高三数学复习平面向量(知识点加练习题)

2013高三数学复习平面向量

【考纲知识梳理】

一、平面向量的概念及其线性运算 1、向量的有关概念及表示方法 (1)向量的有关概念

(2)向量的表示方法

①字母表示法,如:a , AB 等;

②几何表示法:用一条有向线段表示向量。 2、向量的线性运算

3、向量a (a ≠0) 与向量b 共线的充要条件为存在唯一一个实数λ,使b =λa .

注:用向量法证明三点A 、B 、C 共线时,首先求出AB 、AC ,然后证明AB =λAC ,即AB 与AC 共线

即可。

二、平面向量的基本定理及坐标表示 1、两个向量的夹角 (1)定义

已知两个非零向量a 和b ,作OA =a , OA =b ,则∠AOB=θ叫做向量a 与b 的夹角。

注:在ΔABC 中,设AB =a , BC =b ,则向量a 与b 的夹角为∠ABC 是否正确?

(2)范围

00

向量夹角θ的范围是0≤θ≤180,a 与b 同向时,夹角θ=0;a 与b 反向时,夹角θ=180。

(3)向量垂直

如果向量a 与b 的夹角是90,则a 与b 垂直,记作a ⊥b 。

3、平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算 (2)向量坐标的求法 (3)平面向量共线的坐标表示

设a =(x 1, y 1) ,b =(x 2, y 2) ,其中b ≠0,则a 与b 共线⇔a =λb ⇔ x 1y 2-x 2y 1=0。

三、平面向量的数量积及其应用举例 (一)主要知识:

1.平面向量数量积的概念;

a ⋅b

2 2cos =|a ||b |; 2.平面向量数量积的性质:|a |=a 、

3.向量垂直的充要条件:a ⊥b ⇔a ⋅b =0.

【热点难点精析】

一、平面向量的概念及其线性运算 (一)向量的有关概念

1、着重理解向量以下几个方面:

(1)向量的模;(2)向量的方向;(3)向量的几何表示;(4)向量的起点和终点。 2、判定两个向量的关系时,特别注意以下两种特殊情况: (1)零向量的方向及与其他向量的关系; (2)单位向量的长度及方向。

【例1】下列结论中,不正确的是 ( )

(A ) 向量AB ,CD 共线与向量AB //CD 同义;

(B ) 若向量AB //CD ,则向量AB 与DC 共线;

(C ) 若向量AB =CD ,则向量BA =DC ;

(D ) 只要向量a ,b 满足|a |=|b |,就有a =b 。

【例2】给出下列命题:

①有向线段就是向量,向量就是有向线段;

②若AB =DC , 则ABCD 为平行四边形; ③若a //b , b //c , 则a =c ; ④若a //b , b //c , 则a //c 。

其中正确命题的个数是 ( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 (二)向量的线性运算

(1)用已知向量来表示别外一些向量是用向量解题的基本功,除利用向量的加、减法、数乘向量外,

还应充分利用平面几何的一些定理;

(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角形法则,利用三角形中位线,相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量求解。

【例3】如图,在 ABC 中,AD ⊥

AB , BC =,

AD =1, 则AC AD =

(三)向量的共线问题

〖例〗设两个非零向量a 与b 不共线,

(1) 若AB =a +b , BC =2a +8b , CD =3(a -b ). 求证:A 、B 、D 三点共线;

(2) 试确定实数k ,使ka +b 和a +kb 共线

二、平面向量的基本定理及坐标表示

1、向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用;

2、利用向量的坐标运算解题。主要是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解;

3、利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出线性系数;

4、向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,就可以使得很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算。

平面向量共线的坐标表示

1、凡遇到与平行有关的问题时,一般地要考虑运用向量平行的充要条件;

2、向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法,也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法。解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特征,应学会利用这一点来构造函数和方程,以便用函数与方程的思想解题。

〖例〗已知a =(1,2), b =(-3,2), 当k 为何值时,ka +b 与a -3b 平行;平行时它们是同向还是反向?

