关于小学数学算法多样化的认识与思考 [论文关键词]小学数学 算法多样化 价值取向 优化
[论文摘要]目前，小学数学教学越来越关注算法的获得和选择对学生的影响。本文试图探讨新的数学课堂教学的模式，调动不同层次学生数学学习的积极性，让学生学会数学地思维，培养学生辩证地分析问题、处理问题的能力，发挥学生在课堂中学习的互补性。但在具体的实施中存在误区，有些关系需要我们重新去认识，正确去处理。
新《数学课程标准》明确提出“应重视口算，加强估算，提倡鼓励算法多样化”，这无疑给小学数学教学改革注入了兴奋剂。所谓小学数学算法的多样化，就是在小学数学教学中先让不同层次的学生经历探索的过程，去发现算法，然后在课堂教学平台上由一些学生展示各自的算法，必要时教师补充算法，再通过班级集体和老师的力量对呈现的算法进行分析、比较和优化，使学生感悟算理，形成适合自己个性的算法，最后把获得的算法用于自己的学习和生活中，从中体验学习数学的快乐。小学数学算法的多样化更加关注不同学生学习数学的认知特点和学生已有的数学学习基础，并利用不同的算法对学生进行数学思想方法的灌输，改变了以往小学算术教学过于强调计算技能培养的套路，突出过程性教学，使不同层次的学生都能参与到教学过程中来，更好地体现学生的主体性，使学生个性得到张扬，学生之间的相互学习得到倡导。
一、小学数学算法多样化的价值取向
曾记得在十几年前，有一项小学生的珠心算实验引起了人们的注意。实验要求口算的学生心中有个算盘，不需要实际拨珠的动作，反复训练形成一种快速计算的技能。实验在当时有其价值，它把珠算和心算结合在了一起，继承了我国数学文化，但由于口算方面的过高要求而不能被推广。实验组的学生掌握的是“算术”，他只要按照一定的程序机械地运算就会得到结果，但他们在数学的其它能力方面没有优势。随着社会的发展，总的来说对个体的计算技能要求有所降低。可是，“会不会算”和“怎样算才快”始终是计算面临的两个基本问题，算法相对于计算技能变得越来越重要。在小学数学教学中实施算法多样化，就是要发挥算法的教学功能，把各种算法作为小学数学教学的资源。
1. 算法多样化突出对学生数学思想方法的培养。数学是一门横断学科，其它学科或多或少会用到数学。所以我们总是把数学的工具性提到了一个很高的位置。但数学教育的目的不仅仅是要让学生掌握数学知识（包括计算技能），更重要的要让学生学会数学地思维。例如要比较分数和的大小，有一种方法是从“反面”入手的，把分数分解成与相同整数和另一分数之差，接下来只要比较另一个分数的大小。若从数学的工具性出发，则学生只要能得到计算结果就行，分数大小的比较，无论采用通分、十字相乘还是化为小数，都比较方便，惟独从“反面”入手这种方法许多学生不太会想到。但它的教学价值在于用到了化归的数学思想方法，是一种间接的比较办法。现在的小学计算教学，就是要让学生感受计算方法提炼的过程，体会其中的数学思想方法，更在于让学生思维碰撞，并形成切合学生个人实际的计算方法，从中培养学生的数学意识，使学生能自觉地运用数学思想方法来分析事物，解决问题。小学数学算法多样化，还可使一些学生不限于一种计算方法，把所学知识融合起来，最终学生的思维会更灵活，对计算方法的理解会更深刻。
2. 算法多样化强调不同层次学生的参与。“算法多样化”是实现“不同的人在数学上得到不同的发展”的有效途径，也是尊重学生个性化学习、促进学生个性化发展的有效途径。小学数学算法多样化，改变了以往教师直接把计算方法展示给学生的教学方法，吸引了不同层次的学生参与到教学过程中来。小学数学算法多样化中不同的计算方法，主要是由学生提出来的，是群体的多样，并不要求所有的方法每个学生都要掌握，但每个学生都可以提出自己的想法与大家共享。新《数学课程
标准》在“教学建议”中也明确提出：由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多种多样的。例如，为了探索9+5的计算方法，新世纪版小学数学教材借助现实的问题情境，出示了两只可装10瓶牛奶的盒子，它们各装了9瓶和5瓶牛奶，问牛奶总的瓶数。在相应的某一教学片断中，有的学生在9瓶的基础上又数5瓶得14瓶，也有学生移动1瓶到9瓶的盒子中共得14瓶„„特别是有学生提出借1瓶装满9瓶这一盒共得15瓶，再还1瓶获结果14瓶。这位学生思维的深度显然要比用数数的方法计算的学生来得深。数数比较直接，借牛奶比较巧妙，不同的学生会用不同的方法，我们不能苛求学生用同一算法。教师始终要尊重学生，要营造民主的氛围，要为学生相互交流、相互学习提供平台，使不同层次的学生敢于表达自己的见解。
二、小学数学算法多样化的误区
1. 误区一：算法越多越好。在小学数学算法多样化中，不是算法越多越好，不是算法越巧妙越好，更不是你想怎样算就怎样算，算法要符合学生的生活背景和学生的知识结构。在一些小学数学课堂教学评价中，常常会以算法的多少作为课堂教学好坏的一个指标，教学中一些教师过于盲目地引导学生尽可能用各种方法去计算，造成学生为了迎合教师的要求提出违背认知规律的算法，这些现象是值得我们注意的。像为了计算9+5=14，提出“因为9+6=15，所以9+5=15-1；因为9+7=16，所以9+5=16-2„„”这些算法就不是最合理。对具体的学生，或许他（她）知道9+6和9+7等计算结果，产生前面的算法有其合理性。但更多的时候我们是从9+5=14来认识9+6和9+7的，前面的算法就失去教学的价值。
2. 误区二：算法无需优化。小学数学算法多样化需要优化，这个观点目前被绝大多数教师所接受。算法多样化和算法优化“从本质上看，这二者并不矛盾，他们在本质上是两种思维训练，而这二者都是学生需要的。”学生常常会把自己熟悉的方法认为是最简的，这没有错。可是，课堂上不同的学生各讲自己的计算方法，教师不引导学生对呈现的计算方法加以比较分析，学生会分不清各种方法适用的范围，会忽视基本算法，这对学生形成系统的数学知识是不利的。优化算法需要学生对算法在计算上的有效性做出自己的评价，但绝不是强迫学生接受他人算法，应允许学生保留自己的算法，优化算法的主体是学生而不是教师。最简便的方法不一定通用，通用的方法也不一定是最简便。通过算法优化，我们可以培养学生的优化意识，使学生能辩证地看待事物，明白在不同的情况下要运用相对合理的计算方法。
3. 误区三：算法多样化就是一题多解。小学数学算法多样化指的是群体的多样化，并不要求每个学生提出多种计算方法，更不要求每一个学生掌握每一种计算方法，这是与一题多解的本质区别。一题多解要求每一个学生用多种方法来求解同一道题，而算法多样化是从班级的层面上来讲要求学生提出多种计算方法，但对学生个体来说，他（她）可能只提出了一种适合自己的方法，甚至于可能还没找到计算方法。算法多样化和一题多解对学生的启示有共同点，就是同一个问题我们可以用多种方法去解决，这对改变数学教学中追求“惟一答案”的现象会起到很好的作用。算法多样化更符合小学生的实际，我们鼓励优秀的学生在算法多样化过程中进行一题多解，但不能拔高整体要求。算法多样化相对于一题多解，更突出不同个体之间学习的互补性，尤其在算法交流和优化阶段，相互学习氛围会更浓。
三、小学数学算法多样化实施中应注意的问题
1. 基本计算能力与算法多样化。新《数学课程标准》是在“重视口算，加强估算”的基础上提倡鼓励算法多样化，这要求我们不能刻意追求算法多样化，不能让学生基本计算能力失落。随着各种电子计算工具的涌入，在大数及多步计算方面的要求必然会降低，但我们要防止学生动不动就按键计算，不能让学生由于基本计算能力低下影响到后继学习。因此，小学数
学教学中我们不能对各种计算方法一视同仁，而要对一些基本计算方法有所侧重，让学生明白通用方法和最简方法，必要时对学生的计算能力进行适度机械训练，特别是在低段，像开小火车等有助于提高口算能力的竞赛要在课堂上多开展。同时，小学数学教学不能忽视估算，像著名的蒙特卡洛（Monte Carlo ）方法，是用随机数学方法来求解确定性数学问题，这是对确定性数学问题结果的一种估算。估算讲究方法，在估算中我们同样倡导估算方法的多样化，还可以通过估算来检验精确计算。
2. 算理与算法多样化。在古代数学中，以《九章算术》为代表的突出算法倾向的东方数学与以《几何原本》为代表的突出演绎倾向的西方数学相映成辉。其中《九章算术》把全书分成9个大类，用一个固定的模式解决同类问题，其思维方式表现为构造性和机械化，这切合当今计算机时代的要求。吴文俊先生吸收了我国古代数学思想的精髓，开创了计算机证明的先河。由此看来，我们不应排斥算法机械化，但同时我们又要崇尚理性。在小学计算教学中要多引导学生思考“为什么这样算”，要让学生理解自己算法的算理。曾有一种观点认为学生的学习是一种顿悟，只要学生算对结果，就要少问学生“为什么”，这有一定的道理。教师不应强迫学生说算理，但在算法多样化过程中，需要对一些重要方法在算理上进行必要的分析，以便从整体上对学生产生积极影响。例如，求最大公约数和最小公倍数有两种基本方法，其中短除法比较机械，而分解质因数法更体现概念的本质。小学教材突出了短除法的具体操作，没有很好地建立起这两种方法的联系，这容易造成一些学生无法把短除法过程和分解质因数的过程一致起来。这种状况的出现是由于学生还没有真正理解它们在算理上的共性。
3. 教师与算法多样化。小学数学课堂教学中实施算法多样化，一般包括“提出问题（或创设情境）—独立计算—交流算法—优化算法—巩固算法”五个环节。教师在这些教学环节中要适度发挥作用:
（1）教师要鼓励不同层次学生参与到教学的过程中，但不要把学生的各种算法统一到最简或通用的方法上来，而是要让学生主动构建数学知识。
（2）教师可以展示自己的算法，但要防止课堂教学变成教师算法多样化的展示，更多的时候应该是学生算法的展示。教师对学生的算法不能一律称好，需要比较，从而使学生认清不同算法的价值，分清基本算法和特殊算法，明确算法的适用范围。
（3）教师要引导学生建立起一些算法之间的联系。像前面提到的牛奶瓶数的计算，一种是通过操作（移动或借）来计算，另一种是式子计算，建立这两类方法之间的联系对小学低段的学生来说非常重要。
（4）教师要帮助学生提炼方法背后的数学思想，使学生掌握凑整、拆分、化归等计算策略，还要鼓励学生在算法多样化中不断创新。如在计算三个数的最大公约数和最小公倍数时学生常会出错。错误的主要原因是学生没有分清两个数的公约数和三个数的公约数的界限。教师可鼓励学生对教材上的短除法进行改进。事实上只要在三个数的公约数短除和两个数的公约数短除之间建立分界线，虽然只是一点点变化，但同样是算法上的创新，这样做会减少学生错误的发生。
（5）教师不应把算法多样化的教学模式限于计算方面的教学，还可把其中所体现的教学理念落实到应用题等其它数学知识的教学中去
感受新理念，强化基本功
——关于算法多样化与最优化的思考
《数学课程标准》指出：“由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化。”算法多样化是新课程倡导的理念。在课堂教学中，学生结合已有的知识经验，通
过动手操作、观察、交流，发现了不同的算法，它不仅发挥了学生的主体作用，也培养了学生的创新思维和创新意识。但是，在课堂教学实践中，在新课程理念的落实中，许多教师对算法多样化的认识和操作上存在这样或那样的不足，影响了新理念的实施，降低了教学的效果。本文谈一谈自己在教学实践中对算法多样化和算法最优化的几点认识。
一、算法多样化，它可以培养学生的创新、求异思维和主动探索精神。
