第23卷,第3期 科学技术与辩证法Vol.23 No.32006年6月 Science,TechnologyandDialectics Jun.,2006・科技史・
爱因斯坦的数学信仰
韩来平1,2,邢润川1
(1.山西大学科学技术哲学研究中心,山西太原030006;2.河北师范大学科学技术与社会研究所,河北石家庄050016)
摘 要:爱因斯坦的科学经历铸就了他的数学信仰以及相应的方法论,广义相对论的成功使这种数学信仰得到强化,并使他在引入半矢量研究狄拉克方程过程中误入歧途。爱因斯坦的数学信仰过分夸大了纯数学方法揭示自然本体的作用。
关键词:爱因斯坦;数学信仰;半矢量
中图分类号:N09 文献标识码:A 文章编号:1003-5680(2006)03-0090-05
一 爱因斯坦数学立场的变化
众所周知,爱因斯坦的统一性思想,是科学上的重要思想。从孩提时代起,在对大自然的深深热爱之中,爱因斯坦便深切体会到自然界的美丽、和谐、统一。当爱因斯坦逐渐地掌握了科学知识,了解了大自然的规律后,他对世界的和谐、统一性更是深信不疑。同时他认为,通过对物理领域简单和统一的数学规律的追求,我们能够掌握现实到应有深度。也就是,可以由纯数学构造的方法发现概念和联系它们的定律,从而完成理解自然现象的关键。他相信创造性的原理蕴育在数学之中“,自然是可想象到的最简单的数学观念
[1]的实际体现”。他的数学信仰直接导致了与此有关的方法
[3]
帮助我们去发现”。然而,同样是爱因斯坦,1933年却在
英国剑桥大学所做的斯宾塞演讲中,表达了他对纯数学结构的强烈信念,他相信通过数学的构造能使我们发现物理概念和联系这些概念的定律。爱因斯坦的生前好友亚伯拉罕・派斯(美)也曾感慨“再没有比他在这一点上完全改变立场更令
[4]人吃惊的了”。
二 相对论的卓有成效和数学信仰的强化
随着理论物理的不断进展,他的数学信仰在不断地滋生。爱因斯坦曾以麦克斯韦建立电动力学理论和相对论理论为例来论证他的这一信仰。他认为“理论物理学的完整体系是由概念、被认为对这些概念是有效的基本定律,以及用逻辑推理得到的结论这三者所构成的。这些结论必须同我们的各个单独的经验相符合;在任何理论著作中,导出这些结论的逻辑演绎几乎占据了全部篇幅”,[5]甚至有些逻辑推导的结论还不能马上被直接经验检验。可见“,以基本概念和基本定律作为一方,以那些必须同我们经验发生关系的结论作为另一方,两者之间在思维上的距离也就愈来愈大
[6]了”。由于相对论的成功,他开始对古典力学中的一些思
论,即所有理论的总目的,在数学上应统一到尽可能的使得不可约元越简单、越少。
我们追寻爱因斯坦走过的足迹,也会品尝到他科学探索经历的酸与甜。发现爱因斯坦数学信仰的形成,有他的历史过程。他虽然始终承认在人类成熟地获得一种概括全部实在的科学之前“,一切关于实在的知识,都是从经验开始,又终结于经验”。但实际上,在他的一生中,这一思想的统治地位实质地在发生着动摇和变化。起初,他虽然强烈地感受到数学的优美,但并不相信单纯的形式论证能够作为物理学的下一次进步所依据的路标。他在1917年还曾批评过F.克莱因过高估计了形式化观点的价值,说它们“几乎总是不能【收稿日期】 2005-10-28
[2]
(比如古典力学)能想方法问题进行思考“如果有一些理论,
够在很大程度上妥当地处理经验,可是没有抓住问题的根本,那末我们究竟能不能希望由经验来作我们可靠的指导呢?我可以毫不犹豫地回答:照我的见解,确实有这样一条
【作者简介】 韩来平(1962-),山西大学科学技术哲学研究中心博士生,河北师范大学科技与社会研究所教授,主要研究方
