第一章 弹性动力学基础

第一章 弹性动力学基础

§1.1 弹性动力学的基本概念与基本假设

1.1.1 连续介质的概念

力学系统最基本的概念是连续介质。物体从宏观上看是稠密的，无间隙的，我们称之为连续介质。固体、液体、气体等各种形态的物体一般地都可认为是连续介质。严格地说，从微观角度看，这种假设并不成立。但研究物体的运动规律和变形规律等力学行为是它的外部现象，并不涉及它的内部分子结构，连续介质假设已有足够的精确度。

描述一个物体须确定它的构形。物体在三维欧几里德空间内占据的一般是一个有界区域，它的内部区域用V 来表示，它的边界用S 表示。连续介质可由V +S 给出其构形。连续介质内任意点P 的位置由欧几里德空间中的三个坐标(x 1, x 2, x 3) 给出，即

P (x i ) =P (x 1, x 2, x 3) ∈V +S

连续介质进行力学分析时，取其微体作为基本元件。微体是在各个方向上取微分长度的微小物体。这种基元在宏观上是无限小，在微观上是无限大。它们的集合是稠密的，无间隙的，构成了连续介质。

1.1.2 基本假设

弹性动力学是在更普遍的意义上研究线性动力学系统的力学行为。它的理论基础是建立在连续介质力学的基础之上。连续介质的基本假设有：

（1）连续性假设。这是连续介质的基本属性，是几何变形方面的假设。物体在任一瞬时的构形都是稠密的、无间隙的。这一点在 1.1.1节已作了阐述。

（2）均匀性假设。均匀性是指连续介质各处力学性能都相同，是物理方面的假设。金属材料在宏观上是满足均匀性假设的，而且还具有各向同性性质，即在连续介质同一地点不同方向上力学性能皆相同。新材料的出现，如复合材料等多相材料，缺乏这种均匀性，更没有各向同性性。在这种情况下一般仍假设宏观上的均匀性，但须引入各向异性的概念。在本课程内不作特殊的说明时，认为均匀性假设是成立的。

（3）线性化假设。力学现象本质是非线性的，不论几何上、物理上，以至边界上都存在着非线性因素。工程上大量问题都作线性化假设。在几何方面，若物体的变形比较小，几何上的非线性可以忽略不计，认为位移与应变之间存在线性关系。在物理方面，材料的本构关系及其工作段的特性决定了物理上的线性化程度。一般弹性材料在小变形情况下存在应力与应变的线性关系。本课程所讨论的内容属于线弹性动力学范围。

连续介质的各种力学量，例如位移 u i 、作用力f i 等等，都是位置x i 的函数，称之为场变量，记作u i (x i ) ，f i (x i ) 等。

连续介质是由无限多个基元构成，描述连续介质的位移场变量有无限多个独立变量，故连续介质是个无限自由度力学系统。连续介质的稠密性和无间隙性决定了位移场变量的连续性，以保证在发生位移后仍然是稠密和无间隙的。故位移场变量在空间域内是位置 x i 的单值、连续函数。

位移场变量有三种表示形式：

（1）向量形式

连续介质内点P 的位置用它的向径r 表示

r =x 1e 1+x 2e 2+x 3e 3

其中 e 1，e 2，e 3 是笛卡儿坐标系的单位向量。 位移场变量表示为

u =u (r )

所有的向量均用粗体字表示。

（2）张量形式

连续介质内点P 位置用张量表示为 x j ，下标j 是循环变量，j 分别取值为 1、2、3，由它表示笛卡儿坐标系内的三个坐标值。则位移场变量为

u i =u i (x j )

所有的张量均用带循环下标变量的细体字表示。

（3）矩阵形式

连续介质内点P 的位置用列阵 {x}表示，即

{x }=[x 1x 2x 3] T

这列阵又称为列向量。位移场变量可表示为

{u }=[u 1u 2u 3] T

所有的矩阵用括号括起来。

上述的三种表示形式有各自优点，它们既然表示同一个量，可以相互转换，甚至混用。

弹性动力学研究必须引入时间概念。不仅需要了解它在某个瞬时力学行为，而是必须更真实，更全面地掌握它在整个时间过程中的力学行为。瞬时将用t 表示，时间历程是从初瞬t 0（或 0）到末瞬t m （或t ）的整个时间过程，即

t ∈[t 0, t m ]

线弹性系统的各种场变量不仅是位置 P的函数，而且是时间 t的函数。例如位移场变量

u i =u i (x j , t ) x j ∈V +S ; t ∈[t 0, t m ] 动力学中各种场变量是时、空域内的函数。

§1.2 位移、变形与应变分析

1.2.1 位移与变形梯度

弹性体在不同瞬时占据空间的不同位置，形成不同的构形。为分析弹性体的位移，必须有一个参考构形。取运动开始时的初始构形为参考构形，通常它是未变形的自然构形。在某个瞬时的构形称为瞬时构形，是变形构形。弹性体上某点的位移是从初始构形上点 P 到瞬时构形上对应点p 构成的向量 u i (i =1, 2, 3) 给出，见图 1.1。

由于引入小变形线性化假设，采用以初始构形为参考构形表示弹性体位移的拉格朗日方法，则弹性体的位移场变量定义为

u i =u i (x j , t ) (1.1)

图 1.1 弹性体的位移

位移向量在欧几里德空间内选用笛卡尔坐标系描述，它的单位向量为e i ，即

u =u i e i

等式右端是张量表示形式，其中重下标变量相乘表示循环相乘求和。

在初始构形中微体是以P 点为顶点，在坐标方向e i 上取微分长度dx i 所组成的微小长方体。当弹性体发生位移后，在瞬时构形中的微体改变为以p 点为顶点的一个变形体。在第一个坐标方向上的线段 dx 1e 1 变形后为dX 1，用笛卡尔坐标系内的三个投影分量表示为：

⎧(1+u 1, 1) dx 1

d X ⎪e 1⎫⎪

1=⎨u 2,1dx 1e 2⎬

⎪⎩u 3,1dx 1e 3⎪⎭

这里 u i , j 表示的是位移分量 u i 对坐标 x j 的偏导数，即

u i , j =∂u i

∂x

j

其它二个坐标方向上有类似的公式，综合写为下表：

⎡

F =⎢1+u 1, 1u 1, 2u 1, 3⎤

⎢u 2, 11+u u ⎥

2, 22, 3

⎢⎣u 3, 1u 3, 21⎥ (1.2)

+u 3, 3⎥⎦

这个表由九个量组成的张量称为变形梯度张量。

微体的刚体平动位移是由位移 u i 给出，绕 e k 轴的刚体转动由下式给出

ωu i , j −u j , i

k =2

线段 dx i 的伸长量由 1+u i , i 给出，线段 dx i 和 dx j 的剪切变形由下式给出

εu i , j +u j , i

ij =2 (1.4) 它们由变形梯度张量完整地描绘。 (1.3)

图 1.2 变形梯度

1.2.2 微体的应变分析与几何方程

在1.2.1节变形梯度分析基础上，由小变形线性化假设，认为u i , j

而剪应变是两个相互垂直坐标轴e i 、e j 分量。线应变是沿坐标轴e i 方向的单位长度改变量εii ，

的角度改变量εij 。微体的应变分量构成为一个应变张量

⎡ε11

ε=⎢⎢ε12

⎢⎣ε13ε12ε13⎤ε22ε23⎥⎥ ε23ε33⎥⎦ (1.5)

它描述了弹性体内该处的应变状态。它的各个应变分量εij 选取不同坐标轴是取不同数值的。 根据（1.2）式及其性质，给出应变分量与位移分量的一般关系式为

εii =u i , i (1.6) 综合（1.6）和（1.4）式，得应变分量和位移分量的一般关系式为

εij =u i , j +u j , i

2

这关系式称为几何方程.

