一光源 有 (a +b )sin θ'=k 'λ'
由①②式有 ② sin θk λ= sin θ'k 'λ'
k λsin θ'35893⨯10-10⨯sin 30
⇒λ'=⋅=⨯=5103. 5A k 'sin θ2sin 60
k λ3⨯5893⨯10-10
==2. 0413⨯10-6m （2）由 ① 式可求得a +b = sin θsin 60
而白光照射时 (a +b )sin θ=k λ
2⨯4000=23. 1 取k =2 当 λ1=4000A θ1=arcsin 20413
2⨯7600=48. 1 当 λ2=7600A θ2=arcsin 20413
第二级谱线张角 ∆θ=θ2-θ1=25 （本题θ很大，不能用sin θ≈θ）
7、波长为λ=600nm 的单色光垂直入射到一光栅上，测得第二级明条纹的衍射角为30︒，第三级是缺级，求：
（1）光栅常数a +b 为多少？
（2）透光缝的最小宽度a 为多少？
（3）在选定了a +b 与a 后，屏幕上可能呈现的明条纹最高级次为多少？
（4）在选定了a +b 与a 后，屏幕上最多呈现几条明纹？
解：（1）(a +b )sin 30 =2λ 得 a +b =4λ=2. 4⨯10-6m
（2）对光栅有：(a +b )sin θ=k λ
对单缝有：a sin θ=k 'λ a +b k ==3 a k '
a +b 2. 4⨯10-6
a ===8⨯10-7m 33
（3）由(a +b )sin θ=k λ得 而第三级缺级：
k λa +b 2. 4⨯10-6
sin θ=
因为第三级缺级得 k max =2
（4）只能看到 k =0、±1、±2 等五条明纹
8、一双缝，缝距d =0. 40mm ，两缝宽度都是a =0. 080mm ，用波长为λ=480nm 的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距为f =2. 0m 的透镜，求：
（1）在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距∆x ；
（2）在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目。
480⨯10-9
-3=2. 0⨯=2. 4⨯10m 解：（1）条纹间距 ∆x =f -3d 0. 40⨯10
（2）对单缝衍射有：a sin θ1=λ
2λf 中央亮纹宽度为 ∆x '=2f tan θ1≈2f sin θ1= a
2. 0⨯480⨯10-9
=2⨯=24⨯10-3m -30. 08⨯10
双缝干涉亮纹条件 d sin θ=k λ 单缝衍射暗纹条件a sin θ=k 'λ
d k =5 所以： 缺级条件 =a k '
24⨯10-3
-2=9 条 所以共能看到的亮纹数为：1+-32. 4⨯10
9、波长为400nm -760nm 的一束可见光垂直入射到一缝宽为1. 0⨯10-4cm 的透光光栅上，其中波长为600nm 的光的第四级谱线缺级，会聚透镜的焦距为1m 。λ求：
（1）光栅每厘米有多少条缝；
（2）波长为600nm 的光在屏上呈现的光谱线的全部级数；
（3）第二级光谱在屏上的线宽度；
（4）第二级光谱与第一级及第三级重叠的线宽度。
解：（1）由缺级条件
即 a +b =4得 a +b =4a =4⨯1. 0⨯10-4⨯10-2=4⨯10-6m a 1=2500cm -1 a +b
k λa +b 4⨯10-62
屏上呈现k =0、±1、±2、±3、±5 、±6
2λ（3）对第二级谱线有(a +b )sin θ=2λ （sin θ= 较大） a +b
2λsin θ==0. 5⨯106λ a +b
λ=400nm 时，θ2min =arcsin(0. 5⨯106⨯400⨯10-9) =11. 54 ()
λ=760nm 时，θ2max =arcsin(0. 5⨯106⨯760⨯10-9) =22. 33
故第二级谱线宽度
∆x 2=f (tan θ2max -tan θ2min )=1⨯tan 22. 33 -tan 11. 54 =0. 207m
