(一)瑞典圆弧法

二维边坡稳定分析

（一）瑞典圆弧法

又称为瑞典法，普通条分法，一般条分法，费伦纽斯法（Ordinary or Fellenius method）。

1简化条件

仅适用圆弧滑裂面；假定每一土条侧向垂直面上的作用力平行于土条底面（亦有认为是忽略土条两侧的作用力），此假定会使牛顿“作用力等于反作用力”的原理在两个土条之间得不到满足；

2坐标系和条块受力分析

① 坐标系规定：滑坡体位于坐标系原点的右侧即 x ≥ 0

② 典型条块受力分析

hi,宽度为bi,底滑面长度为li，底滑面倾角为αi；Wi；

KcWi，Kc为地震影响系数； N'i；

Ui=γuWisecαi，

γu为孔（Ⅰ）条块高度为（Ⅱ）条块自重为（Ⅲ）地震力（Ⅳ）作用于条块底部滑裂面的有效法向力（Ⅴ）作用于条块底部滑裂面孔隙水压力的合力隙水压力系数；

（Ⅵ）作用于条块底部的剪切力Si；

（Ⅶ）作用于条块界面条间力的合力Pi-1 Pi,平行于土条底部滑裂面；（Ⅷ）作用于条块顶部的外部荷载Qix Qiy，作用点（xpi ypi）。 ③ 条块参数取值及符号约定（Ⅰ）条块底滑面倾角αi

定义条块底滑面为矢量，方向与滑体滑动方向相反，定义该矢量与正x轴的夹角为条块底滑面倾角αi，逆时针为正

( i为负值 )

if (x2 ≥x1) else

αi=y2-y1

) l

αi落在二三象限，方法同垂直条分法求解

（则l=(x2-x1)2+(y2-y1)2）

注意：一般情况下，αi取值范围为（-

,），滑面1→2落在一、四象限； 22

特殊情况，如滑面1→2落在二、三象限，则无法利用垂直条分法求解，此时滑面不再是单值曲线，垂直条块界面和底滑面存在二个及以上的交点，因此程序设计时要进行数据合理性检验。

ππ

（Ⅱ）水平、竖直方向荷载在条块底部滑面法线及切线方向投影 ① 水平荷载Fx：

在法线方向投影

Fxn=Fxcos(+αi)2 =-Fxsinαi

在切线方向投影

Fxs=Fxcosαi ②竖直方向荷载Fy：

在底滑面法线方向投影

Fyn=Fycosαi 在底滑面切线方向投影

Fys=Fysinαi

适用于αi∈[-π,π]，1→2属于1、2、3、4象限均可。

3安全系数计算公式

取条块底部法线方向力的平衡，可得

N'i+Ui+(Qix-KcWi)(-sinαi)+(Qiy-Wi)cosαi=0

N'i=(Qix-KcWi)sinαi-(Qiy-Wi)cosαi-Ui

则

=Fxsinαi-Fycosαi-Ui

其中

Fx=Qix-kcWi ， Fy=Qiy-Wi

Ni'tgϕi'+Ci'li

条底剪切力 Si=（其中ϕi'，Ci'为有效摩擦角和有效内聚力）

Fs根据原体力矩平衡方程，可得：

∑SR-∑WRsinα-∑KW(y

i=1

ni-1

-ymi)+∑Qix(yc-ypi)-Qiy(xc-xpi)

i=1

[]

+∑mi+En(yc-yn)-Xn(xc-xn)-E0(yc-y0)+X0(xc-x0)+MomCrest+MomToe=0

其中：（x0,y0）为1号条块端部作用力E0,X0作用点

（xn,yn）为n号条块端部作用力En,Xn作用点（xmi,ymi）为i号条块质心坐标

所以：

1Fs

∑(N'tgϕ'+C'l)R=

i=1

∑WRsinα+∑KW(y

i=1

-ymi)-∑Qix(yc-ypi)-Qiy(xc-xpi)

i=1

[]

-En(yc-yn)+Xn(xc-xn)+E0(yc-y0)-X0(xc-x0)

