1.1探索勾股定理
教材
义务教育课程标准实验教科书（北师大版）八年级数学上册第一章第1节P2~ P6。
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用。本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。 教学目标
1、知识与技能目标：掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示。学生在经历用数格子与割补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。
2、能力目标：通过分层训练，使学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的应用技能。
3、情感目标：通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学，爱数学，做数学的情感。使学生从经历定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣。 教学重点、难点
重点：用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。
难点：计算以斜边为边长的大正方形C面积及割补思想的理解与应用。
教学方法 选择引导探索法，采用“问题情境----建立模型----解释、应用与拓展”的模式进行教学。
教具准备 多媒体课件；若干张已画好直角三角形的方格纸；剪刀；已剪好的纸片若干张。 教学过程
一、创设情境，引入新课
（师）请同学们观察动画，我国科学家曾向太空发射勾股图 试图与外星人沟通，在2002年的国际数学家大会上采用弦图 作为会标，它为什么有如此大的魅力呢？它蕴涵着怎样迷人的 奥妙呢？这节课我就带领大家一起探索勾股定理。
（设计意图：用一段生动有趣的动画，点燃学生的求知欲，以 景激情，以情激思，引领学生进入学习情境。）
二、师生互动，探究新知
活动1：（观察图1）你知道正方形C的面积是多少吗？ 你是怎样得出上面结果的呢？
（生）独立思考后交流，采用直接数方格的办法，或者是 分割成几个等腰直角三角形的方法计算正方形C的面积。（多 媒体演示）
（过渡语）同学们用数格子的方法发现了正方形C的面积，那么对于 下面图2中的正方形C， “数方格子”的方法还行得通吗？下面我们 一起来研究。
活动2：（观察你手中方格纸上的图2）正方形C的面积是多少？ 你是怎样得出结果的呢？
（师）我们用数方格子的方法能算出正方形C的面积吗？参考弦图，你想到什么好方法了吗？（引出“割”法）
大家想一想还有没有其它方法呢？受“割”法的启示，我们能通过“补”的方法得出结论吗？
（生）独立思考，在预先准备的方格纸上将图形剪一剪、拼一拼，用分割成四个全等直角三角形的方法或将正方形C补成边长为整数的大正方形的方法求出斜边上的正方形C的面积。接着将成果与同伴交流，学生代表发言。
活动3：
分工1：（如图3）请每个小组两名组员试着将手中的已剪好的四个全等的四边形拼成正方形B。
分工2：（如图4）另两名组员再将同样的四个四边形和正方形A一起拼
成一个大
正方形
C。
③
① ④
②
A
①
图
图4 ④ ③ 思考：
1、等腰直角三角形
（师）
观察图5，对于等腰直角三角形，将正方形A、正方形B和已计算的正方形C的面积填入下表，它们的面积有什么关系？
结论：正方形A面积 + 正方形B面积 = 正方形C面积 2、直角边长为整数的一般直角三角形
（师）观察图6，直角边长为整数的一般直角三角形，正方形A、正方形B、正方形C面积又有什么关系呢？
结论：正方形A面积 + 正方形B面积 = 正方形C面积 3、任意直角三角形
（师）那么，对于直角边长不是整数的一般直角三角形上面的结论还成立吗？（出示图7）
生合作：试着将已拼好的正方形B和大正方形C同正方形A拼成如图7所示的图形。
②
① ④
A
B
A
C
C
图7 图8
（师）同学们从活动中都得出正方形A、正方形B、正方形C面积有什么关系？ （生）小组交流，学生代表发言。
结论：正方形A面积 + 正方形B面积 = 正方形C面积
师点拨：这里的四个全等的四边形是正方形B按如图8所示的方法分割的。
师小结：通过以上活动，我们发现以任意直角三角形的两条直角边为边长的正方形面积之和都等于以斜边为边长的正方形面积。
（师）下面我们运用几何画板进一步验证上面的结论（改变直角三角形的三边长度，同学们发现结论仍然成立）。
4、正方形面积与直角三角形三边关系
（师）若我们设两条直角边长分别为a、b，斜边为c，你能用三角形的边长来表示这三个正方形的面积吗？（将正方形的面积和三角形的边长联系起来） （生）正方形A面积为a，正方形B面积为b，正方形C面积为c。 （师）你发现直角三角形三边长度之间有什么联系？ （生）分组讨论，交流并发言。
结论：由于 正方形A面积 + 正方形B面积 = 正方形C面积，所以 a+ b= c即
两条直角边的平方和等于斜边的平方。 5、认识直角三角形三边关系
2
2
2
2
2
2
（师）利用几何画板展示任意直角三角形，我们发现：无论三边长度如何变化，两条直角边的平方和总是等于斜边平方。
（师）请将上述结论用数学语言表述并符号化。