1.2.3 主应变与应变不变量

初始构形中任意方向上线段的边长为

ds =(dx i dx i ) (1.7) 由变形梯度 (1.2)式知，瞬时构形中该边长改变为 1d s ′=[(δki +u k , i )(δkj +u k , j ) dx i dx j ]=[(δij +u i , j +u j , i +u k , i u k , j ) dx i dx j ] (1.8) 其中 δij 是克罗内克(Kronecker)δ函数，当i =j 时，δij ＝1 ；当i ≠j 时，δij ＝0 。在任意方向上线段的伸长率，根据小变形线性化假设，略去位移导数的互乘项，可近似地写为

d s ′−ds (d s ′) 2−(ds ) 2

εL =≈≈εij αi αj (1.9) 2ds 2(ds )

这里 αi =dx i 是该线段的方向余弦。 ds

伸长率取极值的主值与主方向由下式决定

⎡ε11−εL ⎢ε⎢12

⎢⎣ε13ε12ε22−εL ε23⎤⎧α1⎫⎥⎪α⎪=0 (1.10) ⎥⎨2⎬⎪⎪ε33−εL ⎥⎦⎩α3⎭ε13ε23

它的主应变是由下列特征方程解出

εL 3−ΙE εL 2+ΙΙE εL −ΙΙΙ=0 (1.11) 由它解出的三个主应变设为ε1、ε2、ε3 。此方程还给出了应变的三个不变量，它们是不随坐标轴的不同选择而改变的。这三个应变不变量分别是

ΙE =ε11+ε22+ε33=ε1+ε2+ε3 (1.12) ΙΙE =ε11ε22+ε22ε33+ε33ε11+ε12ε12+ε23ε23+ε13ε13

=ε1ε2+ε2ε3+ε3ε1 (1.13)

ΙΙΙE =det(ε) =ε1ε2ε3 (1.14) 它的主方向αi 由（1.10）式给出。其线应变取极值，剪应变等于零。

1.2.4 体积变化与形状变化

微体变形造成了体积的变化。初始构形的微体体积是

dV =dx 1dx 2dx 3 瞬时构形的微体体积是

+u 1, 1

d V ′=u 1, 2

u 1, 3u 2, 1u 3, 11+u 2, 2u 3, 2dx 1dx 2dx 3 u 2, 31+u 3, 3

则它的体积改变量是

θ=d V ′−dV ≈ε11+ε22+ε33=ΙR (1.15) dV

定义偏斜应变张量为

⎡ε11−θ⎢e =⎢ε12

⎢⎣ε13ε12ε22−θ⎥ε23ε33−θ⎦ε13⎤θε23⎥=ε−ij δij (1.16) ⎥

在这种应变状态下，不发生体积改变，只导致形状改变。

1.2.5 应变协调方程 (相容性条件)

弹性体的位移函数是连续函数，保证了弹性介质的连续性。位移场唯一地确定弹性体的应变分量。反之，则不然。为保证介质的连续性，弹性体的六个应变分量是不能任意给定，六个应变分量变之间必须满足相容性条件，由几何方程(1.6) 式中消去三个位移分量后，得出应变协调方程，它保证应变分量之间的相容。有关内容可参阅弹性力学教程。

§1.3 运动与惯性分析

1.3.1 运动参考系

物体机械运动是指物体在时间过程中不断地改变它的位置和构形。机械运动都是相对的，是相对于某一个参考系而言。没有确定的参考系，就无法描述物体的运动。研究结构系统的机械运动，没有特殊的说明，一般选择地球作为参考系，把它看作固定不动，使牛顿力学成立。按牛顿力学的观点，定义相对于固定参考系的运动为绝对运动。有时为了分析的需要引入运动参考系，相对于运动参考系的运动称为相对运动。用相对运动观点分析时，必须计入运动参考

系的牵连运动及它所产生的惯性影响。

1.3.2 速度场变量与应变率

物体运动的描述是用不同瞬时的构形综合给出。在 1.2节里分析了物体的位移和应变。为完整地描述物体的运动，还必须分析物体的速度和应变率。

当给定了物体的位移场变量 u i (x i , t ) ，物体的速度场变量为

i (x i , t ) =v i (x i , t ) =u du i (x i , t ) (1.17) dt

位移与速度两者组成了弹性体的状态变量，完全确定了物体的瞬时运动状态。 在连续介质力学中，为了解物体变形的动态过程，还引入了应变率概念。应变率定义为 ij =ε

v i , j +v j , i 2 (1.18)

1.3.3 材料的惯性性质与动量

由牛顿第一定律知，物体具有惯性性质，惯性的度量是物体的质量。对于连续介质来说，描述惯性的是其质量密度，即单位体积的质量，用ρ表示。

物体的运动是相对于一定的参考系而言，在动力学分析中要求相对于一个固定参考系。若是相对于一个运动参考系，则必须考虑参考系的牵连运动。在运动参考系内分析动力学问题时必须附加牵连运动的惯性力，惯性力等于物体质量与牵连加速度的乘积。达伦培尔原理可以认为是把运动参考系固结在物体上，当加上物体运动的惯性力后物体处于静止的平衡状态。这个原理被广泛地应用于力学系统的动力学分析之中。

物体运动的度量采用动量的概念。微体动量是其质量与速度的乘积，即

dp i =ρv i dV

物体总动量是微体动量的总和

p i =∫ρv i dV (1.19)

V

§1.4 作用力、内力与应力分析

1.4.1 作用力的分类

物体的力学行为主要来自作用力。作用力的产生是有多种物理原因，有机械的、气动的、温度的等原因。这种物理原因决定了作用力的不同性质和不同量值。

作用力可按外力与内力来分。由于外部原因对物体所施加的力称为外力。物体受到外部作用，在体内各部分之间产生相互作用的力称之为内力。分析物体力学行为的一个重要内容是对内力的分析。按其分布分类，可分为体积力、面积力和集中力。体积力是在单位体积上作用的力，例如重力，惯性力等。面积力是在表面的单位面积上作用的力，例如气体压力等。集中力是一种点载荷，例如连接件的作用力等。一般地说，内力是一种面积力。

作用力的另一种分类是按主动力与约束反作用力来分。主动力是一种独立存在、在量值上与物体力学状态之间无相依关系的力。一般施加于物体上的载荷大都属于主动力。从能量观点来分析，它将作功而使能量有所变更。约束是对物体运动的一种限制。它所产生的约束反作用力将由物体运动的力学原理来确定，随着状态的不同而不同。一般认为它是理想约束，约束反作用力不作功，不耗散能量。

从能量观点来分类，作用力可分为保守力与非保守力。保守力是具有位的场变量，它所作的功与路径无关，使力学系统机械能守恒，只发生位能与动能之间的转换，而不与外界产生能量交换，构成为一种自治系统。如由于物体弹性产生的弹性力是一种保守力，理想约束反作用力也是保守力。非保守力则不然，它将对力学系统输入或耗散能量。例如施加在物体上的激振力将对力学系统输入能量，结构阻尼力将耗散能量，它们都是非保守力。

作用力的分类不是绝对的，根据分析的不同需要可作不同的分类。

1.4.2 内力与应力分析

弹性体受到外力作用不仅要产生位移和运动，而且要产生变形与内力。弹性体上作用的外力有作用在单位体积上的体积力，用 f表示。弹性体内产生的内力是作用在体内表面上的面积力，用 p表示。内力 p可分解为垂直于表面的法向分量 p n 和表面内的切向分量 p t 。此外，弹性体边界上将产生有边界力，用 t表示。它一般也是一种表面力，也分解为法向和切向两个分量。

