2006年高考数学（理科）模拟试题
命题人 何章苗
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B）=P（A ）+P（B ）；
如果事件 A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P（A ）·P （B ）； 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生
k 次的概率P k k n (k ) =C n p (1-p ) n -k ．
一． 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的. 1．1+i+i2
+…+i
100
的值为（ ）
A ．0 B.-1 C.1 D.i
2．若函数f （x ）=asin（ωx+ϕ）对任意的x 都有
f （ππ
3+x ）=f（3-x ）, 则f （π
3
）=（ ）
A.a B-a C.0 D.-a或a
3．不等式2x +y +m
4．已知与为非零向量, 下列命题（1）2
=2
（2）⋅=2
（3
=//. 其中可以作为=的必要但不充分命题是（ ）
A. （2） B.（1）（3） C.（2）（3） D.（1）（2）（3） 5．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α, m ⊂β给出下列命题
①若α∥β，则l ⊥m ②若l ⊥m ，则α∥β ③若α⊥β，则l //m ④若l ∥m ，则α⊥β，其中正确命题的个数是（ ） A．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．设0
A B C D
7．抛物线x 2
=2y上距离点A （0，a ）（a>0）最近的点恰好是顶点, 这个结论成立的充要条件是
（ ） A.a>0 B.0≤a ≤
1
2
C.a≥1 D.0
4 7 8 …… ，
则根据规律，
1
2
5
6
9
从2002到2004，箭头的方向依次是 （A （B ）
（C ）
（D ）
9．当x ∈R 时，函数f （x ）满足f (1. 1+x ) +f (3. 1+x ) =f (2. 1+x ) ，且f (1) =lg
3
2
，f （2）=lg15，则f （2004）=（ ） A ．-1 B.- lg15 C.1 D. lg
3
2
10．已知x ∈(-∞, 1], 不等式1+2x
+(a -a
2
)⋅4
x
>0恒成立, 则实数a 的取值范围为（ ）
A ⎛1⎫⎛1⎤⎛13⎫
⎝-2, 4⎪⎭ B ⎝-∞, 4⎥⎦ C ⎝-2, 2⎪⎭
D(-∞, 6]
11. 设随机变量ξ服从正态分布N （0, 1），记Φ(x )=P(ξ
1
2
B ．Φ(x )=1―Φ(―x )
C ．P(|ξ| a ) = 1―Φ(a ) 12．某工厂有100名工人, 现需加工5000个甲种零件3000个乙种零件. 每个工人每小时能完成4
个甲种零件和3个乙种零件. 如果你是厂长, 为使这批零件尽快完成, 应安排加工甲种零件的人数为（ ）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中的横线上. 13．已知0≤x ≤
, 则函数y=42sinxcosx+cos2x的值域______
16．在400ml 自来水中有1个大肠杆菌, 从中随机取出2ml, 放到显微镜下观察, 发现大肠杆菌的概率是_________
三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在相
17．（本小题满分12分）设向量a =（1+c os α，s in α），b =（1+c os β，s in β），c =（1，0），→
α∈（0，π），β∈（π，2π），a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θπ
18．（本小题满分12分）甲乙两人独立地破译国际恐怖组织的1个密码，他们能译出的概率分别是
. 试求 1. 恰有1个人译出的概率; 2. 至多1人译出的概率; 3. 若达到译出的概率为
19. （本小题满分12分）设f(x) = alnx + bx2
+ x在x 1=1与x 2=2时取得极值， （1）试确定a 、b 的值；
（3）判断f (x ) 在x 1、x 2处是取极大值还是极小值。
1D , （2）直线AD 与平面ANM 所成的角的大小； （3）平面ANM 与平面ABCD 所成角（锐角）的大小.
21. （本小题满分12分）已知点H （0，―3），点P 在x 轴上，点Q 在y 轴正半轴上，点M 在直
（1）当点P 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹曲线C 的方程；
（2）过定点A （a ，b ）的直线与曲线C 相交于两点S 、R ，求证：抛物线S 、R 两点处的切线的交点B 恒在一条直线上。 22．（本小题满分14分）
已知函数f (x ) =(x +2) 2(x >0) ，设正项数列{a n }的首项a 1=2，前n 项和S n 满足
（2）在平面直角坐标系内，直线L n 的斜率为a n , 且L n 与曲线y =x 2
L n 又与y 轴交于点D n （0，b n ）, 当n ∈N *
|D n +1D n |-1, 若C d 2+d 2n +1n
n =2d ⋅d , 求证：C 1+C2+C3…+Cn －n
n +1n
参考答案
1.C2.D3.D4.D5.D6.A7.D8.c9.A10.D11.D12.D 13. [-1, 3]14. (5, +∞)15.