（生）学生讨论，交流并发言。
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a + b = c 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（师）在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"
股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。所以我国古代把上面的定理称为“勾股定理”。再请学生看一看，读一读：早在三千多年前周朝数学家商高就提出勾三、股四、弦五，并在后来被记载在中国古代著名数学著作《周髀算经》之中，一千多年后西方的毕达哥拉斯证明了此定理。 （设计意图：在探索定理的过程中， 为了突出本节重点，解决难点，我将按下面
两个层次设计探索过程。第一方面由等腰直角三角形到一般直角三角形三边关系的研究，体现从特殊到一般的方法，第二方面引导学生用割、补等方法计算正方形C面积到用拼图的方法探索直角三角形三边关系，展示由简单到复杂的思想，探索出勾股定理。）
三、回归生活，应用新知
要求：面向全体学生，部分学生可选择从自己需要的层次做起。 A层：
1、 在△ABC中，∠C=90°(1)若a=8，b=6，则若c=20，b=12，。 2、若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长的平方为（ ）
A 25 B 14 C 7 D 7或25
3、情景探索
小明的妈妈买来一部29英寸（74厘米）的电视机，小明量了电 视机的荧屏后，发现荧屏只有58厘米长46厘米宽，他认为售货员搞 错了．对不对？ （58=3364 46=2116 74.03≈5480）
4、一根旗杆在离地9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12
米处，旗杆折断之前
有多高？
（设计意图：本层是基础性习题，强化学生掌握在直角三角形中已知任意两边，都能利用勾股定理求出第三边的重要解题方法，以及定理的实际应用。以当堂检测学生
2
2
2
2
2
2
的达标情况。）
B层：
1、 两个边长分别为4个单位和3个单位的正方形连在一起
的“L”形
纸片，请你剪两刀，再将所得图形拼成一个正方形。
2、做一个长，宽，高分别为50厘米，40厘米，30厘米的木
箱，一根长为
70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学 过的知识说明。（ 70.71≈5000 ）
（设计意图：本层题目难度稍有提高，加强探索性和趣味性，以检测学生对定理灵活运用能力。）
C层：
阅读分析题：迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余
种。其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。 后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法。下面我们一起来了解这一证法。 ∵
2
a b
a
b
b c 111(ab)2c22ab 222
2
∴ abc
此证明方法的核心思想是“面积之间的等量关系”。右图是历史上著名 的“弦图”，你能通过此图，利用面积之间的等量关系来证明勾股定理吗？
22
（设计意图：本层题目面向学有余力的学生，注重思维开放性的培养。其中勾股定理总统证法和弦图证法，不但拓展了学生的视野，激发了学生的探究热情，而且使学生感受到勾股定理证明的博大精深。）
四、感悟收获，布置作业：
1、 你这节课的主要收获是什么？
2、 该定理揭示了哪一类三角形中的什么元素之间的关系？ 3、在探索和验证定理的过程中，我们运用了哪些方法？ 4、你最有兴趣的是什么？你有没有感到困难的地方？
（设计意图：梳理本节课的重要方法和知识点，加深对本节知识的理解。） 五、教学评价：
1、在探索勾股定理的过程中，老师应了解学生的创造性的解题思路，并能给予充分的肯定，同时记录在案。
2、在分层训练中，对学生的不同水平的解答老师应给于肯定和适当的鼓励，并记录在其成长记录袋中，以积累学生的学习成果。 六、课后作业：
1、 将课堂训练和课本中未完成的题目练完。 2、 利用周末去深圳科学馆参观“勾股弦定理”模型。 六、设计说明：
1、本节课是公式课，根据学生的知识结构，我采用的教学流程是：提出问题—实验操作—归纳验证—分层训练—布置作业五部分，这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。
2、探索定理采用了面积法，引导学生利用实验由特殊到一般对直角三角形三边关系的研究，得出结论。这种方法是认识事物规律的重要方法之一，通过教学让学生初步掌握这种方法，对于学生良好思维品质的形成有重要作用，对学生的终身发展也有一定的作用。 3、关于练习的设计，我采用分层训练，让不同的学生都学有所得，以达到因材施教的目的。
4、在课堂教学评价中，强调学生个体学习成果的积累，为终结性评价提供科学依据。
1.1探索勾股定理
教材
义务教育课程标准实验教科书（北师大版）八年级数学上册第一章第1节P2~ P6。
