非线性方程组的牛顿迭代法,最速下降法

数学软件实验任务书

实验一 非线性方程组的牛顿迭代法 1 实验原理

对于非线性方程

⎛f 1(x 1, x 2, , x n ) ⎫ ⎪f (x , x , , x ) 212n ⎪ f = ⎪ ⎪f (x , x , , x ) n ⎭⎝n 12

在x (k ) 处按照多元函数的泰勒展开，并取线性项得到 ⎛f 1(k ) (x 1(k ) , x n (k ) , , x n (k ) ) ⎫⎛x 1(k +1) -x 1(k ) ⎫ (k ) (k ) (k ) (k +1) (k ) ⎪(k ) ⎪f (x , x , , x ) x -x 1n n 2⎪ n ⎪+f '(x (k ) ) 2=0 ⎪ ⎪ f (k ) (x (k ) , x (k ) , , x (k ) ) ⎪⎪ x (k +1) -x (k ) ⎪⎪1n n n ⎭⎝n ⎭⎝n

其中

∂f 1⎫⎛∂f 1 ∂x ∂x n ⎪1 ⎪f '(x ) = ⎪ ⎪∂f ∂f n n ⎪ ∂x ∂x ⎪n ⎭⎝1

⎛x 1(k +1) ⎫⎛x 1(k ) ⎫⎛f 1(k ) (x 1(k ) , x n (k ) , , x n (k ) ) ⎫ (k +1) ⎪ (k ) ⎪ (k ) (k ) (k ) (k ) ⎪x x f (x , x , , x ) ⎪1n n 2⎪= 2⎪-[f '(x (k ) )]-1 n ⎪ ⎪ ⎪ x (k +1) ⎪⎪ x (k ) ⎪⎪ f (k ) (x (k ) , x (k ) , , x (k ) ) ⎪⎪1n n ⎝n ⎭⎝n ⎭⎝n ⎭2 数据来源

计算非线性方程组

⎧x 2-2x -y +0.5=0 ⎨22⎩x +4y -4=0

初值取⎢⎥=⎢⎥ ⎡x ⎤

⎣y ⎦⎡1⎤⎣1⎦

3 实验步骤

步骤一：编写牛顿迭代法的基本程序。

打开 Editor 编辑器，输入以下语句：

function [x,n,data]=new_ton(x0,tol)

if nargin==1

tol=1e-10;

end

x1=x0-f1(x0)/df1(x0);

MATLAB 241 数值分析与应用

n=1;

%迭代过程

while (norm(x1-x0)>tol)

x0=x1;

x1=x0-f1(x0)/df1(x0);

n=n+1;

%data 用来存放中间数据

data(:,n)=x1;

end

x=x1;

以文件名new_ton.m保存。

步骤二：编写方程函数与方程的Jacobi 矩阵函数。

（1）打开Editor 编辑器输入以下语句：

%牛顿迭代法的方程函数

function f=f1(x0)

x=x0(1);

y=x0(2);

f1=x^2-2*x-y+0.5;

f2=x^2+4*y^2-4;

%最后方程函数以行向量输出

f=[f1 f2];

以文件名f1.m 保存。

（2）新打开Editor 编辑器输入以下语句：

%牛顿迭代法的jacobi 矩阵

function f=df1(x0);

x=x0(1);

y=x0(2);

f=[2*x-2 -1

2*x 8*y];

以文件名df1.m 保存。

步骤三：编写主函数。

打开 Editor 编辑器输入以下语句：

%牛顿迭代法的主函数

x0=[1 1];

[x,n,data]=new_ton(x0);

disp('计算结果为')

x

disp('迭代次数为')

n

%抽取data1中第一个变量数据画出曲线

subplot(2,1,1)

plot(data(1,:)),title('x 在迭代中的变化')

%抽取data 中的第二个变量数据画出其变化曲线

subplot(2,1,2)

plot(data(2,:)),title('y在迭代中的变化')

以文件名new_main.m保存。

4 实验结果

计算结果为

x =

-0.[**************] 0.[**************]