()760⨯10-9
=10. 95 （4）第一级谱线θ1max =arcsin -64⨯10
3⨯400⨯10-9
=17. 46 第三级谱线θ3min =arcsin -64⨯10
因为θ1max
而第二级光谱与第三级光谱重叠线宽度为
∆x =f (tan θ2max -tan θ3min )=1⨯tan 22. 33 -tan 17. 46 =0. 1m
10、一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的光，λ1=4400A 、
()λ2=6600A 。实验发现，两种波长的谱线（不含中央明纹）第二次重合于衍射角ϕ=60︒的方向上，求此光栅的光栅常数d 。
解：重合时 d sin ϕ=k 1λ1
d sin ϕ=k 2λ2
k λ66003得 1=2== k 2λ144002
可能k 1=3 k 2=2 第一次重合
k 1=6 k 2=4 第二次重合
代入光栅方程得d sin 60 =6⨯4400⨯10-10⇒d =3. 048⨯10-6m
11、试述光的干涉与衍射的区别与联系。
解：从光波的相干叠加，引起光强度的重新分布，形成稳定图样来看，干涉和衍射并不存在实质性的区别。
有限光束的相干叠加说是干涉：参与相干叠加的各光束是按几何光学直线传播的，这是纯干涉。
无穷多子波的相干叠加为衍射：如参与相干叠加的各光束的传播不符合几何光学模型，每一光束存在明显的衍射，这种情形干涉和衍射是同时存在的，在存在衍射的情况下，干涉条纹要受到衍射的限制。
第二十章 光的衍射
1、 某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽a =0. 15mm 。缝后放一个焦距f =400mm 的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为8. 0mm ，求入射光的波长。
解：由题意，第三级暗纹到O 点的距离 x =
又根据光路图有 tan θ=8=4(mm ) 2x f
且单缝暗纹公式 a sin θ=k λ=3λ 取k =3
a sin θa tan θax 0. 15⨯4≈==mm =500nm 所以 λ=333f 3⨯400
2、波长为600nm 的单色光垂直入射到宽度为a =0. 10mm 的单缝上，观察夫琅和费衍射图样，透镜焦距f =1. 0m ，屏在透镜的焦平面处，求：
（1）中央衍射明条纹的宽度∆x 0；
（2）第二级暗条纹离透镜的焦点的距离x 2。
解：（1）关于中心O 对称的两条第一级暗纹之间的距离为中央明纹宽度 第一级暗纹到中心的距离 x 1=f tan θ1≈f θ1 ① 又由单缝衍射暗纹公式 a sin θ=k λ
对第一级暗纹丝 k =1 而sin θ1≈θ1
所以 a θ1=λ
由②求出θ1代入① x 1=
所以中央明纹宽度 ② λa f
2λf 2⨯600⨯10-9⨯1∆x 0=2x 1==(m ) =12(mm ) -3a 0. 10⨯10
（2）由暗纹公式a sin θ=k λ 取k =2 且sin θ2≈θ2
2λ2λf =12(mm ) 所以 θ2= x 2=f tan θ2≈f θ2=a a
3、在某个单缝衍射实验中，光源发出的光有两种波长λ1和λ2，若λ1的第一级衍
射极小与λ2的第二级衍射极小相重合，求：
（1）这两种波长之间有何关系？
（2）在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其它极小相重合？ 解：（1）由单缝衍射暗纹公式a sin θ=k λ
对λ1：取k =1 a sin θ=λ1 对λ2：取k =2 a sin θ'=2λ2
由于λ1的第一级衍射极小与λ2的第二级衍射极小重合，所以
θ=θ' 则 λ1=2λ2
（2）对λ1：a sin θ=k 1λ1 对λ2： a sin θ'=k 2λ2
由于重合，所以θ=θ' 即
k 1λ21==⇒k 2=2k 1 k 2λ12
