不等与不等关系
知识点：
1．两个实数的大小比较
两个实数的大小是用两个实数的运算性质来定义的：
(1)a －b ＞0⇔ a ＞b ；a －b ＝0⇔ a ＝b ；a －b ＜0⇔ a ＜b . (2)当b ＞0时，有a 1⇔ a ＞b ；a ＝1⇔a ＝b ；a b b b
1⇔ a ＜b . 3．不等式的性质
(1)如果a ＞b ，那么b ＜a ；
如果b ＜a ，那么a ＞b ，即a ＞b ⇔ b ＜a .
(2)如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c ，即a ＞b ，b ＞c ⇔ a ＞c . (3)如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c ，即a ＞b ⇔ a ＋c ＞b ＋c . (4)如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞ bc ； 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜ bc
(5)如果a ＞b ，c ＞d ，那么a ＋c ＞ b ＋d . (6)如果a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，那么ac ＞ bd . (7)如果a ＞b ＞0，那么a n ＞ b n (n ∈N ，n ≥2)． (8)如果a ＞b ＞0，那么n a ＞n
b (n ∈N ，n ≥2)． 4．不等式的倒数性质
(1)a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜ 1b .(2)a ＜0＜b ⇒11
a ＜b
.
(3)a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a b 111
c ＞ d .(4)0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒b ＜ x ＜ a .
练习题：
1．已知a , b ∈R ，下列命题正确的是
（A ）若a >b ，则|a |>|b | （B ）若a >b ，则1
b
（C ）若|a |>b ，则a 2>b 2若a >|b |，则a 2>b 2
2．若a >b >0, c
A ．a b a b a b a b c >d B．c c D．d
3．已知a >b , c >d ，则下列不等式成立的是（ ）
4．设
12
2
) a
A ．a a ＜a b ＜b a B．a a ＜ ba ＜a b C．a b ＜a a ＜b a D．a b ＜b a ＜a a 5．下列命题中，正确的是（ ）
A ．若a >b , c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b
C ．若a c
2c
2，则a b , c >d ，则a -c >b -d
6．若a >b >0, c >d >0, 则一定有（ ）
A. a b a b a b c
>
d B.c b c
7．若a >b >0, c >d >0, 则一定有（ ） A. a b c >d B.a c b c
8．已知
1a
b
b
>2 C. ab >b 2 D. lg a 2
9．已知实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），则下列关系式恒成立的是
A ．112x 2+1>y 2
+1 B．ln （x ＋1）＞ln （y 2＋1） C．s1n x＞s1n y D．x 3＞y 3
10．已知实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），则下列关系式恒成立的是（ ）
A ．1
1x 2+1＞y 2+1
B．ln （x 2＋1）＞ln （y 2＋1）
C ．sin x＞sin y D．x 3＞y 3
11．已知α: x ≥a ，β:x -1
12．若a >b >0, 则下列不等式成立的是（ ）
D ）
13．设a , b , c ∈(-∞,0), 则a +1b , b +11
c , c +a
（ ）
A ．都不大于-2 B．都不小于-2
C ．至少有一个不大于-2 D．至少有一个不小于-2 14．下列命题是真命题的是
A. 若ac >bc ，则a >b B.若a >b , c >d ，则ac >bd
C. 若a >b ，则1a
b
D. 若c >d , a -c >b -d ，则a >b
1
1
（
1
15． 已知0
2
111
A ．
222
⎧1
⎪+1 (x
⎪⎩2-x (x ≥-1) ，则不等式f (2x +1) >3的解集为_____________. 16．已知
一元二次不等式及其解法
知识点：
例题分析：
一：一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法——变形——求方程的根——写解集——大于取两边小于去中间
例1、解下列不等式：
2
(1)19x －3x 2≥6；(2)x ＋1≥(3)0＜x 2－x －2≤4.