记抗滑力矩：Mr=∑(Ni'tgϕi'+Ci'li')R

i=1

滑动力矩：

Ms=∑WiRsinαi+∑KcWi(yc-ymi)-∑⎡⎣Qix(yc-ypi)-Qiy(xc-xpi)⎤⎦

i=1

-En(yc-yn)+Xn(xc-xn)+E0(yc-y0)-X0(xc-x0)-MomCrest-MomToe

所以

Fs=

当忽略端部力，地震荷载，坡面荷载，则上式退化成

Ni'=Wicosαi-γuWisecαi

Fs=

∑[(Wcosα

i=1

-γuWisecαi)tgϕi'+Ci'li]

∑Wsinα

i=1

4关于端部力和坡面荷载的讨论

① 滑体上端部（1号条块右侧截面）

滑面顶部设置拉力缝，拉力缝高度有用户手动设定为ht，拉力缝可以设置充

水高度或不充水

当不充水时，E0=X0=0，

当充水时，充水高度h=yht（其中y为充水高度比例，在0～1之间选择）则

E0=

γwh2 2

X0=0 x0=xt

y0=yt+h

② 滑体下端部（n

号条块左侧界面）

Hw）

m个外荷载

当不考虑坡外水位按等效置换法计算时

q0=q1=0

En=∑Eb

b=1m

Xn=∑Xb

b=1

xn=xt

yn=yc-∑

b=1m

(yc-yb) En

当坡外水位作为水压力参加计算时，则 If (HW≤yt)

坡外无水

Else if （HW≤ys）﹛q0=0；q1=γw(Hw-yt)；﹜ Else

﹛q0=γw(Hw-ys)；q1=γw(Hw-yt)；﹜

其中Hw为坡外水位高程

水压力合力Ew为：

If（HW≥yt&&HW≤ys） EW=Else if (HW≥ys)

(q0+q1)(Hw-yt)； 21

EW=(q0+q1)(ys-yt)；

水压力合力作用点位置（xw,yw）为：

xw=xt

If (HW≤yt&&HW≤ys) Else if（HW≥ys）

212

﹛yw=Hw-(Hw-yt)=Hw+yt；﹜

333

⎡1⎤q1

﹛yw=ys-⎢+⎥(ys-yt)；﹜

33(q+q)01⎦⎣

滑体下端部所受合力（En,Xn）及其作用点位置（xn,yn）为：

En=∑Eb+EW；

b=1m

Xn=∑Xb；

b=1

xn=xt；

yn=ys-∑

b=1

EbE

(ys-yb)-w(ys-yw)； EnEn

③ 坡面集中荷载

两种输入方式：方式一

荷载（Qx,Qy），与x、y坐标轴正向保持一致，

反之为负作用点位置（xP,yP）方式二

(xp,ypQx

Qx=QcosθQy=Qsinθ

输入荷载力Q（KN）,始终为正值；

输入Q与x轴正向的夹角θ，逆时针为正，顺时针为负，取值范围[-π， π]；输入荷载作用点坐标（xP,yP）

程序设计是采用方式二输入，主要便于锚固力输入。 ④ 坡面分布荷载

均可简化成多个作用于某条直线的线性荷载

①

第一种输入方式：

（分解成水平与竖直荷载）

输入荷载: q0(KN/m2)，作用点（x0,y0）

②o

q1(KN/m2)，作用点（x

1,y1） q0 q1始终为正值输入

θ0 θ1（与正x轴的夹角，逆时针为正，取值范围[-π，π]，θ0

与θ1尽量相同或差180°，即q0q1矢量应平行）

计算线性荷载合力及其作用点位置

q0y

q0x=q0cosθ0 q0y=q0sinθ0 q1x=q1cosθ1

︾

qx=q0x+

q1x-q0x

s l

q1y=q1sinθ1

qy=q0y+

q1y-q0y

（其中l=

线性荷载合力：

-x2+y1-y2）

q0x+q1x

q0y+q1y

θy=l

θx=

作用点位置：作用点正在s局部坐标下的位置

⎡1⎤q1xt=⎢+⎥l ① ⎣33q0x+q1x⎦

⎡1⎤q1yt=⎢+⎥l

33q+q⎢0y1y⎥⎣⎦

②

在q0 q1平行的情况下①式和②式是相等的，因此任取其中一个方程即可求得t值。

程序设计时，当q1x+q0x≠0时，取①式计算t值

否则，取②式计算t值

x所以合力作用点在原坐标系下的（x，y）值为

x=x0+(x1-x0)