9216. 1200
17．解：∵α∈（0，π），β∈（π，2π）， ∴
α
∈(0, π) ，β∈(π
2222
, π)
→→
又cos θa ⋅c
α+cos 1=|a →=
1+cos |⋅|c →
|
(1+cos α) 2+sin 2α
=
2=cos α
2
，
θ1∈(0, π) ∴θ1=
α
2
→b ⋅→
又cos θc
1-cos β
-cos βββπ
2=|b →|⋅|→=c |
(1+cos β) 2+sin 2β=2=sin 2=2-2) θ∈(0, π) 且βππβπ
22-2∈(0, 2) ，θ2=2-2
∴θαβπα-βππα-βπ
1-θ2=2-(2-2) =
2+2=3 ∴2=-6 ∴sin α-β2=sin(-π6) =-1
2
18. （1）511
12（2）12
（3）n=17
19．解（1）令f '(x ) =a 2
x
+2bx +1=0则2bx +x +a =0
由题意知：x =1，2是上方程两根，由韦达定理：
⎧
⎪1+2=-1⎨
2b ∴a =-2, b =-1 ⎪a 3b ⎩
1⨯2=2b
（2）由（1）知：f '(x ) =-
23x -13x +1=-1
3x
(x -1)(x -2) 令f '(x ) >0
则(x-1)(x-2) x
20．
（1）以A 为原点，AB 、AD 、AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴。 则D （0，8，0），A 1（0，0，4），M （5，2，4） −−→−−→
∴A 1D =(0, 8, -4) AM =(5, 2, 4) −−→
−−→
−−→
−−→
∵A 1D ⋅AM =0 ∴cos =0
（2）由（1）知A 1D ⊥AM ，又由已知A 1D ⊥AN ，
∴A 1D ⊥平面AMN ，垂足为N 。
因此AD 与平面所成的角即是∠DAN 。 易知∠DAN = AA1D = a r c t an 2
（3）∵AA 1⊥平面ABCD ，A 1N ⊥平面AMN ，
∴AA −−→
−−→
1和NA 1分别成为平面ABCD 和平面AMN 的法向量。 设平面AMN 与平面ABCD 所成的角（锐角）为θ，则
θ−−→−−→
=（AA 5
1，NA 1）=∠AA 1N = AA1D = a r cc os
5
21．（1）解：设P （a ,0），Q （0，b ）
−−→−−→
则：HP ⋅PQ =(a , 3)(a , -b ) =a 2
-3b =0 ∴a 2
=3b
3−−→-3−−→-b 设M （x , y ）∵PM =2
HQ ∴x =a
=-2a y ==3b 1-
32
1-32∴y =12
4
x
（2）解法一：设A(a , b ) ，S (x 1,
1212x 1) ，R (x 2, x 2) （x 1≠x 2） 22．解：（1）S n =(S n -1+2) 2得S n -S n -1=2，
44
1212
则：直线SR 的方程为：y -1x -x
221
4x 1=
x (x -x 1) ， 2-x 1
即4y = (x 1+x 2) x －x 1x 2
∵A 点在SR 上，∴4b =(x
1+x 2) a －x 1x 2 ① 对y =
14x 2求导得：y ′=12
x ∴抛物线上S 、R 处的切线方程为：
y -
1 4x 2=1
12x 1(x -x 1) 即4y =2x 1x -x 21 ② y -14x 212=2
x 2(x -x 2) 即4y =2x 2x -x 22 ③
⎧ 联立②③，并解之得⎪x =x 1+x 2⎨
2 ⎪1 ，代入①得：ax －2y －2b =0 ⎩y =4x 1x 2
故：B 点在直线ax －2y －2b =0上
解法二：设A(a , b ), 当过点A 的直线斜率不存在时l 与抛物线有且仅有一个公共点，与题意不符，可设直线SR 的方程为y －b =k (x －a )
与y =
14x 2
联立消去y 得：x 2－4kx +4ak －4b =0 设S (x 14x 212
1, 1) ，R (x 2, 4
x 2) （x 1≠x 2）
则由韦达定理：⎧⎨x 1+x 2=4k
=4(ak -b )
⎩x 1x 2 又过S 、R 点的切线方程分别为：4y =2x 1x -x 2
2
1，4y =2x 2x -x 2
⎧x 1+x 2联立，并解之得⎪x ==k ⎨22 （k ⎪⎩
y =1
为参数）
4x 1x 2=ak -b
消去k ，得：ax －2y －2b =0. 故：B 点在直线2ax －y －b =0上
所以数列{S n }是以2为首项、2为公差的等差数列，……………………2分