所以有其它极小相重合 当k 1取1、2、3、…、k 2取2、4、6、…、 k 1λ1=k 2λ2
4、在单缝的夫琅和费衍射实验中，若入射光中有两种波长的光，λ1=400nm ，λ2=760nm 。已知单缝的宽度a =1. 00⨯10-4m 。透镜焦距f =50. 0cm 。求：
（1）这两种光第一级衍射明纹中心之间的距离。
（2）若用光栅常数a +b =1. 0⨯10-5m 的光栅替换单缝，其他条件和上一问相同，则两种光第一级衍射明纹之间的距离为多少？
解：（1）由单缝衍射明纹公式a sin θ=(2k +1)
考虑第一级明纹有k =1 所以 λ2
a sin θ1=33λ1 a sin θ2=λ2 22
设第二种光第一级衍射明纹中心位置坐标为x 1、x 2则有 3λ1 (sinθ1≈tan θ1) 2a
3λ2 x 2=f tan θ2≈f (sinθ2≈tan θ2) 2a x 1=f tan θ1≈f
则两种光第一级衍射明纹中心之间的距离 3λ2-λ1f 2a -93(760-400) ⨯10=⨯50⨯10-2⨯=0. 27(cm ) 21. 0⨯10-4
（2）由光栅方程 (a +b )sin θ=k λ
取k =1 (a +b )sin θ1=λ1
(a +b )sin θ2=λ2
∆x =x 2-x 1=f (tan θ2-tan θ1)≈f (sin θ2-sin θ1) （θ1、θ2很小） ∆x =x 2-x 1=
(760-400) ⨯10-9
=f =50⨯10⨯=1. 8(cm ) a +b 1. 0⨯10-5λ2-λ1-2
5、以氢放电管发出的光垂直照射在某光栅上，在衍射角φ=41︒的方向上看到λ1=6562A和λ2=4101A的谱线相重合，求光栅常数的最小值。
解：两谱线重合时有 k 1λ1=k 2λ2
k 1λ25== 取最小的k 1、k 2 则 k 1=5，k 2=8 k 2λ18
由光栅方程 (a +b )sin φ=k λ
k 1λ15⨯6562⨯10-10
∴ a +b ===5(μm) sin φsin 41
6、用钠光（λ=5893A）垂直照射到某光栅上，测得第三级光谱的衍射角为60︒。
（1）若换用另一光源测得第二级光谱的衍射角为30︒，求后一光源发光的波长。
（2）若以白光（4000A -7600A）照射在光栅上，求第二级光谱的张角。 解：（1）由光栅方程 (a +b )sin θ=k λ ①
换另一光源 有 (a +b )sin θ'=k 'λ'
由①②式有 ② sin θk λ= sin θ'k 'λ'
k λsin θ'35893⨯10-10⨯sin 30
⇒λ'=⋅=⨯=5103. 5A k 'sin θ2sin 60
k λ3⨯5893⨯10-10
==2. 0413⨯10-6m （2）由 ① 式可求得a +b = sin θsin 60
而白光照射时 (a +b )sin θ=k λ
2⨯4000=23. 1 取k =2 当 λ1=4000A θ1=arcsin 20413
2⨯7600=48. 1 当 λ2=7600A θ2=arcsin 20413
第二级谱线张角 ∆θ=θ2-θ1=25 （本题θ很大，不能用sin θ≈θ）
7、波长为λ=600nm 的单色光垂直入射到一光栅上，测得第二级明条纹的衍射角为30︒，第三级是缺级，求：
（1）光栅常数a +b 为多少？
（2）透光缝的最小宽度a 为多少？
（3）在选定了a +b 与a 后，屏幕上可能呈现的明条纹最高级次为多少？
（4）在选定了a +b 与a 后，屏幕上最多呈现几条明纹？
解：（1）(a +b )sin 30 =2λ 得 a +b =4λ=2. 4⨯10-6m
（2）对光栅有：(a +b )sin θ=k λ
对单缝有：a sin θ=k 'λ a +b k ==3 a k '
a +b 2. 4⨯10-6
a ===8⨯10-7m 33
（3）由(a +b )sin θ=k λ得 而第三级缺级：
k λa +b 2. 4⨯10-6
sin θ=
因为第三级缺级得 k max =2
