两条直线的位置关系(夹角)
教学目的：
1. 明确理解直线l 1到l 2的角及两直线夹角的定义. 2. 掌握直线l 1到l 2的角及两直线夹角的计算公式. 3. 能根据直线方程求直线l 1到l 2的角及两直线夹角. 教学重点：两条直线的夹角. 教学难点：夹角概念的理解. 授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体 教学过程： 一、复习引入：
1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 2．斜率存在时两直线的平行与垂直： 二、讲解新课：
1. 直线l 1到l 2的角的定义：
两条直线l 1和l 2相交构成四个角, 它们是两对对顶角, 我们把直线l 1按逆时针方向旋转到与l 2重合时所转的角, 叫做l 1到l 2的角.
在图中, 直线l 1到l 2的角是θ1, l 2到l 1的角是θ2.
l 1到l 2的角θ：0°＜θ＜1８0°.
2．直线l 1到l 2的夹角定义:
如图，l 1到l 2的角是θ1, l 2到l 1的角是π-θ1, 当l 1与l 2相交但不垂直时, θ1和π-θ1仅有一个角是锐角, 我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.
补充：当直线l 1⊥l 2时, 直线l 1与l 2的夹角是夹角α：0°＜α≤90°.
说明: θ1＞0, θ2＞0, 且θ1+θ2=π 3．直线l 1到l 2的角的公式:tan θ=
π. 2
k 2-k 1
.
1+k 2k 1
推导:设直线l 1到l 2的角θ，l 1:y =k 1x +b 1, l 2:y =k 2x +b 2.
如果1+k 1k 2=0, 即k 1k 2=-1, 则θ=如果1+k 1k 2≠0, 设l 1，l 2的倾斜
π
2
.
角分别是α1和
α2，
则tan α1=k 1, tan α2=k 2.
由图（1）和图（2）分别可知
θ=α2-α1或θ=π-(α1-α2) =π+(α2-α1)
∴tan θ=tan(α2-α1) 或tan θ=tan[π+(α2-α1)]=tan(α2-α1)
于是tan θ=
tan α2-tan α1k -k 1
=2
1+tan α2tan α11+k 2k 1
4．直线l 1，l 2的夹角公式: tan α=
k 2-k 1
1+k 2k 1
根据两直线的夹角定义可知，夹角在(0°，90°］范围内变化，所以夹角正切值大于或等于0. 故可以由l 1到l 2的角取绝对值而得到l 1与l 2的夹角公式. 三、讲解范例：
例1 求直线l 1:y =-2x +3, l 2:y =x -
3
的夹角(用角度制表示) 2
例2 求过点P （-5,3）且与直线x+2y-3=0的夹角为arctan2的直线l 的方程. 说明:上两例应用了两直线夹角公式, 要求学生熟练掌握.
例3 等腰三角形一腰所在直线l 1的方程是x -2y -2=0, 底边所在直线l 2的方程是x +y -1=0, 点(-2,0)在另一腰上, 求这条腰所在直线l 3的方程
例4 三角形的三个顶点是A (6，3) ，B (9，3) ，C (3，6) ，求它的三个内角的度数. 四、课堂练习：
1．求下列直线l 1到l 2的角与l 2到l 1的角：
（1）l 1：y ＝
1
x ＋2；l 2：y ＝3x +7； 2
(2) l 1：x －y ＝5；l 2：x ＋2y －3＝0
2. 求下列两条直线的夹角：
（1）y ＝3x －1，y ＝－
1
x ＋４； 3
（2）x －y ＝5；y ＝４.
(3)5x －3y ＝9，6x ＋10y ＋7＝0.
3．已知直线l 经过点P （2,1），且和直线5x ＋2y ＋3＝0的夹角等于45°，求直线l 的方程.
