思想 高度决 定课堂深度
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华 应 龙 、 强 震 球 《角 的 度 量 》 教 学 赏 析
浙 江省 杭 州 市 长青 小 学 毕 宏 辉
《 角 的 度 量》 属 于 “ 空 间 与 图 形 ” 领 域 中关 于 操
作 技 能 方 面 的 知 识 ，内 容 相 对 比 较 枯 燥 ， 且 对 学 生 来 说 ，要 正确 掌握 操 作 技 能 具 有 一 定 难 度 。 华 应 龙 、
望 是 在 一 定 情 境 中诱 发 的 。从 学 生 的 生 活 背 景 和 认 知 经 验 看 ，学 生 并 没 有 进 行 比 较 角 的 大 小 的 直 接 经
验 ，也 没 有 量 角 的 实 际 需 求 。 角 蕴 含 在 客 观 物 体
里 ，需 要 抽 象 才 能 得 到 数 学 上 的 角 （ 顶 点 、过 顶 点 的两 条直 直 的边 、平 面 图形 ） ，所 以 在 客 观 物 体 里 很 少 能 直 接 看 到 数 学 上 的 角 ，在 静 态 中很 难 意 识 到 角 的 大 小 的 作 用 。 那 么 ，为 什 么 要 度 量 角 的 大 小
强震 球两位 老师演 绎 的 《 角 的 度 量 》 给 技 能 教 学 带
来 了 新 的 思 考 。 研 读 他 们 的 课 ，我 深 深 地 被 那 充 满 思 考 与 智 慧 的 课 堂 所 吸 引 。 他 们 将 操 作 技 能 的 教 学 与 数 学 思 想 的 开 启 完 美 结 合 ，是 思 想 的 高 度 让 课 堂 有 了深 度 。
一
呢 ？ 怎 样 在 实 际 生 活 情 境 中 让 学 生 感 受 角 的 大 小 的
作 用呢？ ・
、
简单的情境不 “ 简单”
华应 龙老 师首 先 呈现 了 两个 角度 不 同 的滑 梯 ，
人 的 行 为 都 是 由 动 机 引 起 的 ，而 人 的 动 机 、欲
让 学 生 选 择 喜 欢 玩 的 滑 梯 。 接 着 ，画 了第 三 个 滑 梯
的 中位 数 的 求 法 。 ］
数 据 的意 识 。 ］
三、 灵 活应 用，升华认知
１ ． 创设 情境 ：小 东是 个勤 奋 的 孩 子 ，这 学 期前 四
单元 数 学测 试成 绩 （ 课 件 出示 ）分 别是 ９ ９分 、９ ２
５ ． 课 件 出示 小 东 参 加 学 校 的小 歌 星 比 赛 和 运 动 会
跳远 比赛 的成 绩 ：①参 加小歌 星比赛 ，７ 个 评委依次
打 分为 ８ ０分 、 ９ ５分 、 ８ ９分 、９ ２分 、 ８ ９分 、９ ４分 、
９ １ 分 。 ② 跳 远 比赛 跳 了 ６次 ，成 绩 依 次 为 ３ ． ６米 、 ２ ． ９米 、４ ． ２米 、３ ． ９米 、４ ． ４米 、４ ． １ 米。
分 、９ ５ 分 、９ ７分 。 小东 第 五 单 元考 试 可 能 考 多少 分 ？ ２ ． 思 考 ：如 果 他 考 了 ９ ３分 ，老 师 该 用 什 么 数 据 评 价 他 的 数 学 水 平 比较 合 适 ？ ３ ． 讨 论 ：第 五次 他 带 病考 试 ， 结 果 只 考 了 ４ ７ 分 。 这 时 用 哪 个 数 据 代 表 他 的数 学 水 平
更 合 适 ？ ４ ． 小结 ：对 于相 同 的 数 据 ，我 们 从 不 同 的 角度 观 察 可 能 得 到 不 同的 结 果 。
ｆ 当数 据 呈 正 常 分 布 即 没 有 极 端 数 据 影 响 时 ．平 均 数 、 中位 数 在 反 应 一 组 数 据 的 整 体 特 征 上 是 一 致 的 ： 当平 均 数 受极 端 数 据 影 响 ，教 师 应 引 导 学 生 从
６ ． 讨 论 ：① 你 认 为 用这 组 数 据 的 哪个 数作 为 小 东 的 赛 歌 最 终 得 分 比较 合 理 ？ ② 你 认 为 裁 判 会 用 哪 个 数 据 代 表 小 东 的 跳 远 比 赛 成 绩 呢 ？ ③ 在 计 算 平 均 分
时 ，通 常 都 去 掉 最 高分 、最 低 分 ，这 样 有 什 么好 处 ？ ７ ． 小 结 ：我们 在 应 用 中要 具体 数据 具 体 分 析 ，
具 体 问题 具 体 对 待 ， 只 选 最 合 适 的 统 计 量 描 述 数 据
的特 征 。
［ 此 时 呈 现 其 他 统 计 量 的使 用 情 境 ， 可 以 避 免 学 生 思 维定 式 ，也 可 以 帮 助 学 生 辩 证 地 认 识 各 种 统 计
不 同 角 度 分 析 并 得 出相 应 结 论 ，培 养 学 生 灵 活 分 析
量的价值。 ］ｒ 三 是
辐 Ｊ Ｌ 教 １ ｌ １
（ 几乎垂 直于地面 ） ，让 学 生 发 现 安全 的滑 梯 需 要 一
