初三数学：二次函数的图像和性质
【基础知识】
一、二次函数的概念和图像 1.二次函数的概念
一般地，如果y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) ，那么y 叫做x 的二次函数。
y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) 叫做二次函数的一般式。
2. 二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于x =-
b
2a
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①开口方向；②对称轴；③顶点。 二、二次函数的性质
2、二次函数y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) 中，a 、b 、c 的含义：
a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上a
：对称轴为x=-b 与对称轴的位置有关（左同右异）
b
2a
c 看抛物线与y 轴的交点坐标：三、二次函数图象的平移
2. 平移规律“左加右减，上加下减”． 【典型例题】
如图，矩形ABCD 的两边长AB =18cm，AD =4cm，点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y （cm 2）. （1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2）求△PBQ 的面积的最大值.
对应练习：
1. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则反比例函数y =在同一坐标系中的大致图象是（ ）.
a
与一次函数y =bx +c x
+c
下列结果①b >4ac ②abc >0③2a +b =0④a +b +c >0⑤a -b +c
A ①②③④ B ②④⑤ C ②③④ D ①④⑤ 【课堂检测】 2
2. （2013哈尔滨）把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位，再向右平移1
2
个单位，所得到的抛物线是( )．
(A)y=(x+2)2+2 (B)y=(x+2)2-2 (C)y=x2+2 (D)y=x2-2
4. （2011重庆）已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a +b +c ＞0
5. （2011浙江）已知二次函数的图象（0≤x ≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A 、有最小值0，有最大值3 B 、有最小值﹣1，有最大值0 C 、有最小值﹣1，有最大值3 D 、有最小值﹣1，无最大值 6. （2013•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：
①abc ＞O ，②2a+b=O，③b 2﹣4ac ＜O ，④4a+2b+c＞O
7.(2012重庆) 已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象如图所示对
1
称轴为x =-。下列结论中，正确的是（ ）
2
A.abc>0 B.a+b=0 C.2b+c>0 D.4a 十c
8. （2013•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx 2+2x+2（m 是常数，且m ≠0）的图象可能是（ ）
210. （2013•攀枝花）二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的图象如图所示，则函数y=与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） 列结论中正确的是（ ）
A ．a ＞0 B ．当﹣1＜x ＜3时，y ＞0
C ．c ＜0 D ．当x ≥1时，y 随x 的增大而增大
12（2013泰安）二次函数y =a (x +m ) 2+n 的图象如图，则一次函数y =mx +n 的图象经过（ ）
A. 第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 13. （2013陕西）已知两点A (-5, y 1), B (3, y 2) 均在抛物线y =ax 2+bc +c (a ≠0) 上，点
C (x 0, y 0) 是该抛物线的顶点，若y 1>y 2≥y 0，则x 0的取值范围是（ ）
A ．x 0>-5 B ．x 0>-1 C ．-5
y=到抛物线
y=为（ ）
A ．2 B ．4
经过平移得
，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积C ．8
D ．16
12
x +bx 与直线y =2x 交于点2
15.(2013浙江丽水) 如图，已知抛物线y =
O （0，0），A （a ，12），点B 是抛物线上O ，A 之间的一个动点，过点B 分别作x 轴、
y 轴的平行线与直线OA 交于点C ，E 。 （1）求抛物线的函数解析式；
（2）若点C 为OA 的中点，求BC 的长；
（3）以BC ，BE 为边构造矩形BCDE ，设点D 的坐标为（m ，n ），
求出m ，n 之间的关系式。
二次函数解析式的8种求法
二次函数的解析式的求法是数学学习的难点，不易掌握．基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉：
一、定义型：
此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件： 1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次．
例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ． 二、开放型
此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、经过点A （0，3）的抛物线的解析式是 ． 三、平移型：
将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h ) 2 + k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变．
151
例3、二次函数 y =χ2+3χ+ 的图像是由y =χ2的图像先向
222
个 单位，再向 平移 个单位得到的．
这两类题目多出现在选择题或是填空题目中。 四、一般式
