12.5双曲线的标准方程

资源信息表

12.5双曲线的标准方程

上海市控江中学 柳敏

一、教学内容分析

本小节的重点是双曲线的定义和标准方程，通过对椭圆的定义的类比联想，很容易想到研究到两个定点的距离之差为定值的点的轨迹问题.要充分注意双曲线定义中“02aF1F2”，“绝对值”的词汇的定性描述，正确理解概念，注重思维的严密性.双曲线定义的理解以及标准方程的形式，a,b,c三个量的关系都可以与椭圆进行类比学习，从而理解两种曲线的联系与区别.

本小节的难点是双曲线的标准方程的推导.双曲线的标准方程的推导可以在椭圆的标准方程的推导经验中类比完成.突破难点的关键是初步研究双曲线的对称性，建立恰当的直角坐标系，注重方程化简过程中的合理变形.对于“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”的证明，有条件的还是需要的，使方程的推导更完备.

二、教学目标设计

理解双曲线的定义;能推导双曲线的标准方程,掌握焦点在

会求给定条件下的双曲线的x轴和y轴上的双曲线的标准方程，

标准方程.通过对双曲线的标准方程的推导，巩固求动点的轨迹方程的一般方法.在与椭圆的类比学习中获得双曲线的知识，培养比较、分析、归纳、推理等能力.

三、教学重点及难点

双曲线的定义和双曲线的标准方程.

双曲线的标准方程的推导.

五、教学过程设计

一、复习回顾

思考并回答下列问题

1、椭圆的定义是什么？

2、椭圆定义中有哪些注意点？

3、椭圆的标准方程是怎样的？

二、讲授新课

1、概念引入

问题引入：如果把椭圆定义中的和改成差: |PF1||PF2|2a或|PF2||PF1|2a,即: ||PF1||PF2||2a，其中a0动点的轨迹会发生什么变化呢？ ①若MF1MF22aF1F2，则轨迹是线段F1F2的延长线；若MF2MF12aF1F2，则轨迹是线段F2F1的延长线； ②若F1F22aMF1MF2，则无轨迹；

③在02a|F1F2|条件下轨迹是存在的，我们把这时得到的轨迹叫做双曲线.

[说明]通过对椭圆定义的类比，启发学生思考并发现2a与F1F2的大小关系与动点的轨迹的变化规律.此时可设计探究实

验：学生用笔、细绳等工具试验画出满足条件的轨迹图形（可以让学生在上课前做一些实验的设计准备），教师利用多媒体演示（并加以说明）.通过学生的动手操作，增加学生的感性认识，提高学生学习的参与度.

2、概念形成

 双曲线定义

定义：平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点F1,F2叫做双曲线的焦

点，两个焦点间的距离|F1F2|叫做焦距.

 双曲线定义中的注意点

在概念的理解中要注意：

（1）是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于F1F2 .

（2）当|PF1||PF2|2a时，动点的轨迹是与F2对应的双曲线的

一支， |PF2||PF1|2a时为双曲线的另一支.

3、双曲线的标准方程的推导

可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程． 如图8-12建系，设F1F22c，取过点F1、F2

的直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴，

建立直角坐标系，则F1(c,0)、F2(c,0)，设

M是所求轨迹上的点.

依已知条件有MF1MF22a，MF1(xc)2y2，MF2(xc)2y2，(xc)2y2(xc)2y22a， 移项得：(xc)2y22a(xc)2y2， 平方得：(a2cx)a(xc)2y2 （*）

再平方得：(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)，

即(c2a2)x2a2y2a2(c2a2)，令b2c2a2(cb0)

x2y2则bxayab，即221 ab222222

2x2y2

22x反之：设M是221上的点，则yb(21)， aba

MF1(xc)y

MF2(xc)2y2=22b2x2x2cxcb2a222c22cx2x2cxaa2aacxa，ac,ax， a

∴当xa时，MF1

MF1MF2cxa a，MF2cxa，有acxcxaa2a； aa

cx当xa时，MF1aa

cxcxMF1MF2aa2a aa，MF2cxaa，有

x2y2综上：焦点在x轴上双曲线的标准方程是221①，其中ab

c2a2b2(ca0)，焦点F1(c,0)、F2(c,0).

[说明]对于标准方程的推导可以启发学生仿照求椭圆的标准方程的做法来完成，在建立直角坐标系之前，可以让学生初步推断双曲线所具有的对称性，使建系更合理.对于证明“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”这一过程可以视学生的程度来定，这样可使推导过程更完整，思维更严谨，这一过程需在教师的引导下师生共

同完成.