（4）只能看到 k =0、±1、±2 等五条明纹
8、一双缝，缝距d =0. 40mm ，两缝宽度都是a =0. 080mm ，用波长为λ=480nm 的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距为f =2. 0m 的透镜，求：
（1）在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距∆x ；
（2）在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目。
480⨯10-9
-3=2. 0⨯=2. 4⨯10m 解：（1）条纹间距 ∆x =f -3d 0. 40⨯10
（2）对单缝衍射有：a sin θ1=λ
2λf 中央亮纹宽度为 ∆x '=2f tan θ1≈2f sin θ1= a
2. 0⨯480⨯10-9
=2⨯=24⨯10-3m -30. 08⨯10
双缝干涉亮纹条件 d sin θ=k λ 单缝衍射暗纹条件a sin θ=k 'λ
d k =5 所以： 缺级条件 =a k '
24⨯10-3
-2=9 条 所以共能看到的亮纹数为：1+-32. 4⨯10
9、波长为400nm -760nm 的一束可见光垂直入射到一缝宽为1. 0⨯10-4cm 的透光光栅上，其中波长为600nm 的光的第四级谱线缺级，会聚透镜的焦距为1m 。λ求：
（1）光栅每厘米有多少条缝；
（2）波长为600nm 的光在屏上呈现的光谱线的全部级数；
（3）第二级光谱在屏上的线宽度；
（4）第二级光谱与第一级及第三级重叠的线宽度。
解：（1）由缺级条件
即 a +b =4得 a +b =4a =4⨯1. 0⨯10-4⨯10-2=4⨯10-6m a 1=2500cm -1 a +b
k λa +b 4⨯10-62
屏上呈现k =0、±1、±2、±3、±5 、±6
2λ（3）对第二级谱线有(a +b )sin θ=2λ （sin θ= 较大） a +b
2λsin θ==0. 5⨯106λ a +b
λ=400nm 时，θ2min =arcsin(0. 5⨯106⨯400⨯10-9) =11. 54 ()
λ=760nm 时，θ2max =arcsin(0. 5⨯106⨯760⨯10-9) =22. 33
故第二级谱线宽度
∆x 2=f (tan θ2max -tan θ2min )=1⨯tan 22. 33 -tan 11. 54 =0. 207m
()760⨯10-9
=10. 95 （4）第一级谱线θ1max =arcsin -64⨯10
3⨯400⨯10-9
=17. 46 第三级谱线θ3min =arcsin -64⨯10
因为θ1max
而第二级光谱与第三级光谱重叠线宽度为
∆x =f (tan θ2max -tan θ3min )=1⨯tan 22. 33 -tan 17. 46 =0. 1m
10、一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的光，λ1=4400A 、
()λ2=6600A 。实验发现，两种波长的谱线（不含中央明纹）第二次重合于衍射角ϕ=60︒的方向上，求此光栅的光栅常数d 。
解：重合时 d sin ϕ=k 1λ1
d sin ϕ=k 2λ2
k λ66003得 1=2== k 2λ144002
可能k 1=3 k 2=2 第一次重合
k 1=6 k 2=4 第二次重合
代入光栅方程得d sin 60 =6⨯4400⨯10-10⇒d =3. 048⨯10-6m
11、试述光的干涉与衍射的区别与联系。
解：从光波的相干叠加，引起光强度的重新分布，形成稳定图样来看，干涉和衍射并不存在实质性的区别。
有限光束的相干叠加说是干涉：参与相干叠加的各光束是按几何光学直线传播的，这是纯干涉。
无穷多子波的相干叠加为衍射：如参与相干叠加的各光束的传播不符合几何光学模型，每一光束存在明显的衍射，这种情形干涉和衍射是同时存在的，在存在衍射的情况下，干涉条纹要受到衍射的限制。