(四)向量与其他知识的综合

〖例〗已知向量u =(x , y ) 现向量v =(y ,2y -x ) 的对应关系用v =f (u ) 表示。设a =(1,1), b =(1,0) ,

求向量f (a ) 与f (b ) 的坐标;

三、平面向量的数量积及平面向量应用举例 (一)平面向量的数量积的运算及向量的模问题

1、向量的数量积有两种计算方法,一是利用公式a ⋅b =|a ||b |cos θ来计算,二是利用

a ⋅b =x 1x 2+y 1y 2来计算,具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用。

2、利用数量积求长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法:

2 2 (1)|a |=a =a ⋅a ;

2 2 2 2

(2)|a +b |=(a ±b ) =a ±2a ⋅b +b ;

(3)若a =(x , y ), 则|a |= 3π

〖例〗已知|a |=3,|b |=4, ,a 与b 的夹角为,求:(1)(3a -2b ) (2)|a +b |。 (a -2b ) ;

4

(二)平面向量的垂直问题

1、非零向量a ⊥b ⇔a ⋅b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0

2、当向量a 与b 是非坐标形式时,要把a 、b 用已知的不共线的向量表示。

注:把向量都用坐标表示,并不一定都能够简化运算,要因题而异。 (三)平面向量的夹角问题

1、当a 与b 是非坐标形式时,求a 与b 的夹角。需求得a ⋅b 及a , b 或得出它们的关系。

2、若已知a 与b 的坐标,则可直接利用公式cos θ=

.

注:平面向量a 、b 的夹角

〖例〗已知a 、b 都是非零向量,且a +3b 与7a -5b 垂直,a -4b 与7a -2b 垂直,求a 与b 的夹

角θ。

【考点精题精练】

1.若、、为任意向量,m ∈R ,则下列等式不一定成立的是( ) A .(a +b ) +c =a +(b +c )

B .(a +b ) ⋅c =a ⋅c +b ⋅c

D .(⋅) ⋅=⋅(⋅)

C .m (a +b ) =ma +mb

2.已知a =(1,2), b =(x ,1) ,且a +2b 与2a -b 平行,则x =( )

(A )1

(B )2

(C )

1 2

3.已知|a |=2, |b |=1, a 与b 的夹角为60,又,c =ma +3b , d =2a -mb , 且c ⊥b ,则实数m 的值为

(D )

(A )0

(B )6或-6

(C )1或-6

(D )-1或6

1 3

4. 向量a =(-1, 2) 、b =(-x , x +2) 满足a =λb (λ∈R ) ,则实数λ= .

→+CD →+EF →=( ) .

5. 如图,正六边形ABCDEF 中,BA

A .0

→ C. AD → B. BE

→ D. CF

→等于( ) .

6. D 是△ABC 的边AB 上的中点,则向量CD →+1→ A .-BC

2→-1BA → C 、BC

2

→-1BA → B .-BC

2→+1→ D. BC

2

→+DC →-2DA →)·→-AC →) =0,则△ABC 的形状

7. 平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ,已知(DB (AB 是( ) .

A .直角三角形 B .等腰直角三角形 C .等腰三角形 D .无法确定

8. 如图,在矩形ABCD

中,AB BC =2,点E 为BC 的中点,点F 在边CD

上,若AB AF

则AE BF 的值是 .

→=2BD →,CA →=3CE →,则AD →·→=________.

9. 在边长为1的正三角形ABC 中,设BC BE

→|=1,AP →=2PM →,则P →→+PC →) =_______ 10. 在△ABC 中,M 是BC 的中点,|AM A ·(PB

11. 如图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,

若AB =mAM ,AC =nAN ,则m +n 的值为

2

12.点P 在△ABC 内一点,且AP = AB +tAC 则t 的取值范围是

3 A .0

2

3

B .0

1 3

C .

1

D .

2

1 1

13. P是△ABC 内一点, AP =AB +AC ,则S ∆PBC :S∆ABC = 。

23

1111

A . B . C . D .

23612

C AB D 14.已知圆的半径为3,直径上一点使AB =3AD , E , F 为另一直径的两个端点,则

DE ⋅DF =( )

A .-3

B.-4

C .-8

D .-9

15. 若两个非零向量a , b 满足a +b =a -b =2a ,则向量a +b 与a -b 的夹角是 .