同样如果双曲线的焦点在y轴上(图8

－13)，那么，此时的双曲线的标准方程

又是怎样的呢？

焦点是F1(0，－c)、F2(0，c)时，a、

b的意义同上，那么只要将方程①的x、y互换，就可以得到焦

y2x2点在y轴上双曲线的标准方程是221，其中ab

c2a2b2(ca0)，焦点F1(0,c)、F2(0,c).

[说明]双曲线的标准方程是指双曲线在标准状态下的方程，这里的标准状态有两层含义：（1）双曲线的两个焦点均在坐标轴上，（2）这两个焦点的中心必须与原点重合.从这一方面理解，双曲线的标准方程就是在特殊的直角坐标系下的方程.

思考：将方程推导过程中的方程（*）做变形可得xc2ca2

2yx，即acxc2y2a2

xccc，且1，那么其中aa

又蕴涵着怎样的几何意义呢？

思考其几何意义可知，双曲线上的点满足到定点F2(c,0)的距离

a2与到定直线x的距离之比是一个大于1的常数，这是双曲c

线的一个几何性质.反之，如果一个点P(x,y)满足xc2y2

a2

xccc，且1，即点P到定点F2(c,0)的距离与到定aa

a2直线x的距离之比是一个大于1的常数，则点P的轨迹是c

双曲线吗？这个问题留给课后思考.

[说明] 思考这个问题的目的是扩展学生的认知空间，与圆锥曲线的第二定义联系起来，使知识体系更系统化一些.这一问题是作为课后思考题让学生完成.

4、例题解析

例1 课本P55例1.

[说明] 本题主要是让学生正确理解双曲线的定义，熟悉双曲线的标准方程，标准方程中三个量a,b,c的意义与方程的关系. 例2(补充)：求满足下列条件的双曲线的标准方程.

（1） 焦距为26，动点到两焦点的距离之差为24；

（2）已知双曲线过定点2m,3mm0，且2，求双曲线的c

a

标准方程.

（3） 已知双曲线的焦点在y轴上，中心在原点，且点

9P(3,42)，P(,5)在此双曲线上，求双曲线的标准方程. 124

[说明] 本题主要帮助学生掌握根据给定条件确定双曲线的标准方程的方法，注意方程的形式与焦点位置的关系.使学生学会用方程的思想来确定双曲线的标准方程.

例3：课本P56例2.

[说明] 本题主要让学生应用双曲线定义解决有关实际应用问题，注意根据题设条件仅能得到双曲线的一支.利用两个不同的观察站测得同一爆炸点的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置，如果再增加一个观察点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置了.

例4：课本P56例3.

[说明]本题主要让学生学习利用双曲线的标准方程解决一些相关的简单几何问题.初步认识双曲线的标准方程的应用.

三、课堂小结

1.双曲线的定义是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于F1F2.注意双曲线定义中“02aF1F2”，“绝对值”的词汇的定性描述.

2.双曲线的标准方程的特点是平方差，一般根据项的正负来判断焦点所在的位置，即x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上.

3、比较与区分双曲线与椭圆的定义和标准方程的异同.

四、巩固练习

1．课本P57练习12.5

x2y2

2．（补充）填空：已知方程1表示双曲线，则m的取值范2mm1

围是 ；若表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是 .

3．已知圆C1:x32y21和圆C2:x32y29，动圆M同时与圆

C1及圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程.

五、课后作业

1．练习册P29习题12.5 A组1、2、3

2、练习册P29习题12.5 A组4，B组1、2

六、教学设计说明

1、用类比联想的方法从椭圆的定义中提出新的问题，到两个定点的距离之差为正常数的点的轨迹是什么？再通过探究解答问

题，并提出双曲线的定义，这样可以使学生正确理解双曲线的概念，并能在学习中主动加强知识间的联系.特别注意双曲线定义中“02aF1F2”，“绝对值”的词汇的定性描述，当没有绝对值时，通常表示为双曲线的一支.在问题的探究过程中，可以设计学生的动手实验，增加学生的感性认识，培养学习的兴趣和主动参与的精神.

2、由于前一节学生接触了椭圆的标准方程的推导，对建、设、列、化、证等步骤有所熟悉，则双曲线的标准方程的推导过程可以在教师的引导下由学生尝试完成.特别是证明“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”的过程可以由师生共同完成，以培养思维、论证的严密性.

3、本解课可以安排两节课时，第一节主要是理解双曲线的定义和正确推导双曲线的标准方程.可以完成例1、例3，课后作业完成1.第二节课主要是学习根据已知条件确定双曲线的标准方程，以及利用双曲线的方程解决简单几何问题.完成例2、例4和巩固练习.课后作业完成2.

