运用MATLAB 解决复杂化学方程式配平问题
【摘要】到生产实际中化学反应复杂、涉及方程个数较多时，即矩阵阶数较高时，可利用 MATLAB 这一数学软件来轻松解决。本文根据化学反应方程式配平的基本原则，通过建立由原子种类、电荷数、配平系数组成的齐次线性方程组，以及建立数学模型，运用矩阵代数运算来配平复杂的化学反应方程式。 【关键词】MATLAB 矩阵运算 配平 化学反应方程式
MATLAB是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。它的应用范围非常广，包括信号和图像处理、通讯、控制系统设计、测试和测量、财务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域。 遇到生产实际中化学反应复杂、涉及方程个数较多时，即矩阵阶数较高时，可利用 MATLAB 这一数学软件来轻松解决。本文根据化学反应方程式配平的基本原则，通过建立由原子种类、电荷数、配平系数组成的齐次线性方程组，以及建立数学模型，运用矩阵代数运算来配平复杂的化学反应方程式。 一、问题的提出
在生产实际中遇到化学反应复杂、涉及方程个数较多时，配平反应方程式就变成非常棘手的问题。在利用MATLAB 解决这些问题时，如何使用MATLAB 语言才能使问题迅速解决呢？ 二、问题的解决 1、化学原理
在常规的化学反应中，我们判断一个化学反应是否配平的主要依据有以下几点：第一，反应前后各原子个数相同；第二，反应前后离子的电荷数必须相同；第三，得失电子数相等。本矩 阵运算主要根据以上原则建立数学模型。 配平化学方程式的线性代数法原理
设化学反应方程式中的反应物和产物的总数为m ，反应物和产物分子中所含元素的总数为n.
如果我们用Ａij ｉｊ表示反应方程式中第ｉ个化合物的第ｊ种元素的原子的个数（Ａij ｊ可以称之为原子系数），则第ｉ个化合物的组成可用一个向量Ａi 表示：
Ａi ＝（Ａi1，Ａi2，……，Ａim ） （1） 相应的，矩阵A 则表示反应方程式中所有化合物的组成： A=(Aij )
我们把矩阵A 称之为原子系数矩阵，配平化学方程式就是要求反应式中各物质的化学计量系数。我们用a i 表示方程式中第i 种物质的化学计量系数，对于反应物取a i >0;对于生成物取a i
a i A i =0(i=1,2,…,m) （2）
i
（2）式用矩阵可表示为：Aa=0上式为一齐次方程组。
需要说明的是，采用此法计算时，如果m>n,则有不止一组独立解，此时，应对A 矩阵加以处理，使之变为一个方阵。通常，可在后面的行加上单位矢量使之成为方阵。当为离子反应时，可把各物质所带的电荷作为一个向量写在矩阵中，若还未成为方阵，则在后面的行加上单位矢量，使之成为方阵。
例如，对于待配平方程式：C 2H 4+O2—CO 2+H2O, 首先写出该反应的原子系数矩阵C:
C 2H 4+O 2-CO 2+H 2O
C H O
2400
0020
1020
0211
=C
显然，m>n，为此，在矩阵C 的最后一行加上单位矢量，使之变成方阵A:
C 2H 4+O 2-CO 2+H 2O
C H O
2400
0020
1020
0211
=A
又如，对于离子反应 Cr3++MnO4-+H2O —Cr 2O 72-+Mn2++H+, 先加上电荷（正电荷为正，负电荷为负），再变成为方阵A ：
Cr 100200Mn 010010O 041700=A
H 002001
电荷
+30
-10
00
-20
+20
+11
求出方阵的逆矩阵，其逆阵的最后m-n 列即是方程式Aa=0的解a i ，如果m-n=1,
则最后第m-n 列为系数向量，如果m-n>1,则将第n 列以后的列的值予以合并构成系数向量。
2、程序举例 例1：
FeS 2+O2→Fe 2O 3+SO2 解：
Fe S O
1200
0020
2030
01 21
编写程序如下：
A=[1,0,2,0;2,0,0,1;0,2,3,2;0,0,0,1]; B=inv(A) %求矩阵的逆;
运行结果： B =
0 0.5000 0 -0.5000 -0.7500 0.3750 0.5000 -1.3750
