对于只有两变量的线性规划问题

对于只有两变量的线性规划问题,可以用图解法求最优解,其特点是过程清楚、图形清晰。

例4 设有一线性规划问题表达式(包括目标函数、约束条件) 如下

fmax =50X 1 +40X 2

X 1+X 2≤450 (1)

2 X1+X 2≤800 (2)

X 1+3 X2≤900 (3)

X 1,X 2≥0 (4)

以X 1,X 2为坐标,当式(l)为等式,即X 1+X 2=450时,在X 1 ,X 2坐标系,它是一条直线,但式(l)不是等式,而是X 1+X 2≤450,即在式(1)表示的约束条件中给定的不仅是在直线上的所有点,而是在直线X 1+X 2= 450左下部一个广大的区域(包括直线在内的阴影线部分) ,见图1-1,例如X 1=0、X 2=0,X 1=-5、X 2=0, X1=3、X 2=-3等等, 都是满足式(1)的点。

图1-1 某线性规划问题

同理,也可以在X1,X2坐标系中画出式(2)、(3)、(4)所决定的4条直线,连同式(1),共5条直线,如图1-2所示。

由图1-2所示的5条直线所围成的一个凸多边形,就是约束条件给定的区域,其中所有的点都满足约束条件的要求。实际上,它表示一个由凸多边形内无数多个点所组成的集合,称为凸集。那么,怎样从无穷多中求出使目标函数值最大的点呢?

图1-2 某线性规划问题中的约束条件

解 由于目标函数f =50X 1+40X 2,在f 为一定值时也是一条直线,其斜率为-40/50。当f 为不同值时,在X 1,X 2坐标系中实际上是一系列的平行线,则尽管在每一条直线上X 1,X 2取不同的值,f 总是某一定值。例如图1-3中的直线I ,当X 1=0、 X 2=0时;当X 1=4、X 2=-5时f=0;因此称直线I 为f 的某一等直线(此

处为零)。

图1-3 目标函数f 的等值线

由于直线I 是等直线,而且斜率相等,它们又是一系列平行线,因此只要画出其中任意的一条线,将它们平移到某个与凸集相交的极限位置,所得的交点就是既满足约束条件(在凸集范围内) ,又使f 值为最大的现代战争最优解。如下图1-4中的点,X 1=350,X 2=100,f=21500。

图1-4 某线性规划问题的最优解

上面介绍的图解法虽然简单直观,但只有在变量为两个的情况下才能实现;当变量数增多时,图解法就无法满足了。这时,就要用解析计算的方法—单纯形法来求解。单纯形法的基本思路是:根据问题的标准型(等价的把不等式改为等式) ,从可行域中一个基本可行解(顶点) 开始转换到另一个可行解(顶点) 。这种过程叫“迭代”,每迭代一次都使目标函数达到最大值时,问题就得到了最优解。

在实际应用中,即使有了单纯形的解法,仍不能应付复杂情况的求解,如以一个有77个变量,9个约束条件的线性规划问题为例,用单纯形法进行手工计算约需120工作小时,这样大的计算量必须借助于计算机来完成(该题用计算机求解仅需12min) 。

对于只有两变量的线性规划问题,可以用图解法求最优解,其特点是过程清楚、图形清晰。

例4 设有一线性规划问题表达式(包括目标函数、约束条件) 如下

fmax =50X 1 +40X 2

X 1+X 2≤450 (1)

2 X1+X 2≤800 (2)

X 1+3 X2≤900 (3)

X 1,X 2≥0 (4)

以X 1,X 2为坐标,当式(l)为等式,即X 1+X 2=450时,在X 1 ,X 2坐标系,它是一条直线,但式(l)不是等式,而是X 1+X 2≤450,即在式(1)表示的约束条件中给定的不仅是在直线上的所有点,而是在直线X 1+X 2= 450左下部一个广大的区域(包括直线在内的阴影线部分) ,见图1-1,例如X 1=0、X 2=0,X 1=-5、X 2=0, X1=3、X 2=-3等等, 都是满足式(1)的点。

图1-1 某线性规划问题

同理,也可以在X1,X2坐标系中画出式(2)、(3)、(4)所决定的4条直线,连同式(1),共5条直线,如图1-2所示。

由图1-2所示的5条直线所围成的一个凸多边形,就是约束条件给定的区域,其中所有的点都满足约束条件的要求。实际上,它表示一个由凸多边形内无数多个点所组成的集合,称为凸集。那么,怎样从无穷多中求出使目标函数值最大的点呢?

图1-2 某线性规划问题中的约束条件

解 由于目标函数f =50X 1+40X 2,在f 为一定值时也是一条直线,其斜率为-40/50。当f 为不同值时,在X 1,X 2坐标系中实际上是一系列的平行线,则尽管在每一条直线上X 1,X 2取不同的值,f 总是某一定值。例如图1-3中的直线I ,当X 1=0、 X 2=0时;当X 1=4、X 2=-5时f=0;因此称直线I 为f 的某一等直线(此

处为零)。

图1-3 目标函数f 的等值线

由于直线I 是等直线,而且斜率相等,它们又是一系列平行线,因此只要画出其中任意的一条线,将它们平移到某个与凸集相交的极限位置,所得的交点就是既满足约束条件(在凸集范围内) ,又使f 值为最大的现代战争最优解。如下图1-4中的点,X 1=350,X 2=100,f=21500。

图1-4 某线性规划问题的最优解

上面介绍的图解法虽然简单直观,但只有在变量为两个的情况下才能实现;当变量数增多时,图解法就无法满足了。这时,就要用解析计算的方法—单纯形法来求解。单纯形法的基本思路是:根据问题的标准型(等价的把不等式改为等式) ,从可行域中一个基本可行解(顶点) 开始转换到另一个可行解(顶点) 。这种过程叫“迭代”,每迭代一次都使目标函数达到最大值时,问题就得到了最优解。

在实际应用中,即使有了单纯形的解法,仍不能应付复杂情况的求解,如以一个有77个变量,9个约束条件的线性规划问题为例,用单纯形法进行手工计算约需120工作小时,这样大的计算量必须借助于计算机来完成(该题用计算机求解仅需12min) 。


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