建构主义学习理论告诉我们，学生学习数学的过程不是被动接受的过程，而是学习者在自身经验基础上积极主动的建构过程。因为每个学生的生活经验和思维方式不同，对相同的数学内容往往表现出个性化的认识和理解，所使用的计算方法也必然是多样的。多样化的算法，使他们在与同伴合作交流比较的过程中，会取长补短，感受到成功的愉悦，体味到独立思考、自主探索学习的乐趣。多样化的算法，不但关注了学生知识技能的获得，同时也关注了学生个体化的发展。解决这一问题的过程会使数学课堂变得丰富多彩、生动活泼。
在教学“乘法的初步认识”，“做一做”练习中，教科书的插图是一架秋千上有四个座位，每个座位上有两个小朋友。求一共有多少个小朋友？按成人的思维应该是4个2相加，所列加法算式是：2+2+2+2=8，乘法算式是：2×4=8或4×2=8。而学生对图意的理解方式是各不相同，算法也是多样的：
（1）一架秋千上有8个人，是1个8，用1×8或8×1表示。
（2）有8个同学是8个1，用加法算式1+1+1+1+1+1+1+1=8表示，用乘法算式1×8=8或8×1=8表示。
（3）有4个男同学，4个女同学，是2个4，用4+4=8，2×4=8或4×2=8表示。
（4）秋千中间有一根立柱，把大秋千分成了两个小秋千，每个小秋千上有4个小朋友，就是2个4。
一幅简单的图画，教师充分调动学生的积极性，放手让学生去理解，解答方法各不相同，又各有道理。这些不同的解答方法，是学生求异、创新的结果，培养了学生从不同的角度思考问题，找到了解决问题的方法，有利于不同层次的学生体验成功，树立学习自信心。多样化的解答方式，使学生感受到数学的独特魅力，有利于激发学生的创新、求异思维，培养了学生独立思考的能力。
二、算法多样化是学生独立思考的结果。
在进行“两位数减一位数”教学中，我引导学生拿出36根小棒，先自己想一想、摆一摆，怎样从36根小棒里拿走8根，然后把自己的想法在小组内交流，在全班汇报时，有好几种算法：
（1） 36-8=28 10-8=2 2+26=28
（2） 36-8=28 30-8=22 22+6=28
（3） 36-8=28 6-6=0 30-2=28
（4） 36-8=28 （5） 36-8=28 （6） 36-8=28
想： 6-4=2 想： 6-2=4 想： 6-5=1
30-4=26 30-6=24 30-3=27
26+2=28 24+4=28 1+27=28
„„
汇报完了，可是没有一个学生说出老师想要的那种方法，也就是书上提供的算法：16-8=8 8+20=28。这种算法的掌握
为后面学习笔算退位减作好准备，也就是书上提供的最基本的方法。于是我对学生说：老师还有一种方法，你们愿意学吗？接着讲述了这种方法的计算过程，并带领他们边动手摆、边口述。在巩固练习时，我出示了45-7=，叫了两位学习成绩偏上的学生上台板演。我满以为学生会认为老师提供的方法是最好的，老师在黑板上又做了演示和讲解，绝大部分学生会理解和掌握，会用这种方法来计算。可是结果却出乎我的意料，板演的两位学生写出的计算过程却是自己思考的方法。我问他们为什么不用老师教的方法算，他们认为从整捆小棒里拿走7根小棒很方便。为了保护学生求异、创新的萌芽，我肯定了他的算法。而且我看到这两位同学得到老师的肯定面露喜色、非常得意。
成人认为是最优化、最高效的方法，但没有经过学生内心深处的思考，没有经过学生自我感悟，并不能对他们起作用。他们的方法看似拐弯抹角，令人费解，但这是他们思考的结果，他们会对自己的计算方法津津乐道、情有独钟。因为这是用他们自己的头脑想出来的，是他们经过努力得到的。
第二节课上，我想验证一下到底有多少学生掌握了老师所讲的方法，还有多少学生仍用自己的方法？于是我出示了两道练习题，每人发一张纸计算，并写出计算的过程。交上来后，我大致统计了一下，中等、中等偏上的学生大多用自己思考的方法来计算，只有少数优等生用老师讲的方法计算。教师强加给他们的，他们没有接受。
三、算法需要优化，它可以培养学生独立思考、反思辨析的习惯，提高口算速度。
在多样化的算法中，很大一部分学生的思维是零乱无序的，有些方法并不高效，甚至有些不合理，他们的思维还处于较低的水平。《数学课程标准》明确指出：“人人都能获得必要的数学。”也就是说，有价值的数学，应该使每一个学生掌握。新课标的基本理念是要让不同的学生在数学上得到不同的发展，对于学习有困难的学生，教师要充分利用其他学生的不同算法，为这些儿童提供模仿、学习的范例，引导困难学生掌握最基本的方法，使他们的算法逐步优化，思维得到逐步发展，只有这样“人人都能获得必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”才不至于是一句空话。课标在分阶段内容里明确指出：“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化。”课标提倡算法多样化，也强调要重视口算，而且在口算的速度上有一定的要求。要提高口算速度，算法必须优化，学生只有掌握了高效的计算方法，才会有一定的口算速度，为后面的笔算打好基础，为后续学习打牢基本功，才能实现学生在数学学习中的可持续发展。所以，算法多样化，应该有评论，有选择，选择出最佳方法，让学生从小学会择优而用。
在进行20以内进位加法“9加几”的教学中，计算9+5，学生想出了很多种算法。
1．从9往后数，再数5个是14。 2．9+1=10，10+4=14。
3．把9分成5和4，5+5=10，10+4=14。 4．9+4=13，13+1=14。
5．9+2=11，11+3=14。
„„
算法1是通过数数来计算，2、3是利用“凑十法”计算，算法是4、5的学生他们并没有真正理解算法2中的“凑十法”，而是为了迎合老师，为多样化而多样化，看到算法2中的5可以分成4和1，算法3中的9可以分成5和4，就得出5可以分成1和4，5可以分成2和3来计算。
如果这时老师不加以引导，任由学生用自己喜欢的方法去计算，可以想象有很大一部分学生对到底如何去进行20以内的进位加法计算感到迷茫，有的学生会用一个一个去加的低水平的方法去计算，口算速度难以提高，会对以后学习多位数加法
埋下隐患。所以我们要有意识地引导学生对他们的方法进行简单的反思、比较、归类，大部分学生都会选择“凑十法”这种高效的算法来进行进位加法的计算，并在不断用自己的算法和别人的算法进行比较中，认识到差距，形成内需，迫切需要将算法最优化。在这个过程中，他们会自觉地对解题方法进行回顾、反思、总结、比较、自我调节。这个过程本身也是一个思维不断发散的过程。通过比较，使学生的思维得到发展，提高了自我认识水平，培养了优化意识。达到了“去伪存真、去粗取精“的目的。而且学生一旦在反思、比较过程中掌握了最优化的方法，口算速度会大大提高。所以，算法的多样化和最优化之间没有矛盾，两者是统一的，都是学生主动探索的过程。当然，在引导学生进行算法的优化过程中，不能过早的进行分析、归类，比较哪种算法好，应让学生在不断的练习中，在老师的引导下逐步感悟。
四、算法的优化需要教师教学策略的引导。
在算法的优化过程中，如果我们过早地把各种方法展示出来比较，让他们择优，学生会失去很多，每个孩子对自己的方法要比老师引导的方法印象要深，舍弃自己的方法而接受另一种方法，在一定程度上会对他们今后的独立思考、积极探索精神有一定的扼杀作用。应该想办法引导他们自己去通过体验和感悟后，选择最佳的方法。在进行“两位数减一位数”退位减的教学时，我设计了这样一组练习：34-8 44-8 54-8 64-8。让学生先自己计算，再汇报结果，然后引导学生比较每道题什么没变，什么变了，它们的变化有规律吗？学生发现减数没变，被减数和差变了；前一道题的被减数比后一道题的被减数多10，差也多10；每道题差的十位上的数都比被减数的十位上的数少1；每道题差的个位上都是6，这是为什么呢？因为14-8=6。通过引导比较，学生很快发现了两位数减一位数退位减算得最快的方法就是只想：14-8=6，差的个位上就是6，十位上的数比被减数的十位上的数少1就成。学生在老师创设的情景中，逐渐感悟了最优化的计算方法。
所以，在算法的优化过程中，教师不能强制性地把自己认为最优化的方法传授给学生，而应选择适当的教学策略，创设情境，引导学生在自我感悟的基础上达到优化。所以，算法的优化需要教师采用一定的教学策略来引导。
新的课程标准将数学教学的目标界定为“知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观”这三维立体的目标。传统的课堂教学中，被动灌输知识成为一种普遍现象。新课程的实施有力的扭转了这一局面，然而在新课程的教学中，我们有时只注意了算法的多样化，关注了学生的情感与态度，却忽视了数学基本功的锤炼，忽视了知识与技能的传授，所以在提倡算法多样化的同时，要优化计算方法，加强口算训练，提高计算速度，切实打好小学数学基本功，达到“三维目标”的整合统一。 《数学课程标准》在“教学建议”中指出，要“鼓励算法的多样化”。算法多样化不但是《数学课程标准》所倡导的教学理念，也已成为各种课程标准教材的具体要求。但在教学实践中，很多教师一味追求算法的多样化，无原则放任低思维层次的算法，而丢弃了算法优化的理念，因此教学上把握不准，甚至失之偏颇。究其原因是由于教师立足于传统的教学理念理解算法多样化所造成的教学困惑。那么算法多样化究竟蕴涵了哪些新的教学理念呢？下面我就从以下几个方面来谈谈自己对算法多样化的思考和认识。
一、算法多样化的内涵。
要真正理解算法多样化的内涵，首先必须回答究竟什么是算法？所谓算法就是指解决各种数学问题的程序与方法，具体包括运算的方法与解题策略。算法多样化是指解决各种数学问题的方法多样化，即对同一个问题运用不同的方法来解决。
倡导算法多样化是有前提的，各种不同算法是建立在思维等价基础上的，否则多样化就会导致泛化。从学生解决问题的思维水平看，各种算法的思维并不等价。例如在教学20以内的进位加法中教学9＋8，教师可以鼓励学生用以下几种方法计算：
第⑴种方法：9+1=10，10+7=17； 第⑵种方法：5+5=10，10+7=17；
第⑶种方法：10+8=18，所以9+8=17； 第⑷种方法：8+8=16，所以9+8=17；
第⑸种方法：在9后面接着数出8个数，是17。
由此看来，学生的算法的确存在着思维的差异性与层次性。显然这几种思维并不在同一层次上，不在同一层次上的算法就应该提倡优化，而且必须优化，只是优化的过程是学生不断体验与感悟的过程，而不是教师强制的过程。
二、算法多样化的意义
（一）算法多样化有利于全体学生的主动参与，发展学生的个性。
素质教育的本质应该体现在面向全体学生和全面发展上，而每个学生发展的关键是要在教与学的活动中给每个学生提供参与机会，使他们在参与中得到发展。算法多样化就为学生提供了这样的参与机会。我们应当尊重学生的个性差异，鼓励算法的多样化，让不同的学生获得不同的发展，促进学生的个性化学习。
(二) 多样化的算法有利于学生之间的合作交流。
不同的算法展示了学生的不同认知方式。如前例关于9+8的计算，第⑶种方法、第⑷种方法的算法表现出从某一问题与其它问题的关系出发进行思考的倾向，这种独特的思考问题角度，对其它学生而言，都具有一定的启发性。对于第⑷种方法，我们也难于肯定说他们没有受到第⑶种方法的启发。展示不同的算法，让每个学生都发表自己的不同观点，倾听别人的想法，有利于学生感受解决问题策略的多样性与灵活性，从中受到启发，在讨论中，学会与人交流，与人合作；学会理解他人，欣赏他人。
（三）算法多样化，有利于因材施教，发现每个学生的潜力。