0.5000 -0.2500 0 0.2500 0 0 0 1.0000
由于化学反应方程式中的反应物和产物的总数为4，反应物和产物分子中所含元素的总数为3。故得：4-3=1,则最后1列即是方程式Aa=0的解a i 为系数向量。
-0.5000-4-1.3750-11
0.25002
故所求方程组的解为 1.0000，各项取整得互质整数解为 8。即为反应式中反应物和生成物前的系数，负值为反应物的系数。
该方程配平为：4FeS 2+11O2=2Fe2O 3+8SO2 例2：
CH 3CHO+Ag(NH3) 2OH △CH 3COONH 4 +Ag↓+NH3+H2O 解： C 202000H 477032O 112001 Ag 010100N 021010
000001
编写程序如下：
A=[2,0,2,0,0,0;4,7,7,0,3,2;1,1,2,0,0,1;0,1,0,1,0,0;0,2,1,0,1,0;0,0,0,0,0,1];
B=inv(A) %求矩阵的逆;
运行结果：
B =
-1.0000 1.0000 -1.0000 0 -3.0000 -1.0000 -2.0000 1.0000 0 0 -3.0000 -2.0000 1.5000 -1.0000 1.0000 0 3.0000 1.0000 2.0000 -1.0000 0 1.0000 3.0000 2.0000 2.5000 -1.0000 -1.0000 0 4.0000 3.0000 0 0 0 0 0 1.0000
由于化学反应方程式中的反应物和产物的总数为6，反应物和产物分子中所含元素的总数为5。故得：6-5=1,则最后1列即是方程式Aa=0的解a i 为系数向量。
-1.0000-2.00001.00002.0000
-1. -212
3.00003
故所求方程组的解为1.0000，各项取整得互质整数解为1。即为反应式中反应物和生成物前的系数，负值为反应物的系数。
该方程配平为：CH 3CHO+2Ag(NH3) 2OH △CH 3COONH 4 +2Ag↓+3NH3+H2O 例3：
Fe 2++CL2→Fe 3++CL- 解：
编写程序如下：
A=[1,0,1,0;0,2,0,1;+2,0,+3,-1;0,0,0,1] B=inv(A) %求矩阵的逆;
运行结果：
A =
1 0 1 0 0 2 0 1 2 0 3 -1 0 0 0 1 B =
3.0000 0 -1.0000 -1.0000 0 0.5000 0 -0.5000 -2.0000 0 1.0000 1.0000 0 0 0 1.0000
由于化学反应方程式中的反应物和产物的总数为3，反应物和产物分子中所含元素的总数为2。故得：3-2=1,则最后1列即是方程式Aa=0的解a i 为系数向量。
-1.0000-2-0.5000-11.00002
故所求方程组的解为1.0000，各项取整得互质整数解为2。即为反应 式中反应物和生成物前的系数，负值为反应物的系数。 该方程配平为：2Fe 2+ + Cl2 = 2Cl- + 2Fe3+
3、利用MATLAB 软件进行复杂方程式的计算
由 于 在 实 际 的 生 产 生 活 中 ， 往 往 有 许 多 化 学 反 应 同 时 发生，非常因此复杂，所以解决实际的配平问题时，可能遇到非常繁琐 的矩阵代数运算，笔者建议使用MATLAB 这一高性能的计算软件。
三、总结
本文利用MATLAB 中矩阵运算配平化学反应方程式，运用非常简单的程序 就轻松解决了求解复杂反应方程式配平的问题，不仅使计算简单快捷，还充分体现了学科交叉带来的具大优势。MATLAB 作为一种数学工具，其重要性不仅在于理论知识，更重要的是要利用理论知识解决实际问题。作为一名工科大学生，更应该掌握这门科学工具。 参考文献：
[1] 胡龙桥，配平化学反应方程式的矩阵方法[J]，天津师大学报（自然科学版），1997，第2期
[2] 孙会霞、职桂珍，线性方程组的基本理论在配平化学方程式中的应用[J],1999
[3] 刘文华，配平化学方程式的矩阵变换方法，冶金部有色金属研究总院[J] 1987，06
Fe CL 电荷
10+20
0200
10+30
01-11