∴S n =2⋅n , S n =2n 2, a n =S n -S n -1=4n -2(n ≥2), ……………………4分
又a 1=2,
∴a n =4n -2
(n ∈N *) …………………………………………5分
（2）设L ⎧y =a n x +b n n ：y =a n x +b n , 由⎨-a ⎩y =x
2
⇒x 2n x -b n =0，
据题意方程有相等实根，
∴∆=a 2
n +4b n =0,
∴b 121
n =-4a n =-4
(4n -2) 2=-(2n -1) 2…………7分
（另解：设L n 与y =x 2的公共点为P （x 0, y 0），则点P 处的切线斜线率a n =y '|x =x 0=2x 0, ∴a n =2x ∴x 11210,
0=
2a , ∴y =4a y -4a 21
n 0n , ∴L n :n =a n (x -2a n ) 令x =0, 得b =-14a 2122
n n =-4(4n -2) =-(2n -1) . ）
当n ∈N *时d 1122
n =4|b n -b n +1|-1=4
|-(2n -1) +(2n +1) |-1=2n -1, ……9分
∴C (2n +1) 2+(2n -1) 28n 2+24n 2+111
n =2(4n 2-1) =2(4n 2-1) =4n 2
-1
=1+(2n -1-2n +1), …………………………………………………………………………………………11分 ∴C 1+C 2+C 3+ +C n -n
=n +(1-1
) +(1-1) +(1-1) + +(13
3
5
5
7
2n -1-1
2n +1
) -n …………………13分 =1-
1
2n +1
2006年高考数学（理科）模拟试题
命题人 何章苗
参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B）=P（A ）+P（B ）；
如果事件 A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P（A ）·P （B ）； 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生
k 次的概率P k k n (k ) =C n p (1-p ) n -k ．
一． 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的. 1．1+i+i2
+…+i
100
的值为（ ）
A ．0 B.-1 C.1 D.i
2．若函数f （x ）=asin（ωx+ϕ）对任意的x 都有
f （ππ
3+x ）=f（3-x ）, 则f （π
3
）=（ ）
A.a B-a C.0 D.-a或a
3．不等式2x +y +m
4．已知与为非零向量, 下列命题（1）2
=2
（2）⋅=2
（3
=//. 其中可以作为=的必要但不充分命题是（ ）
A. （2） B.（1）（3） C.（2）（3） D.（1）（2）（3） 5．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α, m ⊂β给出下列命题
①若α∥β，则l ⊥m ②若l ⊥m ，则α∥β ③若α⊥β，则l //m ④若l ∥m ，则α⊥β，其中正确命题的个数是（ ） A．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．设0
A B C D
7．抛物线x 2
=2y上距离点A （0，a ）（a>0）最近的点恰好是顶点, 这个结论成立的充要条件是
（ ） A.a>0 B.0≤a ≤
1
2
C.a≥1 D.0
4 7 8 …… ，
则根据规律，
1
2
5
6
9
从2002到2004，箭头的方向依次是 （A （B ）
（C ）
（D ）
9．当x ∈R 时，函数f （x ）满足f (1. 1+x ) +f (3. 1+x ) =f (2. 1+x ) ，且f (1) =lg
3
2
，f （2）=lg15，则f （2004）=（ ） A ．-1 B.- lg15 C.1 D. lg
3
2
10．已知x ∈(-∞, 1], 不等式1+2x
+(a -a
2
)⋅4
x
>0恒成立, 则实数a 的取值范围为（ ）
A ⎛1⎫⎛1⎤⎛13⎫
⎝-2, 4⎪⎭ B ⎝-∞, 4⎥⎦ C ⎝-2, 2⎪⎭
D(-∞, 6]
11. 设随机变量ξ服从正态分布N （0, 1），记Φ(x )=P(ξ
1
2
B ．Φ(x )=1―Φ(―x )