4、运用对比教学的方法，使学生区分椭圆与双曲线的概念、标准方程、图形、a,b,c三个量的异同.教师在课堂小结中可以设计一个表格，让学生填写内容.见下表：

资源信息表

12.5双曲线的标准方程

上海市控江中学 柳敏

一、教学内容分析

本小节的重点是双曲线的定义和标准方程，通过对椭圆的定义的类比联想，很容易想到研究到两个定点的距离之差为定值的点的轨迹问题.要充分注意双曲线定义中“02aF1F2”，“绝对值”的词汇的定性描述，正确理解概念，注重思维的严密性.双曲线定义的理解以及标准方程的形式，a,b,c三个量的关系都可以与椭圆进行类比学习，从而理解两种曲线的联系与区别.

本小节的难点是双曲线的标准方程的推导.双曲线的标准方程的推导可以在椭圆的标准方程的推导经验中类比完成.突破难点的关键是初步研究双曲线的对称性，建立恰当的直角坐标系，注重方程化简过程中的合理变形.对于“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”的证明，有条件的还是需要的，使方程的推导更完备.

二、教学目标设计

理解双曲线的定义;能推导双曲线的标准方程,掌握焦点在

会求给定条件下的双曲线的x轴和y轴上的双曲线的标准方程，

标准方程.通过对双曲线的标准方程的推导，巩固求动点的轨迹方程的一般方法.在与椭圆的类比学习中获得双曲线的知识，培养比较、分析、归纳、推理等能力.

三、教学重点及难点

双曲线的定义和双曲线的标准方程.

双曲线的标准方程的推导.

五、教学过程设计

一、复习回顾

思考并回答下列问题

1、椭圆的定义是什么？

2、椭圆定义中有哪些注意点？

3、椭圆的标准方程是怎样的？

二、讲授新课

1、概念引入

问题引入：如果把椭圆定义中的和改成差: |PF1||PF2|2a或|PF2||PF1|2a,即: ||PF1||PF2||2a，其中a0动点的轨迹会发生什么变化呢？ ①若MF1MF22aF1F2，则轨迹是线段F1F2的延长线；若MF2MF12aF1F2，则轨迹是线段F2F1的延长线； ②若F1F22aMF1MF2，则无轨迹；

③在02a|F1F2|条件下轨迹是存在的，我们把这时得到的轨迹叫做双曲线.

[说明]通过对椭圆定义的类比，启发学生思考并发现2a与F1F2的大小关系与动点的轨迹的变化规律.此时可设计探究实

验：学生用笔、细绳等工具试验画出满足条件的轨迹图形（可以让学生在上课前做一些实验的设计准备），教师利用多媒体演示（并加以说明）.通过学生的动手操作，增加学生的感性认识，提高学生学习的参与度.

2、概念形成

 双曲线定义

定义：平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点F1,F2叫做双曲线的焦

点，两个焦点间的距离|F1F2|叫做焦距.

 双曲线定义中的注意点

在概念的理解中要注意：

（1）是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于F1F2 .

（2）当|PF1||PF2|2a时，动点的轨迹是与F2对应的双曲线的

一支， |PF2||PF1|2a时为双曲线的另一支.

3、双曲线的标准方程的推导

可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程． 如图8-12建系，设F1F22c，取过点F1、F2

的直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴，

建立直角坐标系，则F1(c,0)、F2(c,0)，设

M是所求轨迹上的点.

依已知条件有MF1MF22a，MF1(xc)2y2，MF2(xc)2y2，(xc)2y2(xc)2y22a， 移项得：(xc)2y22a(xc)2y2， 平方得：(a2cx)a(xc)2y2 （*）

再平方得：(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)，

即(c2a2)x2a2y2a2(c2a2)，令b2c2a2(cb0)

x2y2则bxayab，即221 ab222222

2x2y2

22x反之：设M是221上的点，则yb(21)， aba

MF1(xc)y

MF2(xc)2y2=22b2x2x2cxcb2a222c22cx2x2cxaa2aacxa，ac,ax， a

∴当xa时，MF1

MF1MF2cxa a，MF2cxa，有acxcxaa2a； aa

cx当xa时，MF1aa

cxcxMF1MF2aa2a aa，MF2cxaa，有

x2y2综上：焦点在x轴上双曲线的标准方程是221①，其中ab

c2a2b2(ca0)，焦点F1(c,0)、F2(c,0).

[说明]对于标准方程的推导可以启发学生仿照求椭圆的标准方程的做法来完成，在建立直角坐标系之前，可以让学生初步推断双曲线所具有的对称性，使建系更合理.对于证明“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”这一过程可以视学生的程度来定，这样可使推导过程更完整，思维更严谨，这一过程需在教师的引导下师生共

同完成.