向为科学技术哲学、科学技术史;
邢润川(1940-),男,山西大学科学技术哲学研究中心教授,博士生导师,主要研究方向为科学技术哲学、科学技术史。
正确的道路,而且我们是有能力去找到它的。迄今为止,我们的经验已经使我们有理由相信,自然界是可以想象到的最简单的数学观念的实际体现。我坚信,我们能够用纯粹数学的构造来发现概念以及把这些概念联系起来的定律,这些概
念和定律是理解自然现象的钥匙。”[7]
这里我们不难感受到
爱因斯坦思想中的数学信仰已基本形成。
在这种信仰的驱使下,他在科学追求的道路上,获得了很大成功。特别是在广义相对论的建立过程中,他强调数学的创造性价值就在于广义相对论的公式化中,寻求广义协变的数学原理是其本质的创造性元素。为了进一步推广他的相对论理论,爱因斯坦先后建立了“等效原理”和“广义协变原理”,他运用“柔性”时空度规,按等效原理的要求把相对性原理推广到非惯性系,形成广义协变原理———自然界的普遍规律是由那些对一切坐标系都有效,即对于无论哪种坐标代换都是协变的方程式来表示的。
1912年,爱因斯坦邀请他的老同学苏黎世工业大学数学
教授格罗斯曼(MarcelGrossman)共同投入了研究。同时他明确,已经建立起的柔性度规依赖于引力场。接下来就是寻求一个对于空时柔性度规来说,满足广义协变要求的引力场微分方程。爱因斯坦放弃牛顿用标量函数(引力势)描述引力场的见解,而改用gμv来描述。gμv是四维时空中的二阶张量,如何利用这个张量作为基本逻辑单元而构成一个满足广义协变性要求的微分方程呢?在格罗斯曼的帮助下,爱因斯坦把绝对微积分,即黎曼张量运算引入物理学,把平直空间的张量运算推广到弯曲的黎曼空间,为广义协变性引力理论的建立开辟了道路。
爱因斯坦在京都的一次演讲中曾回忆到“如果所有,
(加速)系都等价,那么欧几里得几何就不能对它们都成立。抛弃几何而保留物理定律,就像表达思想而不用语言。我们在表达思想以前必须寻找语言,那么,现在的情况下我们应该寻找什么呢?这个问题,直到1912年我才发现是可以解决的。那时,我突然意识到高斯的曲面理论为解开这个谜提供了钥匙。我感到他的曲面坐标系具有深刻的意义。然而,我还不知道那时黎曼已经用更深刻的方法研究过它的几何基础。我忽然回想起,我当学生时,盖泽尔教的几何课程里就包括了高斯的理论……我感到几何基础有物理意义。当我从布拉格回到苏黎世时,我亲爱的朋友、数学家格罗斯曼也在那里。从他那里,我先学了里奇的几何,然后又学黎曼的。于是,我问我的朋友,我的问题能不能用黎曼理论来解
决?”[8]
格罗斯曼的回答是肯定的[9]。在第一次同格罗斯曼
进行讨论后,爱因斯坦就找到了通向广义协变的正确出发点。真正的工作也就从这里开始了。1912年10月,他在给索末菲的信中说,现在,我整个人都完全被引力问题占据了,我也相信,在这里的一个数学家朋友的帮助下,我会战胜所有的困难。但有一点是肯定的,在我的一生中,我从来没有
这么艰难地工作过,我已经变得非常崇敬数学了。
[10]
1913年,爱因斯坦和格罗斯曼完成了“广义相对论与引
力纲要”的著名论文。爱因斯坦在肯定时空度规依赖于引力场的思想基础上,运用推广的方法,首次发表了引力的广义
相对论的一套方程[11]。此理论产生出水星近日点进动的正确值。但令人遗憾的是,这些场方程并不协变,当他认识到他的场方程在旋转变换下并非不变时,他对此理论感到疑
惑。[12]
但是,由于坚定的信念,使他不懈地努力着,正像他自
己所言“,大自然显露的只不过是狮子身上的一条尾巴,狮子