图 1.3 应力分量

现取其微体来进行内力分析。在法向为e 1的正轴向的截面dx 2dx 3上的内力有：沿e 1方向的拉压力dp 11，沿e 2、e 3的剪切力dp 21、dp 31，它们都是取与坐标轴同向为正。在法向为e 1的负轴向的截面dx 2dx 3上有同样的内力，但取与坐标轴反向为正。其它的两对截面上可作同样的内力分析 (见图1.3)。

微体上的应力定义为单位面积上的内力。弹性体发生变形后，其构形发生变化，微体的截面积也随之改变。初始构形的截面积为 dA 23=dx 2dx 3，瞬时构形的截面积为

e 1

u 1, 3e 2u 2, 3e 3u 3, 2dx 2dx 3 1+u 3, 3′=u 1, 21+u 2, 2d A 23

′≈dA 23 ，即变形前后取同样的截面积。由于我们作了小变形线性化假设，可近似地认为 d A 23

这样，大大地简化了应力的定义。它们是

σij =dp ij

dA ij (1.20)

构成的应力张量是

⎡σ11σ12σ13⎤⎥ (1.21) σ=⎢σσσ212223⎥⎢⎢⎦⎣σ31σ32σ33⎥

其中 σii 是正应力，σij (i≠j) 是剪应力。弹性体内微体应力状态是由它的应力张量给出。弹性体应力状态是由应力场变量来描述决定。

1.4.3 主应力与应力不变量

现来分析微体任意截面上的应力，设截面外法线 n的方向余弦为 n 1，n 2, n 3,见图 1.4，截面上的总应力在直角坐标系上的分量是

σi =σij n j (1.22) 则总应力的大小是

σn =i i (1.23) 它在垂直于截面方向上的正应力为

σnn =σij n i n j (1.24) 和在截面内的剪应力为

σnl =n 2−σnn 2 (1.25) 由上列各式可见，在不同截面上应力是不同的。正应力取极值的主应力及其主方向由下式给出

⎡σ11−σn ⎢σ21⎢⎢⎣σ31

σ12σ13⎤⎧n 1⎫⎪⎪σ22−σn σ23⎥⎥⎨n 2⎬=0 (1.26)

⎪⎪σ32σ33−σn ⎥⎦⎩n 3⎭

图 1.4 任意截面上的应力

它的极值 (主应力) 是由下列特征方程给出

σn 3−ΙS σn 2+ΙΙS σn −ΙΙΙS =0 (1.27) 由它解出的三个主应力，设为σ1, σ2, σ3 。此方程也给出不随坐标轴改变的三个应力不变量

ΙS =σ11+σ22+σ33=σ1+σ2+σ3 (1.28) ΙΙS =σ11σ22+σ22σ33+σ33σ11+σ12σ21+σ23σ23+σ13σ31

=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1 (1.29)

ΙΙΙS =det(σ) =σ1σ2σ3 (1.30) 在这些主方向上，正应力取极值，剪应力等于零。

定义偏斜应力张量

θ⎤⎡σσσ−111213⎥⎢3⎥⎢θθσ22−σ23⎥=σij −δij (1.31) S =⎢σ2133⎥⎢θ⎥⎢σσσ−313233⎢3⎦⎣

其中 θ=

1(σ1+σ2+σ3) 是平均应力。 3

1.4.4 弹性体的运动方程

弹性体是由无限多个微体构成，它们应满足力学基本原理。从动力学方面来看，应满足动量定理和动量矩定理。

微体动量定理是微体动量对时间导数等于作用在微体上的力，包括作用在弹性体上的体积力f i 和截面上的内力(应力)σij 的合力。它为

d i ) =f i +σij , j (1.32) (ρu dt

这就是微分形式的动力学方程。

弹性体动量定理是弹性体总动量对时间的导数等于作用在弹性体上的外力，包括弹性体内

的体积力和边界上的表面合力。它为

d i dV =∫f i dV +∫t i dS (1.33) ρu ∫dt V V S

由（1.22）式可知，边界面S （外法线是 n j ）上的力为t i =σij n j ，将它代入上式，由奥斯特洛格拉得斯基公式可得

d i dV =∫(f i +σij , j ) dV (1.34) ρu ∫dt V V

这是积分形式的动力学方程。

微体动量矩定理是微体对某轴动量矩的时间导数等于作用在微体上的力，包括弹性体内的体积力和截面上的内力（应力），对该轴的合力矩。该方程略去高阶小量化简后，得

σij =σji (1.35) 这就是剪应力互等定理。由上分析得出，应力张量是对称张量，它只有六个独立的应变分量。

§1.5 弹性材料的本构关系

1.5.1 热力学基本定律

材料力学性能是研究连续介质力学行为的重要一环。材料力学性能是受热力学基本原理支配。物体运动时产生有动能，用T 表示。物体发生变形时将贮存有应变能，同时伴随有分子运动，将导致温度的变化，而发生热量的改变。后两种能量是发生在材料内部，称为内能，用 U i 表示。物体的内能是一个状态函数，内能的变更可用内力所作的元功表示，即

dU i =δW i

它从状态（1）到状态（2）时内能的变化等于内力所作的总功

U i (2) −U i (1) =W i (1.36) 动能与内能之和是物体所具有的总能量，用 E表示，即

E =T +U i (1.37) 热力学第一定律告诉我们：物体总能量的增减等于外力所作的功和环境所提供的热量。设环境所提供的热量为 Q，外力所作的功为 W e ，於是，热力学第一定律可表示为

dT +dU i =dW e +dQ (1.38)

热力学的一个重要概念是熵，对于可逆过程，定义如下：

dS =dQ (1.39) K

其中 K是物体的绝对温度。熵是一个状态函数，下列积分式存在

(2)

S (2) −S (1) =dQ (1.40) ∫K (1)

热力学第二定律告诉我们：物体的机械能与热能之间的互相交换永远是不可逆的，热只能从高温转向低温。物体的熵是由环境提供的熵dS e 和系统内部的熵dS i 两部分组成。热力学第二定律可表示为

dS i ≥0 (1.41) 即物体的热量自已不可能使之由冷变热，它是个不可逆过程。

1.5.2 应变能密度函数

绝热过程是当物体从一个状态转换为另一个状态时没有热量的变化，即

dQ =0 (1.42) 它的熵不变，故绝热过程是等熵过程。在绝热过程下，材料的内能只有在一个构形转换到另一个构形的变形过程中物体内力所作的功。应变能密度是单位体积的物体在变形过程中内力所作的功，是应力分量在应变分量上作的功。虚应变能密度是应力分量在虚应变分量上作的功

δU i =σij δεij (1.43) 应变能密度函数是

1U i (εij ) =σij εij (1.44) 2

它是应变分量的函数，将它在初始未变形状态附近作泰勒展开式

∂U i (0) 1∂2U i (0) U i =U i (0) +εij +εij εkl +" (1.45) ∂εij 2∂εij ∂εkl

取初始构形为零应变能状态，即U i (0) =0；它是初始未变形状态，有 U i (0) =0，则 ∂εij

U i =1C ijkl εij εkl +" (1.46) 2

等温过程是当物体从一个状态转换为另一个状态时没有温度变化，即

dK =0

(1.47)

为保持是等温状态，必须有一定的热量输入，它等于

Q =KS (1.48) 引入自由能E −KS ，在等温过程中它等于应变能。

1.5.3 弹性体的本构关系

弹性体的变形过程是一个可逆过程。它的内能（或自由能）是只与瞬时构形有关的应变能。在小变形的线性化假设下，由（1.46）式略去高阶项，得线弹性材料的本构关系

σij =C ijkl εkl (1.49) 其中 C ijkl 是材料弹性常数。它给出了材料的应力应变关系式，这是弹性动力学的物理方程。 线弹性材料的本构关系式 (1.49) 是各向异性的广义虎克定律。由于其对称性，存在有 C ijkl =C klij =C jikl =C ijlk (1.50) 其中材料弹性常数独立的仅有二十一个。