运用MATLAB 解决复杂化学方程式配平问题
【摘要】到生产实际中化学反应复杂、涉及方程个数较多时，即矩阵阶数较高时，可利用 MATLAB 这一数学软件来轻松解决。本文根据化学反应方程式配平的基本原则，通过建立由原子种类、电荷数、配平系数组成的齐次线性方程组，以及建立数学模型，运用矩阵代数运算来配平复杂的化学反应方程式。 【关键词】MATLAB 矩阵运算 配平 化学反应方程式
MATLAB是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。它的应用范围非常广，包括信号和图像处理、通讯、控制系统设计、测试和测量、财务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域。 遇到生产实际中化学反应复杂、涉及方程个数较多时，即矩阵阶数较高时，可利用 MATLAB 这一数学软件来轻松解决。本文根据化学反应方程式配平的基本原则，通过建立由原子种类、电荷数、配平系数组成的齐次线性方程组，以及建立数学模型，运用矩阵代数运算来配平复杂的化学反应方程式。 一、问题的提出
在生产实际中遇到化学反应复杂、涉及方程个数较多时，配平反应方程式就变成非常棘手的问题。在利用MATLAB 解决这些问题时，如何使用MATLAB 语言才能使问题迅速解决呢？ 二、问题的解决 1、化学原理
在常规的化学反应中，我们判断一个化学反应是否配平的主要依据有以下几点：第一，反应前后各原子个数相同；第二，反应前后离子的电荷数必须相同；第三，得失电子数相等。本矩 阵运算主要根据以上原则建立数学模型。 配平化学方程式的线性代数法原理
设化学反应方程式中的反应物和产物的总数为m ，反应物和产物分子中所含元素的总数为n.
如果我们用Ａij ｉｊ表示反应方程式中第ｉ个化合物的第ｊ种元素的原子的个数（Ａij ｊ可以称之为原子系数），则第ｉ个化合物的组成可用一个向量Ａi 表示：
Ａi ＝（Ａi1，Ａi2，……，Ａim ） （1） 相应的，矩阵A 则表示反应方程式中所有化合物的组成： A=(Aij )
我们把矩阵A 称之为原子系数矩阵，配平化学方程式就是要求反应式中各物质的化学计量系数。我们用a i 表示方程式中第i 种物质的化学计量系数，对于反应物取a i >0;对于生成物取a i
a i A i =0(i=1,2,…,m) （2）
i
（2）式用矩阵可表示为：Aa=0上式为一齐次方程组。
需要说明的是，采用此法计算时，如果m>n,则有不止一组独立解，此时，应对A 矩阵加以处理，使之变为一个方阵。通常，可在后面的行加上单位矢量使之成为方阵。当为离子反应时，可把各物质所带的电荷作为一个向量写在矩阵中，若还未成为方阵，则在后面的行加上单位矢量，使之成为方阵。
例如，对于待配平方程式：C 2H 4+O2—CO 2+H2O, 首先写出该反应的原子系数矩阵C:
C 2H 4+O 2-CO 2+H 2O
C H O
2400
0020
1020
0211
=C
显然，m>n，为此，在矩阵C 的最后一行加上单位矢量，使之变成方阵A:
C 2H 4+O 2-CO 2+H 2O
C H O
2400
0020
1020
0211
=A
又如，对于离子反应 Cr3++MnO4-+H2O —Cr 2O 72-+Mn2++H+, 先加上电荷（正电荷为正，负电荷为负），再变成为方阵A ：
Cr 100200Mn 010010O 041700=A
H 002001
电荷
+30
-10
00
-20
+20
+11
求出方阵的逆矩阵，其逆阵的最后m-n 列即是方程式Aa=0的解a i ，如果m-n=1,
则最后第m-n 列为系数向量，如果m-n>1,则将第n 列以后的列的值予以合并构成系数向量。
2、程序举例 例1：
FeS 2+O2→Fe 2O 3+SO2 解：
Fe S O
1200
0020
2030
01 21
编写程序如下：
A=[1,0,2,0;2,0,0,1;0,2,3,2;0,0,0,1]; B=inv(A) %求矩阵的逆;
运行结果： B =
0 0.5000 0 -0.5000 -0.7500 0.3750 0.5000 -1.3750