是个庞然大物,尚不能立即全部显露在我们面前。”[13]但他
从不怀疑大自然真有这头狮子。经过不断思索和探究,在逐渐对以前的理论结果和方法失掉信心之后,反而让他清楚地认识到,只有同一般的协变理论,即黎曼协变理论相联系起来,才能得到令人满意的解决[14]。于是,在1915年,他再次回到了广义协变的黎曼和里奇张量上来,以引力势中牛顿———泊松方法为出发点,在6周内重新推导了爱因斯坦场方程。经过不断修正,1917年提出了具有宇宙因子项重力场方程的普遍形式:
Rμv-
2gμvR=
C4
T
μv其中Rμv和R都是反映时空弯曲程度的张量;gμv是度规张量,表示时空结构的性质;G是万有引力常数;Tμv是描述物质运动情况的能量动量张量。
进一步地逻辑上的简单和理论数学上的美也给爱因斯坦留下了一个直接而深刻的印象;爱因斯坦宣称此理论是一个由高斯(Gauss)、黎曼(Riemann)、克里斯托菲(Christof2
fel)、里奇(Ricci)和勒维-契维塔(Levi2Cevita)发明的微分几
何的真实胜利。
[15]
的确,爱因斯坦在他的广义相对论的发现经历中已深深地植入了他的数学信仰和认识论信念。他和伐尔特・迈尔
(WaltherMayer)通信说“,我们在寻找数学上最自然的结构,
而不被更多的物理所打扰。这也是我在研究引力理论过程
中的一个设定目标。”
[16]
此后,爱因斯坦的这一数学信仰,深深扎根于他的心灵深处。1933年6月10日,爱因斯坦在牛津大学作了题目为理论物理方法的席尔勃特空间”的演讲。演讲中,他通过科学史,来说明科学发现的历史如何影响了科学的方法论思想。他从古代的科学开始,谈到伽利略和牛顿,最后他谈到了自己深信的指导思想。他表示相信创造性的原理蕴育在数学之中,并且通过对物理领域简单和统一的数学规律的追求,能掌握现实到应有深度。
三 数学半矢量方法与狄拉克方程
爱因斯坦的成功经历已经铸就了他的数学信仰和对应的方法论。特别是在引入半矢量方法来研究狄拉克方程的过程中,爱因斯坦进一步发挥了他的方法论思想。这里需要特别指出,半矢量理论的基本内容不是从经验中得来的,它们似乎是不受任何经验的限制而出现于人脑的自由发明———满足最简单的可想象的数学规律的信念所指导下的发明。
1928年狄拉克(Dirac)提出了包括电子自旋理论在内的
电子的相对论性波动方程η(
=c=1):γk
(9Ak)ψ=mψ,
“
e和m是粒子的电荷和质量,Ak是电磁规范场。在他的方程中导入了一个4分量的数学函数———自旋量ψ。
旋量的术语是1929年初由埃伦费斯特(Ehrenfest)首先引入的。但他本人并不满意,他仍然感觉到旋量缺乏简单直观的解释。1932年夏天,埃伦费斯特和爱因斯坦进行了交流,他感到量子理论已经变得如此数学化使得理论物理的解释变得越来越模糊了,为此感到深深的烦恼。狄拉克发现旋量是一种新的场量,它的最简单的方程在很大程度上能推出
电子的性质。[17]爱因斯坦和他的合作者伐尔特・迈尔认为,
尽管狄拉克引入的旋量概念,在分子物理上起到了重要的作用,但他们认为,对此概念所作的数学分析还不能令人满意。这些旋量实际上是一种新场的特例,而在数学上同四维体系相联系的应为“半矢量”。半矢量概念的引入,其出发点是达到公式化一个更自然更一般的旋量分析理论的目的,它同时产生了一个广义协变的半矢量狄拉克方程。
他们从研究洛仑兹(Lorentz)群的矢量表示入手。作用在一个矢量上的无穷小洛仑兹变换可以写为
aik=gik+εik
(1)
这里εik是反对称的实的无穷小量。εik可写成两个矩阵vik和:
εik=uik+vik