x
⎧x －x －2＞0，
【练习1】关于x 的不等式组⎨2的整数解的集合为{－2}，
2x ＋ 2k ＋5 x ＋5k ＜0⎩
求实数k 的取值范围．
x －1
【练习2】不等式0的解集为( )
x ＋2
A ．(1，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2) ∪(1，＋∞)
二：含参数的一元二次不等式
含参数的一元二次不等式（分类讨论思想）
（1）一元二次不等式的解法（2）韦达定理（3）“三个二次”的关系
例2、若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |α＜x ＜β＜0}，求不等式cx 2＋bx ＋a ＞0的解集．
【练习】已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x b }， (1) 求a ，b ；(2)
(2) 解不等式ax 2－(ac ＋b ) x ＋bc
2
2
2
三：恒成立问题
一：二元一次不等式(组) 表示的平面区域
2
例3、设函数f (x ) ＝mx －mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x ) ＜0恒成立，求m 围；
(2)若对于x ∈[1,3]，f (x ) ＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．
1
【练习】当0≤x ≤2时，不等式(2t －t 2) ≤x 2－3x ＋2≤3－t 2恒成立，试求t 的取值范
8
围．
⎧x －y ＋6≥0
例1、求不等式组⎨x ＋y ≥0
⎩x ≤3
二：求目标函数的最值
表示的平面区域的面积．
线性规划
知识点：
一、二元一次不等式表示平面区域
2．二元一次不等式表示平面区域的确定方法
3
⎧x －y ＋2≥0，
例2、已知⎨x ＋y －4≥0，
⎩2x －y －5≤0，
求：
(1)z ＝x ＋2y －4的最大值；(2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(3)z ＝
y ＋1
的范围． x ＋1
⎧y ≥x
练习、设m >1，在约束条件⎨y ≤mx ，
⎩x ＋y ≤1
m 的取值范围为( )
下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2. 则
A ．(1,1＋2) B．(1＋2，＋∞) C．(1,3) D ．(3，＋∞)
3
三：线性规划的实际应用 （书上例题）
分析题意——设决策变量——确定约束条件、确定目标函数——画可行域——求最优解——解答实际问题
基本不等式
知识点：
1
2. a ＋b
，几何平均数为ab ，基本不等式可叙2
述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ． 3．基本不等式的变形不等式 ①a 2＋b 2 ≥ 2ab ，(a ，b ∈R)
⎛a ＋b ⎫2
⎪(a ，b ∈R ＋) ②a ＋b ≥ 2ab (a ，b ∈R ＋) ，ab ≤
⎝2⎭
b a
③a ＋b ≥ 2(a ，b ∈R ＋，或ab ＞0)
a ＋b a 2＋b 22
④ ≤ ab ≤ ≤ (a ，b ∈R ＋) 1122＋a b
4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 x ＝y 时，x ＋y 有 最小值是2p .(简记：积定和最小)
设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为
(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当 x ＝y 时，xy 有 最大值是.(简记：和定积
4
最大)
例题分析：
一：利用基本不等式求最值
25
例1、(1)已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，求z ＝＋的最小值；
x y
(2)x ＞0，求f (x ) ＝
12
x
＋3x 的最小值；(3)x ＜3，求f (x ) ＝
2
4
＋x 的最大值； x －3
(4)x ∈R ，求f (x ) ＝sin x ＋1＋
5sin 2x ＋1
的最小值．
练习1、于使f (x ) ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫f (x ) 的上确界．若
12
a ，b ＞0，且a ＋b ＝1，则f (a ，b ) ＝－－的上确界为( )
2a b
991
A. B ．－ C. D ．－4 224
⎛21⎫⎛12⎫
练习2、设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则 x ＋2⎪ 2＋4y ⎪的最小值为________．
y ⎭⎝x ⎝⎭
二：利用基本不等式证明不等式
p 2
4
例2、已知a ＞0，b ＞0且a ＋b ＝1. 求证：
1111(1)≥4；(2) a ＋b ＋2. a b 22
练习、已知a ，b ，c 是任意三角形的三边的长，求证：ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＜2ab ＋2bc ＋2ca .