C ．P(|ξ| a ) = 1―Φ(a ) 12．某工厂有100名工人, 现需加工5000个甲种零件3000个乙种零件. 每个工人每小时能完成4
个甲种零件和3个乙种零件. 如果你是厂长, 为使这批零件尽快完成, 应安排加工甲种零件的人数为（ ）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中的横线上. 13．已知0≤x ≤
, 则函数y=42sinxcosx+cos2x的值域______
16．在400ml 自来水中有1个大肠杆菌, 从中随机取出2ml, 放到显微镜下观察, 发现大肠杆菌的概率是_________
三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在相
17．（本小题满分12分）设向量a =（1+c os α，s in α），b =（1+c os β，s in β），c =（1，0），→
α∈（0，π），β∈（π，2π），a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θπ
18．（本小题满分12分）甲乙两人独立地破译国际恐怖组织的1个密码，他们能译出的概率分别是
. 试求 1. 恰有1个人译出的概率; 2. 至多1人译出的概率; 3. 若达到译出的概率为
19. （本小题满分12分）设f(x) = alnx + bx2
+ x在x 1=1与x 2=2时取得极值， （1）试确定a 、b 的值；
（3）判断f (x ) 在x 1、x 2处是取极大值还是极小值。
1D , （2）直线AD 与平面ANM 所成的角的大小； （3）平面ANM 与平面ABCD 所成角（锐角）的大小.
21. （本小题满分12分）已知点H （0，―3），点P 在x 轴上，点Q 在y 轴正半轴上，点M 在直
（1）当点P 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹曲线C 的方程；
（2）过定点A （a ，b ）的直线与曲线C 相交于两点S 、R ，求证：抛物线S 、R 两点处的切线的交点B 恒在一条直线上。 22．（本小题满分14分）
已知函数f (x ) =(x +2) 2(x >0) ，设正项数列{a n }的首项a 1=2，前n 项和S n 满足
（2）在平面直角坐标系内，直线L n 的斜率为a n , 且L n 与曲线y =x 2
L n 又与y 轴交于点D n （0，b n ）, 当n ∈N *
|D n +1D n |-1, 若C d 2+d 2n +1n
n =2d ⋅d , 求证：C 1+C2+C3…+Cn －n
n +1n
参考答案
1.C2.D3.D4.D5.D6.A7.D8.c9.A10.D11.D12.D 13. [-1, 3]14. (5, +∞)15.
9216. 1200
17．解：∵α∈（0，π），β∈（π，2π）， ∴
α
∈(0, π) ，β∈(π
2222
, π)
→→
又cos θa ⋅c
α+cos 1=|a →=
1+cos |⋅|c →
|
(1+cos α) 2+sin 2α
=
2=cos α
2
，
θ1∈(0, π) ∴θ1=
α
2
→b ⋅→
又cos θc
1-cos β
-cos βββπ
2=|b →|⋅|→=c |
(1+cos β) 2+sin 2β=2=sin 2=2-2) θ∈(0, π) 且βππβπ
22-2∈(0, 2) ，θ2=2-2
∴θαβπα-βππα-βπ
1-θ2=2-(2-2) =
2+2=3 ∴2=-6 ∴sin α-β2=sin(-π6) =-1
2
18. （1）511
12（2）12
（3）n=17
19．解（1）令f '(x ) =a 2
x
+2bx +1=0则2bx +x +a =0
由题意知：x =1，2是上方程两根，由韦达定理：
⎧
⎪1+2=-1⎨
2b ∴a =-2, b =-1 ⎪a 3b ⎩
1⨯2=2b
（2）由（1）知：f '(x ) =-
23x -13x +1=-1
3x
(x -1)(x -2) 令f '(x ) >0
则(x-1)(x-2) x
20．
（1）以A 为原点，AB 、AD 、AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴。 则D （0，8，0），A 1（0，0，4），M （5，2，4） −−→−−→
∴A 1D =(0, 8, -4) AM =(5, 2, 4) −−→
−−→
−−→
−−→
∵A 1D ⋅AM =0 ∴cos =0