若线弹性材料具有一个对称面，设Ox l x s 是弹性对称面，这时的本构关系可写为矩阵形式

{σ}=[E ]{ε} (1.51) 其中

{σ}=[σ11σ22σ33σ12σ23σ31]T

{ε}=[ε11ε22ε33ε12ε23ε31]T

⎡C 11⎢C ⎢12

⎢C [E ]=⎢13

⎢0

⎢0⎢⎣C 16C 22C 2300C 26C 3300C 36C 44C 450⎤⎥对称⎥⎥⎥ ⎥⎥C 55⎥0C 66⎦

它共有十三个弹性常数。这种本构关系广泛地应用于层合复合材料板。

1.5.4 各向同性线弹性材料的本构关系

一般金属材料是各向同性的，它的本构关系可写为

σij =λθδij +2μεij (1.52) 其中λ、μ是表示材料性能的拉梅系数，λ>0、μ>0。从上式可推出：

（1）体积改变的本构关系

σa =K θ (1.53) 其中 K是体积模量，它等于

1K =(3λ+2μ) (1.54) 3

（2）形状改变的本构关系

σij −σa δij =2μ(εij −θδij ) (1.55) 其中μ是剪切模量，工程上通常用G 表示。

上面给出的线弹性材料本构关系是用应变分量来表示应力分量，这是刚度形式。它也可用应力分量来表示应变分量的柔度形式给出。

13

ε11=

ε22

ε33

ε12

ε23

ε311[σ11−v (σ22+σ33) ]E 1=[σ22−v (σ33+σ11) ]E 1=[σ33−v (σ11+σ22) ]E (1.56) 1=σ12G 1=σ23G 1=σ31G

其中 E是杨氏弹性模量，E > 0 ；υ是泊松比 -1≤υ≤1/2 。剪切模量 G由下式给出 G =E =μ (1.57) 2(1+v )

§1.6 弹性体动力学基本方程

1.6.1 位移形式的弹性体动力学基本方程

描述弹性体动力学行为的变量有：位移场变量 u i ，速度场变量 v i 等运动变量；应变场变量εij ，应力场变量σij 等变形内力变量。在前几节里，对这些变量从三个方面进行了分析： （1）运动学方面。主要分析位移与应变的关系，由（1.6）式给出

εij =1(u i , j +u j , i ) 2

（2）物理学方面。主要分析线弹性材料（各向同性体）的本构关系，由（1.52）式给出

σij =λθδij +2μεij （3）动力学方面。主要给出动量定理（1.32）式

σij , j +f i =d i ) (ρu dt

弹性动力学问题多数采用位移解法，因它在运动学和动力学方面分析其速度与加速度是比较方便的。现取位移场变量u (x i , t ) 为基本变量，它是三维欧几里德空间域 x i （i ＝1，2，3）

和一维时间 t域内的变量。将（1.6）式代入（1.52）式给出位移场变量表示的应力分量（本构关系），代入动量定理（1.32）式，得出用位移表示的基本方程（为便于书写，用向量形式写出）

∂2u ρ2=(λ+μ) ∇(∇⋅u ) +μ∇2u +f (1.58) ∂t

其中

∇=∂e 1∂e 2∂e 3++ (1.59) ∂x 1∂x 1∂x 1

它是时、空域内的非齐次线性偏微分方程组。在时间域和空间域内都是二阶。

1.6.2 边界条件与初始条件

弹性体动力学基本方程（1.58）是非齐次偏微分方程组，它的定解条件是空间域的边界条件和时间域的初始条件，是一个初边值问题。

（1）空间域边界条件。弹性体构形的边界用S 表示，其上给定的有两类基本边界条件。一类是位移边界条件，在边界 S u 上，它的位移值被给定为 u i ，即

u i =u i (1.60) 另一类是力的边界条件，在边界 S t 上，边界力被给定为 t i ，即

σij u j =t i (1.61) 除了上述的基本形式外，还可以有综合形式的边界条件，如弹性边界等。

（2）时间域初始条件。弹性体运动的时间历程定义在时间域 [0, t m ]。瞬时t =0是初始瞬时，其位移值u i 0和动量值ρv i 0是初始条件，即在 t＝0 时

u i =u i 0， ρv i =ρv i 0 (1.62) 有的情况下要求时端条件，即初始瞬时(t =0) 和结束瞬时(t =t m ) 的位移值

u i (0) =u i 0， u i (t m ) =u im (1.63)

1.6.3 弹性动力学的基本问题及基本解法

弹性体的动力学问题归结为偏微分方程组的初边值问题。根据有否外力作用可分为两类基本问题：一类是无外力作用的齐次偏微分方程组的边值问题，即弹性体动特性问题；一类是有外力作用的非齐次偏微分方程组的初边值问题，即弹性体动响应问题。

弹性动力学的基本解法有下列三种：

（1）分离变量法

弹性体动特性问题 (f＝0) 由下列方程给出

∂2u ρ2=(λ+μ) ∇(∇⋅u ) +μ∇2u (1.64) ∂t

由偏微分方程组（1.64）式的性质可见，它的稳态解是可以把空间变量 x i 和时间变量t 分离，采用分离变量法求解，设

u =X (x 1, x 2, x 3) T (t ) (1.65) 将它代入偏微分方程组（1.64），可得

1∂2T (λ+μ) ∇(∇⋅X ) +μ∇2X ==−ω2 (1.66) 2T ∂t ρX

上式左边只是时间变量 t的函数，右边只是空间变量的函数，则它们必等于一个常数，设为−ω2 时间域内的方程是

d 2T 2+ωT =0 (1.67) 2dt

它给出弹性体在无外力作用时的自由振动是以频率为ω的简谐振动。

空间域内的方程是

(λ+μ) ∇(∇⋅X ) +μ∇2X =−ρω2X (1.68) 归结为特征值问题，它的定解条件是弹性体的边界条件。

（2）拉氏变换法

将方程（1.58）作拉氏变换，设拉氏变量为s ，拉氏变换后的方程是

ρ(s 2u −su 0−v 0) =(λ+μ) ∇(∇⋅u ) +μ∇2u +f (1.69)

其中u 是位移函数u 的拉氏变换式。当无外载荷作用和它的初值为零，得出与（1.68）式相同的结果来分析弹性体的动特性问题。引入弹性体的初值条件可分析它的自由振动规律。弹性体的动响应问题是个非齐次线性偏微分方程组的初边值问题。经拉氏变换后，把初值条件转化为外力，得

ρs 2u −(λ+μ) ∇(∇⋅u ) −μ∇2u =f +ρsu 0−ρv 0 (1.70) 把初边值问题转化为边值问题，转化为空间域的微分方程组来进行求解。

（3）波传播法

作用在弹性体上的任意力向量f 总可分解为两部分：一是具有标量位函数P 的力向量，一是具有向量位函数R 的力向量，即

f =∇P +∇×R (1.71) 在这种情况下，它的位移解同样相应地可由两部分组成

u =∇Φ+∇×R (1.72) 于是，基本方程（1.58）化为两个方程： （a）标量方程 (梯度方程) 是无旋转的体积变化波动方程

∂2Φρ2=(λ+2μ) ∇2Φ+P (1.73) ∂t

其中 c 1=2(λ+2μ)

ρ是体积膨胀波的波速平方。 （b）向量方程（旋度方程）是无体积变化的剪切波动方程

∂2Ψρ2=μ∇2Ψ+R (1.74) ∂t

其中 c 2=2μ是剪切波的波速平方。 ρ

上列方程为初值问题，采用弹性介质中波传播法来研究弹性体动力学问题。弹性动力学问题可以灵活地采用上述的基本解法来求解。上面着重分析时间域内的解法，把时间看作连续变化的参数，分析的是时间域内的微分方程。在空间域内的解法将在后面章节作进一步的分析。