» 适用任意情况

y=y0+(y1-y0)

第二种常用输入方式：（分解成垂直与切向荷载）

输入荷载：q0(KN/m)，作用点（x

0,y0）

q1(KN/m2)，作用点（x1,y1）垂直向下为正切向荷载τ0(KN/m2)，τ1(KN/m2)

以起点指向末点为正，即A（x0,y0）→B（x1,y1）

⑤ 计算线性荷载合力及作用点位置

分三种情况讨论：

情况一：AB(S)落在一、四象限，定义坡面倾角为β，范围[-π，π]

If （x1≥x0） β=y1-y0

) （一、四象限） l

y1-y0

)（二象限） ly1-y0

)（三象限） l

Else （x1

x-x1

+(y1-y0)2

AB与正x轴的夹角为坡面倾角β，逆时针为正

垂直荷载合力 N=

切向荷载合力 T=

q0+q1

τ0+τ1

θx=Ncos(β-90︒)+Tcosβ

所以：

θy=Nsin(β-90︒)+Tsinβ

θx=Nsinβ+Tcoβs

即

θy=-Ncoβs+Tsinβ

情况二：情况三：x

AB (S

)落在第二象限

θx=

-Nsinβ+Tcosβ

y=Ncosβ+Tsinβ

AB (S

)落在第三象限

θx=-Nsinβ+Tcosβ

y=Ncosβ+Tsinβ

情况二和情况三可以合并。

对所有情况，合力作用点位置为：

⎡1⎤q1t=⎢+⎥l（如q0+q1=0，不存在垂直向荷载，则⎣33q0+q1⎦

⎡1⎤τ1t=⎢+⎥l）

33τ+τ01⎦⎣

坐标:

x=x0+(x1-x0)

y=y0+(y1-y0)

对线性分布荷载总结如下：程序设计是要考虑这两种输入方式，

对线性分布荷载而言，其合力和合力作用点位置可总结如下：

对∀S矢量，∀方向线性荷载q0q1（方向平行）

q0+q1

l 则合力：Q=

⎡1⎤q1

合力作用点位置： t=⎢+⎥l

⎣33q0+q1⎦

※规定一个方向为正值，

反之为负。证明如下：

q=q0+

q1-q0

s l

合力矩：

Mn=⎰qscosθds

⎡q02q1-q0s3⎤=⎢s+⎥cosθl3⎦⎣2

⎡q02q1-q0l3⎤=⎢l+⎥cosθ2l3⎣⎦合力：Q=

q0+q1

l 2

（可对任意一点求矩，对O点求矩）

所以：t=

⎡1⎤Mnq1=⎢+⎥l

Qcosθ⎣33q0+q1⎦

※为了维持条块力和力矩平衡，合力作用点范围可以在[0，e]范围之外但当q0+q1=0时，则此时合力为0，只有纯力矩（偶力矩）作用，因此不存在合力作用点问题，严格地说，此时应该计算力偶矩并施加给相应的条块，目前程序做忽略处理。

※对线性荷载的程序设计：

Step1：判断条块顶部1→2是否存线性分布荷载，根据1→2

坐标判断；

'x、q2'x、q1'y与q2'y，根据1、2点与A或BStep2：计算在坡面定点1、2处的q1

得距离

Step3：按相应公式计算1→2线性荷载的合力和作用点 ⑥ 计算某条块i坡面合力Qx、Qy及作用点位置

程序处理一：

Qx=∑Fjx

j=1

Qy=∑Fjy

j=1

合力作用点位置假定为坡面重点O，此时忽略了2阶微量，是可行的。程序处理二：

Qx=∑Fjx

j=1

Qy=∑Fjy

j=1

严格计算合力作用点（xρ,yρ），对O点取矩

合力矩：M=∑Fjx(y0-yj)-∑Fjy(x0-xj)

j=1

Step1：如果合力Qx=0&&Qy=0&&M≠0，记录合力矩作用于该条块 Step2：M=Qx(y0-yρ)-Qy(x0-xρ)