4
不等与不等关系
知识点：
1．两个实数的大小比较
两个实数的大小是用两个实数的运算性质来定义的：
(1)a －b ＞0⇔ a ＞b ；a －b ＝0⇔ a ＝b ；a －b ＜0⇔ a ＜b . (2)当b ＞0时，有a 1⇔ a ＞b ；a ＝1⇔a ＝b ；a b b b
1⇔ a ＜b . 3．不等式的性质
(1)如果a ＞b ，那么b ＜a ；
如果b ＜a ，那么a ＞b ，即a ＞b ⇔ b ＜a .
(2)如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c ，即a ＞b ，b ＞c ⇔ a ＞c . (3)如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c ，即a ＞b ⇔ a ＋c ＞b ＋c . (4)如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞ bc ； 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜ bc
(5)如果a ＞b ，c ＞d ，那么a ＋c ＞ b ＋d . (6)如果a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，那么ac ＞ bd . (7)如果a ＞b ＞0，那么a n ＞ b n (n ∈N ，n ≥2)． (8)如果a ＞b ＞0，那么n a ＞n
b (n ∈N ，n ≥2)． 4．不等式的倒数性质
(1)a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜ 1b .(2)a ＜0＜b ⇒11
a ＜b
.
(3)a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a b 111
c ＞ d .(4)0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒b ＜ x ＜ a .
练习题：
1．已知a , b ∈R ，下列命题正确的是
（A ）若a >b ，则|a |>|b | （B ）若a >b ，则1
b
（C ）若|a |>b ，则a 2>b 2若a >|b |，则a 2>b 2
2．若a >b >0, c
A ．a b a b a b a b c >d B．c c D．d
3．已知a >b , c >d ，则下列不等式成立的是（ ）
4．设
12
2
) a
A ．a a ＜a b ＜b a B．a a ＜ ba ＜a b C．a b ＜a a ＜b a D．a b ＜b a ＜a a 5．下列命题中，正确的是（ ）
A ．若a >b , c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b
C ．若a c
2c
2，则a b , c >d ，则a -c >b -d
6．若a >b >0, c >d >0, 则一定有（ ）
A. a b a b a b c
>
d B.c b c
7．若a >b >0, c >d >0, 则一定有（ ） A. a b c >d B.a c b c
8．已知
1a
b
b
>2 C. ab >b 2 D. lg a 2
9．已知实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），则下列关系式恒成立的是
A ．112x 2+1>y 2
+1 B．ln （x ＋1）＞ln （y 2＋1） C．s1n x＞s1n y D．x 3＞y 3
10．已知实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），则下列关系式恒成立的是（ ）
A ．1
1x 2+1＞y 2+1
B．ln （x 2＋1）＞ln （y 2＋1）
C ．sin x＞sin y D．x 3＞y 3
11．已知α: x ≥a ，β:x -1
12．若a >b >0, 则下列不等式成立的是（ ）
D ）
13．设a , b , c ∈(-∞,0), 则a +1b , b +11
c , c +a
（ ）
A ．都不大于-2 B．都不小于-2
C ．至少有一个不大于-2 D．至少有一个不小于-2 14．下列命题是真命题的是
A. 若ac >bc ，则a >b B.若a >b , c >d ，则ac >bd
C. 若a >b ，则1a
b
D. 若c >d , a -c >b -d ，则a >b
1
1
（
1
15． 已知0
2
111
A ．
222
⎧1
⎪+1 (x
⎪⎩2-x (x ≥-1) ，则不等式f (2x +1) >3的解集为_____________. 16．已知
一元二次不等式及其解法
知识点：
例题分析：
一：一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法——变形——求方程的根——写解集——大于取两边小于去中间
例1、解下列不等式：
2
(1)19x －3x 2≥6；(2)x ＋1≥(3)0＜x 2－x －2≤4.