是 一 步 到 位 ，而 是 逐 渐 形 成 ， 经 历 五 个 环 环 紧 扣 、 层 层 设 伏 的 阶段 （ 如 下 图所 示 ） ：先 由角 的 大 小 的 意
个 合 适 的角 度 ，从 而 弓 ｌ 出课 题 。 这 一 简 单 的 情 境 符
合 学 生 的生 活 经 验 ，体 现 了 角 的 大 小 的作 用 ，造 成 学 生 思 维 上 的 对 比 与 冲 突 ，让 学 生 强 烈 地 感 受 到 角 的 大 小 是 影 响 下 滑 速 度 的 重 要 因 素 ，从 而 产 生 量 角 的需要。
强震 球老 师巧 妙 地利 用学 生 喜爱 玩 的 “ 射击”
游 戏 创 设 情 境 ，既 有 生 活 味 ，又 充 满 数 学 味 。学 生 尝试这 种游戏 ， ’ 在 大 炮 角 度 的 调 整 中 、在 击 中 目标 的 激 动 中 ，初 步 明 确 了 角 度 的 重 要 性 ， 同 时 产 生 了 学 习 角 度 知 识 的 心 理 需 求 。 课 伊 始 ，强 老 师 先 利 用
一
活 动角 的变化复 习了 “ 角 的 大 小 指 的 是 角 的 两 条 边
叉 开的大小 ” ，激 活 了 学 生 关 于 角 的 大 小 的 旧知 ，为
义 引 出 可 用单 位 小 角来 度 量 角 的 大 小 ，再 由 单 位 小 角使 用 的不便 引 出要 把单 位小 角合 并 为半 圆工 具 ， 这 一阶 段 突 出了量 角器 的本 质——单 位 角 的集合 ， 强化 了用 “ 简 易 量 角 器 ” 测 量 角 的 大 小 的 方 法 ；接 着 由 半 圆 工 具 度 量 不 准 确 引 出 要 把 单 位 小
角 分 得 更 细 些 ，从 而 引 出 角 的 计 量 单 位 “ 度” ，将 １ ８ ０个 １ 。 角 组合 而 成 的半 圆 工具 简 化 就 成 了 “ 半 成 品 的 量 角 器” ；最 后 ， 由细 分 后 的 半 圆 工 具 测 量 时 读 数 不 便 引
用 单 位 角 测 量 角 的 大 小 作 铺 垫 ；再 利 用 “ 活动角”
比 较 两 个 角 的 大 小 ，为 用 量 角 器 测 量 角 的 大 小 作 了 方 法 上 的 孕 伏一 “ 点 对 点 ，边 对 边 ” 。
由此 可 见 ，两 位 老 师 创 设 的 情 境 看 似 简 单 ， 却 蕴 藏 着 深 刻 的 思考 。他 们 把 为 什 么 要 学 习 的 “ 知 情
权 ” 还 给 了学 生 ，让 学 生 将 关 注 点 聚 焦 到 “ 角度”
的 大 小 上 。 当 学 生 发 现 角 的 大 小 是 影 响 倾 斜 度 的 关 键 因 素 、知 道 大 炮 的 角 度 影 响 着 射 击 的 命 中 率 、 知 道 只 有 准 确 地 测 量 角 的 度 数 才 能 有 效 地 刻 画 角 的 大
小 ，学 习 的必 要 性 也 就 不 言 自 明。
出 要 加 刻 度 ，在 读 刻 度 的 专 项 训 练 中 引 导 学 生 感 悟 到 需 要 两 圈 刻 度 ，从 而 引 出 了 一 个 完 整 的 量 角 器 。 整 个 过 程 追 踪 了 量 角 器 设 计 者 的 思 考 轨 迹 ，凸 显 矛
盾 冲 突 ，促 进 学 生 深 入 思 考 ，将 量 角 器 的 每 次 “ 渐 变 ”赋 予 “ 现 实需 要 ” ，展 示 了 知 识 的 形 成 过 程 ，让 学 生理 解 “ 量 角 器 的 本 质 ”— — “ 单 位 小 角 ” 的 集
二 、复杂的量 角器不 “ 复杂”
量 角 器 是 一 个 结 构 复 杂 的 测 量 工 具 。 首 先 ，从
本 质 上 讲 ，量 角 器 是 测 量 单 位 的 集 合 ， 由 于 度 量 角 的基本 单位 “ １ 。 角 ” 实 在 太 小 ，因 此 在 量 角 器 上 难
以 反 映 ，量 角 器 的 制 作 者 一 般 都 把 量 角 器 中 的 １ 。 分
割 线 去 掉 大 部 分 ，只 留 下 沿 着 圆 周 的 一 些 刻 度 ， 因 此学 生在 量角 器上找 不到基 本单 位角—— １ 。 角 。 其 次 ，量 角 器 上 有 很 多 抽 象 的 数 学 概 念 ，如 中 心 点 、 Ｏ 刻 度 线 、 内外 圈 刻度 。 学 生 不 理 解 量 角 器 上 为 什 么 会 有 那 么 多 的 小 格 ，为 什 么 要 标 上 里 一 圈 外 一 圈 的 刻 度 。 再 次 ，量 角 器 曲边 上 的 刻 度 （ 不 是 每 个 刻 度
《 鼍 Ｉ
合 ，理 解 “ 量 角 方 法 的 本 质 ”— — 看 被 测 对 象 中 含
有 多少 个 “ 单位 小 角 ” 。 整 节 课 ，学 生 的 角 色 从 “ 量 角 器 的使 用 者 ”转 换 为 “ 量 角器 的 制 作 者 ” ，在 “ 设 计 ” 量 角 器 的 活 动 中掌 握 量 角 器 的 结 构 和 设 计 原