心理学家加德纳曾指出，每一个人都具有多种智慧，其差异之一，在于某一人的哪方面智慧占优势，差异之二是某些智慧已被人显示（显能），某些智慧还没有被人显示（潜能），人人都具有多方面的智慧。而起主导地位的教师应该为每个学生创设一个良好的氛围和情境，以使每个学生的智慧得以展示，使每个学生的潜能得以发掘。在教学中鼓励学生计算方法多样化，就为学生创设了这样一个好的情境。这样方式的教学，使得智力水平相对较差的学生也能着手解决问题，品尝成功的喜悦，而对智力水平较好的学生来说，也有充分施展成功才华的空间。
（四）、算法的优化有利于培养学生高水平的数学思维。
如果算法的多样化有利于促进学生的思维发展，那么算法的优化则有利于培养学生高水平的数学思维。目前，我们的课堂教学大都注意了引导学生找出尽可能多的方法，从量的角度发展学生思维，但往往忽略了有序思维，从质的方面发展。如何从质的方面发展学生的思维呢？这就需要充分利用已有的各种算法，引导学生进行反思，理清解决问题的思路，从而找出合适学生的、并对学生后继学习有把帮助的方法作为基本方法。
（五）、重视算法的多样化，能在学生中形成一种积极思考、大胆求异的心理氛围，培养学生的创新思维和进取精神。
重视算法的多样化，必然要求教师善于发现学生各种想法的可取之处，给学生更多的鼓励，努力调动学生的学习积极性。让学生大胆陈述自己的想法，被鼓励、被肯定；让学生学会认真倾听他人的意见，还让学生学会因受启发而有所领悟，急着想说些什么„„思维的火花在教室上空相互撞击、闪烁，这一切，形成了一个巨大的心理磁场，推动每一个儿童努力思考、探索、创造，享受成功的喜悦，逐步形成积极进取的良好学习心态，促进心理的健康发展。
三、在实施算法多样化中应注意的问题
（一）．算法多样化是在学生群体中涌现出来的，不是个体的多样化，即不要求每个学生都掌握多种不同的算法。算法多样化往往是在新授课中进行的，其主要目的是培养学生的创新精神。而一题多解通常在几节新授课、小节或单元知识教学之后进行的，往往通过练习课、复习课等巩固、练习已学过的解法，并要求每个学生都掌握不同的解法，达到综合练习与提高的目的。由此可见，算法多样化与一题多解在目的与要求上是截然不同的。另外，对于算法多样化，我们不能片面地、简单化地理解它，一味地追求在漫无边际的发散中涌现出不同的算法越多越好，甚至一节课中探讨了20几种算法无结果而告终，这种只重数量而忽视质量的倾象也应当加以纠正。
（二）在算法多样化中，要不要进行优化？即要不要在多种算法中选出较好或最佳算法呢？算法多样化的本质是尊重学生的独立思考，让他们经历一个再创造的过程。有些方法在成人看来是好的，但却给一些学生增加了难度，对这些学生与其学习那种不属于自己的好方法，还不如用自己的方法计算出结果。但是，数学本身具有简捷、合理的特征，优化思想是一个重要的数学思想。在允许有些学生保留自己算法的同时，适时、适当地进行优化是完全必要的。值得注意的是：在优化的同时要留给学生反思的时间和空间，让他们在合作与交流中，通过评价别人和自己的算法，不断完善或改进自己的方法。
（三）课改实验教材为教师提供了实施算法多样化的丰富素材，有利于教师组织和引导学生开展算法多样化的教学活动。对于学生群体而言，有时课堂教学中他们会探讨出比教材更多、更好的算法，但有时教材呈现的多种算法他们没有全部探讨出来，其原因要作具体分析。是因为没有给出一定的时间或空间等条件造成的，还是因为教材的编写不符合不同班级、不同学生的实际而形成的。如果是前者，则要进一步改进我们的教学；如果是后者，则同一位教师在甲班中可能完全实现了教材中的多种算法，在乙班中可能没有完全实现教材中的多种算法，甚至此教师在甲、乙两班中均没有完全实现教材中的多种算法，这都是允许的。这里，一方面有可能由有关专家和部门进一步修改实验教材，另一方面我们的教学也要符合班级学生的实际情况，况且实验教材的修改需要一个过程。教师既要使用好新教材，又要在教学实践中为提高新教材的质量做出自己应有的贡献。
对小学数学课算法多样化的思考
走进课改的数学课堂，经常可以看见这样的现象：一道计算题出来后，老师们常常要鼓励、引导学生思考采用不同的算法。有的教师会对学生说：“可以用你自己喜欢的方法计算。”于是问题就出现了，学生用的方法往往不是老师事先估计的“基本方法”（即老教材推崇的），也不一定是老师认为比较好的方法。教师的疑问也由此产生：为什么要提倡算法多样化？如何体现算法多样化？要不要对多样的算法进行优化？算法是不是越多越好？一堂课里如何处理“体现算法多样化”与“巩固计算方法”在时间分配上的矛盾？
一、如何定位“算法多样化”？
“鼓励算法多样化”是数学新课程的一个重要理念。算法多样化与一题多解不同，它是针对“计算过程中，不同的学生会从各自的生活经验和思考角度出发，产生不同的思考方法”而提出的一种教学策略。算法多样化的思想强调的是尊重学生的独立思考。鼓励学生探索不同的方法，并不是让学生掌握多种方法，而是教师应该在课堂中鼓励、尊重学生的思维结果，引导学生进行讨论、交流，适时地点拨，肯定有创意的方法，从而培养学生良好的思维习惯和探索精神。
“算法多样化”是实现“不同的人在数学上得到不同的发展”的有效途径，也是尊重学生个性化学习、促进学生个性化发展的有效途径。新教材在计算教学中，挖掘了许多有利于突出算法多样化的素材，凸显了同一个问题的多样化算法，为学生的多角度思维拓展了空间，也为教师提供了很好的教学指导。因此笔者认为，算法多样只是一种手段，绝不是目的。算法多样化对思维的灵活性、敏捷性的训练十分重要，它是培养创新型人才的重要途径，因为任何独创的思维能力都将有力地促进学生今后的发展。
二、怎样体现“算法多样化”？
面对算法多样化，目前教师在课堂呈现出两种倾向：一种是态度消极。要强化学生的计算训练，就管不了那么多，反正我是必须把我认为最重要的任务完成再说（如：凑十法，竖式计算），如果偶尔有时间或上公开课、研究课，也会问问学生“还有没有别的算法”，没有必要去反思自己做得好不好、做到位没有。因为考试还是要的，学生考不好，家长那方面怎么交代？如果我练够了，成绩上去了，至少家长认可，学校认可，所以偶然赶赶潮流不碍“大局”。
另一种是突出了算法多样化。这里又可以分为两种情况：一是有的只是追求表面现象，而根本上并不给学生独立思考、探究、交流的机会，有时反而变成了老师一味地讲解、启发、介绍多种方法。这样，五花八门的方法不是从学生脑子里迸发出来的，而是像看电影一样，多种算法都神秘地出自高手——老师，老师更像魔术师，可以变出那么多种方法，学生不由自愧不如，对老师肃然起敬。二是老师把主动权交给学生，留出足够的时间和空间，学生可以在充分发散、求异、创新思维之后，有令人吃惊的发现。如：计算“１９＋１８”，学生竟然“喋喋不休”地说出了１１种算法：
（１）１０＋１０＝２０ （２）列竖式计算；
９＋８＝１７ （３）１９＋１０＝２９ ２９＋８＝３７；
２０＋１７＝３７； （４）１０＋１８＝２８ ９＋２８＝３７；
（５）１９＋８＝２７ （６）１８＋９＝２７ ２７＋１０＝３７
２７＋１０＝３７；
（７）１８给１９一个１，就有２０＋１７＝３７；
（８）１９给１８两个１，就有１７＋２０＝３７；
（９） 给１９增加一个１，就有２０＋１８＝３８，然后用３８－１＝３７；
（１０）给１８增加两个，１９＋２０＝３９，然后３９－２＝３７；
（１１）先分别给１９、１８补１、补２，再分别减去，就有２０＋２０－１－２＝３７。
其中，有的方法，如（３）和（４）；（５）和（６）；（7）和（8）；甚至（9）、（10）和（11）实质上是一样的，不能算为不同算法。还有学生提出的算法是为了多样化而多样化，没有一点实质意义，是可以忽略不计的，老师应有明察的能力，并及时提请学生的分析与思考。
算法的多样化激起了学生对算法的思考、归类，对问题解决策略进行提炼，对不同意见和模棱两可的方法进行辨析，达到了对算法的深层次感悟，突出了“鼓励算法多样化”的本意。学生领会了方法的实质，就能以不变应万变。更何况方法往往不是一成不变的，它们会随着实际问题的变化而变化，需要个人结合实际、经验和自己的感悟，才能灵活处理。
教学时，教师尽可能用好一些能够体现算法多样化的素材，引导学生去探索，学生的智慧是不可估量的，往往会给教师带来惊喜。但是在鼓励算法多样化的同时，有一个问题不得不引起我们的重视：多样化算法出来后并不是每一个学生都能立刻理解的，而需要结合他们个人的经验去感悟。面对多种算法，好的学生可能领会了，而且还有时间和精力自觉地从中思考、选择更好的方法；然而对于一般水平的学生而言，一节课要掌握那么多种方法是不现实的；接受慢一点的学生可能会目不暇接，到头来可能没有一种方法会给他留下深刻的印象，甚至一节课下来，在眼花缭乱的诸多算法里，对自己到底想用哪种算法没有明确的意向，那就谈不上“用自己喜欢的方法算”了。
三、算法多样化要不要优化？
上述情况是算法多样化过程中必然会遇到的现象。我们应积极创设条件让学生有机会对诸多算法进行系统的整理，通过比较来澄清一些模糊的认识，进行自我消化。有的教师此时会话锋一转，向学生提出如下问题：谈谈自己最喜欢哪种方法？你是怎样想的？打算怎样向同学推荐它？有什么好办法记住它？你最不喜欢的方法是哪种？为什么？这其实就是教师适时引导学生对多种算法进行“优化”的过程。由此，教师给学生留下自主的空间，引导学生去理解、去感悟，给学生留下的印象将是深刻的。
这样就可以让学生富有个性地、按个人的理解来开展优化活动。如果老师觉得非常重要的、必须人人都掌握的一种算法学生并没能意识到，老师可以巧妙地引导学生多思考、多辨别、多练习，使学生从比较中感受它的重要性、方便性，进而领悟这种方法的实质。比如，“列竖式计算”。当初学习时，一般学生并不会很喜欢它，因为它麻烦，再说学生都习惯了口算，横式用得多了，看起来更顺溜些。选择这种算法就需要学生不断体会。总之，优化应根据学生自己的喜好来展开，如，“说说你比较喜欢哪种算法？理由是什么？”或者换个角度说：“你想个办法推荐一下你喜欢的算法，编一段宣传广告吧！” 事实上，优化的思想是存在于人们潜意识里的，是你不引导他也会不自觉地去做的一件事，生活中优选的思想、事例无处不在，为什么不从小帮助学生树立和巩固这种意识呢？
这里又有一个问题，在优化算法过程中，“凑十法”等传统的算法要不要强调？有人主张由教师向学生推荐好的算法，以此达到优化的目的。其实，这里也是存在问题的：教师是有差异的，对课改精神的理解也不一定是最权威、最正确的。如果教师能确切地分析和把握诸多算法中各种算法的优缺点，那也未尝不可。其实，“算法好”的结论是因人而异的，有些学生容易接受且受欢迎的算法可能是速度很慢的算法。学生或者觉得那样直观形象，用起来顺手，逐渐就习惯了、掌握了，甚至久而久之也可以达到比较快的计算速度。“凑十法”等计算方法对每个人并非都是绝好的方法。教师在教学时应该有开放的思想，鼓励学生大胆地思考，只要是学生自己动脑筋想出来的合理办法，就应该给予肯定。如果学生想不到“凑十法”，教师不提也无妨。如果习惯了“数数”、接着数，或者习惯了其他的凑数法，而我们还硬是要塞给他一个“凑十法”，也是不合适的。一是他不一定理解并欣然接受；二是“凑十法”也不过是我们很熟练后才觉得它好用，从而给它冠了一个“基本”的称号。实际上，年幼的学生面对陌生的“凑十法”，一定和面对别的方法一样。在没有形成牢固的认识前，非要让学生去
记忆一些抽象规则和名称，那是给学生增加负担。鼓励算法多样化，实际上就是鼓励学生独立思考，根据自己的实际选用不同的算法，体现学习的个性化，培养思维的创造性。所以只要是学生自己用得最便捷的方法，就是他心中最优的方法。
四、学生的算法，多不起来怎么办？