当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式y =a χ2+b χ+c ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值；
例4、已知二次函数图像经过（1，-4），（-1，0），（-2，5） 求这个二次函数的解析式
五、顶点式
若已知抛物线的顶点或对称轴、极值（最大或最小值），则设为顶点式
y =a (x -h )+k ．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y
2
极值=k 来求出相应的系数；
例5二次函数图像顶点是（-2，3），且过（-1，5），求出该二次函数解析式。
六、两根式
0)，0)，设二次函数的解析式为已知图像与 x 轴交于不同的两点(x 1，(x 2，
y =a (x -x 1)(x -x 2)，根据题目条件求出a 的值．
例6、图像与x 轴交于（-2，0），（4，0）两点，且过（1，-
9
）求出解析式。 2
七、翻折型（对称性）：
已知一个二次函数γ=a χ2+b χ+c ，要求其图象关于x 轴对称（也可以说沿x 轴翻折）；y 轴对称
及经过其顶点且平行于x 轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y = a ( x – h ) 2 + k 的形式．
（1）关于x 轴对称的两个图象的顶点关于x 轴对称，两个图象的开口方向相反，即a 互为相反数．
（2）关于y 轴对称的两个图象的顶点关于y 轴对称，两个图象的形状大小不变，即a 相同．
（3）关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即a 互为相反数．
例7、把函数y=2x2-4x+1的图象绕顶点旋转180度 求所得抛物线的解析式。
2
y =3x -6x +5，求满足下列条件的二次函数的解析式： 例8 已知二次函数（1）图象关于x 轴对称；
（2）图象关于y 轴对称；
（3）图象关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称．
七、对话与二次函数关系式
例9、 有一个二次函数的图象，三个同学分别说出了它的一些特点． 小明：对称轴是直线x =4； 赵同说：函数有最大值为2；
张单说：此函数的图象经过点（-3，1）关于y 轴的对称点；请你根据上述对话写出满足条件的二次函数关系式．
例10、若二次函数的图像满足下列条件： （1）当x ＜2时，y 随x 的增大而增大 （2）当x ≥2时，y 随x 的增大而减小 则这样的二次函数解析式可以是 八、数形结合
例11. （2012临沂）
如图，点A 在x 轴上，OA=4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． （1）求点B 的坐标；
（2）求经过点A ．O 、B 的抛物线的解析式；
练习：
1. 已知：在△ABC 中，BC=20，高AD=16，内接矩形EFGH 的顶点E 、F 在BC 上，G 、H 分别在AC 、AB 上，求内接矩形EFGH 的最大面积。
2. （南京市）（8分）已知二次函数y =ax 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：
（1
（2）当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？
初三数学：二次函数的图像和性质
【基础知识】
一、二次函数的概念和图像 1.二次函数的概念
一般地，如果y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) ，那么y 叫做x 的二次函数。
y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) 叫做二次函数的一般式。
2. 二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于x =-
b
2a
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①开口方向；②对称轴；③顶点。 二、二次函数的性质
2、二次函数y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) 中，a 、b 、c 的含义：
a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上a
：对称轴为x=-b 与对称轴的位置有关（左同右异）
b
2a
c 看抛物线与y 轴的交点坐标：三、二次函数图象的平移
2. 平移规律“左加右减，上加下减”． 【典型例题】
如图，矩形ABCD 的两边长AB =18cm，AD =4cm，点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y （cm 2）. （1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2）求△PBQ 的面积的最大值.
对应练习：
1. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则反比例函数y =在同一坐标系中的大致图象是（ ）.
a
与一次函数y =bx +c x
+c
下列结果①b >4ac ②abc >0③2a +b =0④a +b +c >0⑤a -b +c
A ①②③④ B ②④⑤ C ②③④ D ①④⑤ 【课堂检测】 2
2. （2013哈尔滨）把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位，再向右平移1
2
个单位，所得到的抛物线是( )．
(A)y=(x+2)2+2 (B)y=(x+2)2-2 (C)y=x2+2 (D)y=x2-2
4. （2011重庆）已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a +b +c ＞0
5. （2011浙江）已知二次函数的图象（0≤x ≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A 、有最小值0，有最大值3 B 、有最小值﹣1，有最大值0 C 、有最小值﹣1，有最大值3 D 、有最小值﹣1，无最大值 6. （2013•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：
①abc ＞O ，②2a+b=O，③b 2﹣4ac ＜O ，④4a+2b+c＞O
7.(2012重庆) 已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象如图所示对
1
称轴为x =-。下列结论中，正确的是（ ）
2
