小范围屈服条件下的应力强度因子
［摘要］介绍了求解平面I型裂纹小范围屈服条件下有效应力强度因子的迭代法，在此基础上编写程序，计算出不同荷载试样的应力强度因子；结果表明：在文中所述的小范围屈服条件下，应力强度因子的迭代求解是收敛的。另外，本文还采用有限元法计算了小范围屈服条件下试件的塑性区尺寸、应力强度因子，结果表明数值解和理论解结合的比较好。
［关键词］断裂力学；有限元法；有效应力强度因子
在线弹性断裂力学对裂纹尖端场的研究结果中，在无限接近裂尖的位置，应力会趋向无穷大；而对于工程中广泛采用的中、低强度钢等材料，在裂尖附近应力达到一定强度时，裂尖材料就会发生塑性变形，当塑性区的范围相对裂纹尺寸来说很小时，即“小范围屈服”的条件下，理论和实践都证明：经过适当的塑性修正，线弹性理论仍然可以沿用来解决此类问题。在工程实际中，很多断裂力学问题往往都是“小范围屈服”，因此在满足工程需要的精度范围内求解出这种情况下的应力强度因子具有实际工程价值。为简单起见，这里选择理想弹塑性材料平面应力情况下I型裂纹问题进行讨论。
1：求解小范围屈服条件下的裂纹问题的迭代法
小范围屈服是指塑性区尺寸小于裂纹长度的十分之一的情况，即R
（1）式所描述的应力场在裂尖θ=0°线上，应力随r变化的如图1虚线ABC所示。对于小范围屈服的情况，由于裂尖的塑性变形，导致塑性区和周围弹性区的应力重新分布，这时裂尖的应力随r的变化如图1的实线OBEF 所示。利用
（1）式和Mises屈服条件，考虑到曲线ABC下的面积应等于OBEF下的面积，可以得到考虑应力松弛后的裂尖塑性区尺寸[2]。
为了使线弹性理论在这种小范围屈服的情况下能够适用，Irwin提出了一个简便适用的“有效裂纹尺寸法”，用它对应力强度因子KⅠ进行修正。
如图1所示，Irwin假想地将裂纹尖端向右移到O点，这时，裂纹尖端沿裂纹方向移动了ry，裂纹长度相应的变为：
这就是所谓的“有效裂纹尺寸。”然后将OBEF代表的弹塑性场用GEF代表的弹性场代替。根据r=R—ry处的应力等于材料的屈服应力可以解出[2]：
线弹性条件应力强度因子解析解的求解式为：
对于小范围屈服的情况，将式（5）的原始裂纹尺寸a用有效裂纹尺寸a*代替，即可求得此时的有效应力强度因子。从式（3）、（4）、（5）的关系可以看出， KⅠ*和a*互为函数。这时，求解KⅠ*就需要进行迭代计算，迭代步骤如下：
（1）：根据已知材料参数用式（5）计算线弹性情况下的应力强度因子KⅠ；
（2）：将KⅠ代入式（4）求出ry，将ry代入式（3）求得a*；
（3）：用a*代替a代入式（5）求得KⅠ*；
（4）：用KⅠ*代替KⅠ重复第（2）、（3）步的计算，直到KⅠ*满足需要的精度为止。
下面通过程序对平面I型裂纹的三种情况（中心裂纹、双边裂纹、单边裂纹）的应力强度因子进行求解，a为裂纹长度的一半，b为试样板宽的一半，H试样板高度的一半。在裂纹的形状和材料的参数一定的条件下，加不同外荷载时的塑性区长度和有效应力强度因子，算得结果如图2所示:：
2：小范围屈服条件下裂纹问题的有限元解
本文在用有限元程序对小范围屈服条件下的Ⅰ型中心裂纹平面应力问题时：单元采用8节点等参元，在裂尖采用稠密单元，裂尖的放射状网格实际计算中分为32个扇形。网格如图3所示。求塑性区尺寸时，因为在裂尖塑性区采用了稠密单元，且高斯点的应力具有比较高的精度，因此采用在裂尖延长线附近离裂尖最远的屈服的高斯点至裂尖的距离来近似塑性区的尺寸。然后根据弹性区的裂纹面的节点位移采用位移外推法求解应力强度因子[3]，见图4。求得的结果如表1
所示。
3：结论
1：大量解析解的计算表明，在小范围屈服条件下，有效应力强度因子的迭代计算是收敛的，从图2可以看出：即使超出小范围这个限制条件，仍然可能收敛。有效应力强度因子计算是否收敛及其迭代次数和荷载跟屈服极限的比、裂纹长度跟试样板的宽度之比有关，荷载跟屈服极限的比和裂纹长度跟试样板的宽度之比越小，计算的迭代次数越少；反之，则迭代次数增多，甚至不收敛。2：从表1可以看出，有限元法计算得到的解和迭代法求得的理论解结合的较好。应力强度因子的位移外推法时，用最小二乘法拟合计算过程中，从图4可以看出：由于裂尖塑性区的影响，在距离裂尖30单位内，根据裂纹面上的节点的位移求得的应力强度因子明显不呈线性。多次试验表明，采用距离裂尖3至4倍塑性区长度以外的节点进行拟合往往可以得到比较好的效果。
[参考文献]
[1] 丁遂栋，孙利民，《断裂力学》，机械工业出版社。
[2] 范天佑，《断裂理论基础》，科学出版社。
[3] 王辉，欧阳辉，刘蔚倩，断裂力学中应力强度因子的2种解法。
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