(2)
uik=
2ηiiklmulm=2ηiiklmglrgms
urs;vik
=-2ηiiklm
vlm,uik=v3
ik.iklm是完全反对称的勒维-契维塔(Levi-Cevita)符号。
引入矩阵b和c:bik=gik+uik;cik=gik+vik
(3)
可以看出bik=cik,bik和cik的指标是用时空度规gik上升和下
降来表示的。
爱因斯坦和伐尔特・迈尔得出结论:任何作用于矢量上的无穷小洛仑兹变换都可用形式(3)给出的和来表示:
a=bc
(4)
并且,b和c是对易的bc=cb。
爱因斯坦和伐尔特・迈尔进一步把(4)式延伸到有限的洛仑兹变换。所有的uik可从六个基本的4×4矩阵得到。所得元素b的群B,同构于洛仑兹群;所得元素c的群C,再次同构于洛仑兹群。
由群B和C,爱因斯坦和伐尔特・迈尔找到了表示洛仑兹群的新方法,并由此它们引进了半矢量。—我们已经看到
一个矢量λ′k
如下变换
λ′k=akjλj
,
(5)
由于aikbik同形,我们可定义抗变的第一种半矢量ρs为在洛仑兹变换下按照下式变换的矢量
ρ′s=bsρtt
.
(6)
类似地第二种抗变半矢量σs
在共轭C表示下变换:
σ′s=csσtt
.
(7) 所以第一种抗变半矢量的复共轭是第二种抗变半矢量,反之亦然。
这些半矢量是爱因斯坦对旋量的另一种表述。它有四
个分量,指标用熟悉的时空度规gik升降。在此方面,我们可以想象,半矢量的分量好像躺在时空之中。而原来的旋量仅有两个内部指标,它在给出‘直观’或‘现实’的解释时存在着问题,因此爱因斯坦认为半矢量是数学上更自然的概念。
接下来,爱因斯坦和伐尔特・迈尔寻找用半矢量表示的最一般的狄拉克系统。他们给出:
Erst
(ψs,r-ieψsAr)=
第23卷,第3期 科学技术与辩证法Vol.23 No.32006年6月 Science,TechnologyandDialectics Jun.,2006・科技史・
爱因斯坦的数学信仰
韩来平1,2,邢润川1
(1.山西大学科学技术哲学研究中心,山西太原030006;2.河北师范大学科学技术与社会研究所,河北石家庄050016)
摘 要:爱因斯坦的科学经历铸就了他的数学信仰以及相应的方法论,广义相对论的成功使这种数学信仰得到强化,并使他在引入半矢量研究狄拉克方程过程中误入歧途。爱因斯坦的数学信仰过分夸大了纯数学方法揭示自然本体的作用。
关键词:爱因斯坦;数学信仰;半矢量
中图分类号:N09 文献标识码:A 文章编号:1003-5680(2006)03-0090-05
一 爱因斯坦数学立场的变化
众所周知,爱因斯坦的统一性思想,是科学上的重要思想。从孩提时代起,在对大自然的深深热爱之中,爱因斯坦便深切体会到自然界的美丽、和谐、统一。当爱因斯坦逐渐地掌握了科学知识,了解了大自然的规律后,他对世界的和谐、统一性更是深信不疑。同时他认为,通过对物理领域简单和统一的数学规律的追求,我们能够掌握现实到应有深度。也就是,可以由纯数学构造的方法发现概念和联系它们的定律,从而完成理解自然现象的关键。他相信创造性的原理蕴育在数学之中“,自然是可想象到的最简单的数学观念
[1]的实际体现”。他的数学信仰直接导致了与此有关的方法
[3]
帮助我们去发现”。然而,同样是爱因斯坦,1933年却在
英国剑桥大学所做的斯宾塞演讲中,表达了他对纯数学结构的强烈信念,他相信通过数学的构造能使我们发现物理概念和联系这些概念的定律。爱因斯坦的生前好友亚伯拉罕・派斯(美)也曾感慨“再没有比他在这一点上完全改变立场更令
