第二讲主要内容
一些晶格实例（自己看）简单与复式晶格晶格周期性的几何描述晶列和晶面
晶体宏观对称性和结构分类倒易点阵(倒格子）
1
倒格矢
由倒易基矢b 1、b 2、b 3定义倒易空间的矢量可以表示为：
v v v v
G n =n 1b 1+n 2b 2+n 3b 3
n 1、n 2、n 3为整数，矢量矢量G n 称为倒易矢量或倒格矢。矢量G n 端点的集合构成倒易点阵或称倒格子。相对应，也常把正空间的晶体点阵成为正点阵。显然，倒易点阵也具有平移不变性，G n 为倒空间的平移矢量。
我们知道正点阵的原胞体积V a 为：我们知道，正点阵的原胞体积为
v v v
V a =a 1⋅(a 2×a 3)
类似地，我们倒易基矢b 1、b 2、b 3构成的平行六面体称为倒点阵的原胞。其体积用其体积用V b 表示
v v v
V b =b 1•(b 2×b 3)
3
倒点阵性质
I. 正倒点阵的基矢互相正交，即：
v v v v v v v v v v v v b 1•a 2=b 1•a 3=b 2•a 1=b 2•a 3=b 3•a 1=b 3•a 2=0v v v v v v
b 1•a 1=b 2•a 2=b 3•a 3=2π
a i ⋅b i =2πδij
⎫⎪⎬⎪⎭
且任意正、倒格矢满足关系：
v v
R l ⋅G n =2πm
m 为整数
倒格矢的定义式，即满足此式的矢量G n 必为倒格矢。
5
v v v v 正格矢：R l =l 1a 1+l 2a 2+l 3a 3 证明
v v v v
倒格矢G n =n 1b 1+n 2b 2+n 3b 3倒格矢：
v v v v v v v v
R l ⋅G n =(l 1a 1+l 2a 2+l 3a 3) ⋅ (n1b 1+n 2b 2+n 3b 3)
=2π(l 1n 1+l 2n 2+l 3n 3) =2πm
VI 证明过程：
由于晶格的周期性如U(r)表示r 点某一物理量，则有：由于晶格的周期性，如点某一物理量则有：
U (r ) =U (r +R l )
r 为晶格中任一点位置，R n 为晶格平移矢量，记做：
r =ξ1a 1+ξ2a 2+ξ3a 3R l =l 1a 1+l 2a 2+l 3a 3
ξ1、ξ2、ξ3为实数，l 1、l 2、l 3为整数。函数U(r)可以表示为U(ξ1ξ2ξ3) U (ξ1ξ2ξ3) =U (ξ1a 1+ξ2a 2+ξ3a 3) =U [(ξ1+l 1) a 1, (ξ2+l 2) a 2, (ξ3+l 3) a 3]其可以看作以ξ1、ξ2、ξ3为变量，周期为1的函数，因此可以写成傅立叶级数：
U (ξ1, ξ2, ξ3) =∑∑∑u m 1m 2m 3e 2πi (m 1ξ1+m 2ξ2+m 3ξ3) m 3m 2m 1
111
u m 1m 2m 3=∫∫∫U (ξ1, ξ2, ξ3) e
000−2πi (m 1ξ1+m 2ξ2+m 3ξ3) d ξ1d ξ2d ξ3
m 1、m 2、m 33 为整数，三个求和都是从−∞至∞．积分是在一个原胞内的体积分，V a 为原胞体积。11
为什么引入倒易点阵？
物理学中，根据问题的不同，可酌情采用适当的表象。例如，量子力学中一个量子态可以采用坐标表象也可以采用动量表象二者是等价学中一个量子态可以采用坐标表象，也可以采用动量表象。二者是等价的。
每个晶体结构都有两套晶格与之相联系，一套是正点阵，另一套是倒每个晶体结构都有两套晶格与之相联系套是正点阵另套是倒点阵。正空间的矢量具有长度量纲，倒空间的矢量具有长度倒数的量纲，与波矢的量纲相同。
在研究晶体结构时，必须分析x 射线在晶体中的传播和衍射。在解释固体热性质的晶格振动理论中，原子的振动以格波形式在晶体内传播。在能带理论中，电子的空间分布以几率波的形式描述。如何确定一支波？ 倒空间的矢量具有长度倒数的量纲， 波在晶体内的传播，必然受到晶体结构的影响。因此在与倒格矢符合某符种关系的k的取值（即其代表的波）在固体物理特别重要。13