迭代次数为

n =

16

实验二 非线性方程组的最速下降法

1 实验原理

对于非线性方程组

⎛f 1(x 1, x 2, , x n ) ⎫ ⎪f (x , x , , x ) 212n ⎪ f = ⎪ ⎪f (x , x , , x ) n ⎭⎝n 12

令

h =f 12+f 22+ +f n 2

如果给定一个初值x 0，我们希望找到一条路线每一次x 迭代以后代价函数都会比原来小一些。

x k +1=x k +λp k

l 称为步长因子λ，p k 的不同，就构成了不同的下降算法。如果取 p (x ) =-gradh (x ), p k =p (x k )

就是所谓的最速下降法。最速下降法是大范围收敛的h 在某x k 出沿最速下降方向

p k (x ) =-gradh (x k )

下降的最快

2 数据来源

计算非线性方程组

⎧x 2-2x -y +0.5=0 ⎨22⎩x +4y -4=0

初值取⎢⎥=⎢⎥ ⎡x ⎤

⎣y ⎦⎡1⎤⎣1⎦

3 实验步骤

步骤一：打开 Editor 编辑器，输入以下语句：

syms x y

f1=x^2-2*x-y+0.5;

f2=x^2+4*y^2-4;

h=f1^2+f2^2

grad=[diff(h,x),diff(h,y)];

grad=simple(grad)

以文件名tidu_fuhao.m保存。

步骤二：编写梯度函数。

打开 Editor 编辑器，输入以下语句：

function f=f1_tidu(x0)

x=x0(1);

y=x0(2);

f= [8*x^3-12*x^2-4*x*y-6*x+4*y-2+16*x*y^2 -2*x^2+4*x-62*y-1+16*y*x^2+64*y^3]';

步骤四：编写最速下降法的方法函数。

打开 Editor 编辑器，输入以下语句：

function [x,n,data]=zuisu(x0,tol)

if nargin==1

tol=1e-4;

end

x1=x0-0.001*f1_tidu(x0);

n=1;

%迭代过程

while (norm(x1-x0)>tol)& (n

x0=x1;

%0.001 为步长因子

x1=x0-0.001*f1_tidu(x0);

n=n+1;

%data 用来存放中间数据

data(:,n)=x1;

end

x=x1;

以文件名zuisu.m 保存。

步骤四：编写主函数。

打开 Editor 编辑器，输入以下语句：

4 实验结果

运行程序得到计算结果

x =

-0.21412 0.99395

迭代次数为

n =

426

实验三 非线性方程组的不动点迭代法

1 实验原理

对于非线性方程组

⎛f 1(x 1, x 2, , x n ) ⎫ ⎪f (x , x , , x ) 212n ⎪ f = ⎪ ⎪f (x , x , , x ) n ⎭⎝n 12

可以构造如下形式结构

⎧x 1=ϕ1(x 1, x 2, , x n ) ⎪x =ϕ(x , x , , x ) ⎪2112n ⎨ ⎪⎪⎩x n =ϕ1(x 1, x 2, , x n )

由上式可以构造如下迭代格式

⎧x 1(k +1) =ϕ1(x 1(k ) , x 2(k ) , , x n (k ) ) ⎪(k +1) =ϕ1(x 1(k ) , x 2(k ) , , x n (k ) ) ⎪x 2 ⎨ ⎪

(k +1) ⎪=ϕ1(x 1(k ) , x 2(k ) , , x n (k ) ) ⎩x n

000选择初值向量x (0)=ϕ1(x 1, x 2, , x n ,) 边可以逐步递推下去。这就是不动

点迭代法的基本原理。

记矩阵

⎛∂ϕ1 ∂x 1

ϕ'(x ) = ∂ϕn ∂x ⎝1

可以证明如果∂ϕ1⎫∂x n ⎪⎪ ⎪ ⎪∂ϕn ⎪ ∂x 1⎪⎭ ϕ'(x )