有些算法，学生根本就是想不到的，该怎么办？甚至是课本上已经列出来的算法，学生也有的说不到点上，那又该怎样处理？在实际观察中，我们发现这跟教师的引导有关。如：面对北师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》二年级下册的连加“１１８＋１０４＋９５＝？”，有的老师，算式一出来就急着叫学生算；有的老师，虽然会先让学生估一估，但只是“走一走这个过程”，根本就没有留出足够的时间给学生去想，学生也没有机会说，当然学生就不可能提出类似“１００＋１００＋１００＋１８＋４－５”的方法；有的老师会给学生一点时间想一想，就可能出现“１００＋１００＋１００大约是３００”的结论；高明的老师在学生已经说出“１００＋１００＋１００”之后，还留有时间让学生继续说，这时很可能会有“挑战者”站出来讲出快捷又准确的算法（也可称作一种思想）。如果确实属于比较偏、怪、难的算法，学生想不到的，老师可以不用为此而大伤脑筋，没有想出来就算了；如果真是比较便捷的、对于今后的学习有决定性影响的重要算法，老师可以平等的身份把自己融入到学生当中，将其介绍给大家，也不失为一种好办法。比如：“刚才受同学们多种方法的启示，我也想出了一种，大家帮我看看，这样行不行？”于是学生就可能把自己设想为评判官，以积极的思维、审视的眼光来检查老师的算法是否合理。
五、如何处理“体现算法多样化”与“巩固计算方法”时间分配上的矛盾？
有的教师说：我是很重视鼓励学生算法多样化的，但是关注了算法多样化，就没有时间练习了，计算课不练习，或者练得那么少，学生的计算能力怎么提高？
笔者认为，数学中的计算练习固然十分重要，但发展学生的创新思维更重要。我们在不同学校作过对比，一些学校经常让学生“挑战百题”、玩多样“算数游戏”，学生也是乐意的，由此培养起来的计算能力的确比别的学校好。这种练如果是为落实课标中的保底标准，我看未尝不可，但是为了和以前的学生比高低，或者以此要达到超过以前学生计算水准的目标，我看就不该了。学生可用来学习的时间毕竟是个定数，以前有的一点不能减，以前没有的也要有，这只会给学生增加负担，是与新课程理念背道而驰的。当然我们也不愿看到这样的局面：创新意识和能力没有得到真正的培养，纯粹为了多样而多样，方法简单地重复耗费了大量时间和精力，到头来学生的计算能力又不如人，那就是典型的“踏空”，而不是课改的本意。 “最理想的教学设计应该是既能留给学生展示多样化算法的时空，充分体现算法多样化，还能保证足够的练习量。”计算课适度的练习是非常必要的，尽管计算方法是学生自己想出来的，但在讲出来之前，可能只是潜在的，或许就是瞬间的闪念，是一种灵感，下次碰到类似的问题时也许它还会出现，也许就是稍纵即逝的东西。学生在讲出来以前还是一点支离破碎的冲动、感觉而已，向全班讲述、介绍的过程就是引导学生把朦胧的想法进行整理的好机会，对模糊的想法进行清晰的反思、强化，或者本来想当然地认为是很好的方法，讲着讲着可能自己也会发现它并不合理，或者在一旁听的同学也来帮忙指出其中的缺漏，这本身就是一个省悟、学习的过程。学生讲出来的算法在被老师认可以前，他可能并不能确定这就是一种算法，或者在说出来以前只不过是一点模糊的意识而已。对一个新的算法必须要练习，甚至要进行适度的强化练习，才会深化感知，达到理解、掌握的效果。
算法多样化费时多，时间不够怎么办？一节课要体现算法多样化，就得给学生足够的时间思考多样的算法，交流、展示、解释多样的算法。这必然会耗去大量的时间，然而既然是计算课，学生不练肯定是不能达到很好地理解和掌握的程度的。这就出现了时间分配上的矛盾。如果偶尔一节课出现了内容讲不完的现象，临时调整或分解为一节半、两节课来上，这不成问题，但是如果所有的计算课都这样，势必造成老师和学生的负担，这应该也不是课程改革倡导者的初衷。
建议：
１． 恰当地处理好算法“创新”与算法“温故”的关系。我们要的是对新算法的发现和挖掘。如果这节计算课里学生会用到的多样化方法与上节课是相同的或类似的，那就没有必要节节课都来反复。那样，学生觉得缺乏挑战性，没有新鲜感，会感到乏味，因而不能再积极投入求异、求新的思考活动中。
２． 可以适当根据内容整合自己的课堂设计，环节尽可能少而精，不要把各项活动孤立地设计、看待，一项活动能融进两项以上教学任务的，就决不把它分解为两项零散的活动，不要频繁地更换教学场景；要努力使教学设计紧凑，进展自然、流畅，追求一种水到渠成的感觉和效果。如：北师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》一年级下册“套圈游戏”一节，主要是学习两位数的连加。这也是一个典型的要体现算法多样的题材，老师如果在“引导学生共同探寻算法多样”环节之后，给出这样的问题：“请你向同学们推荐一种方法；例题中帮淘气和笑笑算套圈的得分，下面也请大家都亲自来套圈（各种动物图片被散乱地印在作业纸的一侧，另一侧留作计算用。如果是真正地动手套圈，计算的时间肯定又无法保证了），喜欢吗？边套边给自己记分。每套三次，算一回总分，看谁套得多，算得快，而且算得准！计算时，可以用你自己喜欢的方法。”这样，不同的学生可以算不同数量的题。教师便可以去辅导有困难的学生，去收集学生计算过程中的问题信息。算法多样化就是这样帮助我们实现“学习的个性化，让不同的人在数学上有不同的发展”。
小学数学算法多样化教学实践与思考
数学课程标准(实验稿) 指出：“由于学生的生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的。教师应当尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样。
从学习的目标来看，算法多样化尊重学生的个性思维，鼓励创新思考，
算法多样化与口算估算
口算、估算、笔算是三种不同的计算形式，三者间相互补充也相互制约。很多教师错误的认为算法多样化只是笔算或者口算方法的多样。其实，算法多样化是培养估算能力的重要手段。我们在教学中。通常要求学生在估数、估算、估测时，做到先估后数、先估后算、先估后测，以此培养学生的估计意识和估计能力。不仅如此，估算的方法还可以灵活多样。 例如：小明家养鸡的收入是243元，养猪的收入是479元。估计这两项收入一共多少元?
第一种估算方法：因为200+400=600，又因为43+79＞100。所以243与479的和比700多一些；
第二种估算方法：因为243小于250，又因为479小于500，所以它们的和小于750；
第三种估算方法：它们的和比200+400大，比300+500小。
从上面的例题中可以看出：估算方法的多样、估算过程的多样、估算结果的多样，重视了估算过程、发展了估算意识、形成了估算策略。
(六) 算法多样化与解决问题
解决问题是学生学习数学的重要目标之一。算法多样化是促进解决问题策略多样化的有效手段，这也是新课程特别倡导算法多样化的重要原因之一。
例如：一箱汽水24瓶，18箱汽水有多少瓶?
解法(一) ：24x10＋24×8=432；
解法(二) ：24×20-24×2=432；
解法(三) ：20×18＋4×18=432；
解法(四) ：24×2×9=432；
解法(五) ：24×3×6=432；
解法(六) ：18×4×6=432；
解法(七) ：18×3×8=432。
上述算法已不仅仅是“24×18”的不同计算方法的探讨，而是解决“一箱汽水24瓶，18箱汽水有多少瓶?”这一现实问题策略的多样性的探究，使得算法多样化的意义有了质的飞跃。
看来，算法多样化不是一个简单的计算方法多样的问题，而是关系到解决问题策略多样和思考问题方式多样的极其重要的教学内容。
(七) 算法多样化与算法泛化
所谓算法泛化，是说不少教师错误的认为的算法多样化意味着算法越多越好。例如：计算19+18=?学生得出的算法如下：
(1)10+10=20，9+8=17，20+17=37；
(2)列竖式计算；
(3)19+10=29，29+8=37；
(4)10+18=28，9+28=37；
(5)19+8=27，27+10=37；
(6)18+9=27，27+10=37；；
(7)18给19一个1，就有20+17=37；
(8)19给18两个1，就有17+20=37；
(9)给19增加一个1，就有20+18=38，然后用38-1=37：
(10)给18增加两个，19+20=39，然后39-2=37；
(11)先分别给19、18补1、补2，再分别减去，就有20+20-1-2=37。
面对算法的如此泛化，我们势必应该思考________算法多样化真得就是算法越多越好吗? 算法多样化决不是算法越多越好，算法多样化决不是低层次的重复，算法多样化决不是无规则的放任。算法多样化决不是算法自由化。
(八) 算法多样化与学习方式
算法多样化教学的一般基本流程是：创设情境，激发兴趣_______独立思考，探究算法_______交流算法，理解算法______
体验感悟，优化算法________联系实际，应用拓展。
透过上述教学基本流程，我们十分清晰的感受到：算法多样化不是教师讲出来的，也不是学生练出来的，而是师生在自主探究、合作交流、动手实践的学习方式中主动建构出来的。可见。算法多样化促进了自主探究与合作交流的学习方式的深刻运用，促进了教师角色的真正转换，促进了多方互动的有效开展，促进了民主课堂的科学建构。
(九) 算法多样化与算法优化
算法多样化中的“多样化”是指“群体的多样化”，而算法优化中的“优化”是指“个体”的优化。一方面，我们需要鼓励算法多样化，也需要鼓励算法优化；另一方面，我们还必须注意算法优化具有相对性和发展性，要用动态的相对的发展的观点看待和重视算法的合理优化。算法优化的策略如下。
对于同一思维层面上的多样化要进行算法结构的优化。小学数学的思维层次从低级思维到高级思维依次为：动作的思维、符号的思维和逻辑的思维。当学生的思维始终停留在一个较低层面时，教师要通过学生的合作探究与适时指导、点拨，帮助学生优化算法，获得知识与技能等方面的提升与发展。
对于不同思维层面上的多样化在学生提出各种方法后，作为教师，有责任推荐一种自己认为最好的方法。例如，计算36-8=? 生1： (边摆小棒边说) 先把8分成2和6，36-6=30，30-2=28；
生2： (边摆小棒边说) 先在30根中拿走8根，再加上6根，就是28根：
生3：36-1-1-1-„„=28：
生4：10-8=2，26+2=28；
生5：36-5-1-2=28：
生6：16-8=8，20+8=28。
面对六位同学的不同算法，我们知道。前两种方法是利用动作思维得出的，后四种方法是利用符号思维得出的，很显然符号思维要高于动作思维。但在后四种方法中，前三个方面是已掌握的口算的方法，学生的思维仍然停留在原有的基础上。为了促进学生的有效发展，教师不要简单的认为口算较为简便，就放弃退位计算这一新方法的推荐。这里，恰好是教师向学生推荐新方法的较好时机，这样就为学生在后面学习笔算加减法奠定了知识上和方法上的准备。
(十) 算法多样化与学生发展
算法多样化是对学生个性化学习与思维的尊重；多样化的算法是一种重要的课程资源，有利于学生之间的合作交流；算法多样化有利于培养学生高水平的数学思维；重视算法的多样化有利于培养学生“具体地分析具体情况”的意识；重视算法的多样化，能在学生中形成一种积极思考、大胆求异的心理氛围，培养学生的创新思维和进取精神。
作为新课程背景下的教师，我们有责任在“尊重学生的个性特点，关注学生的思维发展”与“尊重学习活动的普遍规律，关注学习活动的指导作用”之间寻找到平衡点，不可顾此失彼。这就是真正意义上的算法多样化。