理 ， 在建 构 工 具 的 同 时建 构 了量 角 的方 法 。 华应 龙 老 师 独 具 匠心 地 让 学 生 在 “ 纸 质量角器 ” 上通过 “ 画角 ” 认 识 量 角 器 。 在 华 老 师 看 来 ， 角 的 度量 的本质就 是所要 测量 的角与 “ 标准 的角 ” （ 已 经知道大小 的 “ 角” ）重 合 ， 而理 解 “ 角 的度 量 ”本 质 的 一 个 困难 就 是 学 生 看 不 到 量 角 器 上 的 角 （ 标 准
都 与 中心 点 相 连 ） 与 直 尺 上 的 刻 度 很 相 近 ，使 用 直 尺 的 经 验 加 深 了学 生 对 曲 边 的 关 注 ，从 而 忽 略 了量
角 器 上 的 其 他 刻 度 线 ，导 致 很 多 学 生 不 知 道 刻 度 线 有 什 么 用 。 最 后 ，学 生 手 中 的 量 角 器 “ 千奇百 怪 ” ， 尤 其 是 中部 镂 空 的 量 角 器 更 是 让 学 生 无 所 适 从 。 量
的角 ） 。 如 果 学 生 能 在 量 角器 上 清 晰 地 找 到 角 ，量 角
也 就 迎 刃 而 解 。 了 解 了 学 生 学 习 的 困 难 ，华 老 师 “ 该 出手 时 就 出手 ” ，设 计 有 效 的 教 学 活 动 （ 让 学 生 在 “ 纸 质 量 角 器 ” 上 四次 “ 画 ” 角 ） 并 进 行 适 当 的 点拨 、引导 。对 ９ Ｏ 。 、６ ０ 。 、１ 。 、１ ５ ７ 。 这 四 个 角 度 的
角 器 的 高 度 简 约 化 、 智 慧 化 、 截 面 化 和 学 生 的 已 有 经 验 之 间 的 矛 盾 使 学 生 对 于 量 角 器 本 质 的 理 解 产 生 了障 碍 ，使 量 角 器 变 成 一 个 复 杂 的 测 量 工 具 。
在 强震球 老师 的课堂 上 ， “ 成 品 的量 角 器 ”不
设 计 ，华 老 师 精 心 安 排 ，使 每 个 角 度 都 有 独 特 的 目
标 。例 如为 了突破 “ ０刻 度 线 ” 和 “ 内外 圈 刻度 ” 这 一 教 学 难 点 ，华 老 师 在 反 馈 画 ６ ０ 。 角 的 活 动 时 这
样展开 ：
１ １ ２辐 止 敏 ｛２ ０ １ ３ ． １ 、 ２
师 （ 同时展 示两个 ６ ０ 。 的角 ） ：哎 ，这 两 个 角 不
同在 哪里 ？
华 老 师 两 次 安 排 量 角 。 第 一 次 在 引 出量 角 器 后 ，
让 学 生 尝 试 量 一 量 ，暴 露 了学 生 真 实 的 测 量 困 难 ：
生 ：不一 样 的 是方 向 ，一个 向 左 ，一 个 向 右 。 师 ：说得 真好 ！ 同学们 注意到 了量角器上 有两条 一
生 ：０刻 度 线 。 师 ：一 个 向 左 的 ，一 个 向 右 的 。 找 到 了 吗 ？
生 ：找 到 了 。
量 角 器 的 刻 度 是 半 圆 的 ，怎 么 放 ？ 量 角 器 的 刻 度 有 两排 ，怎 么 读 ？ 量 角 器上 有 这 么 多 刻度 ，有 什 么 用 ？
第二次在 学生 “ 画 ” 角 认 识 了 量 角 器 后 ，先 让 学 生 测 量 一个 开 口
向 右 两 条 边 比较 短 的 ５ ０ 。 的 角 ，再 让 学 生 测量 一 个 开 口 向左 两 条边 比 较 长 的 ５ ０ 。 的 角 ，并 引 导 学 生 通 过 比较 ，发 现 ：量 角 的 实 质 就 是 将 量 角 器 上 的 角 与要 测 量 的 角 重 合 ：测 量 不 同 方 向 的 角 与 量
师 ：孩 子 们 ，我 们 一 起 来 看 这 个 同学 画 的 ６ ０ 。 的 角。 （ 实 物 投 影展 示 画 法 。 ）这个 ６ ０ 。 的 角 画得 怎 么
样 呢？
生 ：这 是 １ ２ ０ 。 。
角 器摆 放 的 联 系 与 区别 ：角 的 大 小 与 边 的 长 短 无 关 。
整 节 课 ，华 老 师 变 “ 全 盘 授 予 ”为 “ 相机 诱导 ” ，让
师 ：觉 得 画 的 是 １ ２ ０ 。 的同学请 举 手。 （ 绝大多
数 学 生举 起 了手 。 ）
学 生 先 试 、 先 量 、 先 想 、 先 说 ，充 分 肯 定 学 生 正 确
的做 法 ， 与 学 生 一 起 探 讨 存 在 的 问 题 ，让 学 习 活 动 顺 着 学 生 学 习 的规 律 展 开 。 在 强 震 球 老 师 的 课 堂 上 ， 量 角 与 制 造 量 角 器 紧
师 ：不 过 ，我 觉 得 这 个 同 学 画 得 有 道 理 。 这 里 不是标 着 ６ ０ 。 吗？ 生 ： 因为 从 右 面 开 始 画 ，应 该 … …
密结 合 ， “ 量 角 的本 质 就 是 看 被 测 量 的 角 中 包 含 多 少 个 单 位 角 ” 的 数 学 思 想 贯 穿 始 终 。 教 学 中 ，强 老 师特 意 安排 学 生 用 “ 简 易 量 角 器 ”测 量 三 个 角 。
