点到面的距离
一，例题精讲。
例1：如图，已知正三角形ABC 的边长为6㎝，点D 三角形ABC 各顶点的距离都是4㎝，求点D 这三角形所在平面的距离。
直接法，作出点到面的距离，利用直角三角形的勾股定理求出点到面的距离。
C
A
’’例2如图，已知正棱柱中，AB=1 AA=2 点E 为CC 中点，求D 1到面BDE 的距离
等体积法：要求D 1 到面BDE 的距离，即为三棱锥D 1--BDE 的体积，我们可以利用B-DE D1 的体积 ＝D 1--BDE 的体积。
二，技能训练
1．平面α内的∠MON ＝60°，PO 是α的斜线，PO ＝3，∠POM ＝∠PON ＝45°，那么点P 到平面α的距离是( )
3333 A. 3 B. C. D. 423
2．在正三棱锥P —ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，侧棱长为a ，则点P 到平面ABC 的距离为( )
A ．a B. 23a a
D. 3a 23
3．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为( ) B. 22λ5 C. D. 235
4．空间四点A 、B 、C 、D 每两点的连线长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则点P 与Q 的最小距离为( )
a 236 B. C. D. a 2222
第3题图 第5题图 第6题图 第7题图
5．如图所示，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝1. 若二面角C —AB —C 1的大小为60°，则点C 到平面ABC 1的距离为________．
6．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，∠BAC ＝60°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 为AC 边上的一个动点，则PM 的最小值为________．
7．已知菱形ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝120°，沿对角线BD 将△ABD 折起，使二面角A —BD —C 为120°，则点A 到△BCD 所在平面的距离等于________．
8、如图 在四棱锥P-ABCD 中底面ＡＢＣＤ是边长为１的菱形，∠ＡＢＣ＝６０，ＰA ⊥平面ＡＢＣＤ，ＰA ＝１．AC ∩BD=O，求Ｏ到面ＰAD 的距离
０
9如图所示，棱长均为a 的正三棱柱中，D 为AB 中点，连结A 1D ，DC ，A 1C .
(1)求证：BC 1∥面A 1DC ；
(2)求BC 1到面A 1DC 的距离
10如图，已知ABCD 是矩形，AB ＝a ，AD ＝b ，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2c ，Q 是P A 的中点，连结QB 、QD ，BD . 求：
(1)Q 到BD 的距离；
(2)P 到平面BQD 的距离．
11．如图所示，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC .
(1)求证：PC ⊥AB ；
(2)求二面角B －AP －C 的大小；
(3)求点C 到平面APB 的距离．
点到面的距离
一，例题精讲。
例1：如图，已知正三角形ABC 的边长为6㎝，点D 三角形ABC 各顶点的距离都是4㎝，求点D 这三角形所在平面的距离。
直接法，作出点到面的距离，利用直角三角形的勾股定理求出点到面的距离。
C
A
’’例2如图，已知正棱柱中，AB=1 AA=2 点E 为CC 中点，求D 1到面BDE 的距离
等体积法：要求D 1 到面BDE 的距离，即为三棱锥D 1--BDE 的体积，我们可以利用B-DE D1 的体积 ＝D 1--BDE 的体积。
二，技能训练
1．平面α内的∠MON ＝60°，PO 是α的斜线，PO ＝3，∠POM ＝∠PON ＝45°，那么点P 到平面α的距离是( )
3333 A. 3 B. C. D. 423
2．在正三棱锥P —ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，侧棱长为a ，则点P 到平面ABC 的距离为( )
A ．a B. 23a a
D. 3a 23
3．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为( ) B. 22λ5 C. D. 235
4．空间四点A 、B 、C 、D 每两点的连线长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则点P 与Q 的最小距离为( )
a 236 B. C. D. a 2222
第3题图 第5题图 第6题图 第7题图
5．如图所示，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝1. 若二面角C —AB —C 1的大小为60°，则点C 到平面ABC 1的距离为________．
6．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，∠BAC ＝60°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 为AC 边上的一个动点，则PM 的最小值为________．
7．已知菱形ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝120°，沿对角线BD 将△ABD 折起，使二面角A —BD —C 为120°，则点A 到△BCD 所在平面的距离等于________．
8、如图 在四棱锥P-ABCD 中底面ＡＢＣＤ是边长为１的菱形，∠ＡＢＣ＝６０，ＰA ⊥平面ＡＢＣＤ，ＰA ＝１．AC ∩BD=O，求Ｏ到面ＰAD 的距离
０
9如图所示，棱长均为a 的正三棱柱中，D 为AB 中点，连结A 1D ，DC ，A 1C .
(1)求证：BC 1∥面A 1DC ；
(2)求BC 1到面A 1DC 的距离
10如图，已知ABCD 是矩形，AB ＝a ，AD ＝b ，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2c ，Q 是P A 的中点，连结QB 、QD ，BD . 求：
(1)Q 到BD 的距离；
(2)P 到平面BQD 的距离．
11．如图所示，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC .
(1)求证：PC ⊥AB ；
(2)求二面角B －AP －C 的大小；
(3)求点C 到平面APB 的距离．