布里渊区
在倒空间中，将从原点出发的所有的倒格矢G m 作垂直平分面，这些面统称为布拉格面。
布拉格面将倒空间划分为一系列的区域，称为布里渊区。从原点最少越过(n-1) 个布拉格面可达到的区域就被定义为第n 布里渊区，注意从原点出发的路径不可以通过布拉格面的交线或交点以免计算通过多少个布拉格面时发路径不可以通过布拉格面的交线或交点，以免计算通过多少个布拉格面时发生误算。
除第一布里渊区以外，其它布里渊区
不是单连通区域，n 越大，布里渊区由
越多的小区域组成。越多的小区域组成
任何一个布里渊区的体积都是一样任何个布里渊区的体积都是样
的，等于倒空间中的原胞体积。
14
晶体表面的几何结构
•随着材料科学的发展，固体表（界）面物理性质越来越重要。表面原子排
列规律列规律？
•晶体的表面（x -y 平面）保持二维周期性（二维晶格），可引入二维布拉菲点阵来表征。点阵平移矢量：v v v R l =l 1a 1+l 2a 2
a 1，a 2为基矢，基矢l 1, l 2为整数，整数以a 1，a 2为边的平行四边形为为边的平行边形为原胞。
16
面心立方晶格的（111）面和（100）面的二维晶格结构
二维晶格的晶系和布拉菲点阵
•四个晶系，五种布拉菲格子。
17
表面的再构
•实际晶体表面由于表面原子的弛豫（因受力不同），不能看做内部原子排列的简单延续。
•设晶体内部与表面平行的晶面的基矢为a 1，a 2，表面二维晶格的相应基矢为a s 1，a s 2。这两组基矢有可能不相同，称为表面的再构。
•一种典型情况是两组基矢相互平行，a 1 // as 1, a2 // as 2, a s 1 =pa1, as 1=qa2, 再构符号可表示为：
R (hkl ) p ×q R 表示晶体材料
(hkl)为晶体表面指数
Si(100)2×1再构
18
第二讲主要内容
一些晶格实例（自己看）简单与复式晶格晶格周期性的几何描述晶列和晶面
晶体宏观对称性和结构分类倒易点阵(倒格子）
1
倒格矢
由倒易基矢b 1、b 2、b 3定义倒易空间的矢量可以表示为：
v v v v
G n =n 1b 1+n 2b 2+n 3b 3
n 1、n 2、n 3为整数，矢量矢量G n 称为倒易矢量或倒格矢。矢量G n 端点的集合构成倒易点阵或称倒格子。相对应，也常把正空间的晶体点阵成为正点阵。显然，倒易点阵也具有平移不变性，G n 为倒空间的平移矢量。
我们知道正点阵的原胞体积V a 为：我们知道，正点阵的原胞体积为
v v v
V a =a 1⋅(a 2×a 3)
类似地，我们倒易基矢b 1、b 2、b 3构成的平行六面体称为倒点阵的原胞。其体积用其体积用V b 表示
v v v
V b =b 1•(b 2×b 3)
3
倒点阵性质
I. 正倒点阵的基矢互相正交，即：
v v v v v v v v v v v v b 1•a 2=b 1•a 3=b 2•a 1=b 2•a 3=b 3•a 1=b 3•a 2=0v v v v v v
b 1•a 1=b 2•a 2=b 3•a 3=2π
a i ⋅b i =2πδij
⎫⎪⎬⎪⎭
且任意正、倒格矢满足关系：
v v
R l ⋅G n =2πm
m 为整数
倒格矢的定义式，即满足此式的矢量G n 必为倒格矢。
5
v v v v 正格矢：R l =l 1a 1+l 2a 2+l 3a 3 证明
v v v v
倒格矢G n =n 1b 1+n 2b 2+n 3b 3倒格矢：
v v v v v v v v
R l ⋅G n =(l 1a 1+l 2a 2+l 3a 3) ⋅ (n1b 1+n 2b 2+n 3b 3)
=2π(l 1n 1+l 2n 2+l 3n 3) =2πm
VI 证明过程：
由于晶格的周期性如U(r)表示r 点某一物理量，则有：由于晶格的周期性，如点某一物理量则有：
