数列的通项公式
教学目的：会用公式法、叠加法、叠乘法，代定系数法求数列的通项公式 例一、（1）已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2，求数列{a n }的通项公式
解：当n =1时，a 1=S 1=3；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n 2+2-(n -1) 2-2=2n -1；所以⎧3(n =1) ∴a n =⎨
2n -1(n ≥2) ⎩
（2）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n +1) =n +1，求数列{a n }的通项公式
解：由log 2(S n +1) =n +1，得S n =2n +1-1，∴a n =⎨
⎧3(n =1)
n
(n ≥2) ⎩2
⎧S (n =1)
点评：利用a n =⎨1（适用在a n 与S n 的等式中）
S -S (n ≥2) n -1⎩n
例二、（1）已知数列{a n }，且a 1=2，a n +1-a n =n ，求通项公式a n
a 2-a 1=1a 3-a 2=22(1+n -1)(n -1) n 2-n n -n +4 将上各式相加得a n -1=，a n = =
222a n -1-a n -2=n -2
a n -a n -1=n -1
（2）已知数列{a n }，且a 1=2，a n +1-a n =n +2n ，求通项公式a n
a 2-a 1=1+21a 3-a 2=2+22 将上各式相加得a n -a 1=(1+2+ +n -1) +(2+22+ +2n -1) a n -1-a n -2=n -2+2n -2a n -a n -1=n -1+2n -1
n 2-n a n =+2n
2
（3）已知数列{a n }，且a 1=2，a n +1-a n =
1n +n +1
n +1-n
(+n +1)(n +1-n )
1n +n +1
，求通项公式a n
==n +1-n
a 2-a 1=2-a 3-a 2=3-2 将上各式相加得a n -a 1=n -1，a n =n +1 a n -1-a n -2=n -1--2a n -a n -1=-n -1
（4）已知数列{a n }，且a 1=2，a n +1-a n =1111
==-
n +n n (n +1) n n +1
2
1
，求通项公式a n n 2+n
a 2-a 1=11
1-
a 3-a 2=121
2-
3
将上各式相加得a n -a 1=1-1a n
，a n =3-1n
n -1-a n -2=11a n -a n =1n -2-
-1
1n -1n -1-n
点评：形如a n +1-a n =f (n ) ，适叠加法，关键是要会求f (1) +f (2) + +f (n ) 的和 例三、（1）已知数列{a n }，a 1=2且a n =n -1n
⋅a n -1（n ≥2），求通项公式a n
a n n -1，a 21，a 32，a 43， ，a n a =====n -1 n -1n a 12a 23a 34a n -1n
将上各式相乘得
a 2a 3a 4a 12a ⋅⋅⋅ ⋅n =⨯⨯3⨯ ⨯n -1=1，a n
=21a 2a 3a n -1234n n
n
（2）已知数列{a n }，a 1=2且a n +1=a n ⋅log n +1(n +2) ，求通项公式a n
a n +1=log n +2) ；a 2=log a a
a n +1(23，3a =log 234，4a =log 345， ，n a a =log n -1
n (n +1) n a 1将上各式相乘得
a 2a ⋅a 3⋅a 4
⋅ ⋅a n =log 23⋅log 34⋅ ⋅log n (n +1) ， 1a 2a 3a n -1
a n lg 3lg 4lg 5lg(n +1)
a =⋅⋅lg 4⋅ ⋅
，a n =2log 2(n +1) 1lg 2lg 3lg n
点评：形如
a n +1
a =f (n ) ，适用叠乘法，关键是会求f (1) ⋅f (2) ⋅ ⋅f (n ) 的积 n
例四、（1）在数列{a n }中，a 1=2且a n +1=3a n +2，求通项公式a n
设a a n +1=3a n +2T ，T =1，所以a n +1+1=3(a n +1) ，即
n +1+1
n +1+T =3(a n +T ) ，得a a n +1
所以{a n +1}是以a 1+1为首项，3为公比的等比数列，所以a n +1=(a 1+1) ⨯3n -1a n =3n -1
（2）在数列{a n }中，a 1=2且a n +1=3a n +4n +2，求通项公式a n
设a n +1+x (n +1) +y =3(a n +xn +y ) ，得x =2，y =2，{a n +2n +2}以a 1+2+2为首项，以为公比的等比数列，所以a n +2n +2=6⨯3n -1，a n =2⨯3n -2n -2 （3）在数列{a n }中，a 1=2且a n +1=3a n +2n ，求通项公式a n
设a n +1+x ⋅2n +1=3(a n +x ⋅2n ) ，对比得x =1，所以{a n +2n }以a 1+2为首项，以比为3比数列，所以a n +2n =4⨯3n -1，a n =4⨯3n -1-2n