“ 简 易 量角 器 ”与 “ 成 品 量 角 器 ”相 比 ，具 有 线 条
在 认 知＞ 中突 中 ，学 生 自主 探 究 量 角 器 的 结 构 ，
真 正理解 了 “ 中心 点 ” “ ０刻 度 线 ” “ 内外 圈 刻 度 ”
存 在 的合 理 性 与精 妙 性 。
建 构 主义 理论 强 调 ，学生 对 知识 的 主 动探 索 、 主 动 发 现 和 对 所 学 知 识 意 义 的 主 动 建 构 的 过 程 是 “ 不 平 衡 ”到 “ 平 衡 ” 的 不 断 反 复 的 过 程 。在 对 量 角 器 的 认 识 中 ，两 位 老 师都 让 学 生 深 深 地 感 受 到 量 角
稀 疏 便 于 数 、 无 刻 度 只 能 数 、 无 缺 省 可 以 数 的三 个
特 点 ，正 因 为 有 这 三 个 特 点 ，用 “ 简 易 量 角 器 ” 学
习量角 就有 了非常 大 的优 势 ：一是 方法 容 易学 会 ， 二 是 能 够 突 出 量 角 器 和 量 角 方 法 的 本 质 ，三 是 有 效
地 化 解 了难 点 。 有 了这 样 的 测 量 体 验 ， 用 “ 成 品 的 量角 器”去测量 角的大小也就 水到渠成 了。 在 课 堂 中 ，两 位 教 师 没 有 过 多 的 示 范 ， 学 生 也
器 上 的每 个 细 节 都 是 “ 现 实的需要 ” ，让 复 杂 的 量
角
器不再 “ 复杂 ” 。
三 、抽象的量角不 “ 抽象 ”
用量 角 器 度 量 角 的 大 小 是 一 件 很 抽 象 的 事 。 学 生 最 初 使 用 量 角 器 时 ，往 往 将 被 量 角 的顶 点 放 在 量
没 有一 味地 模仿 ，掌握 量 角技 能 的过程 精彩 纷 呈 。 他 们 的课 堂 注 重 从 学 生 的 经 验 出 发 ，从 “ 真 刀真枪 ”
的 问题 开 始 ，通 过 鼓 励 学 生使 用 自创 的 工 具 和 单 位 ， 逐 步 导 向规 范 的 工 具 和 单 位 ，引 导 学 生 多 角 度 摸 索 测 量 的 方 法 ，逐 步 从 不 正 规 的 测 量 单 位 和 方 法 一 步
角 器 的 圆 弧 上 ， 而 且 常 常 分 辨 不 清 该 看 外 圈 刻 度 还 是 看 内 圈 刻 度 。 尽 管 有 些 教 师 在 教 学 中简 要 概 括 出 了 “ 二合一 看 ” “ 零 度 刻 度 线 在 左 边 看 外 圈 ， 零 度
刻 度 线 在 右 边 看 内 圈 ”等 口诀 ，但 学 生 还 是 不 会 量
步 接 近 直 至 能 够 科 学 地 度 量 ，让 抽 象 的 量 角 活 动 不
再 “ 抽象 ” 。
角 。 究 其 原 因 ，一 是 先 前 学 习 量 长 度 时 形 成 的 “ 一
克莱 因说 ： “ 数 学是一 种精神 ，一种 理性 的精
神。 ” 只 有 真 正 理 解 数 学 的 内在 价 值 、 本 质 含 义 ，才
能 把 儿 童 吸 引 到 数 学 的世 界 之 中 ，只 有 真 正 理 解 了 数 学 ，教 师 的教 育 理 念 才 能 得 以 升 华 ，才 能 让 学 生
端对 齐 、从 头量起 ” 的操 作定 式 的负迁移 干扰 ，量
角 器 曲 边 上 的 刻 度 与 直 尺 上 的 刻 度 相 近 ， 使 用 直 尺
的 经 验 加 深 了 学 生 对 曲边 的 关 注 ， 而 忽 略 了 量 角 器 上 的 其 他 刻 度 线 ；二 是 量 角 的本 质 就 是 “ 用 量 角 器 上 的角 去重 合被 量 的 角 ” ，当学 生 用 “ 角 ” 测 量 角
时 ，往 往 不 知 道 怎 样 才 能 使 量 角 器 上 的 “ 角 ” 与 所
体 会 到 数 学 的 无 穷 魅 力 ，从 而 享 受 数 学 学 习 的快 乐 。
可见 ，一堂数学 课能 打动 人的并 不仅仅 是教 师的教
学 艺 术 ，课 堂 中 所 蕴 含 的 思 想 、 理 念 更 能 吸 引 参 与
度 量 的 角 重合 。 “ 二 合 一 看 ”等 操作 要 诀 看似 简 洁 ， 其 实 对 学 生 来 说 ，要 想 象 出 这 四 个 字 背 后 的 内 涵 很 难 。 教 师 附 加 的 认 知 负 荷 反 而 挤 压 了学 生 认 知 的 生 成 空 间 ，阻 挠 了学 生 自 由的 “ 呼吸 ” 。
者。两位 名 师演绎 的 《 角的度 量》 的精彩课 堂 ，处
理 的 思路 有 所 不 同 ，但 对 技 能 教 学 背 后 所 蕴 藏 的 数 学 本 质 的 思 考 相 近 ，他 们 的 处 理 源 于 经 验 ，
源 于 见 识 ，更 源 于他 们 对 数学 本 质 的独 特 理 解 。 三
２ ０ １ ３ ． １ 、 ２磊 上 敬 ｛ １ １ ３