2 数据来源

计算非线性方程组

⎧x +x sin y =2.2378 ⎨3⎩x -y -cos y =0

初值取⎢⎥=⎢⎥ ⎡x ⎤

⎣y ⎦⎡0⎤⎣0⎦

3 实验步骤

步骤一：编写不动点迭代方法。

打开 Editor 编辑器，输入以下语句：

%不动点迭代法计算非线形方程组

%08-6-26

%输入量x0 为初值，tol 为误差容限

%输出量r 为计算结果 n为迭代次数data1为计算的中间数据 function [r,n,data]=budong(x0,tol)

%如果输入量少于两个默认误差为10 的-3 次方

if nargin==1

tol=1.0e-3;

end

x1=budong_fun(x0);

n=1;

%迭代过程

while (norm(x1-x0)>tol)&(n

x0=x1;

x1=budong_fun(x0);

n=n+1;

%data1用于存放计算的中间数据这样可以分析运算收敛情况 data(:,n)=x1;

end

r=x1;

以文件名字budong.m 保存。

步骤二：编写要计算的函数文件。

打开 Editor 编辑器，输入以下语句：

function f=budong_fun(x)

f(1)=-sin(x(2))*x(1)+2.2378;

f(2)=x(1)^3-cos(x(2))£»

f=[f(1) f(2)];

以文件名budong_fun.m保存。

步骤三：编写主函数文件。

打开 Editor 编辑器，输入以下语句： x0=[0 0];

[r,n,data]=budong(x0);

disp('计算结果为')

r

disp('迭代次数为')

n

%抽取data1中第一个变量数据画出曲线 subplot(2,1,1)

plot(data(1,:))

%抽取data 中的第二个变量数据画出其变化曲线 subplot(2,1,2)

plot(data(2,:))

%以下为数据保存部分，注意查看当前工作空间 num=(1:n)';

a=[num data'];

save data1.txt a –ascii

以文件名budong_main.m保存。

4 实验结果

运行程序得到计算结果

计算结果为

r =

1.[1**********]494 1.[1**********]258

迭代次数为

n =

211

数学软件实验任务书

实验一 非线性方程组的牛顿迭代法 1 实验原理

对于非线性方程

⎛f 1(x 1, x 2, , x n ) ⎫ ⎪f (x , x , , x ) 212n ⎪ f = ⎪ ⎪f (x , x , , x ) n ⎭⎝n 12

在x (k ) 处按照多元函数的泰勒展开，并取线性项得到 ⎛f 1(k ) (x 1(k ) , x n (k ) , , x n (k ) ) ⎫⎛x 1(k +1) -x 1(k ) ⎫ (k ) (k ) (k ) (k +1) (k ) ⎪(k ) ⎪f (x , x , , x ) x -x 1n n 2⎪ n ⎪+f '(x (k ) ) 2=0 ⎪ ⎪ f (k ) (x (k ) , x (k ) , , x (k ) ) ⎪⎪ x (k +1) -x (k ) ⎪⎪1n n n ⎭⎝n ⎭⎝n

其中

∂f 1⎫⎛∂f 1 ∂x ∂x n ⎪1 ⎪f '(x ) = ⎪ ⎪∂f ∂f n n ⎪ ∂x ∂x ⎪n ⎭⎝1

⎛x 1(k +1) ⎫⎛x 1(k ) ⎫⎛f 1(k ) (x 1(k ) , x n (k ) , , x n (k ) ) ⎫ (k +1) ⎪ (k ) ⎪ (k ) (k ) (k ) (k ) ⎪x x f (x , x , , x ) ⎪1n n 2⎪= 2⎪-[f '(x (k ) )]-1 n ⎪ ⎪ ⎪ x (k +1) ⎪⎪ x (k ) ⎪⎪ f (k ) (x (k ) , x (k ) , , x (k ) ) ⎪⎪1n n ⎝n ⎭⎝n ⎭⎝n ⎭2 数据来源