（4）在数列{a n }中，a 1=2且a n +1=3a n +n 2+n ，求通项公式a n
3，3 =，即的等
设a n +1+x (n +1) 2+y (n +1) +z =3(a n +xn 2+yn +z ) ，化简对比得x =1，y =1，z =3，所以
2
4
{a n +12313
为首项，3n +n +以a 1++1+
为公比的等比数列，所以
2424
a n +
1n 2+n +3=17⨯3n -1，即a n =174⨯3n -113244-2n 2-n -4
例五、（1）在数列{a n }中，a 1=2，a 2=5且a n +2=a n +2，求通项公式a n a 1，a 3，a 5， ，a 2k -1成等差数列，即a 2k -1=a 1+(k -1) ⨯2=2k a 2，a 4，a 6， ，a 2k 成等差数列，即a 2k =a 2+(k -1) ⨯2=2k +3 所以a n +1(n =2k -1, k =1, 2, 3, )
n =⎧⎨⎩
n +3(n =2k , k =1, 2, 3, )
（2）在数列{a n }中，a 1=2，a 2=5且，a n +2=3a n 求通项公式a n
a 1，a 3，a 5， ，a 2k -1成等比数列，即a 2k -1=a 1⨯3k -1=2⨯3k -1 a 2，a 4，a 6， ，a 2k 成等比数列，即a 2k =a 2⨯3k -1=5⨯3k -1
⎧
n -1所以a ⎪⎨2⨯3(n =2k -1, k =1, 2, 3, ) n =
⎪n -2
⎩
5⨯3(n =2k , k =1, 2, 3, )
（3）在数列{a n }中，a 1=2，a 2=5，a 3=3且a n +3=3a n 求通项公式a n
a 1，a 4，a 7， ，a 3k -2成等比数列，即a 3k -2=a 1⨯3k -1=2⨯3k -1 a 2，a 5，a 8， ，a 3k -1成等比数列，即a 3k -1=a 2⨯3k -1=5⨯3k -1 a 3，a 6，a 9， ，a 3k 成等比数列，即a 3k =a 3⨯3k -1=3k
⎧
n -1⎪2⨯3(n =3k -2, k =1, 2, 3, ) n -所以a ⎪⎪
2n =⎨5⨯33(n =3k -1, k =1, 2, 3, )
⎪n
⎪⎪3(n =3k , k =1, 2, 3, ) ⎩
作业：（1）在数列{a n }中，a 1=2且a n +1=2a n +2n +3，求通项公式a n
a n +1+A (n +1) +B =2(a n +An +B ) 即a n +1=2a n +An +B -A ，A =2，B -A =3（2）在数列{a n }中，a 1=2且a n +1=2a n +3n ，求通项公式a n
B =5 ，
数列的通项公式
教学目的：会用公式法、叠加法、叠乘法，代定系数法求数列的通项公式 例一、（1）已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2，求数列{a n }的通项公式
解：当n =1时，a 1=S 1=3；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n 2+2-(n -1) 2-2=2n -1；所以⎧3(n =1) ∴a n =⎨
2n -1(n ≥2) ⎩
（2）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n +1) =n +1，求数列{a n }的通项公式
解：由log 2(S n +1) =n +1，得S n =2n +1-1，∴a n =⎨
⎧3(n =1)
n
(n ≥2) ⎩2
⎧S (n =1)
点评：利用a n =⎨1（适用在a n 与S n 的等式中）
S -S (n ≥2) n -1⎩n
例二、（1）已知数列{a n }，且a 1=2，a n +1-a n =n ，求通项公式a n
a 2-a 1=1a 3-a 2=22(1+n -1)(n -1) n 2-n n -n +4 将上各式相加得a n -1=，a n = =
222a n -1-a n -2=n -2
a n -a n -1=n -1
（2）已知数列{a n }，且a 1=2，a n +1-a n =n +2n ，求通项公式a n
a 2-a 1=1+21a 3-a 2=2+22 将上各式相加得a n -a 1=(1+2+ +n -1) +(2+22+ +2n -1) a n -1-a n -2=n -2+2n -2a n -a n -1=n -1+2n -1
n 2-n a n =+2n
2
（3）已知数列{a n }，且a 1=2，a n +1-a n =
1n +n +1
n +1-n
(+n +1)(n +1-n )
1n +n +1
，求通项公式a n
==n +1-n
a 2-a 1=2-a 3-a 2=3-2 将上各式相加得a n -a 1=n -1，a n =n +1 a n -1-a n -2=n -1--2a n -a n -1=-n -1
（4）已知数列{a n }，且a 1=2，a n +1-a n =1111
==-
n +n n (n +1) n n +1
2
1
，求通项公式a n n 2+n
a 2-a 1=11
1-
a 3-a 2=121
2-
3
将上各式相加得a n -a 1=1-1a n
，a n =3-1n
n -1-a n -2=11a n -a n =1n -2-
-1