第一章 弹性动力学基础

§1.1 弹性动力学的基本概念与基本假设

1.1.1 连续介质的概念

力学系统最基本的概念是连续介质。物体从宏观上看是稠密的，无间隙的，我们称之为连续介质。固体、液体、气体等各种形态的物体一般地都可认为是连续介质。严格地说，从微观角度看，这种假设并不成立。但研究物体的运动规律和变形规律等力学行为是它的外部现象，并不涉及它的内部分子结构，连续介质假设已有足够的精确度。

描述一个物体须确定它的构形。物体在三维欧几里德空间内占据的一般是一个有界区域，它的内部区域用V 来表示，它的边界用S 表示。连续介质可由V +S 给出其构形。连续介质内任意点P 的位置由欧几里德空间中的三个坐标(x 1, x 2, x 3) 给出，即

P (x i ) =P (x 1, x 2, x 3) ∈V +S

连续介质进行力学分析时，取其微体作为基本元件。微体是在各个方向上取微分长度的微小物体。这种基元在宏观上是无限小，在微观上是无限大。它们的集合是稠密的，无间隙的，构成了连续介质。

1.1.2 基本假设

弹性动力学是在更普遍的意义上研究线性动力学系统的力学行为。它的理论基础是建立在连续介质力学的基础之上。连续介质的基本假设有：

（1）连续性假设。这是连续介质的基本属性，是几何变形方面的假设。物体在任一瞬时的构形都是稠密的、无间隙的。这一点在 1.1.1节已作了阐述。

（2）均匀性假设。均匀性是指连续介质各处力学性能都相同，是物理方面的假设。金属材料在宏观上是满足均匀性假设的，而且还具有各向同性性质，即在连续介质同一地点不同方向上力学性能皆相同。新材料的出现，如复合材料等多相材料，缺乏这种均匀性，更没有各向同性性。在这种情况下一般仍假设宏观上的均匀性，但须引入各向异性的概念。在本课程内不作特殊的说明时，认为均匀性假设是成立的。

（3）线性化假设。力学现象本质是非线性的，不论几何上、物理上，以至边界上都存在着非线性因素。工程上大量问题都作线性化假设。在几何方面，若物体的变形比较小，几何上的非线性可以忽略不计，认为位移与应变之间存在线性关系。在物理方面，材料的本构关系及其工作段的特性决定了物理上的线性化程度。一般弹性材料在小变形情况下存在应力与应变的线性关系。本课程所讨论的内容属于线弹性动力学范围。

连续介质的各种力学量，例如位移 u i 、作用力f i 等等，都是位置x i 的函数，称之为场变量，记作u i (x i ) ，f i (x i ) 等。

连续介质是由无限多个基元构成，描述连续介质的位移场变量有无限多个独立变量，故连续介质是个无限自由度力学系统。连续介质的稠密性和无间隙性决定了位移场变量的连续性，以保证在发生位移后仍然是稠密和无间隙的。故位移场变量在空间域内是位置 x i 的单值、连续函数。

位移场变量有三种表示形式：

（1）向量形式

连续介质内点P 的位置用它的向径r 表示

r =x 1e 1+x 2e 2+x 3e 3

其中 e 1，e 2，e 3 是笛卡儿坐标系的单位向量。 位移场变量表示为

u =u (r )

所有的向量均用粗体字表示。

（2）张量形式

连续介质内点P 位置用张量表示为 x j ，下标j 是循环变量，j 分别取值为 1、2、3，由它表示笛卡儿坐标系内的三个坐标值。则位移场变量为

u i =u i (x j )

所有的张量均用带循环下标变量的细体字表示。

（3）矩阵形式

连续介质内点P 的位置用列阵 {x}表示，即

{x }=[x 1x 2x 3] T

这列阵又称为列向量。位移场变量可表示为

{u }=[u 1u 2u 3] T

所有的矩阵用括号括起来。

上述的三种表示形式有各自优点，它们既然表示同一个量，可以相互转换，甚至混用。

弹性动力学研究必须引入时间概念。不仅需要了解它在某个瞬时力学行为，而是必须更真实，更全面地掌握它在整个时间过程中的力学行为。瞬时将用t 表示，时间历程是从初瞬t 0（或 0）到末瞬t m （或t ）的整个时间过程，即

t ∈[t 0, t m ]

线弹性系统的各种场变量不仅是位置 P的函数，而且是时间 t的函数。例如位移场变量

u i =u i (x j , t ) x j ∈V +S ; t ∈[t 0, t m ] 动力学中各种场变量是时、空域内的函数。

§1.2 位移、变形与应变分析

1.2.1 位移与变形梯度

弹性体在不同瞬时占据空间的不同位置，形成不同的构形。为分析弹性体的位移，必须有一个参考构形。取运动开始时的初始构形为参考构形，通常它是未变形的自然构形。在某个瞬时的构形称为瞬时构形，是变形构形。弹性体上某点的位移是从初始构形上点 P 到瞬时构形上对应点p 构成的向量 u i (i =1, 2, 3) 给出，见图 1.1。

由于引入小变形线性化假设，采用以初始构形为参考构形表示弹性体位移的拉格朗日方法，则弹性体的位移场变量定义为

u i =u i (x j , t ) (1.1)

图 1.1 弹性体的位移

位移向量在欧几里德空间内选用笛卡尔坐标系描述，它的单位向量为e i ，即

u =u i e i

等式右端是张量表示形式，其中重下标变量相乘表示循环相乘求和。

在初始构形中微体是以P 点为顶点，在坐标方向e i 上取微分长度dx i 所组成的微小长方体。当弹性体发生位移后，在瞬时构形中的微体改变为以p 点为顶点的一个变形体。在第一个坐标方向上的线段 dx 1e 1 变形后为dX 1，用笛卡尔坐标系内的三个投影分量表示为：

⎧(1+u 1, 1) dx 1

d X ⎪e 1⎫⎪

1=⎨u 2,1dx 1e 2⎬

⎪⎩u 3,1dx 1e 3⎪⎭

这里 u i , j 表示的是位移分量 u i 对坐标 x j 的偏导数，即

u i , j =∂u i

∂x

j

其它二个坐标方向上有类似的公式，综合写为下表：

⎡

F =⎢1+u 1, 1u 1, 2u 1, 3⎤

⎢u 2, 11+u u ⎥

2, 22, 3

⎢⎣u 3, 1u 3, 21⎥ (1.2)

+u 3, 3⎥⎦

这个表由九个量组成的张量称为变形梯度张量。

微体的刚体平动位移是由位移 u i 给出，绕 e k 轴的刚体转动由下式给出

ωu i , j −u j , i

k =2

线段 dx i 的伸长量由 1+u i , i 给出，线段 dx i 和 dx j 的剪切变形由下式给出

εu i , j +u j , i

ij =2 (1.4) 它们由变形梯度张量完整地描绘。 (1.3)

图 1.2 变形梯度

1.2.2 微体的应变分析与几何方程

在1.2.1节变形梯度分析基础上，由小变形线性化假设，认为u i , j

而剪应变是两个相互垂直坐标轴e i 、e j 分量。线应变是沿坐标轴e i 方向的单位长度改变量εii ，

的角度改变量εij 。微体的应变分量构成为一个应变张量

⎡ε11

ε=⎢⎢ε12

⎢⎣ε13ε12ε13⎤ε22ε23⎥⎥ ε23ε33⎥⎦ (1.5)

它描述了弹性体内该处的应变状态。它的各个应变分量εij 选取不同坐标轴是取不同数值的。 根据（1.2）式及其性质，给出应变分量与位移分量的一般关系式为

εii =u i , i (1.6) 综合（1.6）和（1.4）式，得应变分量和位移分量的一般关系式为

εij =u i , j +u j , i

2

这关系式称为几何方程.