A.abc>0 B.a+b=0 C.2b+c>0 D.4a 十c
8. （2013•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx 2+2x+2（m 是常数，且m ≠0）的图象可能是（ ）
210. （2013•攀枝花）二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0）的图象如图所示，则函数y=与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（ ） 列结论中正确的是（ ）
A ．a ＞0 B ．当﹣1＜x ＜3时，y ＞0
C ．c ＜0 D ．当x ≥1时，y 随x 的增大而增大
12（2013泰安）二次函数y =a (x +m ) 2+n 的图象如图，则一次函数y =mx +n 的图象经过（ ）
A. 第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 13. （2013陕西）已知两点A (-5, y 1), B (3, y 2) 均在抛物线y =ax 2+bc +c (a ≠0) 上，点
C (x 0, y 0) 是该抛物线的顶点，若y 1>y 2≥y 0，则x 0的取值范围是（ ）
A ．x 0>-5 B ．x 0>-1 C ．-5
y=到抛物线
y=为（ ）
A ．2 B ．4
经过平移得
，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积C ．8
D ．16
12
x +bx 与直线y =2x 交于点2
15.(2013浙江丽水) 如图，已知抛物线y =
O （0，0），A （a ，12），点B 是抛物线上O ，A 之间的一个动点，过点B 分别作x 轴、
y 轴的平行线与直线OA 交于点C ，E 。 （1）求抛物线的函数解析式；
（2）若点C 为OA 的中点，求BC 的长；
（3）以BC ，BE 为边构造矩形BCDE ，设点D 的坐标为（m ，n ），
求出m ，n 之间的关系式。
二次函数解析式的8种求法
二次函数的解析式的求法是数学学习的难点，不易掌握．基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉：
一、定义型：
此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件： 1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次．
例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ． 二、开放型
此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、经过点A （0，3）的抛物线的解析式是 ． 三、平移型：
将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h ) 2 + k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变．
151
例3、二次函数 y =χ2+3χ+ 的图像是由y =χ2的图像先向
222
个 单位，再向 平移 个单位得到的．
这两类题目多出现在选择题或是填空题目中。 四、一般式
当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式y =a χ2+b χ+c ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值；
例4、已知二次函数图像经过（1，-4），（-1，0），（-2，5） 求这个二次函数的解析式
五、顶点式
若已知抛物线的顶点或对称轴、极值（最大或最小值），则设为顶点式
y =a (x -h )+k ．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y
2
极值=k 来求出相应的系数；
例5二次函数图像顶点是（-2，3），且过（-1，5），求出该二次函数解析式。
六、两根式
0)，0)，设二次函数的解析式为已知图像与 x 轴交于不同的两点(x 1，(x 2，
y =a (x -x 1)(x -x 2)，根据题目条件求出a 的值．
例6、图像与x 轴交于（-2，0），（4，0）两点，且过（1，-
9
）求出解析式。 2
七、翻折型（对称性）：
已知一个二次函数γ=a χ2+b χ+c ，要求其图象关于x 轴对称（也可以说沿x 轴翻折）；y 轴对称
及经过其顶点且平行于x 轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y = a ( x – h ) 2 + k 的形式．
（1）关于x 轴对称的两个图象的顶点关于x 轴对称，两个图象的开口方向相反，即a 互为相反数．
（2）关于y 轴对称的两个图象的顶点关于y 轴对称，两个图象的形状大小不变，即a 相同．
（3）关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即a 互为相反数．
例7、把函数y=2x2-4x+1的图象绕顶点旋转180度 求所得抛物线的解析式。
2
y =3x -6x +5，求满足下列条件的二次函数的解析式： 例8 已知二次函数（1）图象关于x 轴对称；
（2）图象关于y 轴对称；
（3）图象关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称．
七、对话与二次函数关系式
例9、 有一个二次函数的图象，三个同学分别说出了它的一些特点． 小明：对称轴是直线x =4； 赵同说：函数有最大值为2；
张单说：此函数的图象经过点（-3，1）关于y 轴的对称点；请你根据上述对话写出满足条件的二次函数关系式．
例10、若二次函数的图像满足下列条件： （1）当x ＜2时，y 随x 的增大而增大 （2）当x ≥2时，y 随x 的增大而减小 则这样的二次函数解析式可以是 八、数形结合
例11. （2012临沂）
如图，点A 在x 轴上，OA=4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． （1）求点B 的坐标；
（2）求经过点A ．O 、B 的抛物线的解析式；
练习：
1. 已知：在△ABC 中，BC=20，高AD=16，内接矩形EFGH 的顶点E 、F 在BC 上，G 、H 分别在AC 、AB 上，求内接矩形EFGH 的最大面积。
2. （南京市）（8分）已知二次函数y =ax 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：
（1
（2）当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？