音乐中的物理
一、表观联系
首先，我想先从表观和感性的角度谈一谈物理与音乐的联系。
从美学角度谈起。音乐之美在于每一个音符（不论单音还是和弦）都让人感到快感。艺术家们就是利用这一点将自己的情感融入旋律中，让人们在音符的跳动中或喜或悲。单纯分析每一个音节，就会发现如下事实：单音总是十分悦耳，而只有某些音节混合在一起时会让人感到悦耳，人们将其称之为和弦。
早在毕达哥拉斯（Pythagoras ）时代，人们就对此问题进行过深入的探讨。毕达哥拉斯就认为，两根相似的琴弦处于相同张力下的时候，当它们同时发声时，如果它们的长度之比为两个小整数之比，那么发出的音程是悦耳的。
当时的毕达哥拉斯和他的学派——人们称之为毕达哥拉斯学派——对此感受颇为深刻，并把它作为学派的基础，甚至相信在天体方面也会有类似的定律。而牛顿力学创立之后，我们十分惊喜地发现，行星运动的轨道的确存在着数字间的某些定律，即万有引力定律。不仅仅是定律本身，定律推导出的行星运动规律——尽管只是接近于完美——足以让人感到自然界的伟大。于是，我们不该指责毕达哥拉斯学派中人，因为对数字的威力怀有神秘信仰的不只是他们，也包括许多物理学家——因为物理曾被称为“自然哲学的数学原理”。 当然，除了“天体音乐”外，物理的很多方面都蕴含着音乐旋律一样的数字关系，如量子能级结构等。而我这里不想列举更多的音乐一般的物理现象，只想谈谈音乐中蕴含的物理现象。即便是这一点，物理之美已经显现无疑。
二、弦上的振动
弦的一端发生振动时，弦上就会生成一列波，其方程可表示为
y =F (x -vt )
通常写成复数形式
y =Ae i ω(t -x /v )
这样写的一大好处就是将繁琐的三角函数运算简化为指数的加减法运算，从而将线性微分方程变成实数的多项式方程。
当一端固定时，令固定端点为x =0，则反射波与原来的波叠加，方程变为
y =F (x -vt ) -F (-x -vt )
将方程变为复数形式
y =e i ωt (e -i ωx /v -e i ωx /v ) =-2ie i ωt sin(ωx /v )
从这个方程可以看出，弦上的每一个点都在以ω为角频率振动，只是位移不同而已。在x =k πv /ω时，位移y =0。这些点我们称之为“波节”。这种弦上的图像被称为“驻波”。 琴弦总是两端都固定的。也就是说，弦上各点振动的角频率必须满足
ω=n πv /L
因此，我们知道，两端固定的弦具有做正弦运动的性质，但仅能以某些确定的频率做正弦运动。随着n 的不同，我们看到的弦上的波节数也不同。
但一般的情况是弦上的振动总是由两个或两个以上的正弦运动叠加而成。这样的弦上的
波节分布是不均匀的。
而事实上，任何运动都可以这样来分析，即设想它是所有各种由适当振幅和相位组成的不同模式的运动之和。后面的分析还将利用这一点。
这样，我们就基本研究清楚琴弦的振动方式了。
三、悦耳的音符
重新回到毕达哥拉斯和他的学派，也就是当数学分析工具已经成为了了解自然界的良好工具的时候，重新去了解他们的发现。
先说说什么是噪声。噪声就是那些听上去并不是那么悦耳的声音。不只是建筑工地才能发出噪声，即便是给我们带来无数悦耳音符的钢琴，当某人同时按下“duo ”和“re ”时，我们也可以听到不和谐的音调。
不过在物理学家看来，这仍然不是噪声。对于一根弦，无论我们怎样拨动它，在一个周期后，它总是会重复上一个周期的音调。而噪声不同。当噪声袭来时，如果我们在耳朵边安放一个气压计，读数的人将不会从读数中发现任何规律——也就是说，我们的耳膜受到的是没有任何规律的音符群！这种音符群就被物理学家们称为噪声。
这时候，我们实际上也得到了乐音的定义：周期性振动产生的声波。
音乐家们谈论乐音时，总是从响度、音调、“音色”三个方面谈起。声波的响度在升学中也叫做声强，可以用下面的方程计算声强
I =1ρω2A 2v 2
这里的速度v 是一个标量。如果把它看成矢量，那么I 也是一个矢量，表示能量随声波的流动，叫做“班印廷矢量”。
音调对应于乐音中声波的振动周期。从上面的论述中可以看出，这是乐音特有的行为。 音色是乐音的一个更为复杂的特性。它能反映为什么古筝和钢琴在发出同样音调和响度的乐音时，我们依然能够分辨出这两种乐器。
画出固定点空气压强与时间的函数图像，我们就很容易了解这三个概念：响度由每个周期上曲线下的面积决定，音调由周期表示，而音色则取决于图像的形状。
下面我们重点讨论什么决定乐音的音色。这一点关系到我们该如何欣赏音乐之美和物理之美。