x
⎧x －x －2＞0，
【练习1】关于x 的不等式组⎨2的整数解的集合为{－2}，
2x ＋ 2k ＋5 x ＋5k ＜0⎩
求实数k 的取值范围．
x －1
【练习2】不等式0的解集为( )
x ＋2
A ．(1，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2) ∪(1，＋∞)
二：含参数的一元二次不等式
含参数的一元二次不等式（分类讨论思想）
（1）一元二次不等式的解法（2）韦达定理（3）“三个二次”的关系
例2、若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |α＜x ＜β＜0}，求不等式cx 2＋bx ＋a ＞0的解集．
【练习】已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x b }， (1) 求a ，b ；(2)
(2) 解不等式ax 2－(ac ＋b ) x ＋bc
2
2
2
三：恒成立问题
一：二元一次不等式(组) 表示的平面区域
2
例3、设函数f (x ) ＝mx －mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x ) ＜0恒成立，求m 围；
(2)若对于x ∈[1,3]，f (x ) ＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．
1
【练习】当0≤x ≤2时，不等式(2t －t 2) ≤x 2－3x ＋2≤3－t 2恒成立，试求t 的取值范
8
围．
⎧x －y ＋6≥0
例1、求不等式组⎨x ＋y ≥0
⎩x ≤3
二：求目标函数的最值
表示的平面区域的面积．
线性规划
知识点：
一、二元一次不等式表示平面区域
2．二元一次不等式表示平面区域的确定方法
3
⎧x －y ＋2≥0，
例2、已知⎨x ＋y －4≥0，
⎩2x －y －5≤0，
求：
(1)z ＝x ＋2y －4的最大值；(2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(3)z ＝
y ＋1
的范围． x ＋1
⎧y ≥x
练习、设m >1，在约束条件⎨y ≤mx ，
⎩x ＋y ≤1
m 的取值范围为( )
下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2. 则
A ．(1,1＋2) B．(1＋2，＋∞) C．(1,3) D ．(3，＋∞)
3
三：线性规划的实际应用 （书上例题）
分析题意——设决策变量——确定约束条件、确定目标函数——画可行域——求最优解——解答实际问题
基本不等式
知识点：
1
2. a ＋b
，几何平均数为ab ，基本不等式可叙2
述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ． 3．基本不等式的变形不等式 ①a 2＋b 2 ≥ 2ab ，(a ，b ∈R)
⎛a ＋b ⎫2
⎪(a ，b ∈R ＋) ②a ＋b ≥ 2ab (a ，b ∈R ＋) ，ab ≤
⎝2⎭
b a
③a ＋b ≥ 2(a ，b ∈R ＋，或ab ＞0)
a ＋b a 2＋b 22
④ ≤ ab ≤ ≤ (a ，b ∈R ＋) 1122＋a b
4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 x ＝y 时，x ＋y 有 最小值是2p .(简记：积定和最小)
设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为
(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当 x ＝y 时，xy 有 最大值是.(简记：和定积
4
最大)
例题分析：
一：利用基本不等式求最值
25
例1、(1)已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，求z ＝＋的最小值；
x y
(2)x ＞0，求f (x ) ＝
12
x
＋3x 的最小值；(3)x ＜3，求f (x ) ＝
2
4
＋x 的最大值； x －3
(4)x ∈R ，求f (x ) ＝sin x ＋1＋
5sin 2x ＋1
的最小值．
练习1、于使f (x ) ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫f (x ) 的上确界．若
12
a ，b ＞0，且a ＋b ＝1，则f (a ，b ) ＝－－的上确界为( )
2a b
991
A. B ．－ C. D ．－4 224
⎛21⎫⎛12⎫
练习2、设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则 x ＋2⎪ 2＋4y ⎪的最小值为________．
y ⎭⎝x ⎝⎭
二：利用基本不等式证明不等式
p 2
4
例2、已知a ＞0，b ＞0且a ＋b ＝1. 求证：
1111(1)≥4；(2) a ＋b ＋2. a b 22
练习、已知a ，b ，c 是任意三角形的三边的长，求证：ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＜2ab ＋2bc ＋2ca .
4