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用。本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。 教学目标
1、知识与技能目标：掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示。学生在经历用数格子与割补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。
2、能力目标：通过分层训练，使学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的应用技能。
3、情感目标：通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学，爱数学，做数学的情感。使学生从经历定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣。 教学重点、难点
重点：用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。
难点：计算以斜边为边长的大正方形C面积及割补思想的理解与应用。
教学方法 选择引导探索法，采用“问题情境----建立模型----解释、应用与拓展”的模式进行教学。
教具准备 多媒体课件；若干张已画好直角三角形的方格纸；剪刀；已剪好的纸片若干张。 教学过程
一、创设情境，引入新课
（师）请同学们观察动画，我国科学家曾向太空发射勾股图 试图与外星人沟通，在2002年的国际数学家大会上采用弦图 作为会标，它为什么有如此大的魅力呢？它蕴涵着怎样迷人的 奥妙呢？这节课我就带领大家一起探索勾股定理。
（设计意图：用一段生动有趣的动画，点燃学生的求知欲，以 景激情，以情激思，引领学生进入学习情境。）
二、师生互动，探究新知
活动1：（观察图1）你知道正方形C的面积是多少吗？ 你是怎样得出上面结果的呢？
（生）独立思考后交流，采用直接数方格的办法，或者是 分割成几个等腰直角三角形的方法计算正方形C的面积。（多 媒体演示）
（过渡语）同学们用数格子的方法发现了正方形C的面积，那么对于 下面图2中的正方形C， “数方格子”的方法还行得通吗？下面我们 一起来研究。
活动2：（观察你手中方格纸上的图2）正方形C的面积是多少？ 你是怎样得出结果的呢？
（师）我们用数方格子的方法能算出正方形C的面积吗？参考弦图，你想到什么好方法了吗？（引出“割”法）
大家想一想还有没有其它方法呢？受“割”法的启示，我们能通过“补”的方法得出结论吗？
（生）独立思考，在预先准备的方格纸上将图形剪一剪、拼一拼，用分割成四个全等直角三角形的方法或将正方形C补成边长为整数的大正方形的方法求出斜边上的正方形C的面积。接着将成果与同伴交流，学生代表发言。
活动3：
分工1：（如图3）请每个小组两名组员试着将手中的已剪好的四个全等的四边形拼成正方形B。
分工2：（如图4）另两名组员再将同样的四个四边形和正方形A一起拼
成一个大
正方形
C。
③
① ④
②
A
①
图
图4 ④ ③ 思考：
1、等腰直角三角形
（师）
观察图5，对于等腰直角三角形，将正方形A、正方形B和已计算的正方形C的面积填入下表，它们的面积有什么关系？
结论：正方形A面积 + 正方形B面积 = 正方形C面积 2、直角边长为整数的一般直角三角形
（师）观察图6，直角边长为整数的一般直角三角形，正方形A、正方形B、正方形C面积又有什么关系呢？
结论：正方形A面积 + 正方形B面积 = 正方形C面积 3、任意直角三角形
（师）那么，对于直角边长不是整数的一般直角三角形上面的结论还成立吗？（出示图7）
生合作：试着将已拼好的正方形B和大正方形C同正方形A拼成如图7所示的图形。
②
① ④
A
B
A
C
C
图7 图8
（师）同学们从活动中都得出正方形A、正方形B、正方形C面积有什么关系？ （生）小组交流，学生代表发言。
结论：正方形A面积 + 正方形B面积 = 正方形C面积
师点拨：这里的四个全等的四边形是正方形B按如图8所示的方法分割的。
师小结：通过以上活动，我们发现以任意直角三角形的两条直角边为边长的正方形面积之和都等于以斜边为边长的正方形面积。
（师）下面我们运用几何画板进一步验证上面的结论（改变直角三角形的三边长度，同学们发现结论仍然成立）。
4、正方形面积与直角三角形三边关系
（师）若我们设两条直角边长分别为a、b，斜边为c，你能用三角形的边长来表示这三个正方形的面积吗？（将正方形的面积和三角形的边长联系起来） （生）正方形A面积为a，正方形B面积为b，正方形C面积为c。 （师）你发现直角三角形三边长度之间有什么联系？ （生）分组讨论，交流并发言。
结论：由于 正方形A面积 + 正方形B面积 = 正方形C面积，所以 a+ b= c即
两条直角边的平方和等于斜边的平方。 5、认识直角三角形三边关系
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（师）利用几何画板展示任意直角三角形，我们发现：无论三边长度如何变化，两条直角边的平方和总是等于斜边平方。
（师）请将上述结论用数学语言表述并符号化。