五、小结 ：通过本节学习，要求大家掌握两直线的夹角公式，并区分与l 1到l 2的角的联系与区别，能够利用它解决一定的平面几何问题六、课后作业： 七、板书设计（略）
两条直线的位置关系(夹角)
教学目的：
1. 明确理解直线l 1到l 2的角及两直线夹角的定义. 2. 掌握直线l 1到l 2的角及两直线夹角的计算公式. 3. 能根据直线方程求直线l 1到l 2的角及两直线夹角. 教学重点：两条直线的夹角. 教学难点：夹角概念的理解. 授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体 教学过程： 一、复习引入：
1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 2．斜率存在时两直线的平行与垂直： 二、讲解新课：
1. 直线l 1到l 2的角的定义：
两条直线l 1和l 2相交构成四个角, 它们是两对对顶角, 我们把直线l 1按逆时针方向旋转到与l 2重合时所转的角, 叫做l 1到l 2的角.
在图中, 直线l 1到l 2的角是θ1, l 2到l 1的角是θ2.
l 1到l 2的角θ：0°＜θ＜1８0°.
2．直线l 1到l 2的夹角定义:
如图，l 1到l 2的角是θ1, l 2到l 1的角是π-θ1, 当l 1与l 2相交但不垂直时, θ1和π-θ1仅有一个角是锐角, 我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.
补充：当直线l 1⊥l 2时, 直线l 1与l 2的夹角是夹角α：0°＜α≤90°.
说明: θ1＞0, θ2＞0, 且θ1+θ2=π 3．直线l 1到l 2的角的公式:tan θ=
π. 2
k 2-k 1
.
1+k 2k 1
推导:设直线l 1到l 2的角θ，l 1:y =k 1x +b 1, l 2:y =k 2x +b 2.
如果1+k 1k 2=0, 即k 1k 2=-1, 则θ=如果1+k 1k 2≠0, 设l 1，l 2的倾斜
π
2
.
角分别是α1和
α2，
则tan α1=k 1, tan α2=k 2.
由图（1）和图（2）分别可知
θ=α2-α1或θ=π-(α1-α2) =π+(α2-α1)
∴tan θ=tan(α2-α1) 或tan θ=tan[π+(α2-α1)]=tan(α2-α1)
于是tan θ=
tan α2-tan α1k -k 1
=2
1+tan α2tan α11+k 2k 1
4．直线l 1，l 2的夹角公式: tan α=
k 2-k 1
1+k 2k 1
根据两直线的夹角定义可知，夹角在(0°，90°］范围内变化，所以夹角正切值大于或等于0. 故可以由l 1到l 2的角取绝对值而得到l 1与l 2的夹角公式. 三、讲解范例：
例1 求直线l 1:y =-2x +3, l 2:y =x -
3
的夹角(用角度制表示) 2
例2 求过点P （-5,3）且与直线x+2y-3=0的夹角为arctan2的直线l 的方程. 说明:上两例应用了两直线夹角公式, 要求学生熟练掌握.
例3 等腰三角形一腰所在直线l 1的方程是x -2y -2=0, 底边所在直线l 2的方程是x +y -1=0, 点(-2,0)在另一腰上, 求这条腰所在直线l 3的方程
例4 三角形的三个顶点是A (6，3) ，B (9，3) ，C (3，6) ，求它的三个内角的度数. 四、课堂练习：
1．求下列直线l 1到l 2的角与l 2到l 1的角：
（1）l 1：y ＝
1
x ＋2；l 2：y ＝3x +7； 2
(2) l 1：x －y ＝5；l 2：x ＋2y －3＝0
2. 求下列两条直线的夹角：
（1）y ＝3x －1，y ＝－
1
x ＋４； 3
（2）x －y ＝5；y ＝４.
(3)5x －3y ＝9，6x ＋10y ＋7＝0.
3．已知直线l 经过点P （2,1），且和直线5x ＋2y ＋3＝0的夹角等于45°，求直线l 的方程.
五、小结 ：通过本节学习，要求大家掌握两直线的夹角公式，并区分与l 1到l 2的角的联系与区别，能够利用它解决一定的平面几何问题六、课后作业： 七、板书设计（略）