[4]人吃惊的了”。
二 相对论的卓有成效和数学信仰的强化
随着理论物理的不断进展,他的数学信仰在不断地滋生。爱因斯坦曾以麦克斯韦建立电动力学理论和相对论理论为例来论证他的这一信仰。他认为“理论物理学的完整体系是由概念、被认为对这些概念是有效的基本定律,以及用逻辑推理得到的结论这三者所构成的。这些结论必须同我们的各个单独的经验相符合;在任何理论著作中,导出这些结论的逻辑演绎几乎占据了全部篇幅”,[5]甚至有些逻辑推导的结论还不能马上被直接经验检验。可见“,以基本概念和基本定律作为一方,以那些必须同我们经验发生关系的结论作为另一方,两者之间在思维上的距离也就愈来愈大
[6]了”。由于相对论的成功,他开始对古典力学中的一些思
论,即所有理论的总目的,在数学上应统一到尽可能的使得不可约元越简单、越少。
我们追寻爱因斯坦走过的足迹,也会品尝到他科学探索经历的酸与甜。发现爱因斯坦数学信仰的形成,有他的历史过程。他虽然始终承认在人类成熟地获得一种概括全部实在的科学之前“,一切关于实在的知识,都是从经验开始,又终结于经验”。但实际上,在他的一生中,这一思想的统治地位实质地在发生着动摇和变化。起初,他虽然强烈地感受到数学的优美,但并不相信单纯的形式论证能够作为物理学的下一次进步所依据的路标。他在1917年还曾批评过F.克莱因过高估计了形式化观点的价值,说它们“几乎总是不能【收稿日期】 2005-10-28
[2]
(比如古典力学)能想方法问题进行思考“如果有一些理论,
够在很大程度上妥当地处理经验,可是没有抓住问题的根本,那末我们究竟能不能希望由经验来作我们可靠的指导呢?我可以毫不犹豫地回答:照我的见解,确实有这样一条
【作者简介】 韩来平(1962-),山西大学科学技术哲学研究中心博士生,河北师范大学科技与社会研究所教授,主要研究方
向为科学技术哲学、科学技术史;
邢润川(1940-),男,山西大学科学技术哲学研究中心教授,博士生导师,主要研究方向为科学技术哲学、科学技术史。
正确的道路,而且我们是有能力去找到它的。迄今为止,我们的经验已经使我们有理由相信,自然界是可以想象到的最简单的数学观念的实际体现。我坚信,我们能够用纯粹数学的构造来发现概念以及把这些概念联系起来的定律,这些概
念和定律是理解自然现象的钥匙。”[7]
这里我们不难感受到
爱因斯坦思想中的数学信仰已基本形成。
在这种信仰的驱使下,他在科学追求的道路上,获得了很大成功。特别是在广义相对论的建立过程中,他强调数学的创造性价值就在于广义相对论的公式化中,寻求广义协变的数学原理是其本质的创造性元素。为了进一步推广他的相对论理论,爱因斯坦先后建立了“等效原理”和“广义协变原理”,他运用“柔性”时空度规,按等效原理的要求把相对性原理推广到非惯性系,形成广义协变原理———自然界的普遍规律是由那些对一切坐标系都有效,即对于无论哪种坐标代换都是协变的方程式来表示的。
1912年,爱因斯坦邀请他的老同学苏黎世工业大学数学
教授格罗斯曼(MarcelGrossman)共同投入了研究。同时他明确,已经建立起的柔性度规依赖于引力场。接下来就是寻求一个对于空时柔性度规来说,满足广义协变要求的引力场微分方程。爱因斯坦放弃牛顿用标量函数(引力势)描述引力场的见解,而改用gμv来描述。gμv是四维时空中的二阶张量,如何利用这个张量作为基本逻辑单元而构成一个满足广义协变性要求的微分方程呢?在格罗斯曼的帮助下,爱因斯坦把绝对微积分,即黎曼张量运算引入物理学,把平直空间的张量运算推广到弯曲的黎曼空间,为广义协变性引力理论的建立开辟了道路。