关于小学数学算法多样化的认识与思考 [论文关键词]小学数学 算法多样化 价值取向 优化
[论文摘要]目前，小学数学教学越来越关注算法的获得和选择对学生的影响。本文试图探讨新的数学课堂教学的模式，调动不同层次学生数学学习的积极性，让学生学会数学地思维，培养学生辩证地分析问题、处理问题的能力，发挥学生在课堂中学习的互补性。但在具体的实施中存在误区，有些关系需要我们重新去认识，正确去处理。
新《数学课程标准》明确提出“应重视口算，加强估算，提倡鼓励算法多样化”，这无疑给小学数学教学改革注入了兴奋剂。所谓小学数学算法的多样化，就是在小学数学教学中先让不同层次的学生经历探索的过程，去发现算法，然后在课堂教学平台上由一些学生展示各自的算法，必要时教师补充算法，再通过班级集体和老师的力量对呈现的算法进行分析、比较和优化，使学生感悟算理，形成适合自己个性的算法，最后把获得的算法用于自己的学习和生活中，从中体验学习数学的快乐。小学数学算法的多样化更加关注不同学生学习数学的认知特点和学生已有的数学学习基础，并利用不同的算法对学生进行数学思想方法的灌输，改变了以往小学算术教学过于强调计算技能培养的套路，突出过程性教学，使不同层次的学生都能参与到教学过程中来，更好地体现学生的主体性，使学生个性得到张扬，学生之间的相互学习得到倡导。
一、小学数学算法多样化的价值取向
曾记得在十几年前，有一项小学生的珠心算实验引起了人们的注意。实验要求口算的学生心中有个算盘，不需要实际拨珠的动作，反复训练形成一种快速计算的技能。实验在当时有其价值，它把珠算和心算结合在了一起，继承了我国数学文化，但由于口算方面的过高要求而不能被推广。实验组的学生掌握的是“算术”，他只要按照一定的程序机械地运算就会得到结果，但他们在数学的其它能力方面没有优势。随着社会的发展，总的来说对个体的计算技能要求有所降低。可是，“会不会算”和“怎样算才快”始终是计算面临的两个基本问题，算法相对于计算技能变得越来越重要。在小学数学教学中实施算法多样化，就是要发挥算法的教学功能，把各种算法作为小学数学教学的资源。
1. 算法多样化突出对学生数学思想方法的培养。数学是一门横断学科，其它学科或多或少会用到数学。所以我们总是把数学的工具性提到了一个很高的位置。但数学教育的目的不仅仅是要让学生掌握数学知识（包括计算技能），更重要的要让学生学会数学地思维。例如要比较分数和的大小，有一种方法是从“反面”入手的，把分数分解成与相同整数和另一分数之差，接下来只要比较另一个分数的大小。若从数学的工具性出发，则学生只要能得到计算结果就行，分数大小的比较，无论采用通分、十字相乘还是化为小数，都比较方便，惟独从“反面”入手这种方法许多学生不太会想到。但它的教学价值在于用到了化归的数学思想方法，是一种间接的比较办法。现在的小学计算教学，就是要让学生感受计算方法提炼的过程，体会其中的数学思想方法，更在于让学生思维碰撞，并形成切合学生个人实际的计算方法，从中培养学生的数学意识，使学生能自觉地运用数学思想方法来分析事物，解决问题。小学数学算法多样化，还可使一些学生不限于一种计算方法，把所学知识融合起来，最终学生的思维会更灵活，对计算方法的理解会更深刻。
2. 算法多样化强调不同层次学生的参与。“算法多样化”是实现“不同的人在数学上得到不同的发展”的有效途径，也是尊重学生个性化学习、促进学生个性化发展的有效途径。小学数学算法多样化，改变了以往教师直接把计算方法展示给学生的教学方法，吸引了不同层次的学生参与到教学过程中来。小学数学算法多样化中不同的计算方法，主要是由学生提出来的，是群体的多样，并不要求所有的方法每个学生都要掌握，但每个学生都可以提出自己的想法与大家共享。新《数学课程
标准》在“教学建议”中也明确提出：由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多种多样的。例如，为了探索9+5的计算方法，新世纪版小学数学教材借助现实的问题情境，出示了两只可装10瓶牛奶的盒子，它们各装了9瓶和5瓶牛奶，问牛奶总的瓶数。在相应的某一教学片断中，有的学生在9瓶的基础上又数5瓶得14瓶，也有学生移动1瓶到9瓶的盒子中共得14瓶„„特别是有学生提出借1瓶装满9瓶这一盒共得15瓶，再还1瓶获结果14瓶。这位学生思维的深度显然要比用数数的方法计算的学生来得深。数数比较直接，借牛奶比较巧妙，不同的学生会用不同的方法，我们不能苛求学生用同一算法。教师始终要尊重学生，要营造民主的氛围，要为学生相互交流、相互学习提供平台，使不同层次的学生敢于表达自己的见解。
二、小学数学算法多样化的误区
1. 误区一：算法越多越好。在小学数学算法多样化中，不是算法越多越好，不是算法越巧妙越好，更不是你想怎样算就怎样算，算法要符合学生的生活背景和学生的知识结构。在一些小学数学课堂教学评价中，常常会以算法的多少作为课堂教学好坏的一个指标，教学中一些教师过于盲目地引导学生尽可能用各种方法去计算，造成学生为了迎合教师的要求提出违背认知规律的算法，这些现象是值得我们注意的。像为了计算9+5=14，提出“因为9+6=15，所以9+5=15-1；因为9+7=16，所以9+5=16-2„„”这些算法就不是最合理。对具体的学生，或许他（她）知道9+6和9+7等计算结果，产生前面的算法有其合理性。但更多的时候我们是从9+5=14来认识9+6和9+7的，前面的算法就失去教学的价值。
2. 误区二：算法无需优化。小学数学算法多样化需要优化，这个观点目前被绝大多数教师所接受。算法多样化和算法优化“从本质上看，这二者并不矛盾，他们在本质上是两种思维训练，而这二者都是学生需要的。”学生常常会把自己熟悉的方法认为是最简的，这没有错。可是，课堂上不同的学生各讲自己的计算方法，教师不引导学生对呈现的计算方法加以比较分析，学生会分不清各种方法适用的范围，会忽视基本算法，这对学生形成系统的数学知识是不利的。优化算法需要学生对算法在计算上的有效性做出自己的评价，但绝不是强迫学生接受他人算法，应允许学生保留自己的算法，优化算法的主体是学生而不是教师。最简便的方法不一定通用，通用的方法也不一定是最简便。通过算法优化，我们可以培养学生的优化意识，使学生能辩证地看待事物，明白在不同的情况下要运用相对合理的计算方法。
3. 误区三：算法多样化就是一题多解。小学数学算法多样化指的是群体的多样化，并不要求每个学生提出多种计算方法，更不要求每一个学生掌握每一种计算方法，这是与一题多解的本质区别。一题多解要求每一个学生用多种方法来求解同一道题，而算法多样化是从班级的层面上来讲要求学生提出多种计算方法，但对学生个体来说，他（她）可能只提出了一种适合自己的方法，甚至于可能还没找到计算方法。算法多样化和一题多解对学生的启示有共同点，就是同一个问题我们可以用多种方法去解决，这对改变数学教学中追求“惟一答案”的现象会起到很好的作用。算法多样化更符合小学生的实际，我们鼓励优秀的学生在算法多样化过程中进行一题多解，但不能拔高整体要求。算法多样化相对于一题多解，更突出不同个体之间学习的互补性，尤其在算法交流和优化阶段，相互学习氛围会更浓。
三、小学数学算法多样化实施中应注意的问题
1. 基本计算能力与算法多样化。新《数学课程标准》是在“重视口算，加强估算”的基础上提倡鼓励算法多样化，这要求我们不能刻意追求算法多样化，不能让学生基本计算能力失落。随着各种电子计算工具的涌入，在大数及多步计算方面的要求必然会降低，但我们要防止学生动不动就按键计算，不能让学生由于基本计算能力低下影响到后继学习。因此，小学数
学教学中我们不能对各种计算方法一视同仁，而要对一些基本计算方法有所侧重，让学生明白通用方法和最简方法，必要时对学生的计算能力进行适度机械训练，特别是在低段，像开小火车等有助于提高口算能力的竞赛要在课堂上多开展。同时，小学数学教学不能忽视估算，像著名的蒙特卡洛（Monte Carlo ）方法，是用随机数学方法来求解确定性数学问题，这是对确定性数学问题结果的一种估算。估算讲究方法，在估算中我们同样倡导估算方法的多样化，还可以通过估算来检验精确计算。
2. 算理与算法多样化。在古代数学中，以《九章算术》为代表的突出算法倾向的东方数学与以《几何原本》为代表的突出演绎倾向的西方数学相映成辉。其中《九章算术》把全书分成9个大类，用一个固定的模式解决同类问题，其思维方式表现为构造性和机械化，这切合当今计算机时代的要求。吴文俊先生吸收了我国古代数学思想的精髓，开创了计算机证明的先河。由此看来，我们不应排斥算法机械化，但同时我们又要崇尚理性。在小学计算教学中要多引导学生思考“为什么这样算”，要让学生理解自己算法的算理。曾有一种观点认为学生的学习是一种顿悟，只要学生算对结果，就要少问学生“为什么”，这有一定的道理。教师不应强迫学生说算理，但在算法多样化过程中，需要对一些重要方法在算理上进行必要的分析，以便从整体上对学生产生积极影响。例如，求最大公约数和最小公倍数有两种基本方法，其中短除法比较机械，而分解质因数法更体现概念的本质。小学教材突出了短除法的具体操作，没有很好地建立起这两种方法的联系，这容易造成一些学生无法把短除法过程和分解质因数的过程一致起来。这种状况的出现是由于学生还没有真正理解它们在算理上的共性。
3. 教师与算法多样化。小学数学课堂教学中实施算法多样化，一般包括“提出问题（或创设情境）—独立计算—交流算法—优化算法—巩固算法”五个环节。教师在这些教学环节中要适度发挥作用:
（1）教师要鼓励不同层次学生参与到教学的过程中，但不要把学生的各种算法统一到最简或通用的方法上来，而是要让学生主动构建数学知识。
（2）教师可以展示自己的算法，但要防止课堂教学变成教师算法多样化的展示，更多的时候应该是学生算法的展示。教师对学生的算法不能一律称好，需要比较，从而使学生认清不同算法的价值，分清基本算法和特殊算法，明确算法的适用范围。
（3）教师要引导学生建立起一些算法之间的联系。像前面提到的牛奶瓶数的计算，一种是通过操作（移动或借）来计算，另一种是式子计算，建立这两类方法之间的联系对小学低段的学生来说非常重要。
（4）教师要帮助学生提炼方法背后的数学思想，使学生掌握凑整、拆分、化归等计算策略，还要鼓励学生在算法多样化中不断创新。如在计算三个数的最大公约数和最小公倍数时学生常会出错。错误的主要原因是学生没有分清两个数的公约数和三个数的公约数的界限。教师可鼓励学生对教材上的短除法进行改进。事实上只要在三个数的公约数短除和两个数的公约数短除之间建立分界线，虽然只是一点点变化，但同样是算法上的创新，这样做会减少学生错误的发生。
（5）教师不应把算法多样化的教学模式限于计算方面的教学，还可把其中所体现的教学理念落实到应用题等其它数学知识的教学中去
感受新理念，强化基本功
——关于算法多样化与最优化的思考
《数学课程标准》指出：“由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化。”算法多样化是新课程倡导的理念。在课堂教学中，学生结合已有的知识经验，通
过动手操作、观察、交流，发现了不同的算法，它不仅发挥了学生的主体作用，也培养了学生的创新思维和创新意识。但是，在课堂教学实践中，在新课程理念的落实中，许多教师对算法多样化的认识和操作上存在这样或那样的不足，影响了新理念的实施，降低了教学的效果。本文谈一谈自己在教学实践中对算法多样化和算法最优化的几点认识。
一、算法多样化，它可以培养学生的创新、求异思维和主动探索精神。