数学分析中傅利叶级数(Fourier Series) 的方法为我们的研究提供了很好的工具。这套理论首先由波那利(Bernoulli)在1753年首先提出，并由迪利克莱特(Dirichlet)在1829年对这套理论给出完整的证明。这种分析法的用途不仅仅在分析乐音上，而傅利叶(Fourier)首先对这套方法的利用是在1822年出版的《热的分析》。
对于任何一个连续的周期函数，我们总能将它写成傅利叶级数的形式
f (t ) =a 0/2+∑(a n cos n ωt +b n sin n ωt )
n =1∞
其中
1a 0=⎰f (t ) dt T 0
1a n =⎰f (t ) n cos n ωtdt T 0
1b n =⎰f (t ) sin n ωtdt T 0T T T
于是，我们就将任意的一个乐音分解成频率为ω的整数倍的若干个音符的和。这时，我们将ω称为“基频”。而a 和b 的值就决定了乐音的音色。
现在我们该如何理解毕达哥拉斯的发现呢？我们从驻波的知识中可以知道，基频ω由的长度决定。当两根弦的长度之比为两个小整数之比，比如说是2比3，那么它们的基频之比就是3比2。那么，短弦产生的二次谐波就和长弦产生的三次谐波频率相等。于是，我们听到了悦耳的声音。不过我们至今还不能确定，当我们判断一个音符是否悦耳时，我们的耳朵究竟是在与谐波匹配还是在做算术？
傅利叶级数的另一大好处在于它满足帕斯沃(Parseval)等式，即
T 2∞a 02222f (t ) dt =+(a +b ) ∑n n ⎰T 02n =1
而它恰好表示了声波的能量！这是因为波中的能量与其振幅的平方成正比，对于一个形
T
状复杂的波来说在一个周期内的能量与⎰0f 2(t ) dt 成正比。
由此可见，乐音的三个特性——音色、音调和响度——都蕴含在傅立叶级数的公式中！
关于乐音，我先写到这里。也许，其中蕴含的音乐之美和物理之美不能很好的表达出来，但我想从这些数学的表达式中，人们总是能找到数学在物理中的应用。至少我还抱着毕达格拉斯式的幻想——数学在解决自然界的问题中有着巨大的威力，而物理正是要利用这种威力去解决自然界中的所有问题。当然，现在的数学中还有很多定律没有找到它在物理中的应用，但我相信，在统一——物理学家永恒的追求——达到之前，这些数学的定律总能找到在物理中的应用。也许那时，物理和数学都将回到从前，回到那个自然哲学的时代。
PB04025026 于越
音乐中的物理
一、表观联系
首先，我想先从表观和感性的角度谈一谈物理与音乐的联系。
从美学角度谈起。音乐之美在于每一个音符（不论单音还是和弦）都让人感到快感。艺术家们就是利用这一点将自己的情感融入旋律中，让人们在音符的跳动中或喜或悲。单纯分析每一个音节，就会发现如下事实：单音总是十分悦耳，而只有某些音节混合在一起时会让人感到悦耳，人们将其称之为和弦。
早在毕达哥拉斯（Pythagoras ）时代，人们就对此问题进行过深入的探讨。毕达哥拉斯就认为，两根相似的琴弦处于相同张力下的时候，当它们同时发声时，如果它们的长度之比为两个小整数之比，那么发出的音程是悦耳的。
当时的毕达哥拉斯和他的学派——人们称之为毕达哥拉斯学派——对此感受颇为深刻，并把它作为学派的基础，甚至相信在天体方面也会有类似的定律。而牛顿力学创立之后，我们十分惊喜地发现，行星运动的轨道的确存在着数字间的某些定律，即万有引力定律。不仅仅是定律本身，定律推导出的行星运动规律——尽管只是接近于完美——足以让人感到自然界的伟大。于是，我们不该指责毕达哥拉斯学派中人，因为对数字的威力怀有神秘信仰的不只是他们，也包括许多物理学家——因为物理曾被称为“自然哲学的数学原理”。 当然，除了“天体音乐”外，物理的很多方面都蕴含着音乐旋律一样的数字关系，如量子能级结构等。而我这里不想列举更多的音乐一般的物理现象，只想谈谈音乐中蕴含的物理现象。即便是这一点，物理之美已经显现无疑。
二、弦上的振动
弦的一端发生振动时，弦上就会生成一列波，其方程可表示为
y =F (x -vt )
通常写成复数形式
y =Ae i ω(t -x /v )
这样写的一大好处就是将繁琐的三角函数运算简化为指数的加减法运算，从而将线性微分方程变成实数的多项式方程。
当一端固定时，令固定端点为x =0，则反射波与原来的波叠加，方程变为
y =F (x -vt ) -F (-x -vt )
将方程变为复数形式
y =e i ωt (e -i ωx /v -e i ωx /v ) =-2ie i ωt sin(ωx /v )
从这个方程可以看出，弦上的每一个点都在以ω为角频率振动，只是位移不同而已。在x =k πv /ω时，位移y =0。这些点我们称之为“波节”。这种弦上的图像被称为“驻波”。 琴弦总是两端都固定的。也就是说，弦上各点振动的角频率必须满足