1.2.3 主应变与应变不变量

初始构形中任意方向上线段的边长为

ds =(dx i dx i ) (1.7) 由变形梯度 (1.2)式知，瞬时构形中该边长改变为 1d s ′=[(δki +u k , i )(δkj +u k , j ) dx i dx j ]=[(δij +u i , j +u j , i +u k , i u k , j ) dx i dx j ] (1.8) 其中 δij 是克罗内克(Kronecker)δ函数，当i =j 时，δij ＝1 ；当i ≠j 时，δij ＝0 。在任意方向上线段的伸长率，根据小变形线性化假设，略去位移导数的互乘项，可近似地写为

d s ′−ds (d s ′) 2−(ds ) 2

εL =≈≈εij αi αj (1.9) 2ds 2(ds )

这里 αi =dx i 是该线段的方向余弦。 ds

伸长率取极值的主值与主方向由下式决定

⎡ε11−εL ⎢ε⎢12

⎢⎣ε13ε12ε22−εL ε23⎤⎧α1⎫⎥⎪α⎪=0 (1.10) ⎥⎨2⎬⎪⎪ε33−εL ⎥⎦⎩α3⎭ε13ε23

它的主应变是由下列特征方程解出

εL 3−ΙE εL 2+ΙΙE εL −ΙΙΙ=0 (1.11) 由它解出的三个主应变设为ε1、ε2、ε3 。此方程还给出了应变的三个不变量，它们是不随坐标轴的不同选择而改变的。这三个应变不变量分别是

ΙE =ε11+ε22+ε33=ε1+ε2+ε3 (1.12) ΙΙE =ε11ε22+ε22ε33+ε33ε11+ε12ε12+ε23ε23+ε13ε13

=ε1ε2+ε2ε3+ε3ε1 (1.13)

ΙΙΙE =det(ε) =ε1ε2ε3 (1.14) 它的主方向αi 由（1.10）式给出。其线应变取极值，剪应变等于零。

1.2.4 体积变化与形状变化

微体变形造成了体积的变化。初始构形的微体体积是

dV =dx 1dx 2dx 3 瞬时构形的微体体积是

+u 1, 1

d V ′=u 1, 2

u 1, 3u 2, 1u 3, 11+u 2, 2u 3, 2dx 1dx 2dx 3 u 2, 31+u 3, 3

则它的体积改变量是

θ=d V ′−dV ≈ε11+ε22+ε33=ΙR (1.15) dV

定义偏斜应变张量为

⎡ε11−θ⎢e =⎢ε12

⎢⎣ε13ε12ε22−θ⎥ε23ε33−θ⎦ε13⎤θε23⎥=ε−ij δij (1.16) ⎥

在这种应变状态下，不发生体积改变，只导致形状改变。

1.2.5 应变协调方程 (相容性条件)

弹性体的位移函数是连续函数，保证了弹性介质的连续性。位移场唯一地确定弹性体的应变分量。反之，则不然。为保证介质的连续性，弹性体的六个应变分量是不能任意给定，六个应变分量变之间必须满足相容性条件，由几何方程(1.6) 式中消去三个位移分量后，得出应变协调方程，它保证应变分量之间的相容。有关内容可参阅弹性力学教程。

§1.3 运动与惯性分析

1.3.1 运动参考系

物体机械运动是指物体在时间过程中不断地改变它的位置和构形。机械运动都是相对的，是相对于某一个参考系而言。没有确定的参考系，就无法描述物体的运动。研究结构系统的机械运动，没有特殊的说明，一般选择地球作为参考系，把它看作固定不动，使牛顿力学成立。按牛顿力学的观点，定义相对于固定参考系的运动为绝对运动。有时为了分析的需要引入运动参考系，相对于运动参考系的运动称为相对运动。用相对运动观点分析时，必须计入运动参考

系的牵连运动及它所产生的惯性影响。

1.3.2 速度场变量与应变率

物体运动的描述是用不同瞬时的构形综合给出。在 1.2节里分析了物体的位移和应变。为完整地描述物体的运动，还必须分析物体的速度和应变率。

当给定了物体的位移场变量 u i (x i , t ) ，物体的速度场变量为

i (x i , t ) =v i (x i , t ) =u du i (x i , t ) (1.17) dt

位移与速度两者组成了弹性体的状态变量，完全确定了物体的瞬时运动状态。 在连续介质力学中，为了解物体变形的动态过程，还引入了应变率概念。应变率定义为 ij =ε

v i , j +v j , i 2 (1.18)

1.3.3 材料的惯性性质与动量

由牛顿第一定律知，物体具有惯性性质，惯性的度量是物体的质量。对于连续介质来说，描述惯性的是其质量密度，即单位体积的质量，用ρ表示。

物体的运动是相对于一定的参考系而言，在动力学分析中要求相对于一个固定参考系。若是相对于一个运动参考系，则必须考虑参考系的牵连运动。在运动参考系内分析动力学问题时必须附加牵连运动的惯性力，惯性力等于物体质量与牵连加速度的乘积。达伦培尔原理可以认为是把运动参考系固结在物体上，当加上物体运动的惯性力后物体处于静止的平衡状态。这个原理被广泛地应用于力学系统的动力学分析之中。

物体运动的度量采用动量的概念。微体动量是其质量与速度的乘积，即

dp i =ρv i dV

物体总动量是微体动量的总和

p i =∫ρv i dV (1.19)

V

§1.4 作用力、内力与应力分析

1.4.1 作用力的分类

物体的力学行为主要来自作用力。作用力的产生是有多种物理原因，有机械的、气动的、温度的等原因。这种物理原因决定了作用力的不同性质和不同量值。

作用力可按外力与内力来分。由于外部原因对物体所施加的力称为外力。物体受到外部作用，在体内各部分之间产生相互作用的力称之为内力。分析物体力学行为的一个重要内容是对内力的分析。按其分布分类，可分为体积力、面积力和集中力。体积力是在单位体积上作用的力，例如重力，惯性力等。面积力是在表面的单位面积上作用的力，例如气体压力等。集中力是一种点载荷，例如连接件的作用力等。一般地说，内力是一种面积力。

作用力的另一种分类是按主动力与约束反作用力来分。主动力是一种独立存在、在量值上与物体力学状态之间无相依关系的力。一般施加于物体上的载荷大都属于主动力。从能量观点来分析，它将作功而使能量有所变更。约束是对物体运动的一种限制。它所产生的约束反作用力将由物体运动的力学原理来确定，随着状态的不同而不同。一般认为它是理想约束，约束反作用力不作功，不耗散能量。

从能量观点来分类，作用力可分为保守力与非保守力。保守力是具有位的场变量，它所作的功与路径无关，使力学系统机械能守恒，只发生位能与动能之间的转换，而不与外界产生能量交换，构成为一种自治系统。如由于物体弹性产生的弹性力是一种保守力，理想约束反作用力也是保守力。非保守力则不然，它将对力学系统输入或耗散能量。例如施加在物体上的激振力将对力学系统输入能量，结构阻尼力将耗散能量，它们都是非保守力。

作用力的分类不是绝对的，根据分析的不同需要可作不同的分类。

1.4.2 内力与应力分析

弹性体受到外力作用不仅要产生位移和运动，而且要产生变形与内力。弹性体上作用的外力有作用在单位体积上的体积力，用 f表示。弹性体内产生的内力是作用在体内表面上的面积力，用 p表示。内力 p可分解为垂直于表面的法向分量 p n 和表面内的切向分量 p t 。此外，弹性体边界上将产生有边界力，用 t表示。它一般也是一种表面力，也分解为法向和切向两个分量。