16. 若非零向量a ,b 满足a +b =b ,则( ) A.2a >2a +b C.2b >a +2b

B.2a

2013高三数学复习平面向量

【考纲知识梳理】

一、平面向量的概念及其线性运算 1、向量的有关概念及表示方法 (1)向量的有关概念

(2)向量的表示方法

①字母表示法,如:a , AB 等;

②几何表示法:用一条有向线段表示向量。 2、向量的线性运算

3、向量a (a ≠0) 与向量b 共线的充要条件为存在唯一一个实数λ,使b =λa .

注:用向量法证明三点A 、B 、C 共线时,首先求出AB 、AC ,然后证明AB =λAC ,即AB 与AC 共线

即可。

二、平面向量的基本定理及坐标表示 1、两个向量的夹角 (1)定义

已知两个非零向量a 和b ,作OA =a , OA =b ,则∠AOB=θ叫做向量a 与b 的夹角。

注:在ΔABC 中,设AB =a , BC =b ,则向量a 与b 的夹角为∠ABC 是否正确?

(2)范围

00

向量夹角θ的范围是0≤θ≤180,a 与b 同向时,夹角θ=0;a 与b 反向时,夹角θ=180。

(3)向量垂直

如果向量a 与b 的夹角是90,则a 与b 垂直,记作a ⊥b 。

3、平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算 (2)向量坐标的求法 (3)平面向量共线的坐标表示

设a =(x 1, y 1) ,b =(x 2, y 2) ,其中b ≠0,则a 与b 共线⇔a =λb ⇔ x 1y 2-x 2y 1=0。

三、平面向量的数量积及其应用举例 (一)主要知识:

1.平面向量数量积的概念;

a ⋅b

2 2cos =|a ||b |; 2.平面向量数量积的性质:|a |=a 、

3.向量垂直的充要条件:a ⊥b ⇔a ⋅b =0.

【热点难点精析】

一、平面向量的概念及其线性运算 (一)向量的有关概念

1、着重理解向量以下几个方面:

(1)向量的模;(2)向量的方向;(3)向量的几何表示;(4)向量的起点和终点。 2、判定两个向量的关系时,特别注意以下两种特殊情况: (1)零向量的方向及与其他向量的关系; (2)单位向量的长度及方向。

【例1】下列结论中,不正确的是 ( )

(A ) 向量AB ,CD 共线与向量AB //CD 同义;

(B ) 若向量AB //CD ,则向量AB 与DC 共线;

(C ) 若向量AB =CD ,则向量BA =DC ;

(D ) 只要向量a ,b 满足|a |=|b |,就有a =b 。

【例2】给出下列命题:

①有向线段就是向量,向量就是有向线段;

②若AB =DC , 则ABCD 为平行四边形; ③若a //b , b //c , 则a =c ; ④若a //b , b //c , 则a //c 。

其中正确命题的个数是 ( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 (二)向量的线性运算

(1)用已知向量来表示别外一些向量是用向量解题的基本功,除利用向量的加、减法、数乘向量外,

还应充分利用平面几何的一些定理;

(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角形法则,利用三角形中位线,相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量求解。

【例3】如图,在 ABC 中,AD ⊥

AB , BC =,

AD =1, 则AC AD =

(三)向量的共线问题

〖例〗设两个非零向量a 与b 不共线,

(1) 若AB =a +b , BC =2a +8b , CD =3(a -b ). 求证:A 、B 、D 三点共线;

(2) 试确定实数k ,使ka +b 和a +kb 共线

二、平面向量的基本定理及坐标表示

1、向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用;

2、利用向量的坐标运算解题。主要是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解;

3、利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出线性系数;

4、向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,就可以使得很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算。

平面向量共线的坐标表示

1、凡遇到与平行有关的问题时,一般地要考虑运用向量平行的充要条件;

2、向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法,也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法。解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特征,应学会利用这一点来构造函数和方程,以便用函数与方程的思想解题。

〖例〗已知a =(1,2), b =(-3,2), 当k 为何值时,ka +b 与a -3b 平行;平行时它们是同向还是反向?