（生）学生讨论，交流并发言。
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a + b = c 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（师）在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"
股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。所以我国古代把上面的定理称为“勾股定理”。再请学生看一看，读一读：早在三千多年前周朝数学家商高就提出勾三、股四、弦五，并在后来被记载在中国古代著名数学著作《周髀算经》之中，一千多年后西方的毕达哥拉斯证明了此定理。 （设计意图：在探索定理的过程中， 为了突出本节重点，解决难点，我将按下面
两个层次设计探索过程。第一方面由等腰直角三角形到一般直角三角形三边关系的研究，体现从特殊到一般的方法，第二方面引导学生用割、补等方法计算正方形C面积到用拼图的方法探索直角三角形三边关系，展示由简单到复杂的思想，探索出勾股定理。）
三、回归生活，应用新知
要求：面向全体学生，部分学生可选择从自己需要的层次做起。 A层：
1、 在△ABC中，∠C=90°(1)若a=8，b=6，则若c=20，b=12，。 2、若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长的平方为（ ）
A 25 B 14 C 7 D 7或25
3、情景探索
小明的妈妈买来一部29英寸（74厘米）的电视机，小明量了电 视机的荧屏后，发现荧屏只有58厘米长46厘米宽，他认为售货员搞 错了．对不对？ （58=3364 46=2116 74.03≈5480）
4、一根旗杆在离地9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12
米处，旗杆折断之前
有多高？
（设计意图：本层是基础性习题，强化学生掌握在直角三角形中已知任意两边，都能利用勾股定理求出第三边的重要解题方法，以及定理的实际应用。以当堂检测学生
2
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B层：
1、 两个边长分别为4个单位和3个单位的正方形连在一起
的“L”形
纸片，请你剪两刀，再将所得图形拼成一个正方形。
2、做一个长，宽，高分别为50厘米，40厘米，30厘米的木
箱，一根长为
70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学 过的知识说明。（ 70.71≈5000 ）
（设计意图：本层题目难度稍有提高，加强探索性和趣味性，以检测学生对定理灵活运用能力。）
C层：
阅读分析题：迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余
种。其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。 后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法。下面我们一起来了解这一证法。 ∵
2
a b
a
b
b c 111(ab)2c22ab 222
2
∴ abc
此证明方法的核心思想是“面积之间的等量关系”。右图是历史上著名 的“弦图”，你能通过此图，利用面积之间的等量关系来证明勾股定理吗？
22
（设计意图：本层题目面向学有余力的学生，注重思维开放性的培养。其中勾股定理总统证法和弦图证法，不但拓展了学生的视野，激发了学生的探究热情，而且使学生感受到勾股定理证明的博大精深。）
四、感悟收获，布置作业：
1、 你这节课的主要收获是什么？
2、 该定理揭示了哪一类三角形中的什么元素之间的关系？ 3、在探索和验证定理的过程中，我们运用了哪些方法？ 4、你最有兴趣的是什么？你有没有感到困难的地方？
（设计意图：梳理本节课的重要方法和知识点，加深对本节知识的理解。） 五、教学评价：
1、在探索勾股定理的过程中，老师应了解学生的创造性的解题思路，并能给予充分的肯定，同时记录在案。
2、在分层训练中，对学生的不同水平的解答老师应给于肯定和适当的鼓励，并记录在其成长记录袋中，以积累学生的学习成果。 六、课后作业：
1、 将课堂训练和课本中未完成的题目练完。 2、 利用周末去深圳科学馆参观“勾股弦定理”模型。 六、设计说明：
1、本节课是公式课，根据学生的知识结构，我采用的教学流程是：提出问题—实验操作—归纳验证—分层训练—布置作业五部分，这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。
2、探索定理采用了面积法，引导学生利用实验由特殊到一般对直角三角形三边关系的研究，得出结论。这种方法是认识事物规律的重要方法之一，通过教学让学生初步掌握这种方法，对于学生良好思维品质的形成有重要作用，对学生的终身发展也有一定的作用。 3、关于练习的设计，我采用分层训练，让不同的学生都学有所得，以达到因材施教的目的。
4、在课堂教学评价中，强调学生个体学习成果的积累，为终结性评价提供科学依据。