思想 高度决 定课堂深度
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华 应 龙 、 强 震 球 《角 的 度 量 》 教 学 赏 析
浙 江省 杭 州 市 长青 小 学 毕 宏 辉
《 角 的 度 量》 属 于 “ 空 间 与 图 形 ” 领 域 中关 于 操
作 技 能 方 面 的 知 识 ，内 容 相 对 比 较 枯 燥 ， 且 对 学 生 来 说 ，要 正确 掌握 操 作 技 能 具 有 一 定 难 度 。 华 应 龙 、
望 是 在 一 定 情 境 中诱 发 的 。从 学 生 的 生 活 背 景 和 认 知 经 验 看 ，学 生 并 没 有 进 行 比 较 角 的 大 小 的 直 接 经
验 ，也 没 有 量 角 的 实 际 需 求 。 角 蕴 含 在 客 观 物 体
里 ，需 要 抽 象 才 能 得 到 数 学 上 的 角 （ 顶 点 、过 顶 点 的两 条直 直 的边 、平 面 图形 ） ，所 以 在 客 观 物 体 里 很 少 能 直 接 看 到 数 学 上 的 角 ，在 静 态 中很 难 意 识 到 角 的 大 小 的 作 用 。 那 么 ，为 什 么 要 度 量 角 的 大 小
强震 球两位 老师演 绎 的 《 角 的 度 量 》 给 技 能 教 学 带
来 了 新 的 思 考 。 研 读 他 们 的 课 ，我 深 深 地 被 那 充 满 思 考 与 智 慧 的 课 堂 所 吸 引 。 他 们 将 操 作 技 能 的 教 学 与 数 学 思 想 的 开 启 完 美 结 合 ，是 思 想 的 高 度 让 课 堂 有 了深 度 。
一
呢 ？ 怎 样 在 实 际 生 活 情 境 中 让 学 生 感 受 角 的 大 小 的
作 用呢？ ・
、
简单的情境不 “ 简单”
华应 龙老 师首 先 呈现 了 两个 角度 不 同 的滑 梯 ，
人 的 行 为 都 是 由 动 机 引 起 的 ，而 人 的 动 机 、欲
让 学 生 选 择 喜 欢 玩 的 滑 梯 。 接 着 ，画 了第 三 个 滑 梯
的 中位 数 的 求 法 。 ］
数 据 的意 识 。 ］
三、 灵 活应 用，升华认知
１ ． 创设 情境 ：小 东是 个勤 奋 的 孩 子 ，这 学 期前 四
单元 数 学测 试成 绩 （ 课 件 出示 ）分 别是 ９ ９分 、９ ２
５ ． 课 件 出示 小 东 参 加 学 校 的小 歌 星 比 赛 和 运 动 会
跳远 比赛 的成 绩 ：①参 加小歌 星比赛 ，７ 个 评委依次
打 分为 ８ ０分 、 ９ ５分 、 ８ ９分 、９ ２分 、 ８ ９分 、９ ４分 、
９ １ 分 。 ② 跳 远 比赛 跳 了 ６次 ，成 绩 依 次 为 ３ ． ６米 、 ２ ． ９米 、４ ． ２米 、３ ． ９米 、４ ． ４米 、４ ． １ 米。
分 、９ ５ 分 、９ ７分 。 小东 第 五 单 元考 试 可 能 考 多少 分 ？ ２ ． 思 考 ：如 果 他 考 了 ９ ３分 ，老 师 该 用 什 么 数 据 评 价 他 的 数 学 水 平 比较 合 适 ？ ３ ． 讨 论 ：第 五次 他 带 病考 试 ， 结 果 只 考 了 ４ ７ 分 。 这 时 用 哪 个 数 据 代 表 他 的数 学 水 平
更 合 适 ？ ４ ． 小结 ：对 于相 同 的 数 据 ，我 们 从 不 同 的 角度 观 察 可 能 得 到 不 同的 结 果 。
ｆ 当数 据 呈 正 常 分 布 即 没 有 极 端 数 据 影 响 时 ．平 均 数 、 中位 数 在 反 应 一 组 数 据 的 整 体 特 征 上 是 一 致 的 ： 当平 均 数 受极 端 数 据 影 响 ，教 师 应 引 导 学 生 从
６ ． 讨 论 ：① 你 认 为 用这 组 数 据 的 哪个 数作 为 小 东 的 赛 歌 最 终 得 分 比较 合 理 ？ ② 你 认 为 裁 判 会 用 哪 个 数 据 代 表 小 东 的 跳 远 比 赛 成 绩 呢 ？ ③ 在 计 算 平 均 分
时 ，通 常 都 去 掉 最 高分 、最 低 分 ，这 样 有 什 么好 处 ？ ７ ． 小 结 ：我们 在 应 用 中要 具体 数据 具 体 分 析 ，
具 体 问题 具 体 对 待 ， 只 选 最 合 适 的 统 计 量 描 述 数 据
的特 征 。
［ 此 时 呈 现 其 他 统 计 量 的使 用 情 境 ， 可 以 避 免 学 生 思 维定 式 ，也 可 以 帮 助 学 生 辩 证 地 认 识 各 种 统 计
不 同 角 度 分 析 并 得 出相 应 结 论 ，培 养 学 生 灵 活 分 析
量的价值。 ］ｒ 三 是
辐 Ｊ Ｌ 教 １ ｌ １
（ 几乎垂 直于地面 ） ，让 学 生 发 现 安全 的滑 梯 需 要 一