(四)向量与其他知识的综合

〖例〗已知向量u =(x , y ) 现向量v =(y ,2y -x ) 的对应关系用v =f (u ) 表示。设a =(1,1), b =(1,0) ,

求向量f (a ) 与f (b ) 的坐标;

三、平面向量的数量积及平面向量应用举例 (一)平面向量的数量积的运算及向量的模问题

1、向量的数量积有两种计算方法,一是利用公式a ⋅b =|a ||b |cos θ来计算,二是利用

a ⋅b =x 1x 2+y 1y 2来计算,具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用。

2、利用数量积求长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法:

2 2 (1)|a |=a =a ⋅a ;

2 2 2 2

(2)|a +b |=(a ±b ) =a ±2a ⋅b +b ;

(3)若a =(x , y ), 则|a |= 3π

〖例〗已知|a |=3,|b |=4, ,a 与b 的夹角为,求:(1)(3a -2b ) (2)|a +b |。 (a -2b ) ;

4

(二)平面向量的垂直问题

1、非零向量a ⊥b ⇔a ⋅b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0

2、当向量a 与b 是非坐标形式时,要把a 、b 用已知的不共线的向量表示。

注:把向量都用坐标表示,并不一定都能够简化运算,要因题而异。 (三)平面向量的夹角问题

1、当a 与b 是非坐标形式时,求a 与b 的夹角。需求得a ⋅b 及a , b 或得出它们的关系。

2、若已知a 与b 的坐标,则可直接利用公式cos θ=

.

注:平面向量a 、b 的夹角

〖例〗已知a 、b 都是非零向量,且a +3b 与7a -5b 垂直,a -4b 与7a -2b 垂直,求a 与b 的夹

角θ。

【考点精题精练】

1.若、、为任意向量,m ∈R ,则下列等式不一定成立的是( ) A .(a +b ) +c =a +(b +c )

B .(a +b ) ⋅c =a ⋅c +b ⋅c

D .(⋅) ⋅=⋅(⋅)

C .m (a +b ) =ma +mb

2.已知a =(1,2), b =(x ,1) ,且a +2b 与2a -b 平行,则x =( )

(A )1

(B )2

(C )

1 2

3.已知|a |=2, |b |=1, a 与b 的夹角为60,又,c =ma +3b , d =2a -mb , 且c ⊥b ,则实数m 的值为

(D )

(A )0

(B )6或-6

(C )1或-6

(D )-1或6

1 3

4. 向量a =(-1, 2) 、b =(-x , x +2) 满足a =λb (λ∈R ) ,则实数λ= .

→+CD →+EF →=( ) .

5. 如图,正六边形ABCDEF 中,BA

A .0

→ C. AD → B. BE

→ D. CF

→等于( ) .

6. D 是△ABC 的边AB 上的中点,则向量CD →+1→ A .-BC

2→-1BA → C 、BC

2

→-1BA → B .-BC

2→+1→ D. BC

2

→+DC →-2DA →)·→-AC →) =0,则△ABC 的形状

7. 平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ,已知(DB (AB 是( ) .

A .直角三角形 B .等腰直角三角形 C .等腰三角形 D .无法确定

8. 如图,在矩形ABCD

中,AB BC =2,点E 为BC 的中点,点F 在边CD

上,若AB AF

则AE BF 的值是 .

→=2BD →,CA →=3CE →,则AD →·→=________.

9. 在边长为1的正三角形ABC 中,设BC BE

→|=1,AP →=2PM →,则P →→+PC →) =_______ 10. 在△ABC 中,M 是BC 的中点,|AM A ·(PB

11. 如图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,

若AB =mAM ,AC =nAN ,则m +n 的值为

2

12.点P 在△ABC 内一点,且AP = AB +tAC 则t 的取值范围是

3 A .0

2

3

B .0

1 3

C .

1

D .

2

1 1

13. P是△ABC 内一点, AP =AB +AC ,则S ∆PBC :S∆ABC = 。

23

1111

A . B . C . D .

23612

C AB D 14.已知圆的半径为3,直径上一点使AB =3AD , E , F 为另一直径的两个端点,则

DE ⋅DF =( )

A .-3

B.-4

C .-8

D .-9

15. 若两个非零向量a , b 满足a +b =a -b =2a ,则向量a +b 与a -b 的夹角是 .

16. 若非零向量a ,b 满足a +b =b ,则( ) A.2a >2a +b C.2b >a +2b

B.2a


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