0.5000 -0.2500 0 0.2500 0 0 0 1.0000
由于化学反应方程式中的反应物和产物的总数为4，反应物和产物分子中所含元素的总数为3。故得：4-3=1,则最后1列即是方程式Aa=0的解a i 为系数向量。
-0.5000-4-1.3750-11
0.25002
故所求方程组的解为 1.0000，各项取整得互质整数解为 8。即为反应式中反应物和生成物前的系数，负值为反应物的系数。
该方程配平为：4FeS 2+11O2=2Fe2O 3+8SO2 例2：
CH 3CHO+Ag(NH3) 2OH △CH 3COONH 4 +Ag↓+NH3+H2O 解： C 202000H 477032O 112001 Ag 010100N 021010
000001
编写程序如下：
A=[2,0,2,0,0,0;4,7,7,0,3,2;1,1,2,0,0,1;0,1,0,1,0,0;0,2,1,0,1,0;0,0,0,0,0,1];
B=inv(A) %求矩阵的逆;
运行结果：
B =
-1.0000 1.0000 -1.0000 0 -3.0000 -1.0000 -2.0000 1.0000 0 0 -3.0000 -2.0000 1.5000 -1.0000 1.0000 0 3.0000 1.0000 2.0000 -1.0000 0 1.0000 3.0000 2.0000 2.5000 -1.0000 -1.0000 0 4.0000 3.0000 0 0 0 0 0 1.0000
由于化学反应方程式中的反应物和产物的总数为6，反应物和产物分子中所含元素的总数为5。故得：6-5=1,则最后1列即是方程式Aa=0的解a i 为系数向量。
-1.0000-2.00001.00002.0000
-1. -212
3.00003
故所求方程组的解为1.0000，各项取整得互质整数解为1。即为反应式中反应物和生成物前的系数，负值为反应物的系数。
该方程配平为：CH 3CHO+2Ag(NH3) 2OH △CH 3COONH 4 +2Ag↓+3NH3+H2O 例3：
Fe 2++CL2→Fe 3++CL- 解：
编写程序如下：
A=[1,0,1,0;0,2,0,1;+2,0,+3,-1;0,0,0,1] B=inv(A) %求矩阵的逆;
运行结果：
A =
1 0 1 0 0 2 0 1 2 0 3 -1 0 0 0 1 B =
3.0000 0 -1.0000 -1.0000 0 0.5000 0 -0.5000 -2.0000 0 1.0000 1.0000 0 0 0 1.0000
由于化学反应方程式中的反应物和产物的总数为3，反应物和产物分子中所含元素的总数为2。故得：3-2=1,则最后1列即是方程式Aa=0的解a i 为系数向量。
-1.0000-2-0.5000-11.00002
故所求方程组的解为1.0000，各项取整得互质整数解为2。即为反应 式中反应物和生成物前的系数，负值为反应物的系数。 该方程配平为：2Fe 2+ + Cl2 = 2Cl- + 2Fe3+
3、利用MATLAB 软件进行复杂方程式的计算
由 于 在 实 际 的 生 产 生 活 中 ， 往 往 有 许 多 化 学 反 应 同 时 发生，非常因此复杂，所以解决实际的配平问题时，可能遇到非常繁琐 的矩阵代数运算，笔者建议使用MATLAB 这一高性能的计算软件。
三、总结
本文利用MATLAB 中矩阵运算配平化学反应方程式，运用非常简单的程序 就轻松解决了求解复杂反应方程式配平的问题，不仅使计算简单快捷，还充分体现了学科交叉带来的具大优势。MATLAB 作为一种数学工具，其重要性不仅在于理论知识，更重要的是要利用理论知识解决实际问题。作为一名工科大学生，更应该掌握这门科学工具。 参考文献：
[1] 胡龙桥，配平化学反应方程式的矩阵方法[J]，天津师大学报（自然科学版），1997，第2期
[2] 孙会霞、职桂珍，线性方程组的基本理论在配平化学方程式中的应用[J],1999
[3] 刘文华，配平化学方程式的矩阵变换方法，冶金部有色金属研究总院[J] 1987，06
Fe CL 电荷
10+20
0200
10+30
01-11