如果Qx≠0，则取xρ=x0，yρ=

-M

+y0 Qx

如果Qx≡0，则取yρ=y0，xρ=x0+

M Qy

注意：不必苛求合力作用点（xρ,yρ）位于坡面，只求维持合力

产生力矩平衡即可。因为作用点只要位于Q延长线上∀一点，即可

保持力矩平衡。

5后处理

⑴ 计算指定滑面的安全系数 ⑵ 计算底滑面有效法向应力

Ni'UN'+Ui

，空隙水压力i,底滑面总应力i，画出lilili

其分布规律（沿x轴），这三个数应始终为正值，若＜0，则应对程序进

行检查。

SiNi'tgϕi'+Ci'li

⑶ 计算底滑面剪应力τi=，Si=，画出其分布。对瑞典法

liFs

而言，无法提供条块界面力Pi分布。

二维边坡稳定分析

（一）瑞典圆弧法

又称为瑞典法，普通条分法，一般条分法，费伦纽斯法（Ordinary or Fellenius method）。

1简化条件

2坐标系和条块受力分析

① 坐标系规定：滑坡体位于坐标系原点的右侧即 x ≥ 0

② 典型条块受力分析

hi,宽度为bi,底滑面长度为li，底滑面倾角为αi；Wi；

KcWi，Kc为地震影响系数； N'i；

Ui=γuWisecαi，

（Ⅵ）作用于条块底部的剪切力Si；

定义条块底滑面为矢量，方向与滑体滑动方向相反，定义该矢量与正x轴的夹角为条块底滑面倾角αi，逆时针为正

( i为负值 )

if (x2 ≥x1) else

αi=y2-y1

) l

αi落在二三象限，方法同垂直条分法求解

（则l=(x2-x1)2+(y2-y1)2）

注意：一般情况下，αi取值范围为（-

,），滑面1→2落在一、四象限； 22

ππ

（Ⅱ）水平、竖直方向荷载在条块底部滑面法线及切线方向投影 ① 水平荷载Fx：

在法线方向投影

Fxn=Fxcos(+αi)2 =-Fxsinαi

在切线方向投影

Fxs=Fxcosαi ②竖直方向荷载Fy：

在底滑面法线方向投影

Fyn=Fycosαi 在底滑面切线方向投影

Fys=Fysinαi

适用于αi∈[-π,π]，1→2属于1、2、3、4象限均可。

3安全系数计算公式

取条块底部法线方向力的平衡，可得

N'i+Ui+(Qix-KcWi)(-sinαi)+(Qiy-Wi)cosαi=0

N'i=(Qix-KcWi)sinαi-(Qiy-Wi)cosαi-Ui

则

=Fxsinαi-Fycosαi-Ui

其中

Fx=Qix-kcWi ， Fy=Qiy-Wi

Ni'tgϕi'+Ci'li

条底剪切力 Si=（其中ϕi'，Ci'为有效摩擦角和有效内聚力）

Fs根据原体力矩平衡方程，可得：

∑SR-∑WRsinα-∑KW(y

i=1

ni-1

-ymi)+∑Qix(yc-ypi)-Qiy(xc-xpi)

i=1

[]

+∑mi+En(yc-yn)-Xn(xc-xn)-E0(yc-y0)+X0(xc-x0)+MomCrest+MomToe=0

其中：（x0,y0）为1号条块端部作用力E0,X0作用点

（xn,yn）为n号条块端部作用力En,Xn作用点（xmi,ymi）为i号条块质心坐标

所以：

1Fs

∑(N'tgϕ'+C'l)R=

i=1

∑WRsinα+∑KW(y

i=1

-ymi)-∑Qix(yc-ypi)-Qiy(xc-xpi)

i=1

[]

-En(yc-yn)+Xn(xc-xn)+E0(yc-y0)-X0(xc-x0)

记抗滑力矩：Mr=∑(Ni'tgϕi'+Ci'li')R

i=1

滑动力矩：

Ms=∑WiRsinαi+∑KcWi(yc-ymi)-∑⎡⎣Qix(yc-ypi)-Qiy(xc-xpi)⎤⎦

i=1

-En(yc-yn)+Xn(xc-xn)+E0(yc-y0)-X0(xc-x0)-MomCrest-MomToe

所以

Fs=

当忽略端部力，地震荷载，坡面荷载，则上式退化成

Ni'=Wicosαi-γuWisecαi

Fs=

∑[(Wcosα

i=1

-γuWisecαi)tgϕi'+Ci'li]

