函数图像变换与基本初等函数
一、函数的图象与图象交换
函数解析式
与
图象的对称性
关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于原点对称 关于直线y=x对
称
（x ，y ）与（x ，－y ）
（x ，y ）与（－x ，y ）
（x ，y ）与（―x，―y）
（x ，y ）与（y ，x ）
图象
对称点坐标
是偶函数，其图象关于y 轴对称，图象在y 轴右侧部分与
重合。
图象全部在x 轴上方（含x 轴）：保留
图象在x
轴上方部分，将
图象在x 轴下方部分沿x 轴翻折上去。（即作出这部分关于x 轴的对称图形）
基础例题
1、已知函数
，
的曲线关于（1，0）点对称。
是由y=x左右平移得到的，易知a=－1。
3
，且满足，则a=________。
解析： ∴ 又
2、利用图象变换画出下列函数的图象
（1） 解析：
； （2）； （3）。
（1）
∴的图象可由的图象向右平移一个单位得。
（2）
（3）
3、已知函数的图像过点（0，1），那么函数的反函数的图像一定经过下列各点中的（ ） A ．（4，―1） B ．（1，―4） C ．（―4，1） D ．（1，4） 解析：原函数向左平移，相应反函数向下平移。答案选B 。
4、填空：
2
（1）将函数y=3x―4x―12的图象沿向量 （2）函数 解析：
与
平移后的解析式为__________。
________。
的图像关于直线x=1对称，则
（1） 即
∴
∴ （2） 即
5、若函数
的图象与
图象关于直线x=1对称， ，∴
在R 上单调递减，则的单减区间为 （―2，+∞）。
的单减区间即为|x+2|=u的单增区间。
解析：由复合函数单调性可知，
二、几个具体常见的函数
二次函数
指数函数
对数函数
解析式
，
定义域
R a ＞0
，
R ，2，
3
，
，2，3
（0，+∞）
值域、最值
a ＜0
，
（0，+∞）
R
a ＞
图象
a ＞0，在
单调性
递减
a ＞0，递增 a ＜0，递减
a ＞1，递增 0＜a ＜1，递减
a ＜0，在
递增
奇偶对称性 反函数
1、设二次函数
，求
满足
的解析式。 ∴
图象关于x=―2对称，
，且图象在y 轴上的截距为1，截
b=0时偶 无
非奇非偶
非奇非偶
x 轴所得线段的长为 解析：
∴
①
图象在y 轴截距为1，∴c=1 ②
，即
的2根
③
截x 轴所得线段长为
由①②③可解，b=2，c=1，
∴
2、已知函数
的值域为R ，求a 的取值范围。
的值域为R ，∴u=x―2x+a要取遍（0，+∞）
2
解析：
∴Δ=4―4a≥0，∴a ≤1
3、比较大小：
（1） （2） （3） （4） （5）
与和、和和
； ； 和；
；
（6） 解析：
、和。
（1），
∴， 即。
（2）α=－1.2的幂函数在（0，+∞）上单减， 0.7＞0.17， ∴ （3）
，
，
又的幂函数在（0，+∞）上单增，
∴ ∴ （4）0.5＜1 ∴
∴
（5
）
∴ （6）
，
，即，
。
∴ 综上
。
4、解关于x 的不等式
（
且（
） 且
）
（1） （2）
解析：
22
（1）若a ＞1，则2x －3x+1＞x +2x－5，即 x ＜2或x ＞3
22
若0＜a ＜1，则2x －3x+1＜x +2x－5，即2＜x ＜3 ∴a ＞1时不等式解集为（－∞，2）∪（3，+∞）， 0＜a ＜1时不等式解集为（2，3） （2）若a ＞1，则x 须满足
若0＜a ＜1，则x 须满足
或
三、对数运算性质及指数、对数方程 1．指、对数运算性质
定义
对数运算
底数、真数、对数
或。
指数运算
底数、指数、幂
运算性质
恒等式
换底公式
1、计算：
_______； （2）
_________； （4）
（1） （3） 解析： （1） （2） （3）
（4）
________；
________。
；
；
；
。
2、已知a=lg2，b=lg3，用a 、b 表示________。
解析：
。
2．指、对数方程
指数方程 （1）同底法
基本类型及解法 （2）换元法
（3）取对数法
1、解下列方程：
；
对数方程
（1）同底法（定义域、同解混合组） （2）换元法
（1）
解析：
法一，同底，原方程即 法二： 法三：令
（2）
； 即
2
，∴2x=x+1，∴x=1
，∴2x=x+1，∴x=1
，t =2t，∴t=2 ，∴x=1
解析：
（3） 解析：令
（4）
，即，∴x=1
；
，则t ＞0，t +3t－18=0（t ＞0），∴t=3，∴x=1
2
；
解析：原方程相当于