建构主义学习理论告诉我们，学生学习数学的过程不是被动接受的过程，而是学习者在自身经验基础上积极主动的建构过程。因为每个学生的生活经验和思维方式不同，对相同的数学内容往往表现出个性化的认识和理解，所使用的计算方法也必然是多样的。多样化的算法，使他们在与同伴合作交流比较的过程中，会取长补短，感受到成功的愉悦，体味到独立思考、自主探索学习的乐趣。多样化的算法，不但关注了学生知识技能的获得，同时也关注了学生个体化的发展。解决这一问题的过程会使数学课堂变得丰富多彩、生动活泼。
在教学“乘法的初步认识”，“做一做”练习中，教科书的插图是一架秋千上有四个座位，每个座位上有两个小朋友。求一共有多少个小朋友？按成人的思维应该是4个2相加，所列加法算式是：2+2+2+2=8，乘法算式是：2×4=8或4×2=8。而学生对图意的理解方式是各不相同，算法也是多样的：
（1）一架秋千上有8个人，是1个8，用1×8或8×1表示。
（2）有8个同学是8个1，用加法算式1+1+1+1+1+1+1+1=8表示，用乘法算式1×8=8或8×1=8表示。
（3）有4个男同学，4个女同学，是2个4，用4+4=8，2×4=8或4×2=8表示。
（4）秋千中间有一根立柱，把大秋千分成了两个小秋千，每个小秋千上有4个小朋友，就是2个4。
一幅简单的图画，教师充分调动学生的积极性，放手让学生去理解，解答方法各不相同，又各有道理。这些不同的解答方法，是学生求异、创新的结果，培养了学生从不同的角度思考问题，找到了解决问题的方法，有利于不同层次的学生体验成功，树立学习自信心。多样化的解答方式，使学生感受到数学的独特魅力，有利于激发学生的创新、求异思维，培养了学生独立思考的能力。
二、算法多样化是学生独立思考的结果。
在进行“两位数减一位数”教学中，我引导学生拿出36根小棒，先自己想一想、摆一摆，怎样从36根小棒里拿走8根，然后把自己的想法在小组内交流，在全班汇报时，有好几种算法：
（1） 36-8=28 10-8=2 2+26=28
（2） 36-8=28 30-8=22 22+6=28
（3） 36-8=28 6-6=0 30-2=28
（4） 36-8=28 （5） 36-8=28 （6） 36-8=28
想： 6-4=2 想： 6-2=4 想： 6-5=1
30-4=26 30-6=24 30-3=27
26+2=28 24+4=28 1+27=28
„„
汇报完了，可是没有一个学生说出老师想要的那种方法，也就是书上提供的算法：16-8=8 8+20=28。这种算法的掌握
为后面学习笔算退位减作好准备，也就是书上提供的最基本的方法。于是我对学生说：老师还有一种方法，你们愿意学吗？接着讲述了这种方法的计算过程，并带领他们边动手摆、边口述。在巩固练习时，我出示了45-7=，叫了两位学习成绩偏上的学生上台板演。我满以为学生会认为老师提供的方法是最好的，老师在黑板上又做了演示和讲解，绝大部分学生会理解和掌握，会用这种方法来计算。可是结果却出乎我的意料，板演的两位学生写出的计算过程却是自己思考的方法。我问他们为什么不用老师教的方法算，他们认为从整捆小棒里拿走7根小棒很方便。为了保护学生求异、创新的萌芽，我肯定了他的算法。而且我看到这两位同学得到老师的肯定面露喜色、非常得意。
成人认为是最优化、最高效的方法，但没有经过学生内心深处的思考，没有经过学生自我感悟，并不能对他们起作用。他们的方法看似拐弯抹角，令人费解，但这是他们思考的结果，他们会对自己的计算方法津津乐道、情有独钟。因为这是用他们自己的头脑想出来的，是他们经过努力得到的。
第二节课上，我想验证一下到底有多少学生掌握了老师所讲的方法，还有多少学生仍用自己的方法？于是我出示了两道练习题，每人发一张纸计算，并写出计算的过程。交上来后，我大致统计了一下，中等、中等偏上的学生大多用自己思考的方法来计算，只有少数优等生用老师讲的方法计算。教师强加给他们的，他们没有接受。
三、算法需要优化，它可以培养学生独立思考、反思辨析的习惯，提高口算速度。
在多样化的算法中，很大一部分学生的思维是零乱无序的，有些方法并不高效，甚至有些不合理，他们的思维还处于较低的水平。《数学课程标准》明确指出：“人人都能获得必要的数学。”也就是说，有价值的数学，应该使每一个学生掌握。新课标的基本理念是要让不同的学生在数学上得到不同的发展，对于学习有困难的学生，教师要充分利用其他学生的不同算法，为这些儿童提供模仿、学习的范例，引导困难学生掌握最基本的方法，使他们的算法逐步优化，思维得到逐步发展，只有这样“人人都能获得必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”才不至于是一句空话。课标在分阶段内容里明确指出：“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化。”课标提倡算法多样化，也强调要重视口算，而且在口算的速度上有一定的要求。要提高口算速度，算法必须优化，学生只有掌握了高效的计算方法，才会有一定的口算速度，为后面的笔算打好基础，为后续学习打牢基本功，才能实现学生在数学学习中的可持续发展。所以，算法多样化，应该有评论，有选择，选择出最佳方法，让学生从小学会择优而用。
在进行20以内进位加法“9加几”的教学中，计算9+5，学生想出了很多种算法。
1．从9往后数，再数5个是14。 2．9+1=10，10+4=14。
3．把9分成5和4，5+5=10，10+4=14。 4．9+4=13，13+1=14。
5．9+2=11，11+3=14。
„„
算法1是通过数数来计算，2、3是利用“凑十法”计算，算法是4、5的学生他们并没有真正理解算法2中的“凑十法”，而是为了迎合老师，为多样化而多样化，看到算法2中的5可以分成4和1，算法3中的9可以分成5和4，就得出5可以分成1和4，5可以分成2和3来计算。
如果这时老师不加以引导，任由学生用自己喜欢的方法去计算，可以想象有很大一部分学生对到底如何去进行20以内的进位加法计算感到迷茫，有的学生会用一个一个去加的低水平的方法去计算，口算速度难以提高，会对以后学习多位数加法
埋下隐患。所以我们要有意识地引导学生对他们的方法进行简单的反思、比较、归类，大部分学生都会选择“凑十法”这种高效的算法来进行进位加法的计算，并在不断用自己的算法和别人的算法进行比较中，认识到差距，形成内需，迫切需要将算法最优化。在这个过程中，他们会自觉地对解题方法进行回顾、反思、总结、比较、自我调节。这个过程本身也是一个思维不断发散的过程。通过比较，使学生的思维得到发展，提高了自我认识水平，培养了优化意识。达到了“去伪存真、去粗取精“的目的。而且学生一旦在反思、比较过程中掌握了最优化的方法，口算速度会大大提高。所以，算法的多样化和最优化之间没有矛盾，两者是统一的，都是学生主动探索的过程。当然，在引导学生进行算法的优化过程中，不能过早的进行分析、归类，比较哪种算法好，应让学生在不断的练习中，在老师的引导下逐步感悟。
四、算法的优化需要教师教学策略的引导。
在算法的优化过程中，如果我们过早地把各种方法展示出来比较，让他们择优，学生会失去很多，每个孩子对自己的方法要比老师引导的方法印象要深，舍弃自己的方法而接受另一种方法，在一定程度上会对他们今后的独立思考、积极探索精神有一定的扼杀作用。应该想办法引导他们自己去通过体验和感悟后，选择最佳的方法。在进行“两位数减一位数”退位减的教学时，我设计了这样一组练习：34-8 44-8 54-8 64-8。让学生先自己计算，再汇报结果，然后引导学生比较每道题什么没变，什么变了，它们的变化有规律吗？学生发现减数没变，被减数和差变了；前一道题的被减数比后一道题的被减数多10，差也多10；每道题差的十位上的数都比被减数的十位上的数少1；每道题差的个位上都是6，这是为什么呢？因为14-8=6。通过引导比较，学生很快发现了两位数减一位数退位减算得最快的方法就是只想：14-8=6，差的个位上就是6，十位上的数比被减数的十位上的数少1就成。学生在老师创设的情景中，逐渐感悟了最优化的计算方法。
所以，在算法的优化过程中，教师不能强制性地把自己认为最优化的方法传授给学生，而应选择适当的教学策略，创设情境，引导学生在自我感悟的基础上达到优化。所以，算法的优化需要教师采用一定的教学策略来引导。
新的课程标准将数学教学的目标界定为“知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观”这三维立体的目标。传统的课堂教学中，被动灌输知识成为一种普遍现象。新课程的实施有力的扭转了这一局面，然而在新课程的教学中，我们有时只注意了算法的多样化，关注了学生的情感与态度，却忽视了数学基本功的锤炼，忽视了知识与技能的传授，所以在提倡算法多样化的同时，要优化计算方法，加强口算训练，提高计算速度，切实打好小学数学基本功，达到“三维目标”的整合统一。 《数学课程标准》在“教学建议”中指出，要“鼓励算法的多样化”。算法多样化不但是《数学课程标准》所倡导的教学理念，也已成为各种课程标准教材的具体要求。但在教学实践中，很多教师一味追求算法的多样化，无原则放任低思维层次的算法，而丢弃了算法优化的理念，因此教学上把握不准，甚至失之偏颇。究其原因是由于教师立足于传统的教学理念理解算法多样化所造成的教学困惑。那么算法多样化究竟蕴涵了哪些新的教学理念呢？下面我就从以下几个方面来谈谈自己对算法多样化的思考和认识。
一、算法多样化的内涵。
要真正理解算法多样化的内涵，首先必须回答究竟什么是算法？所谓算法就是指解决各种数学问题的程序与方法，具体包括运算的方法与解题策略。算法多样化是指解决各种数学问题的方法多样化，即对同一个问题运用不同的方法来解决。
倡导算法多样化是有前提的，各种不同算法是建立在思维等价基础上的，否则多样化就会导致泛化。从学生解决问题的思维水平看，各种算法的思维并不等价。例如在教学20以内的进位加法中教学9＋8，教师可以鼓励学生用以下几种方法计算：
第⑴种方法：9+1=10，10+7=17； 第⑵种方法：5+5=10，10+7=17；
第⑶种方法：10+8=18，所以9+8=17； 第⑷种方法：8+8=16，所以9+8=17；
第⑸种方法：在9后面接着数出8个数，是17。
由此看来，学生的算法的确存在着思维的差异性与层次性。显然这几种思维并不在同一层次上，不在同一层次上的算法就应该提倡优化，而且必须优化，只是优化的过程是学生不断体验与感悟的过程，而不是教师强制的过程。
二、算法多样化的意义
（一）算法多样化有利于全体学生的主动参与，发展学生的个性。
素质教育的本质应该体现在面向全体学生和全面发展上，而每个学生发展的关键是要在教与学的活动中给每个学生提供参与机会，使他们在参与中得到发展。算法多样化就为学生提供了这样的参与机会。我们应当尊重学生的个性差异，鼓励算法的多样化，让不同的学生获得不同的发展，促进学生的个性化学习。
(二) 多样化的算法有利于学生之间的合作交流。
不同的算法展示了学生的不同认知方式。如前例关于9+8的计算，第⑶种方法、第⑷种方法的算法表现出从某一问题与其它问题的关系出发进行思考的倾向，这种独特的思考问题角度，对其它学生而言，都具有一定的启发性。对于第⑷种方法，我们也难于肯定说他们没有受到第⑶种方法的启发。展示不同的算法，让每个学生都发表自己的不同观点，倾听别人的想法，有利于学生感受解决问题策略的多样性与灵活性，从中受到启发，在讨论中，学会与人交流，与人合作；学会理解他人，欣赏他人。
（三）算法多样化，有利于因材施教，发现每个学生的潜力。