是 一 步 到 位 ，而 是 逐 渐 形 成 ， 经 历 五 个 环 环 紧 扣 、 层 层 设 伏 的 阶段 （ 如 下 图所 示 ） ：先 由角 的 大 小 的 意
个 合 适 的角 度 ，从 而 弓 ｌ 出课 题 。 这 一 简 单 的 情 境 符
合 学 生 的生 活 经 验 ，体 现 了 角 的 大 小 的作 用 ，造 成 学 生 思 维 上 的 对 比 与 冲 突 ，让 学 生 强 烈 地 感 受 到 角 的 大 小 是 影 响 下 滑 速 度 的 重 要 因 素 ，从 而 产 生 量 角 的需要。
强震 球老 师巧 妙 地利 用学 生 喜爱 玩 的 “ 射击”
游 戏 创 设 情 境 ，既 有 生 活 味 ，又 充 满 数 学 味 。学 生 尝试这 种游戏 ， ’ 在 大 炮 角 度 的 调 整 中 、在 击 中 目标 的 激 动 中 ，初 步 明 确 了 角 度 的 重 要 性 ， 同 时 产 生 了 学 习 角 度 知 识 的 心 理 需 求 。 课 伊 始 ，强 老 师 先 利 用
一
活 动角 的变化复 习了 “ 角 的 大 小 指 的 是 角 的 两 条 边
叉 开的大小 ” ，激 活 了 学 生 关 于 角 的 大 小 的 旧知 ，为
义 引 出 可 用单 位 小 角来 度 量 角 的 大 小 ，再 由 单 位 小 角使 用 的不便 引 出要 把单 位小 角合 并 为半 圆工 具 ， 这 一阶 段 突 出了量 角器 的本 质——单 位 角 的集合 ， 强化 了用 “ 简 易 量 角 器 ” 测 量 角 的 大 小 的 方 法 ；接 着 由 半 圆 工 具 度 量 不 准 确 引 出 要 把 单 位 小
角 分 得 更 细 些 ，从 而 引 出 角 的 计 量 单 位 “ 度” ，将 １ ８ ０个 １ 。 角 组合 而 成 的半 圆 工具 简 化 就 成 了 “ 半 成 品 的 量 角 器” ；最 后 ， 由细 分 后 的 半 圆 工 具 测 量 时 读 数 不 便 引
用 单 位 角 测 量 角 的 大 小 作 铺 垫 ；再 利 用 “ 活动角”
比 较 两 个 角 的 大 小 ，为 用 量 角 器 测 量 角 的 大 小 作 了 方 法 上 的 孕 伏一 “ 点 对 点 ，边 对 边 ” 。
由此 可 见 ，两 位 老 师 创 设 的 情 境 看 似 简 单 ， 却 蕴 藏 着 深 刻 的 思考 。他 们 把 为 什 么 要 学 习 的 “ 知 情
权 ” 还 给 了学 生 ，让 学 生 将 关 注 点 聚 焦 到 “ 角度”
的 大 小 上 。 当 学 生 发 现 角 的 大 小 是 影 响 倾 斜 度 的 关 键 因 素 、知 道 大 炮 的 角 度 影 响 着 射 击 的 命 中 率 、 知 道 只 有 准 确 地 测 量 角 的 度 数 才 能 有 效 地 刻 画 角 的 大
小 ，学 习 的必 要 性 也 就 不 言 自 明。
出 要 加 刻 度 ，在 读 刻 度 的 专 项 训 练 中 引 导 学 生 感 悟 到 需 要 两 圈 刻 度 ，从 而 引 出 了 一 个 完 整 的 量 角 器 。 整 个 过 程 追 踪 了 量 角 器 设 计 者 的 思 考 轨 迹 ，凸 显 矛
盾 冲 突 ，促 进 学 生 深 入 思 考 ，将 量 角 器 的 每 次 “ 渐 变 ”赋 予 “ 现 实需 要 ” ，展 示 了 知 识 的 形 成 过 程 ，让 学 生理 解 “ 量 角 器 的 本 质 ”— — “ 单 位 小 角 ” 的 集
二 、复杂的量 角器不 “ 复杂”
量 角 器 是 一 个 结 构 复 杂 的 测 量 工 具 。 首 先 ，从
本 质 上 讲 ，量 角 器 是 测 量 单 位 的 集 合 ， 由 于 度 量 角 的基本 单位 “ １ 。 角 ” 实 在 太 小 ，因 此 在 量 角 器 上 难
以 反 映 ，量 角 器 的 制 作 者 一 般 都 把 量 角 器 中 的 １ 。 分
割 线 去 掉 大 部 分 ，只 留 下 沿 着 圆 周 的 一 些 刻 度 ， 因 此学 生在 量角 器上找 不到基 本单 位角—— １ 。 角 。 其 次 ，量 角 器 上 有 很 多 抽 象 的 数 学 概 念 ，如 中 心 点 、 Ｏ 刻 度 线 、 内外 圈 刻度 。 学 生 不 理 解 量 角 器 上 为 什 么 会 有 那 么 多 的 小 格 ，为 什 么 要 标 上 里 一 圈 外 一 圈 的 刻 度 。 再 次 ，量 角 器 曲边 上 的 刻 度 （ 不 是 每 个 刻 度
《 鼍 Ｉ
合 ，理 解 “ 量 角 方 法 的 本 质 ”— — 看 被 测 对 象 中 含
有 多少 个 “ 单位 小 角 ” 。 整 节 课 ，学 生 的 角 色 从 “ 量 角 器 的使 用 者 ”转 换 为 “ 量 角器 的 制 作 者 ” ，在 “ 设 计 ” 量 角 器 的 活 动 中掌 握 量 角 器 的 结 构 和 设 计 原