函数图像变换与基本初等函数
一、函数的图象与图象交换
函数解析式
与
图象的对称性
关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于原点对称 关于直线y=x对
称
（x ，y ）与（x ，－y ）
（x ，y ）与（－x ，y ）
（x ，y ）与（―x，―y）
（x ，y ）与（y ，x ）
图象
对称点坐标
是偶函数，其图象关于y 轴对称，图象在y 轴右侧部分与
重合。
图象全部在x 轴上方（含x 轴）：保留
图象在x
轴上方部分，将
图象在x 轴下方部分沿x 轴翻折上去。（即作出这部分关于x 轴的对称图形）
基础例题
1、已知函数
，
的曲线关于（1，0）点对称。
是由y=x左右平移得到的，易知a=－1。
3
，且满足，则a=________。
解析： ∴ 又
2、利用图象变换画出下列函数的图象
（1） 解析：
； （2）； （3）。
（1）
∴的图象可由的图象向右平移一个单位得。
（2）
（3）
3、已知函数的图像过点（0，1），那么函数的反函数的图像一定经过下列各点中的（ ） A ．（4，―1） B ．（1，―4） C ．（―4，1） D ．（1，4） 解析：原函数向左平移，相应反函数向下平移。答案选B 。
4、填空：
2
（1）将函数y=3x―4x―12的图象沿向量 （2）函数 解析：
与
平移后的解析式为__________。
________。
的图像关于直线x=1对称，则
（1） 即
∴
∴ （2） 即
5、若函数
的图象与
图象关于直线x=1对称， ，∴
在R 上单调递减，则的单减区间为 （―2，+∞）。
的单减区间即为|x+2|=u的单增区间。
解析：由复合函数单调性可知，
二、几个具体常见的函数
二次函数
指数函数
对数函数
解析式
，
定义域
R a ＞0
，
R ，2，
3
，
，2，3
（0，+∞）
值域、最值
a ＜0
，
（0，+∞）
R
a ＞
图象
a ＞0，在
单调性
递减
a ＞0，递增 a ＜0，递减
a ＞1，递增 0＜a ＜1，递减
a ＜0，在
递增
奇偶对称性 反函数
1、设二次函数
，求
满足
的解析式。 ∴
图象关于x=―2对称，
，且图象在y 轴上的截距为1，截
b=0时偶 无
非奇非偶
非奇非偶
x 轴所得线段的长为 解析：
∴
①
图象在y 轴截距为1，∴c=1 ②
，即
的2根
③
截x 轴所得线段长为
由①②③可解，b=2，c=1，
∴
2、已知函数
的值域为R ，求a 的取值范围。
的值域为R ，∴u=x―2x+a要取遍（0，+∞）
2
解析：
∴Δ=4―4a≥0，∴a ≤1
3、比较大小：
（1） （2） （3） （4） （5）
与和、和和
； ； 和；
；
（6） 解析：
、和。
（1），
∴， 即。
（2）α=－1.2的幂函数在（0，+∞）上单减， 0.7＞0.17， ∴ （3）
，
，
又的幂函数在（0，+∞）上单增，
∴ ∴ （4）0.5＜1 ∴
∴
（5
）
∴ （6）
，
，即，
。
∴ 综上
。
4、解关于x 的不等式
（
且（
） 且
）
（1） （2）
解析：
22
（1）若a ＞1，则2x －3x+1＞x +2x－5，即 x ＜2或x ＞3
22
若0＜a ＜1，则2x －3x+1＜x +2x－5，即2＜x ＜3 ∴a ＞1时不等式解集为（－∞，2）∪（3，+∞）， 0＜a ＜1时不等式解集为（2，3） （2）若a ＞1，则x 须满足
若0＜a ＜1，则x 须满足
或
三、对数运算性质及指数、对数方程 1．指、对数运算性质
定义
对数运算
底数、真数、对数
或。
指数运算
底数、指数、幂
运算性质
恒等式
换底公式
1、计算：
_______； （2）
_________； （4）
（1） （3） 解析： （1） （2） （3）
（4）
________；
________。
；
；
；
。
2、已知a=lg2，b=lg3，用a 、b 表示________。
解析：
。
2．指、对数方程
指数方程 （1）同底法
基本类型及解法 （2）换元法
（3）取对数法
1、解下列方程：
；
对数方程
（1）同底法（定义域、同解混合组） （2）换元法
（1）
解析：
法一，同底，原方程即 法二： 法三：令
（2）
； 即
2
，∴2x=x+1，∴x=1
，∴2x=x+1，∴x=1
，t =2t，∴t=2 ，∴x=1
解析：
（3） 解析：令
（4）
，即，∴x=1
；
，则t ＞0，t +3t－18=0（t ＞0），∴t=3，∴x=1
2
；
解析：原方程相当于