爱因斯坦在京都的一次演讲中曾回忆到“如果所有,
(加速)系都等价,那么欧几里得几何就不能对它们都成立。抛弃几何而保留物理定律,就像表达思想而不用语言。我们在表达思想以前必须寻找语言,那么,现在的情况下我们应该寻找什么呢?这个问题,直到1912年我才发现是可以解决的。那时,我突然意识到高斯的曲面理论为解开这个谜提供了钥匙。我感到他的曲面坐标系具有深刻的意义。然而,我还不知道那时黎曼已经用更深刻的方法研究过它的几何基础。我忽然回想起,我当学生时,盖泽尔教的几何课程里就包括了高斯的理论……我感到几何基础有物理意义。当我从布拉格回到苏黎世时,我亲爱的朋友、数学家格罗斯曼也在那里。从他那里,我先学了里奇的几何,然后又学黎曼的。于是,我问我的朋友,我的问题能不能用黎曼理论来解
决?”[8]
格罗斯曼的回答是肯定的[9]。在第一次同格罗斯曼
进行讨论后,爱因斯坦就找到了通向广义协变的正确出发点。真正的工作也就从这里开始了。1912年10月,他在给索末菲的信中说,现在,我整个人都完全被引力问题占据了,我也相信,在这里的一个数学家朋友的帮助下,我会战胜所有的困难。但有一点是肯定的,在我的一生中,我从来没有
这么艰难地工作过,我已经变得非常崇敬数学了。
[10]
1913年,爱因斯坦和格罗斯曼完成了“广义相对论与引
力纲要”的著名论文。爱因斯坦在肯定时空度规依赖于引力场的思想基础上,运用推广的方法,首次发表了引力的广义
相对论的一套方程[11]。此理论产生出水星近日点进动的正确值。但令人遗憾的是,这些场方程并不协变,当他认识到他的场方程在旋转变换下并非不变时,他对此理论感到疑
惑。[12]
但是,由于坚定的信念,使他不懈地努力着,正像他自
己所言“,大自然显露的只不过是狮子身上的一条尾巴,狮子
是个庞然大物,尚不能立即全部显露在我们面前。”[13]但他
从不怀疑大自然真有这头狮子。经过不断思索和探究,在逐渐对以前的理论结果和方法失掉信心之后,反而让他清楚地认识到,只有同一般的协变理论,即黎曼协变理论相联系起来,才能得到令人满意的解决[14]。于是,在1915年,他再次回到了广义协变的黎曼和里奇张量上来,以引力势中牛顿———泊松方法为出发点,在6周内重新推导了爱因斯坦场方程。经过不断修正,1917年提出了具有宇宙因子项重力场方程的普遍形式:
Rμv-
2gμvR=
C4
T
μv其中Rμv和R都是反映时空弯曲程度的张量;gμv是度规张量,表示时空结构的性质;G是万有引力常数;Tμv是描述物质运动情况的能量动量张量。
进一步地逻辑上的简单和理论数学上的美也给爱因斯坦留下了一个直接而深刻的印象;爱因斯坦宣称此理论是一个由高斯(Gauss)、黎曼(Riemann)、克里斯托菲(Christof2
fel)、里奇(Ricci)和勒维-契维塔(Levi2Cevita)发明的微分几
何的真实胜利。
[15]
的确,爱因斯坦在他的广义相对论的发现经历中已深深地植入了他的数学信仰和认识论信念。他和伐尔特・迈尔
(WaltherMayer)通信说“,我们在寻找数学上最自然的结构,
而不被更多的物理所打扰。这也是我在研究引力理论过程
中的一个设定目标。”
[16]
此后,爱因斯坦的这一数学信仰,深深扎根于他的心灵深处。1933年6月10日,爱因斯坦在牛津大学作了题目为理论物理方法的席尔勃特空间”的演讲。演讲中,他通过科学史,来说明科学发现的历史如何影响了科学的方法论思想。他从古代的科学开始,谈到伽利略和牛顿,最后他谈到了自己深信的指导思想。他表示相信创造性的原理蕴育在数学之中,并且通过对物理领域简单和统一的数学规律的追求,能掌握现实到应有深度。