∑Wsinα

i=1

4关于端部力和坡面荷载的讨论

① 滑体上端部（1号条块右侧截面）

滑面顶部设置拉力缝，拉力缝高度有用户手动设定为ht，拉力缝可以设置充

水高度或不充水

当不充水时，E0=X0=0，

当充水时，充水高度h=yht（其中y为充水高度比例，在0～1之间选择）则

E0=

γwh2 2

X0=0 x0=xt

y0=yt+h

② 滑体下端部（n

号条块左侧界面）

Hw）

m个外荷载

当不考虑坡外水位按等效置换法计算时

q0=q1=0

En=∑Eb

b=1m

Xn=∑Xb

b=1

xn=xt

yn=yc-∑

b=1m

(yc-yb) En

当坡外水位作为水压力参加计算时，则 If (HW≤yt)

坡外无水

Else if （HW≤ys）﹛q0=0；q1=γw(Hw-yt)；﹜ Else

﹛q0=γw(Hw-ys)；q1=γw(Hw-yt)；﹜

其中Hw为坡外水位高程

水压力合力Ew为：

If（HW≥yt&&HW≤ys） EW=Else if (HW≥ys)

(q0+q1)(Hw-yt)； 21

EW=(q0+q1)(ys-yt)；

水压力合力作用点位置（xw,yw）为：

xw=xt

If (HW≤yt&&HW≤ys) Else if（HW≥ys）

212

﹛yw=Hw-(Hw-yt)=Hw+yt；﹜

333

⎡1⎤q1

﹛yw=ys-⎢+⎥(ys-yt)；﹜

33(q+q)01⎦⎣

滑体下端部所受合力（En,Xn）及其作用点位置（xn,yn）为：

En=∑Eb+EW；

b=1m

Xn=∑Xb；

b=1

xn=xt；

yn=ys-∑

b=1

EbE

(ys-yb)-w(ys-yw)； EnEn

③ 坡面集中荷载

两种输入方式：方式一

荷载（Qx,Qy），与x、y坐标轴正向保持一致，

反之为负作用点位置（xP,yP）方式二

(xp,ypQx

Qx=QcosθQy=Qsinθ

输入荷载力Q（KN）,始终为正值；

输入Q与x轴正向的夹角θ，逆时针为正，顺时针为负，取值范围[-π， π]；输入荷载作用点坐标（xP,yP）

程序设计是采用方式二输入，主要便于锚固力输入。 ④ 坡面分布荷载

均可简化成多个作用于某条直线的线性荷载

①

第一种输入方式：

（分解成水平与竖直荷载）

输入荷载: q0(KN/m2)，作用点（x0,y0）

②o

q1(KN/m2)，作用点（x

1,y1） q0 q1始终为正值输入

θ0 θ1（与正x轴的夹角，逆时针为正，取值范围[-π，π]，θ0

与θ1尽量相同或差180°，即q0q1矢量应平行）

计算线性荷载合力及其作用点位置

q0y

q0x=q0cosθ0 q0y=q0sinθ0 q1x=q1cosθ1

︾

qx=q0x+

q1x-q0x

s l

q1y=q1sinθ1

qy=q0y+

q1y-q0y

（其中l=

线性荷载合力：

-x2+y1-y2）

q0x+q1x

q0y+q1y

θy=l

θx=

作用点位置：作用点正在s局部坐标下的位置

⎡1⎤q1xt=⎢+⎥l ① ⎣33q0x+q1x⎦

⎡1⎤q1yt=⎢+⎥l

33q+q⎢0y1y⎥⎣⎦

②

在q0 q1平行的情况下①式和②式是相等的，因此任取其中一个方程即可求得t值。

程序设计时，当q1x+q0x≠0时，取①式计算t值

否则，取②式计算t值

x所以合力作用点在原坐标系下的（x，y）值为

x=x0+(x1-x0)

» 适用任意情况

y=y0+(y1-y0)

第二种常用输入方式：（分解成垂直与切向荷载）

输入荷载：q0(KN/m)，作用点（x

0,y0）

q1(KN/m2)，作用点（x1,y1）垂直向下为正切向荷载τ0(KN/m2)，τ1(KN/m2)