同样如果双曲线的焦点在y轴上(图8

－13)，那么，此时的双曲线的标准方程

又是怎样的呢？

焦点是F1(0，－c)、F2(0，c)时，a、

b的意义同上，那么只要将方程①的x、y互换，就可以得到焦

y2x2点在y轴上双曲线的标准方程是221，其中ab

c2a2b2(ca0)，焦点F1(0,c)、F2(0,c).

[说明]双曲线的标准方程是指双曲线在标准状态下的方程，这里的标准状态有两层含义：（1）双曲线的两个焦点均在坐标轴上，（2）这两个焦点的中心必须与原点重合.从这一方面理解，双曲线的标准方程就是在特殊的直角坐标系下的方程.

思考：将方程推导过程中的方程（*）做变形可得xc2ca2

2yx，即acxc2y2a2

xccc，且1，那么其中aa

又蕴涵着怎样的几何意义呢？

思考其几何意义可知，双曲线上的点满足到定点F2(c,0)的距离

a2与到定直线x的距离之比是一个大于1的常数，这是双曲c

线的一个几何性质.反之，如果一个点P(x,y)满足xc2y2

a2

xccc，且1，即点P到定点F2(c,0)的距离与到定aa

a2直线x的距离之比是一个大于1的常数，则点P的轨迹是c

双曲线吗？这个问题留给课后思考.

[说明] 思考这个问题的目的是扩展学生的认知空间，与圆锥曲线的第二定义联系起来，使知识体系更系统化一些.这一问题是作为课后思考题让学生完成.

4、例题解析

例1 课本P55例1.

[说明] 本题主要是让学生正确理解双曲线的定义，熟悉双曲线的标准方程，标准方程中三个量a,b,c的意义与方程的关系. 例2(补充)：求满足下列条件的双曲线的标准方程.

（1） 焦距为26，动点到两焦点的距离之差为24；

（2）已知双曲线过定点2m,3mm0，且2，求双曲线的c

a

标准方程.

（3） 已知双曲线的焦点在y轴上，中心在原点，且点

9P(3,42)，P(,5)在此双曲线上，求双曲线的标准方程. 124

[说明] 本题主要帮助学生掌握根据给定条件确定双曲线的标准方程的方法，注意方程的形式与焦点位置的关系.使学生学会用方程的思想来确定双曲线的标准方程.

例3：课本P56例2.

[说明] 本题主要让学生应用双曲线定义解决有关实际应用问题，注意根据题设条件仅能得到双曲线的一支.利用两个不同的观察站测得同一爆炸点的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置，如果再增加一个观察点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置了.

例4：课本P56例3.

[说明]本题主要让学生学习利用双曲线的标准方程解决一些相关的简单几何问题.初步认识双曲线的标准方程的应用.

三、课堂小结

1.双曲线的定义是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于F1F2.注意双曲线定义中“02aF1F2”，“绝对值”的词汇的定性描述.

2.双曲线的标准方程的特点是平方差，一般根据项的正负来判断焦点所在的位置，即x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上.

3、比较与区分双曲线与椭圆的定义和标准方程的异同.

四、巩固练习

1．课本P57练习12.5

x2y2

2．（补充）填空：已知方程1表示双曲线，则m的取值范2mm1

围是 ；若表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是 .

3．已知圆C1:x32y21和圆C2:x32y29，动圆M同时与圆

C1及圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程.

五、课后作业

1．练习册P29习题12.5 A组1、2、3

2、练习册P29习题12.5 A组4，B组1、2

六、教学设计说明

1、用类比联想的方法从椭圆的定义中提出新的问题，到两个定点的距离之差为正常数的点的轨迹是什么？再通过探究解答问

题，并提出双曲线的定义，这样可以使学生正确理解双曲线的概念，并能在学习中主动加强知识间的联系.特别注意双曲线定义中“02aF1F2”，“绝对值”的词汇的定性描述，当没有绝对值时，通常表示为双曲线的一支.在问题的探究过程中，可以设计学生的动手实验，增加学生的感性认识，培养学习的兴趣和主动参与的精神.

2、由于前一节学生接触了椭圆的标准方程的推导，对建、设、列、化、证等步骤有所熟悉，则双曲线的标准方程的推导过程可以在教师的引导下由学生尝试完成.特别是证明“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”的过程可以由师生共同完成，以培养思维、论证的严密性.

3、本解课可以安排两节课时，第一节主要是理解双曲线的定义和正确推导双曲线的标准方程.可以完成例1、例3，课后作业完成1.第二节课主要是学习根据已知条件确定双曲线的标准方程，以及利用双曲线的方程解决简单几何问题.完成例2、例4和巩固练习.课后作业完成2.

4、运用对比教学的方法，使学生区分椭圆与双曲线的概念、标准方程、图形、a,b,c三个量的异同.教师在课堂小结中可以设计一个表格，让学生填写内容.见下表：