计算非线性方程组

⎧x 2-2x -y +0.5=0 ⎨22⎩x +4y -4=0

初值取⎢⎥=⎢⎥ ⎡x ⎤

⎣y ⎦⎡1⎤⎣1⎦

3 实验步骤

步骤一：编写牛顿迭代法的基本程序。

打开 Editor 编辑器，输入以下语句：

function [x,n,data]=new_ton(x0,tol)

if nargin==1

tol=1e-10;

end

x1=x0-f1(x0)/df1(x0);

MATLAB 241 数值分析与应用

n=1;

%迭代过程

while (norm(x1-x0)>tol)

x0=x1;

x1=x0-f1(x0)/df1(x0);

n=n+1;

%data 用来存放中间数据

data(:,n)=x1;

end

x=x1;

以文件名new_ton.m保存。

步骤二：编写方程函数与方程的Jacobi 矩阵函数。

（1）打开Editor 编辑器输入以下语句：

%牛顿迭代法的方程函数

function f=f1(x0)

x=x0(1);

y=x0(2);

f1=x^2-2*x-y+0.5;

f2=x^2+4*y^2-4;

%最后方程函数以行向量输出

f=[f1 f2];

以文件名f1.m 保存。

（2）新打开Editor 编辑器输入以下语句：

%牛顿迭代法的jacobi 矩阵

function f=df1(x0);

x=x0(1);

y=x0(2);

f=[2*x-2 -1

2*x 8*y];

以文件名df1.m 保存。

步骤三：编写主函数。

打开 Editor 编辑器输入以下语句：

%牛顿迭代法的主函数

x0=[1 1];

[x,n,data]=new_ton(x0);

disp('计算结果为')

x

disp('迭代次数为')

n

%抽取data1中第一个变量数据画出曲线

subplot(2,1,1)

plot(data(1,:)),title('x 在迭代中的变化')

%抽取data 中的第二个变量数据画出其变化曲线

subplot(2,1,2)

plot(data(2,:)),title('y在迭代中的变化')

以文件名new_main.m保存。

4 实验结果

计算结果为

x =

-0.[**************] 0.[**************]

迭代次数为

n =

16

实验二 非线性方程组的最速下降法

1 实验原理

对于非线性方程组

⎛f 1(x 1, x 2, , x n ) ⎫ ⎪f (x , x , , x ) 212n ⎪ f = ⎪ ⎪f (x , x , , x ) n ⎭⎝n 12

令

h =f 12+f 22+ +f n 2

如果给定一个初值x 0，我们希望找到一条路线每一次x 迭代以后代价函数都会比原来小一些。

x k +1=x k +λp k

l 称为步长因子λ，p k 的不同，就构成了不同的下降算法。如果取 p (x ) =-gradh (x ), p k =p (x k )

就是所谓的最速下降法。最速下降法是大范围收敛的h 在某x k 出沿最速下降方向

p k (x ) =-gradh (x k )

下降的最快

2 数据来源

计算非线性方程组

⎧x 2-2x -y +0.5=0 ⎨22⎩x +4y -4=0

初值取⎢⎥=⎢⎥ ⎡x ⎤

⎣y ⎦⎡1⎤⎣1⎦

3 实验步骤

步骤一：打开 Editor 编辑器，输入以下语句：

syms x y

f1=x^2-2*x-y+0.5;

f2=x^2+4*y^2-4;

h=f1^2+f2^2

grad=[diff(h,x),diff(h,y)];

grad=simple(grad)

以文件名tidu_fuhao.m保存。

步骤二：编写梯度函数。

打开 Editor 编辑器，输入以下语句：

function f=f1_tidu(x0)

x=x0(1);

y=x0(2);

f= [8*x^3-12*x^2-4*x*y-6*x+4*y-2+16*x*y^2 -2*x^2+4*x-62*y-1+16*y*x^2+64*y^3]';

步骤四：编写最速下降法的方法函数。

打开 Editor 编辑器，输入以下语句：

function [x,n,data]=zuisu(x0,tol)

if nargin==1

tol=1e-4;

end

x1=x0-0.001*f1_tidu(x0);

n=1;

