函数的任意性存在性问题
阳新高中 徐忠星
新课标下的高考越来越注重对学生综合素质的考察，任意性和存在性问题便是一个很好的途径。它涉及知识面广而深，形式逐渐多样化，与函数、导数知识密不可分；渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程，分类讨论等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此，它是高考的热点问题，更是难点。
a -1+1. 引入 （10山东21改编）已知函数f (x ) =ax -ln x +x
（1） 若0
（2） 设g (x ) =12151x -ax -+2a ，若对∀a ∈[,1]，∀x 1, x 2∈[1,m ](m >1) ，不等3262
式f (x 1) ≥g (x 2) 恒成立，求实数m 的取值范围。
变式1：∀x 1∈[1, m ],∃x 2∈[1, m ](m >1) ，不等式f (x 1) ≥g (x 2) 恒成立；
变式2：∃x 1∈[1, m ],∀x 2∈[1, m ](m >1) ，不等式f (x 1) ≥g (x 2) 恒成立；
变式2：∃x 1∈[1, m ],∃x 2∈[1, m ](m >1) ，不等式f (x 1) ≥g (x 2) 恒成立。
二 常用方法
数形结合法
例1（13湖北理10）已知a 为常数，函数f (x ) =x (lnx -ax ) 有两个极值点
11则（ ） A . f (x 1) >0, f (x 2) >- B . f (x 1)
11 C . f (x 1) >0, f (x 2) - 22
分析：即f '(x ) =ln x -(2ax -1) =0有两根x 1
例2
例 1
⎧-x 2+2x , x ≤0, 例2（13全国卷I 理11） 已知函数f (x ) =⎨，若|f (x ) ≥|a ，则x
⎩ln(x +1), x >0.
（ ） A .(-∞,0] B . ( ] C . [-∞, 1-2, 1 ] D .[-2,0] a 的取值范围是
分析：直线图象在函数图象下方，故除原点再无交点，由此考查直线斜率。 分离参数法
11例3（13全国大纲理9）若函数f (x ) =x 2+ax +在(, +∞) 是增函数，则a 的取x 2
-1, 0 ] B . [-1+, ∞ ) 值范围是（ ）A . [ C . [0, D .[3,+∞) 3 ]
12x 3+ax 2-1≥0恒成立问题，从分析 ：问题不难转化成对∀x ∈(, +∞) ，f '(x ) =22x
而发现分离参数a 求最值的突破口。
主参换位法
a 3例4（08安徽文20）已知函数f (x ) =x 3-x 2+(a +1) x +1，其中a 为实数。（节32
选）（2）已知不等式f '(x ) >x 2-x -a +1对任意a ∈(0,+∞) 都成立，求实数x 的取值范围。
分析：此题参数与自变量容易分离，但是是知参数求自变量，故分离参数法不适合。那么，我们能否将参数与自变量换位思考呢？
构造函数法
例5（13全国I 理21）设函数f (x ) =x 2+4x +2，g (x ) =e x (2x +2) 。
（2）若x ≥-2时，f (x ) ≤kg (x ) ，求k 的取值范围。（节选）
分析：构造函数F (x ) =f (x ) -kg (x ) =x 2+4x +2-ke x (2x +2),(x ∈R ) ，从而问题可等价转化为“对任意x ≥-2，F (x ) max ≤0”。
三 任意性存在性问题转化归纳
1. 不同函数，不同变量（分别考虑）
2. 不同函数，相同变量（构造函数）
3. 相同函数，不同变量（考查最值差）
4. 不同函数，相等关系（考查值域）
四 小结
五 练习
函数的任意性存在性问题
阳新高中 徐忠星
新课标下的高考越来越注重对学生综合素质的考察，任意性和存在性问题便是一个很好的途径。它涉及知识面广而深，形式逐渐多样化，与函数、导数知识密不可分；渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程，分类讨论等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此，它是高考的热点问题，更是难点。
a -1+1. 引入 （10山东21改编）已知函数f (x ) =ax -ln x +x
（1） 若0
（2） 设g (x ) =12151x -ax -+2a ，若对∀a ∈[,1]，∀x 1, x 2∈[1,m ](m >1) ，不等3262
式f (x 1) ≥g (x 2) 恒成立，求实数m 的取值范围。
变式1：∀x 1∈[1, m ],∃x 2∈[1, m ](m >1) ，不等式f (x 1) ≥g (x 2) 恒成立；
变式2：∃x 1∈[1, m ],∀x 2∈[1, m ](m >1) ，不等式f (x 1) ≥g (x 2) 恒成立；
变式2：∃x 1∈[1, m ],∃x 2∈[1, m ](m >1) ，不等式f (x 1) ≥g (x 2) 恒成立。
二 常用方法
数形结合法
例1（13湖北理10）已知a 为常数，函数f (x ) =x (lnx -ax ) 有两个极值点
11则（ ） A . f (x 1) >0, f (x 2) >- B . f (x 1)
11 C . f (x 1) >0, f (x 2) - 22
分析：即f '(x ) =ln x -(2ax -1) =0有两根x 1
例2
例 1
⎧-x 2+2x , x ≤0, 例2（13全国卷I 理11） 已知函数f (x ) =⎨，若|f (x ) ≥|a ，则x
⎩ln(x +1), x >0.
（ ） A .(-∞,0] B . ( ] C . [-∞, 1-2, 1 ] D .[-2,0] a 的取值范围是
分析：直线图象在函数图象下方，故除原点再无交点，由此考查直线斜率。 分离参数法
11例3（13全国大纲理9）若函数f (x ) =x 2+ax +在(, +∞) 是增函数，则a 的取x 2
-1, 0 ] B . [-1+, ∞ ) 值范围是（ ）A . [ C . [0, D .[3,+∞) 3 ]
12x 3+ax 2-1≥0恒成立问题，从分析 ：问题不难转化成对∀x ∈(, +∞) ，f '(x ) =22x
而发现分离参数a 求最值的突破口。
主参换位法
a 3例4（08安徽文20）已知函数f (x ) =x 3-x 2+(a +1) x +1，其中a 为实数。（节32
选）（2）已知不等式f '(x ) >x 2-x -a +1对任意a ∈(0,+∞) 都成立，求实数x 的取值范围。
分析：此题参数与自变量容易分离，但是是知参数求自变量，故分离参数法不适合。那么，我们能否将参数与自变量换位思考呢？
构造函数法
例5（13全国I 理21）设函数f (x ) =x 2+4x +2，g (x ) =e x (2x +2) 。
（2）若x ≥-2时，f (x ) ≤kg (x ) ，求k 的取值范围。（节选）
分析：构造函数F (x ) =f (x ) -kg (x ) =x 2+4x +2-ke x (2x +2),(x ∈R ) ，从而问题可等价转化为“对任意x ≥-2，F (x ) max ≤0”。
三 任意性存在性问题转化归纳
1. 不同函数，不同变量（分别考虑）
2. 不同函数，相同变量（构造函数）
3. 相同函数，不同变量（考查最值差）
4. 不同函数，相等关系（考查值域）
四 小结
五 练习