三 数学半矢量方法与狄拉克方程
爱因斯坦的成功经历已经铸就了他的数学信仰和对应的方法论。特别是在引入半矢量方法来研究狄拉克方程的过程中,爱因斯坦进一步发挥了他的方法论思想。这里需要特别指出,半矢量理论的基本内容不是从经验中得来的,它们似乎是不受任何经验的限制而出现于人脑的自由发明———满足最简单的可想象的数学规律的信念所指导下的发明。
1928年狄拉克(Dirac)提出了包括电子自旋理论在内的
电子的相对论性波动方程η(
=c=1):γk
(9Ak)ψ=mψ,
“
e和m是粒子的电荷和质量,Ak是电磁规范场。在他的方程中导入了一个4分量的数学函数———自旋量ψ。
旋量的术语是1929年初由埃伦费斯特(Ehrenfest)首先引入的。但他本人并不满意,他仍然感觉到旋量缺乏简单直观的解释。1932年夏天,埃伦费斯特和爱因斯坦进行了交流,他感到量子理论已经变得如此数学化使得理论物理的解释变得越来越模糊了,为此感到深深的烦恼。狄拉克发现旋量是一种新的场量,它的最简单的方程在很大程度上能推出
电子的性质。[17]爱因斯坦和他的合作者伐尔特・迈尔认为,
尽管狄拉克引入的旋量概念,在分子物理上起到了重要的作用,但他们认为,对此概念所作的数学分析还不能令人满意。这些旋量实际上是一种新场的特例,而在数学上同四维体系相联系的应为“半矢量”。半矢量概念的引入,其出发点是达到公式化一个更自然更一般的旋量分析理论的目的,它同时产生了一个广义协变的半矢量狄拉克方程。
他们从研究洛仑兹(Lorentz)群的矢量表示入手。作用在一个矢量上的无穷小洛仑兹变换可以写为
aik=gik+εik
(1)
这里εik是反对称的实的无穷小量。εik可写成两个矩阵vik和:
εik=uik+vik
(2)
uik=
2ηiiklmulm=2ηiiklmglrgms
urs;vik
=-2ηiiklm
vlm,uik=v3
ik.iklm是完全反对称的勒维-契维塔(Levi-Cevita)符号。
引入矩阵b和c:bik=gik+uik;cik=gik+vik
(3)
可以看出bik=cik,bik和cik的指标是用时空度规gik上升和下
降来表示的。
爱因斯坦和伐尔特・迈尔得出结论:任何作用于矢量上的无穷小洛仑兹变换都可用形式(3)给出的和来表示:
a=bc
(4)
并且,b和c是对易的bc=cb。
爱因斯坦和伐尔特・迈尔进一步把(4)式延伸到有限的洛仑兹变换。所有的uik可从六个基本的4×4矩阵得到。所得元素b的群B,同构于洛仑兹群;所得元素c的群C,再次同构于洛仑兹群。
由群B和C,爱因斯坦和伐尔特・迈尔找到了表示洛仑兹群的新方法,并由此它们引进了半矢量。—我们已经看到
一个矢量λ′k
如下变换
λ′k=akjλj
,
(5)
由于aikbik同形,我们可定义抗变的第一种半矢量ρs为在洛仑兹变换下按照下式变换的矢量
ρ′s=bsρtt
.
(6)
类似地第二种抗变半矢量σs
在共轭C表示下变换:
σ′s=csσtt
.
(7) 所以第一种抗变半矢量的复共轭是第二种抗变半矢量,反之亦然。
这些半矢量是爱因斯坦对旋量的另一种表述。它有四
个分量,指标用熟悉的时空度规gik升降。在此方面,我们可以想象,半矢量的分量好像躺在时空之中。而原来的旋量仅有两个内部指标,它在给出‘直观’或‘现实’的解释时存在着问题,因此爱因斯坦认为半矢量是数学上更自然的概念。
接下来,爱因斯坦和伐尔特・迈尔寻找用半矢量表示的最一般的狄拉克系统。他们给出:
Erst
(ψs,r-ieψsAr)=