图 1.3 应力分量

现取其微体来进行内力分析。在法向为e 1的正轴向的截面dx 2dx 3上的内力有：沿e 1方向的拉压力dp 11，沿e 2、e 3的剪切力dp 21、dp 31，它们都是取与坐标轴同向为正。在法向为e 1的负轴向的截面dx 2dx 3上有同样的内力，但取与坐标轴反向为正。其它的两对截面上可作同样的内力分析 (见图1.3)。

微体上的应力定义为单位面积上的内力。弹性体发生变形后，其构形发生变化，微体的截面积也随之改变。初始构形的截面积为 dA 23=dx 2dx 3，瞬时构形的截面积为

e 1

u 1, 3e 2u 2, 3e 3u 3, 2dx 2dx 3 1+u 3, 3′=u 1, 21+u 2, 2d A 23

′≈dA 23 ，即变形前后取同样的截面积。由于我们作了小变形线性化假设，可近似地认为 d A 23

这样，大大地简化了应力的定义。它们是

σij =dp ij

dA ij (1.20)

构成的应力张量是

⎡σ11σ12σ13⎤⎥ (1.21) σ=⎢σσσ212223⎥⎢⎢⎦⎣σ31σ32σ33⎥

其中 σii 是正应力，σij (i≠j) 是剪应力。弹性体内微体应力状态是由它的应力张量给出。弹性体应力状态是由应力场变量来描述决定。

1.4.3 主应力与应力不变量

现来分析微体任意截面上的应力，设截面外法线 n的方向余弦为 n 1，n 2, n 3,见图 1.4，截面上的总应力在直角坐标系上的分量是

σi =σij n j (1.22) 则总应力的大小是

σn =i i (1.23) 它在垂直于截面方向上的正应力为

σnn =σij n i n j (1.24) 和在截面内的剪应力为

σnl =n 2−σnn 2 (1.25) 由上列各式可见，在不同截面上应力是不同的。正应力取极值的主应力及其主方向由下式给出

⎡σ11−σn ⎢σ21⎢⎢⎣σ31

σ12σ13⎤⎧n 1⎫⎪⎪σ22−σn σ23⎥⎥⎨n 2⎬=0 (1.26)

⎪⎪σ32σ33−σn ⎥⎦⎩n 3⎭

图 1.4 任意截面上的应力

它的极值 (主应力) 是由下列特征方程给出

σn 3−ΙS σn 2+ΙΙS σn −ΙΙΙS =0 (1.27) 由它解出的三个主应力，设为σ1, σ2, σ3 。此方程也给出不随坐标轴改变的三个应力不变量

ΙS =σ11+σ22+σ33=σ1+σ2+σ3 (1.28) ΙΙS =σ11σ22+σ22σ33+σ33σ11+σ12σ21+σ23σ23+σ13σ31

=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1 (1.29)

ΙΙΙS =det(σ) =σ1σ2σ3 (1.30) 在这些主方向上，正应力取极值，剪应力等于零。

定义偏斜应力张量

θ⎤⎡σσσ−111213⎥⎢3⎥⎢θθσ22−σ23⎥=σij −δij (1.31) S =⎢σ2133⎥⎢θ⎥⎢σσσ−313233⎢3⎦⎣

其中 θ=

1(σ1+σ2+σ3) 是平均应力。 3

1.4.4 弹性体的运动方程

弹性体是由无限多个微体构成，它们应满足力学基本原理。从动力学方面来看，应满足动量定理和动量矩定理。

微体动量定理是微体动量对时间导数等于作用在微体上的力，包括作用在弹性体上的体积力f i 和截面上的内力(应力)σij 的合力。它为

d i ) =f i +σij , j (1.32) (ρu dt

这就是微分形式的动力学方程。

弹性体动量定理是弹性体总动量对时间的导数等于作用在弹性体上的外力，包括弹性体内

的体积力和边界上的表面合力。它为

d i dV =∫f i dV +∫t i dS (1.33) ρu ∫dt V V S

由（1.22）式可知，边界面S （外法线是 n j ）上的力为t i =σij n j ，将它代入上式，由奥斯特洛格拉得斯基公式可得

d i dV =∫(f i +σij , j ) dV (1.34) ρu ∫dt V V

这是积分形式的动力学方程。

微体动量矩定理是微体对某轴动量矩的时间导数等于作用在微体上的力，包括弹性体内的体积力和截面上的内力（应力），对该轴的合力矩。该方程略去高阶小量化简后，得

σij =σji (1.35) 这就是剪应力互等定理。由上分析得出，应力张量是对称张量，它只有六个独立的应变分量。

§1.5 弹性材料的本构关系

1.5.1 热力学基本定律

材料力学性能是研究连续介质力学行为的重要一环。材料力学性能是受热力学基本原理支配。物体运动时产生有动能，用T 表示。物体发生变形时将贮存有应变能，同时伴随有分子运动，将导致温度的变化，而发生热量的改变。后两种能量是发生在材料内部，称为内能，用 U i 表示。物体的内能是一个状态函数，内能的变更可用内力所作的元功表示，即

dU i =δW i

它从状态（1）到状态（2）时内能的变化等于内力所作的总功

U i (2) −U i (1) =W i (1.36) 动能与内能之和是物体所具有的总能量，用 E表示，即

E =T +U i (1.37) 热力学第一定律告诉我们：物体总能量的增减等于外力所作的功和环境所提供的热量。设环境所提供的热量为 Q，外力所作的功为 W e ，於是，热力学第一定律可表示为

dT +dU i =dW e +dQ (1.38)

热力学的一个重要概念是熵，对于可逆过程，定义如下：

dS =dQ (1.39) K

其中 K是物体的绝对温度。熵是一个状态函数，下列积分式存在

(2)

S (2) −S (1) =dQ (1.40) ∫K (1)

热力学第二定律告诉我们：物体的机械能与热能之间的互相交换永远是不可逆的，热只能从高温转向低温。物体的熵是由环境提供的熵dS e 和系统内部的熵dS i 两部分组成。热力学第二定律可表示为

dS i ≥0 (1.41) 即物体的热量自已不可能使之由冷变热，它是个不可逆过程。

1.5.2 应变能密度函数

绝热过程是当物体从一个状态转换为另一个状态时没有热量的变化，即

dQ =0 (1.42) 它的熵不变，故绝热过程是等熵过程。在绝热过程下，材料的内能只有在一个构形转换到另一个构形的变形过程中物体内力所作的功。应变能密度是单位体积的物体在变形过程中内力所作的功，是应力分量在应变分量上作的功。虚应变能密度是应力分量在虚应变分量上作的功

δU i =σij δεij (1.43) 应变能密度函数是

1U i (εij ) =σij εij (1.44) 2

它是应变分量的函数，将它在初始未变形状态附近作泰勒展开式

∂U i (0) 1∂2U i (0) U i =U i (0) +εij +εij εkl +" (1.45) ∂εij 2∂εij ∂εkl

取初始构形为零应变能状态，即U i (0) =0；它是初始未变形状态，有 U i (0) =0，则 ∂εij

U i =1C ijkl εij εkl +" (1.46) 2

等温过程是当物体从一个状态转换为另一个状态时没有温度变化，即

dK =0

(1.47)

为保持是等温状态，必须有一定的热量输入，它等于

Q =KS (1.48) 引入自由能E −KS ，在等温过程中它等于应变能。

1.5.3 弹性体的本构关系

弹性体的变形过程是一个可逆过程。它的内能（或自由能）是只与瞬时构形有关的应变能。在小变形的线性化假设下，由（1.46）式略去高阶项，得线弹性材料的本构关系

σij =C ijkl εkl (1.49) 其中 C ijkl 是材料弹性常数。它给出了材料的应力应变关系式，这是弹性动力学的物理方程。 线弹性材料的本构关系式 (1.49) 是各向异性的广义虎克定律。由于其对称性，存在有 C ijkl =C klij =C jikl =C ijlk (1.50) 其中材料弹性常数独立的仅有二十一个。