小范围屈服条件下的应力强度因子
［摘要］介绍了求解平面I型裂纹小范围屈服条件下有效应力强度因子的迭代法，在此基础上编写程序，计算出不同荷载试样的应力强度因子；结果表明：在文中所述的小范围屈服条件下，应力强度因子的迭代求解是收敛的。另外，本文还采用有限元法计算了小范围屈服条件下试件的塑性区尺寸、应力强度因子，结果表明数值解和理论解结合的比较好。
［关键词］断裂力学；有限元法；有效应力强度因子
在线弹性断裂力学对裂纹尖端场的研究结果中，在无限接近裂尖的位置，应力会趋向无穷大；而对于工程中广泛采用的中、低强度钢等材料，在裂尖附近应力达到一定强度时，裂尖材料就会发生塑性变形，当塑性区的范围相对裂纹尺寸来说很小时，即“小范围屈服”的条件下，理论和实践都证明：经过适当的塑性修正，线弹性理论仍然可以沿用来解决此类问题。在工程实际中，很多断裂力学问题往往都是“小范围屈服”，因此在满足工程需要的精度范围内求解出这种情况下的应力强度因子具有实际工程价值。为简单起见，这里选择理想弹塑性材料平面应力情况下I型裂纹问题进行讨论。
1：求解小范围屈服条件下的裂纹问题的迭代法
小范围屈服是指塑性区尺寸小于裂纹长度的十分之一的情况，即R
（1）式所描述的应力场在裂尖θ=0°线上，应力随r变化的如图1虚线ABC所示。对于小范围屈服的情况，由于裂尖的塑性变形，导致塑性区和周围弹性区的应力重新分布，这时裂尖的应力随r的变化如图1的实线OBEF 所示。利用
（1）式和Mises屈服条件，考虑到曲线ABC下的面积应等于OBEF下的面积，可以得到考虑应力松弛后的裂尖塑性区尺寸[2]。
为了使线弹性理论在这种小范围屈服的情况下能够适用，Irwin提出了一个简便适用的“有效裂纹尺寸法”，用它对应力强度因子KⅠ进行修正。
如图1所示，Irwin假想地将裂纹尖端向右移到O点，这时，裂纹尖端沿裂纹方向移动了ry，裂纹长度相应的变为：
这就是所谓的“有效裂纹尺寸。”然后将OBEF代表的弹塑性场用GEF代表的弹性场代替。根据r=R—ry处的应力等于材料的屈服应力可以解出[2]：
线弹性条件应力强度因子解析解的求解式为：
对于小范围屈服的情况，将式（5）的原始裂纹尺寸a用有效裂纹尺寸a*代替，即可求得此时的有效应力强度因子。从式（3）、（4）、（5）的关系可以看出， KⅠ*和a*互为函数。这时，求解KⅠ*就需要进行迭代计算，迭代步骤如下：
（1）：根据已知材料参数用式（5）计算线弹性情况下的应力强度因子KⅠ；
（2）：将KⅠ代入式（4）求出ry，将ry代入式（3）求得a*；
（3）：用a*代替a代入式（5）求得KⅠ*；
（4）：用KⅠ*代替KⅠ重复第（2）、（3）步的计算，直到KⅠ*满足需要的精度为止。
下面通过程序对平面I型裂纹的三种情况（中心裂纹、双边裂纹、单边裂纹）的应力强度因子进行求解，a为裂纹长度的一半，b为试样板宽的一半，H试样板高度的一半。在裂纹的形状和材料的参数一定的条件下，加不同外荷载时的塑性区长度和有效应力强度因子，算得结果如图2所示:：
2：小范围屈服条件下裂纹问题的有限元解
本文在用有限元程序对小范围屈服条件下的Ⅰ型中心裂纹平面应力问题时：单元采用8节点等参元，在裂尖采用稠密单元，裂尖的放射状网格实际计算中分为32个扇形。网格如图3所示。求塑性区尺寸时，因为在裂尖塑性区采用了稠密单元，且高斯点的应力具有比较高的精度，因此采用在裂尖延长线附近离裂尖最远的屈服的高斯点至裂尖的距离来近似塑性区的尺寸。然后根据弹性区的裂纹面的节点位移采用位移外推法求解应力强度因子[3]，见图4。求得的结果如表1
所示。
3：结论
1：大量解析解的计算表明，在小范围屈服条件下，有效应力强度因子的迭代计算是收敛的，从图2可以看出：即使超出小范围这个限制条件，仍然可能收敛。有效应力强度因子计算是否收敛及其迭代次数和荷载跟屈服极限的比、裂纹长度跟试样板的宽度之比有关，荷载跟屈服极限的比和裂纹长度跟试样板的宽度之比越小，计算的迭代次数越少；反之，则迭代次数增多，甚至不收敛。2：从表1可以看出，有限元法计算得到的解和迭代法求得的理论解结合的较好。应力强度因子的位移外推法时，用最小二乘法拟合计算过程中，从图4可以看出：由于裂尖塑性区的影响，在距离裂尖30单位内，根据裂纹面上的节点的位移求得的应力强度因子明显不呈线性。多次试验表明，采用距离裂尖3至4倍塑性区长度以外的节点进行拟合往往可以得到比较好的效果。
[参考文献]
[1] 丁遂栋，孙利民，《断裂力学》，机械工业出版社。
[2] 范天佑，《断裂理论基础》，科学出版社。
[3] 王辉，欧阳辉，刘蔚倩，断裂力学中应力强度因子的2种解法。
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文