心理学家加德纳曾指出，每一个人都具有多种智慧，其差异之一，在于某一人的哪方面智慧占优势，差异之二是某些智慧已被人显示（显能），某些智慧还没有被人显示（潜能），人人都具有多方面的智慧。而起主导地位的教师应该为每个学生创设一个良好的氛围和情境，以使每个学生的智慧得以展示，使每个学生的潜能得以发掘。在教学中鼓励学生计算方法多样化，就为学生创设了这样一个好的情境。这样方式的教学，使得智力水平相对较差的学生也能着手解决问题，品尝成功的喜悦，而对智力水平较好的学生来说，也有充分施展成功才华的空间。
（四）、算法的优化有利于培养学生高水平的数学思维。
如果算法的多样化有利于促进学生的思维发展，那么算法的优化则有利于培养学生高水平的数学思维。目前，我们的课堂教学大都注意了引导学生找出尽可能多的方法，从量的角度发展学生思维，但往往忽略了有序思维，从质的方面发展。如何从质的方面发展学生的思维呢？这就需要充分利用已有的各种算法，引导学生进行反思，理清解决问题的思路，从而找出合适学生的、并对学生后继学习有把帮助的方法作为基本方法。
（五）、重视算法的多样化，能在学生中形成一种积极思考、大胆求异的心理氛围，培养学生的创新思维和进取精神。
重视算法的多样化，必然要求教师善于发现学生各种想法的可取之处，给学生更多的鼓励，努力调动学生的学习积极性。让学生大胆陈述自己的想法，被鼓励、被肯定；让学生学会认真倾听他人的意见，还让学生学会因受启发而有所领悟，急着想说些什么„„思维的火花在教室上空相互撞击、闪烁，这一切，形成了一个巨大的心理磁场，推动每一个儿童努力思考、探索、创造，享受成功的喜悦，逐步形成积极进取的良好学习心态，促进心理的健康发展。
三、在实施算法多样化中应注意的问题
（一）．算法多样化是在学生群体中涌现出来的，不是个体的多样化，即不要求每个学生都掌握多种不同的算法。算法多样化往往是在新授课中进行的，其主要目的是培养学生的创新精神。而一题多解通常在几节新授课、小节或单元知识教学之后进行的，往往通过练习课、复习课等巩固、练习已学过的解法，并要求每个学生都掌握不同的解法，达到综合练习与提高的目的。由此可见，算法多样化与一题多解在目的与要求上是截然不同的。另外，对于算法多样化，我们不能片面地、简单化地理解它，一味地追求在漫无边际的发散中涌现出不同的算法越多越好，甚至一节课中探讨了20几种算法无结果而告终，这种只重数量而忽视质量的倾象也应当加以纠正。
（二）在算法多样化中，要不要进行优化？即要不要在多种算法中选出较好或最佳算法呢？算法多样化的本质是尊重学生的独立思考，让他们经历一个再创造的过程。有些方法在成人看来是好的，但却给一些学生增加了难度，对这些学生与其学习那种不属于自己的好方法，还不如用自己的方法计算出结果。但是，数学本身具有简捷、合理的特征，优化思想是一个重要的数学思想。在允许有些学生保留自己算法的同时，适时、适当地进行优化是完全必要的。值得注意的是：在优化的同时要留给学生反思的时间和空间，让他们在合作与交流中，通过评价别人和自己的算法，不断完善或改进自己的方法。
（三）课改实验教材为教师提供了实施算法多样化的丰富素材，有利于教师组织和引导学生开展算法多样化的教学活动。对于学生群体而言，有时课堂教学中他们会探讨出比教材更多、更好的算法，但有时教材呈现的多种算法他们没有全部探讨出来，其原因要作具体分析。是因为没有给出一定的时间或空间等条件造成的，还是因为教材的编写不符合不同班级、不同学生的实际而形成的。如果是前者，则要进一步改进我们的教学；如果是后者，则同一位教师在甲班中可能完全实现了教材中的多种算法，在乙班中可能没有完全实现教材中的多种算法，甚至此教师在甲、乙两班中均没有完全实现教材中的多种算法，这都是允许的。这里，一方面有可能由有关专家和部门进一步修改实验教材，另一方面我们的教学也要符合班级学生的实际情况，况且实验教材的修改需要一个过程。教师既要使用好新教材，又要在教学实践中为提高新教材的质量做出自己应有的贡献。
对小学数学课算法多样化的思考
走进课改的数学课堂，经常可以看见这样的现象：一道计算题出来后，老师们常常要鼓励、引导学生思考采用不同的算法。有的教师会对学生说：“可以用你自己喜欢的方法计算。”于是问题就出现了，学生用的方法往往不是老师事先估计的“基本方法”（即老教材推崇的），也不一定是老师认为比较好的方法。教师的疑问也由此产生：为什么要提倡算法多样化？如何体现算法多样化？要不要对多样的算法进行优化？算法是不是越多越好？一堂课里如何处理“体现算法多样化”与“巩固计算方法”在时间分配上的矛盾？
一、如何定位“算法多样化”？
“鼓励算法多样化”是数学新课程的一个重要理念。算法多样化与一题多解不同，它是针对“计算过程中，不同的学生会从各自的生活经验和思考角度出发，产生不同的思考方法”而提出的一种教学策略。算法多样化的思想强调的是尊重学生的独立思考。鼓励学生探索不同的方法，并不是让学生掌握多种方法，而是教师应该在课堂中鼓励、尊重学生的思维结果，引导学生进行讨论、交流，适时地点拨，肯定有创意的方法，从而培养学生良好的思维习惯和探索精神。
“算法多样化”是实现“不同的人在数学上得到不同的发展”的有效途径，也是尊重学生个性化学习、促进学生个性化发展的有效途径。新教材在计算教学中，挖掘了许多有利于突出算法多样化的素材，凸显了同一个问题的多样化算法，为学生的多角度思维拓展了空间，也为教师提供了很好的教学指导。因此笔者认为，算法多样只是一种手段，绝不是目的。算法多样化对思维的灵活性、敏捷性的训练十分重要，它是培养创新型人才的重要途径，因为任何独创的思维能力都将有力地促进学生今后的发展。
二、怎样体现“算法多样化”？
面对算法多样化，目前教师在课堂呈现出两种倾向：一种是态度消极。要强化学生的计算训练，就管不了那么多，反正我是必须把我认为最重要的任务完成再说（如：凑十法，竖式计算），如果偶尔有时间或上公开课、研究课，也会问问学生“还有没有别的算法”，没有必要去反思自己做得好不好、做到位没有。因为考试还是要的，学生考不好，家长那方面怎么交代？如果我练够了，成绩上去了，至少家长认可，学校认可，所以偶然赶赶潮流不碍“大局”。
另一种是突出了算法多样化。这里又可以分为两种情况：一是有的只是追求表面现象，而根本上并不给学生独立思考、探究、交流的机会，有时反而变成了老师一味地讲解、启发、介绍多种方法。这样，五花八门的方法不是从学生脑子里迸发出来的，而是像看电影一样，多种算法都神秘地出自高手——老师，老师更像魔术师，可以变出那么多种方法，学生不由自愧不如，对老师肃然起敬。二是老师把主动权交给学生，留出足够的时间和空间，学生可以在充分发散、求异、创新思维之后，有令人吃惊的发现。如：计算“１９＋１８”，学生竟然“喋喋不休”地说出了１１种算法：
（１）１０＋１０＝２０ （２）列竖式计算；
９＋８＝１７ （３）１９＋１０＝２９ ２９＋８＝３７；
２０＋１７＝３７； （４）１０＋１８＝２８ ９＋２８＝３７；
（５）１９＋８＝２７ （６）１８＋９＝２７ ２７＋１０＝３７
２７＋１０＝３７；
（７）１８给１９一个１，就有２０＋１７＝３７；
（８）１９给１８两个１，就有１７＋２０＝３７；
（９） 给１９增加一个１，就有２０＋１８＝３８，然后用３８－１＝３７；
（１０）给１８增加两个，１９＋２０＝３９，然后３９－２＝３７；
（１１）先分别给１９、１８补１、补２，再分别减去，就有２０＋２０－１－２＝３７。
其中，有的方法，如（３）和（４）；（５）和（６）；（7）和（8）；甚至（9）、（10）和（11）实质上是一样的，不能算为不同算法。还有学生提出的算法是为了多样化而多样化，没有一点实质意义，是可以忽略不计的，老师应有明察的能力，并及时提请学生的分析与思考。
算法的多样化激起了学生对算法的思考、归类，对问题解决策略进行提炼，对不同意见和模棱两可的方法进行辨析，达到了对算法的深层次感悟，突出了“鼓励算法多样化”的本意。学生领会了方法的实质，就能以不变应万变。更何况方法往往不是一成不变的，它们会随着实际问题的变化而变化，需要个人结合实际、经验和自己的感悟，才能灵活处理。
教学时，教师尽可能用好一些能够体现算法多样化的素材，引导学生去探索，学生的智慧是不可估量的，往往会给教师带来惊喜。但是在鼓励算法多样化的同时，有一个问题不得不引起我们的重视：多样化算法出来后并不是每一个学生都能立刻理解的，而需要结合他们个人的经验去感悟。面对多种算法，好的学生可能领会了，而且还有时间和精力自觉地从中思考、选择更好的方法；然而对于一般水平的学生而言，一节课要掌握那么多种方法是不现实的；接受慢一点的学生可能会目不暇接，到头来可能没有一种方法会给他留下深刻的印象，甚至一节课下来，在眼花缭乱的诸多算法里，对自己到底想用哪种算法没有明确的意向，那就谈不上“用自己喜欢的方法算”了。
三、算法多样化要不要优化？
上述情况是算法多样化过程中必然会遇到的现象。我们应积极创设条件让学生有机会对诸多算法进行系统的整理，通过比较来澄清一些模糊的认识，进行自我消化。有的教师此时会话锋一转，向学生提出如下问题：谈谈自己最喜欢哪种方法？你是怎样想的？打算怎样向同学推荐它？有什么好办法记住它？你最不喜欢的方法是哪种？为什么？这其实就是教师适时引导学生对多种算法进行“优化”的过程。由此，教师给学生留下自主的空间，引导学生去理解、去感悟，给学生留下的印象将是深刻的。
这样就可以让学生富有个性地、按个人的理解来开展优化活动。如果老师觉得非常重要的、必须人人都掌握的一种算法学生并没能意识到，老师可以巧妙地引导学生多思考、多辨别、多练习，使学生从比较中感受它的重要性、方便性，进而领悟这种方法的实质。比如，“列竖式计算”。当初学习时，一般学生并不会很喜欢它，因为它麻烦，再说学生都习惯了口算，横式用得多了，看起来更顺溜些。选择这种算法就需要学生不断体会。总之，优化应根据学生自己的喜好来展开，如，“说说你比较喜欢哪种算法？理由是什么？”或者换个角度说：“你想个办法推荐一下你喜欢的算法，编一段宣传广告吧！” 事实上，优化的思想是存在于人们潜意识里的，是你不引导他也会不自觉地去做的一件事，生活中优选的思想、事例无处不在，为什么不从小帮助学生树立和巩固这种意识呢？
这里又有一个问题，在优化算法过程中，“凑十法”等传统的算法要不要强调？有人主张由教师向学生推荐好的算法，以此达到优化的目的。其实，这里也是存在问题的：教师是有差异的，对课改精神的理解也不一定是最权威、最正确的。如果教师能确切地分析和把握诸多算法中各种算法的优缺点，那也未尝不可。其实，“算法好”的结论是因人而异的，有些学生容易接受且受欢迎的算法可能是速度很慢的算法。学生或者觉得那样直观形象，用起来顺手，逐渐就习惯了、掌握了，甚至久而久之也可以达到比较快的计算速度。“凑十法”等计算方法对每个人并非都是绝好的方法。教师在教学时应该有开放的思想，鼓励学生大胆地思考，只要是学生自己动脑筋想出来的合理办法，就应该给予肯定。如果学生想不到“凑十法”，教师不提也无妨。如果习惯了“数数”、接着数，或者习惯了其他的凑数法，而我们还硬是要塞给他一个“凑十法”，也是不合适的。一是他不一定理解并欣然接受；二是“凑十法”也不过是我们很熟练后才觉得它好用，从而给它冠了一个“基本”的称号。实际上，年幼的学生面对陌生的“凑十法”，一定和面对别的方法一样。在没有形成牢固的认识前，非要让学生去
记忆一些抽象规则和名称，那是给学生增加负担。鼓励算法多样化，实际上就是鼓励学生独立思考，根据自己的实际选用不同的算法，体现学习的个性化，培养思维的创造性。所以只要是学生自己用得最便捷的方法，就是他心中最优的方法。
四、学生的算法，多不起来怎么办？