理 ， 在建 构 工 具 的 同 时建 构 了量 角 的方 法 。 华应 龙 老 师 独 具 匠心 地 让 学 生 在 “ 纸 质量角器 ” 上通过 “ 画角 ” 认 识 量 角 器 。 在 华 老 师 看 来 ， 角 的 度量 的本质就 是所要 测量 的角与 “ 标准 的角 ” （ 已 经知道大小 的 “ 角” ）重 合 ， 而理 解 “ 角 的度 量 ”本 质 的 一 个 困难 就 是 学 生 看 不 到 量 角 器 上 的 角 （ 标 准
都 与 中心 点 相 连 ） 与 直 尺 上 的 刻 度 很 相 近 ，使 用 直 尺 的 经 验 加 深 了学 生 对 曲 边 的 关 注 ，从 而 忽 略 了量
角 器 上 的 其 他 刻 度 线 ，导 致 很 多 学 生 不 知 道 刻 度 线 有 什 么 用 。 最 后 ，学 生 手 中 的 量 角 器 “ 千奇百 怪 ” ， 尤 其 是 中部 镂 空 的 量 角 器 更 是 让 学 生 无 所 适 从 。 量
的角 ） 。 如 果 学 生 能 在 量 角器 上 清 晰 地 找 到 角 ，量 角
也 就 迎 刃 而 解 。 了 解 了 学 生 学 习 的 困 难 ，华 老 师 “ 该 出手 时 就 出手 ” ，设 计 有 效 的 教 学 活 动 （ 让 学 生 在 “ 纸 质 量 角 器 ” 上 四次 “ 画 ” 角 ） 并 进 行 适 当 的 点拨 、引导 。对 ９ Ｏ 。 、６ ０ 。 、１ 。 、１ ５ ７ 。 这 四 个 角 度 的
角 器 的 高 度 简 约 化 、 智 慧 化 、 截 面 化 和 学 生 的 已 有 经 验 之 间 的 矛 盾 使 学 生 对 于 量 角 器 本 质 的 理 解 产 生 了障 碍 ，使 量 角 器 变 成 一 个 复 杂 的 测 量 工 具 。
在 强震球 老师 的课堂 上 ， “ 成 品 的量 角 器 ”不
设 计 ，华 老 师 精 心 安 排 ，使 每 个 角 度 都 有 独 特 的 目
标 。例 如为 了突破 “ ０刻 度 线 ” 和 “ 内外 圈 刻度 ” 这 一 教 学 难 点 ，华 老 师 在 反 馈 画 ６ ０ 。 角 的 活 动 时 这
样展开 ：
１ １ ２辐 止 敏 ｛２ ０ １ ３ ． １ 、 ２
师 （ 同时展 示两个 ６ ０ 。 的角 ） ：哎 ，这 两 个 角 不
同在 哪里 ？
华 老 师 两 次 安 排 量 角 。 第 一 次 在 引 出量 角 器 后 ，
让 学 生 尝 试 量 一 量 ，暴 露 了学 生 真 实 的 测 量 困 难 ：
生 ：不一 样 的 是方 向 ，一个 向 左 ，一 个 向 右 。 师 ：说得 真好 ！ 同学们 注意到 了量角器上 有两条 一
生 ：０刻 度 线 。 师 ：一 个 向 左 的 ，一 个 向 右 的 。 找 到 了 吗 ？
生 ：找 到 了 。
量 角 器 的 刻 度 是 半 圆 的 ，怎 么 放 ？ 量 角 器 的 刻 度 有 两排 ，怎 么 读 ？ 量 角 器上 有 这 么 多 刻度 ，有 什 么 用 ？
第二次在 学生 “ 画 ” 角 认 识 了 量 角 器 后 ，先 让 学 生 测 量 一个 开 口
向 右 两 条 边 比较 短 的 ５ ０ 。 的 角 ，再 让 学 生 测量 一 个 开 口 向左 两 条边 比 较 长 的 ５ ０ 。 的 角 ，并 引 导 学 生 通 过 比较 ，发 现 ：量 角 的 实 质 就 是 将 量 角 器 上 的 角 与要 测 量 的 角 重 合 ：测 量 不 同 方 向 的 角 与 量
师 ：孩 子 们 ，我 们 一 起 来 看 这 个 同学 画 的 ６ ０ 。 的 角。 （ 实 物 投 影展 示 画 法 。 ）这个 ６ ０ 。 的 角 画得 怎 么
样 呢？
生 ：这 是 １ ２ ０ 。 。
角 器摆 放 的 联 系 与 区别 ：角 的 大 小 与 边 的 长 短 无 关 。
整 节 课 ，华 老 师 变 “ 全 盘 授 予 ”为 “ 相机 诱导 ” ，让
师 ：觉 得 画 的 是 １ ２ ０ 。 的同学请 举 手。 （ 绝大多
数 学 生举 起 了手 。 ）
学 生 先 试 、 先 量 、 先 想 、 先 说 ，充 分 肯 定 学 生 正 确
的做 法 ， 与 学 生 一 起 探 讨 存 在 的 问 题 ，让 学 习 活 动 顺 着 学 生 学 习 的规 律 展 开 。 在 强 震 球 老 师 的 课 堂 上 ， 量 角 与 制 造 量 角 器 紧
师 ：不 过 ，我 觉 得 这 个 同 学 画 得 有 道 理 。 这 里 不是标 着 ６ ０ 。 吗？ 生 ： 因为 从 右 面 开 始 画 ，应 该 … …
密结 合 ， “ 量 角 的本 质 就 是 看 被 测 量 的 角 中 包 含 多 少 个 单 位 角 ” 的 数 学 思 想 贯 穿 始 终 。 教 学 中 ，强 老 师特 意 安排 学 生 用 “ 简 易 量 角 器 ”测 量 三 个 角 。