以起点指向末点为正，即A（x0,y0）→B（x1,y1）

⑤ 计算线性荷载合力及作用点位置

分三种情况讨论：

情况一：AB(S)落在一、四象限，定义坡面倾角为β，范围[-π，π]

If （x1≥x0） β=y1-y0

) （一、四象限） l

y1-y0

)（二象限） ly1-y0

)（三象限） l

Else （x1

x-x1

+(y1-y0)2

AB与正x轴的夹角为坡面倾角β，逆时针为正

垂直荷载合力 N=

切向荷载合力 T=

q0+q1

τ0+τ1

θx=Ncos(β-90︒)+Tcosβ

所以：

θy=Nsin(β-90︒)+Tsinβ

θx=Nsinβ+Tcoβs

即

θy=-Ncoβs+Tsinβ

情况二：情况三：x

AB (S

)落在第二象限

θx=

-Nsinβ+Tcosβ

y=Ncosβ+Tsinβ

AB (S

)落在第三象限

θx=-Nsinβ+Tcosβ

y=Ncosβ+Tsinβ

情况二和情况三可以合并。

对所有情况，合力作用点位置为：

⎡1⎤q1t=⎢+⎥l（如q0+q1=0，不存在垂直向荷载，则⎣33q0+q1⎦

⎡1⎤τ1t=⎢+⎥l）

33τ+τ01⎦⎣

坐标:

x=x0+(x1-x0)

y=y0+(y1-y0)

对线性分布荷载总结如下：程序设计是要考虑这两种输入方式，

对线性分布荷载而言，其合力和合力作用点位置可总结如下：

对∀S矢量，∀方向线性荷载q0q1（方向平行）

q0+q1

l 则合力：Q=

⎡1⎤q1

合力作用点位置： t=⎢+⎥l

⎣33q0+q1⎦

※规定一个方向为正值，

反之为负。证明如下：

q=q0+

q1-q0

s l

合力矩：

Mn=⎰qscosθds

⎡q02q1-q0s3⎤=⎢s+⎥cosθl3⎦⎣2

⎡q02q1-q0l3⎤=⎢l+⎥cosθ2l3⎣⎦合力：Q=

q0+q1

l 2

（可对任意一点求矩，对O点求矩）

所以：t=

⎡1⎤Mnq1=⎢+⎥l

Qcosθ⎣33q0+q1⎦

※对线性荷载的程序设计：

Step1：判断条块顶部1→2是否存线性分布荷载，根据1→2

坐标判断；

'x、q2'x、q1'y与q2'y，根据1、2点与A或BStep2：计算在坡面定点1、2处的q1

得距离

Step3：按相应公式计算1→2线性荷载的合力和作用点 ⑥ 计算某条块i坡面合力Qx、Qy及作用点位置

程序处理一：

Qx=∑Fjx

j=1

Qy=∑Fjy

j=1

合力作用点位置假定为坡面重点O，此时忽略了2阶微量，是可行的。程序处理二：

Qx=∑Fjx

j=1

Qy=∑Fjy

j=1

严格计算合力作用点（xρ,yρ），对O点取矩

合力矩：M=∑Fjx(y0-yj)-∑Fjy(x0-xj)

j=1

Step1：如果合力Qx=0&&Qy=0&&M≠0，记录合力矩作用于该条块 Step2：M=Qx(y0-yρ)-Qy(x0-xρ)

如果Qx≠0，则取xρ=x0，yρ=

-M

+y0 Qx

如果Qx≡0，则取yρ=y0，xρ=x0+

M Qy

注意：不必苛求合力作用点（xρ,yρ）位于坡面，只求维持合力

产生力矩平衡即可。因为作用点只要位于Q延长线上∀一点，即可

保持力矩平衡。

5后处理

⑴ 计算指定滑面的安全系数 ⑵ 计算底滑面有效法向应力

Ni'UN'+Ui

，空隙水压力i,底滑面总应力i，画出lilili

其分布规律（沿x轴），这三个数应始终为正值，若＜0，则应对程序进

行检查。

SiNi'tgϕi'+Ci'li

⑶ 计算底滑面剪应力τi=，Si=，画出其分布。对瑞典法

liFs

而言，无法提供条块界面力Pi分布。

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