有些算法，学生根本就是想不到的，该怎么办？甚至是课本上已经列出来的算法，学生也有的说不到点上，那又该怎样处理？在实际观察中，我们发现这跟教师的引导有关。如：面对北师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》二年级下册的连加“１１８＋１０４＋９５＝？”，有的老师，算式一出来就急着叫学生算；有的老师，虽然会先让学生估一估，但只是“走一走这个过程”，根本就没有留出足够的时间给学生去想，学生也没有机会说，当然学生就不可能提出类似“１００＋１００＋１００＋１８＋４－５”的方法；有的老师会给学生一点时间想一想，就可能出现“１００＋１００＋１００大约是３００”的结论；高明的老师在学生已经说出“１００＋１００＋１００”之后，还留有时间让学生继续说，这时很可能会有“挑战者”站出来讲出快捷又准确的算法（也可称作一种思想）。如果确实属于比较偏、怪、难的算法，学生想不到的，老师可以不用为此而大伤脑筋，没有想出来就算了；如果真是比较便捷的、对于今后的学习有决定性影响的重要算法，老师可以平等的身份把自己融入到学生当中，将其介绍给大家，也不失为一种好办法。比如：“刚才受同学们多种方法的启示，我也想出了一种，大家帮我看看，这样行不行？”于是学生就可能把自己设想为评判官，以积极的思维、审视的眼光来检查老师的算法是否合理。
五、如何处理“体现算法多样化”与“巩固计算方法”时间分配上的矛盾？
有的教师说：我是很重视鼓励学生算法多样化的，但是关注了算法多样化，就没有时间练习了，计算课不练习，或者练得那么少，学生的计算能力怎么提高？
笔者认为，数学中的计算练习固然十分重要，但发展学生的创新思维更重要。我们在不同学校作过对比，一些学校经常让学生“挑战百题”、玩多样“算数游戏”，学生也是乐意的，由此培养起来的计算能力的确比别的学校好。这种练如果是为落实课标中的保底标准，我看未尝不可，但是为了和以前的学生比高低，或者以此要达到超过以前学生计算水准的目标，我看就不该了。学生可用来学习的时间毕竟是个定数，以前有的一点不能减，以前没有的也要有，这只会给学生增加负担，是与新课程理念背道而驰的。当然我们也不愿看到这样的局面：创新意识和能力没有得到真正的培养，纯粹为了多样而多样，方法简单地重复耗费了大量时间和精力，到头来学生的计算能力又不如人，那就是典型的“踏空”，而不是课改的本意。 “最理想的教学设计应该是既能留给学生展示多样化算法的时空，充分体现算法多样化，还能保证足够的练习量。”计算课适度的练习是非常必要的，尽管计算方法是学生自己想出来的，但在讲出来之前，可能只是潜在的，或许就是瞬间的闪念，是一种灵感，下次碰到类似的问题时也许它还会出现，也许就是稍纵即逝的东西。学生在讲出来以前还是一点支离破碎的冲动、感觉而已，向全班讲述、介绍的过程就是引导学生把朦胧的想法进行整理的好机会，对模糊的想法进行清晰的反思、强化，或者本来想当然地认为是很好的方法，讲着讲着可能自己也会发现它并不合理，或者在一旁听的同学也来帮忙指出其中的缺漏，这本身就是一个省悟、学习的过程。学生讲出来的算法在被老师认可以前，他可能并不能确定这就是一种算法，或者在说出来以前只不过是一点模糊的意识而已。对一个新的算法必须要练习，甚至要进行适度的强化练习，才会深化感知，达到理解、掌握的效果。
算法多样化费时多，时间不够怎么办？一节课要体现算法多样化，就得给学生足够的时间思考多样的算法，交流、展示、解释多样的算法。这必然会耗去大量的时间，然而既然是计算课，学生不练肯定是不能达到很好地理解和掌握的程度的。这就出现了时间分配上的矛盾。如果偶尔一节课出现了内容讲不完的现象，临时调整或分解为一节半、两节课来上，这不成问题，但是如果所有的计算课都这样，势必造成老师和学生的负担，这应该也不是课程改革倡导者的初衷。
建议：
１． 恰当地处理好算法“创新”与算法“温故”的关系。我们要的是对新算法的发现和挖掘。如果这节计算课里学生会用到的多样化方法与上节课是相同的或类似的，那就没有必要节节课都来反复。那样，学生觉得缺乏挑战性，没有新鲜感，会感到乏味，因而不能再积极投入求异、求新的思考活动中。
２． 可以适当根据内容整合自己的课堂设计，环节尽可能少而精，不要把各项活动孤立地设计、看待，一项活动能融进两项以上教学任务的，就决不把它分解为两项零散的活动，不要频繁地更换教学场景；要努力使教学设计紧凑，进展自然、流畅，追求一种水到渠成的感觉和效果。如：北师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》一年级下册“套圈游戏”一节，主要是学习两位数的连加。这也是一个典型的要体现算法多样的题材，老师如果在“引导学生共同探寻算法多样”环节之后，给出这样的问题：“请你向同学们推荐一种方法；例题中帮淘气和笑笑算套圈的得分，下面也请大家都亲自来套圈（各种动物图片被散乱地印在作业纸的一侧，另一侧留作计算用。如果是真正地动手套圈，计算的时间肯定又无法保证了），喜欢吗？边套边给自己记分。每套三次，算一回总分，看谁套得多，算得快，而且算得准！计算时，可以用你自己喜欢的方法。”这样，不同的学生可以算不同数量的题。教师便可以去辅导有困难的学生，去收集学生计算过程中的问题信息。算法多样化就是这样帮助我们实现“学习的个性化，让不同的人在数学上有不同的发展”。
小学数学算法多样化教学实践与思考
数学课程标准(实验稿) 指出：“由于学生的生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的。教师应当尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样。
从学习的目标来看，算法多样化尊重学生的个性思维，鼓励创新思考，
算法多样化与口算估算
口算、估算、笔算是三种不同的计算形式，三者间相互补充也相互制约。很多教师错误的认为算法多样化只是笔算或者口算方法的多样。其实，算法多样化是培养估算能力的重要手段。我们在教学中。通常要求学生在估数、估算、估测时，做到先估后数、先估后算、先估后测，以此培养学生的估计意识和估计能力。不仅如此，估算的方法还可以灵活多样。 例如：小明家养鸡的收入是243元，养猪的收入是479元。估计这两项收入一共多少元?
第一种估算方法：因为200+400=600，又因为43+79＞100。所以243与479的和比700多一些；
第二种估算方法：因为243小于250，又因为479小于500，所以它们的和小于750；
第三种估算方法：它们的和比200+400大，比300+500小。
从上面的例题中可以看出：估算方法的多样、估算过程的多样、估算结果的多样，重视了估算过程、发展了估算意识、形成了估算策略。
(六) 算法多样化与解决问题
解决问题是学生学习数学的重要目标之一。算法多样化是促进解决问题策略多样化的有效手段，这也是新课程特别倡导算法多样化的重要原因之一。
例如：一箱汽水24瓶，18箱汽水有多少瓶?
解法(一) ：24x10＋24×8=432；
解法(二) ：24×20-24×2=432；
解法(三) ：20×18＋4×18=432；
解法(四) ：24×2×9=432；
解法(五) ：24×3×6=432；
解法(六) ：18×4×6=432；
解法(七) ：18×3×8=432。
上述算法已不仅仅是“24×18”的不同计算方法的探讨，而是解决“一箱汽水24瓶，18箱汽水有多少瓶?”这一现实问题策略的多样性的探究，使得算法多样化的意义有了质的飞跃。
看来，算法多样化不是一个简单的计算方法多样的问题，而是关系到解决问题策略多样和思考问题方式多样的极其重要的教学内容。
(七) 算法多样化与算法泛化
所谓算法泛化，是说不少教师错误的认为的算法多样化意味着算法越多越好。例如：计算19+18=?学生得出的算法如下：
(1)10+10=20，9+8=17，20+17=37；
(2)列竖式计算；
(3)19+10=29，29+8=37；
(4)10+18=28，9+28=37；
(5)19+8=27，27+10=37；
(6)18+9=27，27+10=37；；
(7)18给19一个1，就有20+17=37；
(8)19给18两个1，就有17+20=37；
(9)给19增加一个1，就有20+18=38，然后用38-1=37：
(10)给18增加两个，19+20=39，然后39-2=37；
(11)先分别给19、18补1、补2，再分别减去，就有20+20-1-2=37。
面对算法的如此泛化，我们势必应该思考________算法多样化真得就是算法越多越好吗? 算法多样化决不是算法越多越好，算法多样化决不是低层次的重复，算法多样化决不是无规则的放任。算法多样化决不是算法自由化。
(八) 算法多样化与学习方式
算法多样化教学的一般基本流程是：创设情境，激发兴趣_______独立思考，探究算法_______交流算法，理解算法______
体验感悟，优化算法________联系实际，应用拓展。
透过上述教学基本流程，我们十分清晰的感受到：算法多样化不是教师讲出来的，也不是学生练出来的，而是师生在自主探究、合作交流、动手实践的学习方式中主动建构出来的。可见。算法多样化促进了自主探究与合作交流的学习方式的深刻运用，促进了教师角色的真正转换，促进了多方互动的有效开展，促进了民主课堂的科学建构。
(九) 算法多样化与算法优化
算法多样化中的“多样化”是指“群体的多样化”，而算法优化中的“优化”是指“个体”的优化。一方面，我们需要鼓励算法多样化，也需要鼓励算法优化；另一方面，我们还必须注意算法优化具有相对性和发展性，要用动态的相对的发展的观点看待和重视算法的合理优化。算法优化的策略如下。
对于同一思维层面上的多样化要进行算法结构的优化。小学数学的思维层次从低级思维到高级思维依次为：动作的思维、符号的思维和逻辑的思维。当学生的思维始终停留在一个较低层面时，教师要通过学生的合作探究与适时指导、点拨，帮助学生优化算法，获得知识与技能等方面的提升与发展。
对于不同思维层面上的多样化在学生提出各种方法后，作为教师，有责任推荐一种自己认为最好的方法。例如，计算36-8=? 生1： (边摆小棒边说) 先把8分成2和6，36-6=30，30-2=28；
生2： (边摆小棒边说) 先在30根中拿走8根，再加上6根，就是28根：
生3：36-1-1-1-„„=28：
生4：10-8=2，26+2=28；
生5：36-5-1-2=28：
生6：16-8=8，20+8=28。
面对六位同学的不同算法，我们知道。前两种方法是利用动作思维得出的，后四种方法是利用符号思维得出的，很显然符号思维要高于动作思维。但在后四种方法中，前三个方面是已掌握的口算的方法，学生的思维仍然停留在原有的基础上。为了促进学生的有效发展，教师不要简单的认为口算较为简便，就放弃退位计算这一新方法的推荐。这里，恰好是教师向学生推荐新方法的较好时机，这样就为学生在后面学习笔算加减法奠定了知识上和方法上的准备。
(十) 算法多样化与学生发展
算法多样化是对学生个性化学习与思维的尊重；多样化的算法是一种重要的课程资源，有利于学生之间的合作交流；算法多样化有利于培养学生高水平的数学思维；重视算法的多样化有利于培养学生“具体地分析具体情况”的意识；重视算法的多样化，能在学生中形成一种积极思考、大胆求异的心理氛围，培养学生的创新思维和进取精神。
作为新课程背景下的教师，我们有责任在“尊重学生的个性特点，关注学生的思维发展”与“尊重学习活动的普遍规律，关注学习活动的指导作用”之间寻找到平衡点，不可顾此失彼。这就是真正意义上的算法多样化。