ω=n πv /L
因此，我们知道，两端固定的弦具有做正弦运动的性质，但仅能以某些确定的频率做正弦运动。随着n 的不同，我们看到的弦上的波节数也不同。
但一般的情况是弦上的振动总是由两个或两个以上的正弦运动叠加而成。这样的弦上的
波节分布是不均匀的。
而事实上，任何运动都可以这样来分析，即设想它是所有各种由适当振幅和相位组成的不同模式的运动之和。后面的分析还将利用这一点。
这样，我们就基本研究清楚琴弦的振动方式了。
三、悦耳的音符
重新回到毕达哥拉斯和他的学派，也就是当数学分析工具已经成为了了解自然界的良好工具的时候，重新去了解他们的发现。
先说说什么是噪声。噪声就是那些听上去并不是那么悦耳的声音。不只是建筑工地才能发出噪声，即便是给我们带来无数悦耳音符的钢琴，当某人同时按下“duo ”和“re ”时，我们也可以听到不和谐的音调。
不过在物理学家看来，这仍然不是噪声。对于一根弦，无论我们怎样拨动它，在一个周期后，它总是会重复上一个周期的音调。而噪声不同。当噪声袭来时，如果我们在耳朵边安放一个气压计，读数的人将不会从读数中发现任何规律——也就是说，我们的耳膜受到的是没有任何规律的音符群！这种音符群就被物理学家们称为噪声。
这时候，我们实际上也得到了乐音的定义：周期性振动产生的声波。
音乐家们谈论乐音时，总是从响度、音调、“音色”三个方面谈起。声波的响度在升学中也叫做声强，可以用下面的方程计算声强
I =1ρω2A 2v 2
这里的速度v 是一个标量。如果把它看成矢量，那么I 也是一个矢量，表示能量随声波的流动，叫做“班印廷矢量”。
音调对应于乐音中声波的振动周期。从上面的论述中可以看出，这是乐音特有的行为。 音色是乐音的一个更为复杂的特性。它能反映为什么古筝和钢琴在发出同样音调和响度的乐音时，我们依然能够分辨出这两种乐器。
画出固定点空气压强与时间的函数图像，我们就很容易了解这三个概念：响度由每个周期上曲线下的面积决定，音调由周期表示，而音色则取决于图像的形状。
下面我们重点讨论什么决定乐音的音色。这一点关系到我们该如何欣赏音乐之美和物理之美。
数学分析中傅利叶级数(Fourier Series) 的方法为我们的研究提供了很好的工具。这套理论首先由波那利(Bernoulli)在1753年首先提出，并由迪利克莱特(Dirichlet)在1829年对这套理论给出完整的证明。这种分析法的用途不仅仅在分析乐音上，而傅利叶(Fourier)首先对这套方法的利用是在1822年出版的《热的分析》。
对于任何一个连续的周期函数，我们总能将它写成傅利叶级数的形式
f (t ) =a 0/2+∑(a n cos n ωt +b n sin n ωt )
n =1∞
其中
1a 0=⎰f (t ) dt T 0
1a n =⎰f (t ) n cos n ωtdt T 0
1b n =⎰f (t ) sin n ωtdt T 0T T T
于是，我们就将任意的一个乐音分解成频率为ω的整数倍的若干个音符的和。这时，我们将ω称为“基频”。而a 和b 的值就决定了乐音的音色。
现在我们该如何理解毕达哥拉斯的发现呢？我们从驻波的知识中可以知道，基频ω由的长度决定。当两根弦的长度之比为两个小整数之比，比如说是2比3，那么它们的基频之比就是3比2。那么，短弦产生的二次谐波就和长弦产生的三次谐波频率相等。于是，我们听到了悦耳的声音。不过我们至今还不能确定，当我们判断一个音符是否悦耳时，我们的耳朵究竟是在与谐波匹配还是在做算术？
傅利叶级数的另一大好处在于它满足帕斯沃(Parseval)等式，即
T 2∞a 02222f (t ) dt =+(a +b ) ∑n n ⎰T 02n =1
而它恰好表示了声波的能量！这是因为波中的能量与其振幅的平方成正比，对于一个形
T
状复杂的波来说在一个周期内的能量与⎰0f 2(t ) dt 成正比。
由此可见，乐音的三个特性——音色、音调和响度——都蕴含在傅立叶级数的公式中！
关于乐音，我先写到这里。也许，其中蕴含的音乐之美和物理之美不能很好的表达出来，但我想从这些数学的表达式中，人们总是能找到数学在物理中的应用。至少我还抱着毕达格拉斯式的幻想——数学在解决自然界的问题中有着巨大的威力，而物理正是要利用这种威力去解决自然界中的所有问题。当然，现在的数学中还有很多定律没有找到它在物理中的应用，但我相信，在统一——物理学家永恒的追求——达到之前，这些数学的定律总能找到在物理中的应用。也许那时，物理和数学都将回到从前，回到那个自然哲学的时代。
PB04025026 于越