若线弹性材料具有一个对称面，设Ox l x s 是弹性对称面，这时的本构关系可写为矩阵形式

{σ}=[E ]{ε} (1.51) 其中

{σ}=[σ11σ22σ33σ12σ23σ31]T

{ε}=[ε11ε22ε33ε12ε23ε31]T

⎡C 11⎢C ⎢12

⎢C [E ]=⎢13

⎢0

⎢0⎢⎣C 16C 22C 2300C 26C 3300C 36C 44C 450⎤⎥对称⎥⎥⎥ ⎥⎥C 55⎥0C 66⎦

它共有十三个弹性常数。这种本构关系广泛地应用于层合复合材料板。

1.5.4 各向同性线弹性材料的本构关系

一般金属材料是各向同性的，它的本构关系可写为

σij =λθδij +2μεij (1.52) 其中λ、μ是表示材料性能的拉梅系数，λ>0、μ>0。从上式可推出：

（1）体积改变的本构关系

σa =K θ (1.53) 其中 K是体积模量，它等于

1K =(3λ+2μ) (1.54) 3

（2）形状改变的本构关系

σij −σa δij =2μ(εij −θδij ) (1.55) 其中μ是剪切模量，工程上通常用G 表示。

上面给出的线弹性材料本构关系是用应变分量来表示应力分量，这是刚度形式。它也可用应力分量来表示应变分量的柔度形式给出。

13

ε11=

ε22

ε33

ε12

ε23

ε311[σ11−v (σ22+σ33) ]E 1=[σ22−v (σ33+σ11) ]E 1=[σ33−v (σ11+σ22) ]E (1.56) 1=σ12G 1=σ23G 1=σ31G

其中 E是杨氏弹性模量，E > 0 ；υ是泊松比 -1≤υ≤1/2 。剪切模量 G由下式给出 G =E =μ (1.57) 2(1+v )

§1.6 弹性体动力学基本方程

1.6.1 位移形式的弹性体动力学基本方程

描述弹性体动力学行为的变量有：位移场变量 u i ，速度场变量 v i 等运动变量；应变场变量εij ，应力场变量σij 等变形内力变量。在前几节里，对这些变量从三个方面进行了分析： （1）运动学方面。主要分析位移与应变的关系，由（1.6）式给出

εij =1(u i , j +u j , i ) 2

（2）物理学方面。主要分析线弹性材料（各向同性体）的本构关系，由（1.52）式给出

σij =λθδij +2μεij （3）动力学方面。主要给出动量定理（1.32）式

σij , j +f i =d i ) (ρu dt

弹性动力学问题多数采用位移解法，因它在运动学和动力学方面分析其速度与加速度是比较方便的。现取位移场变量u (x i , t ) 为基本变量，它是三维欧几里德空间域 x i （i ＝1，2，3）

和一维时间 t域内的变量。将（1.6）式代入（1.52）式给出位移场变量表示的应力分量（本构关系），代入动量定理（1.32）式，得出用位移表示的基本方程（为便于书写，用向量形式写出）

∂2u ρ2=(λ+μ) ∇(∇⋅u ) +μ∇2u +f (1.58) ∂t

其中

∇=∂e 1∂e 2∂e 3++ (1.59) ∂x 1∂x 1∂x 1

它是时、空域内的非齐次线性偏微分方程组。在时间域和空间域内都是二阶。

1.6.2 边界条件与初始条件

弹性体动力学基本方程（1.58）是非齐次偏微分方程组，它的定解条件是空间域的边界条件和时间域的初始条件，是一个初边值问题。

（1）空间域边界条件。弹性体构形的边界用S 表示，其上给定的有两类基本边界条件。一类是位移边界条件，在边界 S u 上，它的位移值被给定为 u i ，即

u i =u i (1.60) 另一类是力的边界条件，在边界 S t 上，边界力被给定为 t i ，即

σij u j =t i (1.61) 除了上述的基本形式外，还可以有综合形式的边界条件，如弹性边界等。

（2）时间域初始条件。弹性体运动的时间历程定义在时间域 [0, t m ]。瞬时t =0是初始瞬时，其位移值u i 0和动量值ρv i 0是初始条件，即在 t＝0 时

u i =u i 0， ρv i =ρv i 0 (1.62) 有的情况下要求时端条件，即初始瞬时(t =0) 和结束瞬时(t =t m ) 的位移值

u i (0) =u i 0， u i (t m ) =u im (1.63)

1.6.3 弹性动力学的基本问题及基本解法

弹性体的动力学问题归结为偏微分方程组的初边值问题。根据有否外力作用可分为两类基本问题：一类是无外力作用的齐次偏微分方程组的边值问题，即弹性体动特性问题；一类是有外力作用的非齐次偏微分方程组的初边值问题，即弹性体动响应问题。

弹性动力学的基本解法有下列三种：

（1）分离变量法

弹性体动特性问题 (f＝0) 由下列方程给出

∂2u ρ2=(λ+μ) ∇(∇⋅u ) +μ∇2u (1.64) ∂t

由偏微分方程组（1.64）式的性质可见，它的稳态解是可以把空间变量 x i 和时间变量t 分离，采用分离变量法求解，设

u =X (x 1, x 2, x 3) T (t ) (1.65) 将它代入偏微分方程组（1.64），可得

1∂2T (λ+μ) ∇(∇⋅X ) +μ∇2X ==−ω2 (1.66) 2T ∂t ρX

上式左边只是时间变量 t的函数，右边只是空间变量的函数，则它们必等于一个常数，设为−ω2 时间域内的方程是

d 2T 2+ωT =0 (1.67) 2dt

它给出弹性体在无外力作用时的自由振动是以频率为ω的简谐振动。

空间域内的方程是

(λ+μ) ∇(∇⋅X ) +μ∇2X =−ρω2X (1.68) 归结为特征值问题，它的定解条件是弹性体的边界条件。

（2）拉氏变换法

将方程（1.58）作拉氏变换，设拉氏变量为s ，拉氏变换后的方程是

ρ(s 2u −su 0−v 0) =(λ+μ) ∇(∇⋅u ) +μ∇2u +f (1.69)

其中u 是位移函数u 的拉氏变换式。当无外载荷作用和它的初值为零，得出与（1.68）式相同的结果来分析弹性体的动特性问题。引入弹性体的初值条件可分析它的自由振动规律。弹性体的动响应问题是个非齐次线性偏微分方程组的初边值问题。经拉氏变换后，把初值条件转化为外力，得

ρs 2u −(λ+μ) ∇(∇⋅u ) −μ∇2u =f +ρsu 0−ρv 0 (1.70) 把初边值问题转化为边值问题，转化为空间域的微分方程组来进行求解。

（3）波传播法

作用在弹性体上的任意力向量f 总可分解为两部分：一是具有标量位函数P 的力向量，一是具有向量位函数R 的力向量，即

f =∇P +∇×R (1.71) 在这种情况下，它的位移解同样相应地可由两部分组成

u =∇Φ+∇×R (1.72) 于是，基本方程（1.58）化为两个方程： （a）标量方程 (梯度方程) 是无旋转的体积变化波动方程

∂2Φρ2=(λ+2μ) ∇2Φ+P (1.73) ∂t

其中 c 1=2(λ+2μ)

ρ是体积膨胀波的波速平方。 （b）向量方程（旋度方程）是无体积变化的剪切波动方程

∂2Ψρ2=μ∇2Ψ+R (1.74) ∂t

其中 c 2=2μ是剪切波的波速平方。 ρ

上列方程为初值问题，采用弹性介质中波传播法来研究弹性体动力学问题。弹性动力学问题可以灵活地采用上述的基本解法来求解。上面着重分析时间域内的解法，把时间看作连续变化的参数，分析的是时间域内的微分方程。在空间域内的解法将在后面章节作进一步的分析。