（2）由（1）知A 1D ⊥AM ，又由已知A 1D ⊥AN ，
∴A 1D ⊥平面AMN ，垂足为N 。
因此AD 与平面所成的角即是∠DAN 。 易知∠DAN = AA1D = a r c t an 2
（3）∵AA 1⊥平面ABCD ，A 1N ⊥平面AMN ，
∴AA −−→
−−→
1和NA 1分别成为平面ABCD 和平面AMN 的法向量。 设平面AMN 与平面ABCD 所成的角（锐角）为θ，则
θ−−→−−→
=（AA 5
1，NA 1）=∠AA 1N = AA1D = a r cc os
5
21．（1）解：设P （a ,0），Q （0，b ）
−−→−−→
则：HP ⋅PQ =(a , 3)(a , -b ) =a 2
-3b =0 ∴a 2
=3b
3−−→-3−−→-b 设M （x , y ）∵PM =2
HQ ∴x =a
=-2a y ==3b 1-
32
1-32∴y =12
4
x
（2）解法一：设A(a , b ) ，S (x 1,
1212x 1) ，R (x 2, x 2) （x 1≠x 2） 22．解：（1）S n =(S n -1+2) 2得S n -S n -1=2，
44
1212
则：直线SR 的方程为：y -1x -x
221
4x 1=
x (x -x 1) ， 2-x 1
即4y = (x 1+x 2) x －x 1x 2
∵A 点在SR 上，∴4b =(x
1+x 2) a －x 1x 2 ① 对y =
14x 2求导得：y ′=12
x ∴抛物线上S 、R 处的切线方程为：
y -
1 4x 2=1
12x 1(x -x 1) 即4y =2x 1x -x 21 ② y -14x 212=2
x 2(x -x 2) 即4y =2x 2x -x 22 ③
⎧ 联立②③，并解之得⎪x =x 1+x 2⎨
2 ⎪1 ，代入①得：ax －2y －2b =0 ⎩y =4x 1x 2
故：B 点在直线ax －2y －2b =0上
解法二：设A(a , b ), 当过点A 的直线斜率不存在时l 与抛物线有且仅有一个公共点，与题意不符，可设直线SR 的方程为y －b =k (x －a )
与y =
14x 2
联立消去y 得：x 2－4kx +4ak －4b =0 设S (x 14x 212
1, 1) ，R (x 2, 4
x 2) （x 1≠x 2）
则由韦达定理：⎧⎨x 1+x 2=4k
=4(ak -b )
⎩x 1x 2 又过S 、R 点的切线方程分别为：4y =2x 1x -x 2
2
1，4y =2x 2x -x 2
⎧x 1+x 2联立，并解之得⎪x ==k ⎨22 （k ⎪⎩
y =1
为参数）
4x 1x 2=ak -b
消去k ，得：ax －2y －2b =0. 故：B 点在直线2ax －y －b =0上
所以数列{S n }是以2为首项、2为公差的等差数列，……………………2分
∴S n =2⋅n , S n =2n 2, a n =S n -S n -1=4n -2(n ≥2), ……………………4分
又a 1=2,
∴a n =4n -2
(n ∈N *) …………………………………………5分
（2）设L ⎧y =a n x +b n n ：y =a n x +b n , 由⎨-a ⎩y =x
2
⇒x 2n x -b n =0，
据题意方程有相等实根，
∴∆=a 2
n +4b n =0,
∴b 121
n =-4a n =-4
(4n -2) 2=-(2n -1) 2…………7分
（另解：设L n 与y =x 2的公共点为P （x 0, y 0），则点P 处的切线斜线率a n =y '|x =x 0=2x 0, ∴a n =2x ∴x 11210,
0=
2a , ∴y =4a y -4a 21
n 0n , ∴L n :n =a n (x -2a n ) 令x =0, 得b =-14a 2122
n n =-4(4n -2) =-(2n -1) . ）
当n ∈N *时d 1122
n =4|b n -b n +1|-1=4
|-(2n -1) +(2n +1) |-1=2n -1, ……9分
∴C (2n +1) 2+(2n -1) 28n 2+24n 2+111
n =2(4n 2-1) =2(4n 2-1) =4n 2
-1
=1+(2n -1-2n +1), …………………………………………………………………………………………11分 ∴C 1+C 2+C 3+ +C n -n
=n +(1-1
) +(1-1) +(1-1) + +(13
3
5
5
7
2n -1-1
2n +1
) -n …………………13分 =1-
1
2n +1