1n -1n -1-n
点评：形如a n +1-a n =f (n ) ，适叠加法，关键是要会求f (1) +f (2) + +f (n ) 的和 例三、（1）已知数列{a n }，a 1=2且a n =n -1n
⋅a n -1（n ≥2），求通项公式a n
a n n -1，a 21，a 32，a 43， ，a n a =====n -1 n -1n a 12a 23a 34a n -1n
将上各式相乘得
a 2a 3a 4a 12a ⋅⋅⋅ ⋅n =⨯⨯3⨯ ⨯n -1=1，a n
=21a 2a 3a n -1234n n
n
（2）已知数列{a n }，a 1=2且a n +1=a n ⋅log n +1(n +2) ，求通项公式a n
a n +1=log n +2) ；a 2=log a a
a n +1(23，3a =log 234，4a =log 345， ，n a a =log n -1
n (n +1) n a 1将上各式相乘得
a 2a ⋅a 3⋅a 4
⋅ ⋅a n =log 23⋅log 34⋅ ⋅log n (n +1) ， 1a 2a 3a n -1
a n lg 3lg 4lg 5lg(n +1)
a =⋅⋅lg 4⋅ ⋅
，a n =2log 2(n +1) 1lg 2lg 3lg n
点评：形如
a n +1
a =f (n ) ，适用叠乘法，关键是会求f (1) ⋅f (2) ⋅ ⋅f (n ) 的积 n
例四、（1）在数列{a n }中，a 1=2且a n +1=3a n +2，求通项公式a n
设a a n +1=3a n +2T ，T =1，所以a n +1+1=3(a n +1) ，即
n +1+1
n +1+T =3(a n +T ) ，得a a n +1
所以{a n +1}是以a 1+1为首项，3为公比的等比数列，所以a n +1=(a 1+1) ⨯3n -1a n =3n -1
（2）在数列{a n }中，a 1=2且a n +1=3a n +4n +2，求通项公式a n
设a n +1+x (n +1) +y =3(a n +xn +y ) ，得x =2，y =2，{a n +2n +2}以a 1+2+2为首项，以为公比的等比数列，所以a n +2n +2=6⨯3n -1，a n =2⨯3n -2n -2 （3）在数列{a n }中，a 1=2且a n +1=3a n +2n ，求通项公式a n
设a n +1+x ⋅2n +1=3(a n +x ⋅2n ) ，对比得x =1，所以{a n +2n }以a 1+2为首项，以比为3比数列，所以a n +2n =4⨯3n -1，a n =4⨯3n -1-2n
（4）在数列{a n }中，a 1=2且a n +1=3a n +n 2+n ，求通项公式a n
3，3 =，即的等
设a n +1+x (n +1) 2+y (n +1) +z =3(a n +xn 2+yn +z ) ，化简对比得x =1，y =1，z =3，所以
2
4
{a n +12313
为首项，3n +n +以a 1++1+
为公比的等比数列，所以
2424
a n +
1n 2+n +3=17⨯3n -1，即a n =174⨯3n -113244-2n 2-n -4
例五、（1）在数列{a n }中，a 1=2，a 2=5且a n +2=a n +2，求通项公式a n a 1，a 3，a 5， ，a 2k -1成等差数列，即a 2k -1=a 1+(k -1) ⨯2=2k a 2，a 4，a 6， ，a 2k 成等差数列，即a 2k =a 2+(k -1) ⨯2=2k +3 所以a n +1(n =2k -1, k =1, 2, 3, )
n =⎧⎨⎩
n +3(n =2k , k =1, 2, 3, )
（2）在数列{a n }中，a 1=2，a 2=5且，a n +2=3a n 求通项公式a n
a 1，a 3，a 5， ，a 2k -1成等比数列，即a 2k -1=a 1⨯3k -1=2⨯3k -1 a 2，a 4，a 6， ，a 2k 成等比数列，即a 2k =a 2⨯3k -1=5⨯3k -1
⎧
n -1所以a ⎪⎨2⨯3(n =2k -1, k =1, 2, 3, ) n =
⎪n -2
⎩
5⨯3(n =2k , k =1, 2, 3, )
（3）在数列{a n }中，a 1=2，a 2=5，a 3=3且a n +3=3a n 求通项公式a n
a 1，a 4，a 7， ，a 3k -2成等比数列，即a 3k -2=a 1⨯3k -1=2⨯3k -1 a 2，a 5，a 8， ，a 3k -1成等比数列，即a 3k -1=a 2⨯3k -1=5⨯3k -1 a 3，a 6，a 9， ，a 3k 成等比数列，即a 3k =a 3⨯3k -1=3k
⎧
n -1⎪2⨯3(n =3k -2, k =1, 2, 3, ) n -所以a ⎪⎪
2n =⎨5⨯33(n =3k -1, k =1, 2, 3, )
⎪n
⎪⎪3(n =3k , k =1, 2, 3, ) ⎩
作业：（1）在数列{a n }中，a 1=2且a n +1=2a n +2n +3，求通项公式a n
a n +1+A (n +1) +B =2(a n +An +B ) 即a n +1=2a n +An +B -A ，A =2，B -A =3（2）在数列{a n }中，a 1=2且a n +1=2a n +3n ，求通项公式a n
B =5 ，