“ 简 易 量角 器 ”与 “ 成 品 量 角 器 ”相 比 ，具 有 线 条
在 认 知＞ 中突 中 ，学 生 自主 探 究 量 角 器 的 结 构 ，
真 正理解 了 “ 中心 点 ” “ ０刻 度 线 ” “ 内外 圈 刻 度 ”
存 在 的合 理 性 与精 妙 性 。
建 构 主义 理论 强 调 ，学生 对 知识 的 主 动探 索 、 主 动 发 现 和 对 所 学 知 识 意 义 的 主 动 建 构 的 过 程 是 “ 不 平 衡 ”到 “ 平 衡 ” 的 不 断 反 复 的 过 程 。在 对 量 角 器 的 认 识 中 ，两 位 老 师都 让 学 生 深 深 地 感 受 到 量 角
稀 疏 便 于 数 、 无 刻 度 只 能 数 、 无 缺 省 可 以 数 的三 个
特 点 ，正 因 为 有 这 三 个 特 点 ，用 “ 简 易 量 角 器 ” 学
习量角 就有 了非常 大 的优 势 ：一是 方法 容 易学 会 ， 二 是 能 够 突 出 量 角 器 和 量 角 方 法 的 本 质 ，三 是 有 效
地 化 解 了难 点 。 有 了这 样 的 测 量 体 验 ， 用 “ 成 品 的 量角 器”去测量 角的大小也就 水到渠成 了。 在 课 堂 中 ，两 位 教 师 没 有 过 多 的 示 范 ， 学 生 也
器 上 的每 个 细 节 都 是 “ 现 实的需要 ” ，让 复 杂 的 量
角
器不再 “ 复杂 ” 。
三 、抽象的量角不 “ 抽象 ”
用量 角 器 度 量 角 的 大 小 是 一 件 很 抽 象 的 事 。 学 生 最 初 使 用 量 角 器 时 ，往 往 将 被 量 角 的顶 点 放 在 量
没 有一 味地 模仿 ，掌握 量 角技 能 的过程 精彩 纷 呈 。 他 们 的课 堂 注 重 从 学 生 的 经 验 出 发 ，从 “ 真 刀真枪 ”
的 问题 开 始 ，通 过 鼓 励 学 生使 用 自创 的 工 具 和 单 位 ， 逐 步 导 向规 范 的 工 具 和 单 位 ，引 导 学 生 多 角 度 摸 索 测 量 的 方 法 ，逐 步 从 不 正 规 的 测 量 单 位 和 方 法 一 步
角 器 的 圆 弧 上 ， 而 且 常 常 分 辨 不 清 该 看 外 圈 刻 度 还 是 看 内 圈 刻 度 。 尽 管 有 些 教 师 在 教 学 中简 要 概 括 出 了 “ 二合一 看 ” “ 零 度 刻 度 线 在 左 边 看 外 圈 ， 零 度
刻 度 线 在 右 边 看 内 圈 ”等 口诀 ，但 学 生 还 是 不 会 量
步 接 近 直 至 能 够 科 学 地 度 量 ，让 抽 象 的 量 角 活 动 不
再 “ 抽象 ” 。
角 。 究 其 原 因 ，一 是 先 前 学 习 量 长 度 时 形 成 的 “ 一
克莱 因说 ： “ 数 学是一 种精神 ，一种 理性 的精
神。 ” 只 有 真 正 理 解 数 学 的 内在 价 值 、 本 质 含 义 ，才
能 把 儿 童 吸 引 到 数 学 的世 界 之 中 ，只 有 真 正 理 解 了 数 学 ，教 师 的教 育 理 念 才 能 得 以 升 华 ，才 能 让 学 生
端对 齐 、从 头量起 ” 的操 作定 式 的负迁移 干扰 ，量
角 器 曲 边 上 的 刻 度 与 直 尺 上 的 刻 度 相 近 ， 使 用 直 尺
的 经 验 加 深 了 学 生 对 曲边 的 关 注 ， 而 忽 略 了 量 角 器 上 的 其 他 刻 度 线 ；二 是 量 角 的本 质 就 是 “ 用 量 角 器 上 的角 去重 合被 量 的 角 ” ，当学 生 用 “ 角 ” 测 量 角
时 ，往 往 不 知 道 怎 样 才 能 使 量 角 器 上 的 “ 角 ” 与 所
体 会 到 数 学 的 无 穷 魅 力 ，从 而 享 受 数 学 学 习 的快 乐 。
可见 ，一堂数学 课能 打动 人的并 不仅仅 是教 师的教
学 艺 术 ，课 堂 中 所 蕴 含 的 思 想 、 理 念 更 能 吸 引 参 与
度 量 的 角 重合 。 “ 二 合 一 看 ”等 操作 要 诀 看似 简 洁 ， 其 实 对 学 生 来 说 ，要 想 象 出 这 四 个 字 背 后 的 内 涵 很 难 。 教 师 附 加 的 认 知 负 荷 反 而 挤 压 了学 生 认 知 的 生 成 空 间 ，阻 挠 了学 生 自 由的 “ 呼吸 ” 。
者。两位 名 师演绎 的 《 角的度 量》 的精彩课 堂 ，处
理 的 思路 有 所 不 同 ，但 对 技 能 教 学 背 后 所 蕴 藏 的 数 学 本 质 的 思 考 相 近 ，他 们 的 处 理 源 于 经 验 ，
源 于 见 识 ，更 源 于他 们 对 数学 本 质 的独 特 理 解 。 三
２ ０ １ ３ ． １ 、 ２磊 上 敬 ｛ １ １ ３