U (r ) =U (r +R l )
r 为晶格中任一点位置，R n 为晶格平移矢量，记做：
r =ξ1a 1+ξ2a 2+ξ3a 3R l =l 1a 1+l 2a 2+l 3a 3
ξ1、ξ2、ξ3为实数，l 1、l 2、l 3为整数。函数U(r)可以表示为U(ξ1ξ2ξ3) U (ξ1ξ2ξ3) =U (ξ1a 1+ξ2a 2+ξ3a 3) =U [(ξ1+l 1) a 1, (ξ2+l 2) a 2, (ξ3+l 3) a 3]其可以看作以ξ1、ξ2、ξ3为变量，周期为1的函数，因此可以写成傅立叶级数：
U (ξ1, ξ2, ξ3) =∑∑∑u m 1m 2m 3e 2πi (m 1ξ1+m 2ξ2+m 3ξ3) m 3m 2m 1
111
u m 1m 2m 3=∫∫∫U (ξ1, ξ2, ξ3) e
000−2πi (m 1ξ1+m 2ξ2+m 3ξ3) d ξ1d ξ2d ξ3
m 1、m 2、m 33 为整数，三个求和都是从−∞至∞．积分是在一个原胞内的体积分，V a 为原胞体积。11
为什么引入倒易点阵？
物理学中，根据问题的不同，可酌情采用适当的表象。例如，量子力学中一个量子态可以采用坐标表象也可以采用动量表象二者是等价学中一个量子态可以采用坐标表象，也可以采用动量表象。二者是等价的。
每个晶体结构都有两套晶格与之相联系，一套是正点阵，另一套是倒每个晶体结构都有两套晶格与之相联系套是正点阵另套是倒点阵。正空间的矢量具有长度量纲，倒空间的矢量具有长度倒数的量纲，与波矢的量纲相同。
在研究晶体结构时，必须分析x 射线在晶体中的传播和衍射。在解释固体热性质的晶格振动理论中，原子的振动以格波形式在晶体内传播。在能带理论中，电子的空间分布以几率波的形式描述。如何确定一支波？ 倒空间的矢量具有长度倒数的量纲， 波在晶体内的传播，必然受到晶体结构的影响。因此在与倒格矢符合某符种关系的k的取值（即其代表的波）在固体物理特别重要。13
布里渊区
在倒空间中，将从原点出发的所有的倒格矢G m 作垂直平分面，这些面统称为布拉格面。
布拉格面将倒空间划分为一系列的区域，称为布里渊区。从原点最少越过(n-1) 个布拉格面可达到的区域就被定义为第n 布里渊区，注意从原点出发的路径不可以通过布拉格面的交线或交点以免计算通过多少个布拉格面时发路径不可以通过布拉格面的交线或交点，以免计算通过多少个布拉格面时发生误算。
除第一布里渊区以外，其它布里渊区
不是单连通区域，n 越大，布里渊区由
越多的小区域组成。越多的小区域组成
任何一个布里渊区的体积都是一样任何个布里渊区的体积都是样
的，等于倒空间中的原胞体积。
14
晶体表面的几何结构
•随着材料科学的发展，固体表（界）面物理性质越来越重要。表面原子排
列规律列规律？
•晶体的表面（x -y 平面）保持二维周期性（二维晶格），可引入二维布拉菲点阵来表征。点阵平移矢量：v v v R l =l 1a 1+l 2a 2
a 1，a 2为基矢，基矢l 1, l 2为整数，整数以a 1，a 2为边的平行四边形为为边的平行边形为原胞。
16
面心立方晶格的（111）面和（100）面的二维晶格结构
二维晶格的晶系和布拉菲点阵
•四个晶系，五种布拉菲格子。
17
表面的再构
•实际晶体表面由于表面原子的弛豫（因受力不同），不能看做内部原子排列的简单延续。
•设晶体内部与表面平行的晶面的基矢为a 1，a 2，表面二维晶格的相应基矢为a s 1，a s 2。这两组基矢有可能不相同，称为表面的再构。
•一种典型情况是两组基矢相互平行，a 1 // as 1, a2 // as 2, a s 1 =pa1, as 1=qa2, 再构符号可表示为：
R (hkl ) p ×q R 表示晶体材料
(hkl)为晶体表面指数
Si(100)2×1再构
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