%迭代过程

while (norm(x1-x0)>tol)& (n

x0=x1;

%0.001 为步长因子

x1=x0-0.001*f1_tidu(x0);

n=n+1;

%data 用来存放中间数据

data(:,n)=x1;

end

x=x1;

以文件名zuisu.m 保存。

步骤四：编写主函数。

打开 Editor 编辑器，输入以下语句：

4 实验结果

运行程序得到计算结果

x =

-0.21412 0.99395

迭代次数为

n =

426

实验三 非线性方程组的不动点迭代法

1 实验原理

对于非线性方程组

⎛f 1(x 1, x 2, , x n ) ⎫ ⎪f (x , x , , x ) 212n ⎪ f = ⎪ ⎪f (x , x , , x ) n ⎭⎝n 12

可以构造如下形式结构

⎧x 1=ϕ1(x 1, x 2, , x n ) ⎪x =ϕ(x , x , , x ) ⎪2112n ⎨ ⎪⎪⎩x n =ϕ1(x 1, x 2, , x n )

由上式可以构造如下迭代格式

⎧x 1(k +1) =ϕ1(x 1(k ) , x 2(k ) , , x n (k ) ) ⎪(k +1) =ϕ1(x 1(k ) , x 2(k ) , , x n (k ) ) ⎪x 2 ⎨ ⎪

(k +1) ⎪=ϕ1(x 1(k ) , x 2(k ) , , x n (k ) ) ⎩x n

000选择初值向量x (0)=ϕ1(x 1, x 2, , x n ,) 边可以逐步递推下去。这就是不动

点迭代法的基本原理。

记矩阵

⎛∂ϕ1 ∂x 1

ϕ'(x ) = ∂ϕn ∂x ⎝1

可以证明如果∂ϕ1⎫∂x n ⎪⎪ ⎪ ⎪∂ϕn ⎪ ∂x 1⎪⎭ ϕ'(x )

2 数据来源

计算非线性方程组

⎧x +x sin y =2.2378 ⎨3⎩x -y -cos y =0

初值取⎢⎥=⎢⎥ ⎡x ⎤

⎣y ⎦⎡0⎤⎣0⎦

3 实验步骤

步骤一：编写不动点迭代方法。

打开 Editor 编辑器，输入以下语句：

%不动点迭代法计算非线形方程组

%08-6-26

%输入量x0 为初值，tol 为误差容限

%输出量r 为计算结果 n为迭代次数data1为计算的中间数据 function [r,n,data]=budong(x0,tol)

%如果输入量少于两个默认误差为10 的-3 次方

if nargin==1

tol=1.0e-3;

end

x1=budong_fun(x0);

n=1;

%迭代过程

while (norm(x1-x0)>tol)&(n

x0=x1;

x1=budong_fun(x0);

n=n+1;

%data1用于存放计算的中间数据这样可以分析运算收敛情况 data(:,n)=x1;

end

r=x1;

以文件名字budong.m 保存。

步骤二：编写要计算的函数文件。

打开 Editor 编辑器，输入以下语句：

function f=budong_fun(x)

f(1)=-sin(x(2))*x(1)+2.2378;

f(2)=x(1)^3-cos(x(2))£»

f=[f(1) f(2)];

以文件名budong_fun.m保存。

步骤三：编写主函数文件。

打开 Editor 编辑器，输入以下语句： x0=[0 0];

[r,n,data]=budong(x0);

disp('计算结果为')

r

disp('迭代次数为')

n

%抽取data1中第一个变量数据画出曲线 subplot(2,1,1)

plot(data(1,:))

%抽取data 中的第二个变量数据画出其变化曲线 subplot(2,1,2)

plot(data(2,:))

%以下为数据保存部分，注意查看当前工作空间 num=(1:n)';

a=[num data'];

save data1.txt a –ascii

以文件名budong_main.m保存。

4 实验结果

运行程序得到计算结果

计算结果为

r =

1.[1**********]494 1.[1**********]258

迭代次数为

n =

211