考点一、比例线段（3分）
1. 比例线段的相关概念：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是a m =，或写成a ：b=m：n 。在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比b n
a c =或a ：b=c：b d 的前项，b 叫做比的后项。在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。若四条a ，b ，c ，d 满足
d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，
线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即
的比例中项。
2、比例的性质
（1）基本性质①a ：b=c：d ⇔ad=bc ②a ：b=b：c ⇔b 2=ac
（2）更比性质（交换比例的内项或外项） a b =或a ：b=b：c ，那么线段b 叫做线段a ，c b c
a b =（交换内项） c d
d c a c =⇒ =（交换外项） b a b d
d b =（同时交换内项和外项） c a
a c b d （3）反比性质（交换比的前项、后项）：=⇒= b d a c
a c a ±b c ±d =（4）合比性质：=⇒ b d b d
（5）等比性质：a c e m a +c +e + +m a === =(b +d +f + +n ≠0) ⇒= b d f n b +d +f + +n b
考点二、平行线分线段成比例定理（3~5分）
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比
例。（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边
对应成比例。
推论（1）逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比
例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
考点三、相似三角形 （3~8分）
1、相似三角形的概念：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号
“∽”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
2、相似三角形的基本定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，
所构成的三角形与原三角形相似。
用数学语言表述如下：
∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC
相似三角形的等价关系：（1）反身性：对于任一△ABC ，都有△ABC ∽△ABC ；（2）对称
性：若△ABC ∽△A ’B ’C ’，则△A ’B ’C ’∽△ABC （3）传递性：若△ABC ∽△A ’B ’
C ’，并且△A ’B ’C ’∽△A ’’B ’’C ’’，则△ABC ∽△A ’’B ’’C ’’。
3、三角形相似的判定
（1）三角形相似的判定方法：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似
②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形
与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，
那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。④判定定理2：如果一个
三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，
可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。⑤判定定理3：如果一个三角形的三
条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比
例，两三角形相似
（2）直角三角形相似的判定方法
①以上各种判定方法均适用②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角
三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似③垂直法：直角三角形
被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
4、相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比
与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面
积的比等于相似比的平方。
5、相似多边形
（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相
似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）
（2）相似多边形的性质①相似多边形的对应角相等，对应边成比例②相似多边形周长的比、
对应对角线的比都等于相似比③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的
相似比④相似多边形面积的比等于相似比的平方
6、位似图形
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个
图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。
性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。
一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。
1. 如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，
（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4. 其中正确的有 （ ）A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
7题图 （第1题图）
2. 如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ， 则
A ．25 3等于（ ） DO 121 B ． C ． D ． 332
3. 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值 （ ）
A ．只有1个 B ．可以有2个 C ．有2个以上但有限 D ．有无数个 4. 在比例尺为1：200的地图上，测得A ，B 两地间的图上距离为4.5 cm，则A 、B 两地间的
实际距离为 m ．
5. 已知△ABC 与△DEF 相似且对应中线的比为2:3，则△ABC 与△DEF 的周长比为
_____________.
6. 如图，光源P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB ∥CD ，AB ＝2m ，CD ＝6m ，点P 到CD 的距离是2. 7m ，则AB 与CD 间的距离是__________.
7. 如图，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD =4，DB =8，DE =3， BC = 。
8. 如图，△ABC 在方格纸中
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A (2，，3) C (6，2) ，并求出B 点坐标；
（2）以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的图
形△A 'B 'C '；
（3）计算△A 'B 'C '的面积S ．
9. 如图，ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 延长线上，连CE 交AD 于点F ，∠ECA ＝∠D ，求证：AC ·BE ＝CE ·AD 。
10正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上
运动时，保持AM 和MN 垂直，
（1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；
（2）设BM =x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；
（
3）当M 点运动到什么位置时Rt △ABM ∽Rt △AMN ，求x 的值．
考点一、比例线段（3分）
1. 比例线段的相关概念：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是a m =，或写成a ：b=m：n 。在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比b n
a c =或a ：b=c：b d 的前项，b 叫做比的后项。在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。若四条a ，b ，c ，d 满足
d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，
线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即
的比例中项。
2、比例的性质
（1）基本性质①a ：b=c：d ⇔ad=bc ②a ：b=b：c ⇔b 2=ac
（2）更比性质（交换比例的内项或外项） a b =或a ：b=b：c ，那么线段b 叫做线段a ，c b c
a b =（交换内项） c d
d c a c =⇒ =（交换外项） b a b d
d b =（同时交换内项和外项） c a
a c b d （3）反比性质（交换比的前项、后项）：=⇒= b d a c
a c a ±b c ±d =（4）合比性质：=⇒ b d b d
（5）等比性质：a c e m a +c +e + +m a === =(b +d +f + +n ≠0) ⇒= b d f n b +d +f + +n b
考点二、平行线分线段成比例定理（3~5分）
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比
例。（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边
对应成比例。
推论（1）逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比
例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
考点三、相似三角形 （3~8分）
1、相似三角形的概念：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号
“∽”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
2、相似三角形的基本定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，
所构成的三角形与原三角形相似。
用数学语言表述如下：
∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC
相似三角形的等价关系：（1）反身性：对于任一△ABC ，都有△ABC ∽△ABC ；（2）对称
性：若△ABC ∽△A ’B ’C ’，则△A ’B ’C ’∽△ABC （3）传递性：若△ABC ∽△A ’B ’
C ’，并且△A ’B ’C ’∽△A ’’B ’’C ’’，则△ABC ∽△A ’’B ’’C ’’。
3、三角形相似的判定
（1）三角形相似的判定方法：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似
②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形
与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，
那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。④判定定理2：如果一个
三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，
可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。⑤判定定理3：如果一个三角形的三
条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比
例，两三角形相似
（2）直角三角形相似的判定方法
①以上各种判定方法均适用②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角
三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似③垂直法：直角三角形
被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
4、相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比
与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面
积的比等于相似比的平方。
5、相似多边形
（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相
似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）
（2）相似多边形的性质①相似多边形的对应角相等，对应边成比例②相似多边形周长的比、
对应对角线的比都等于相似比③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的
相似比④相似多边形面积的比等于相似比的平方
6、位似图形
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个
图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。
性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。
一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。
1. 如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，
（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4. 其中正确的有 （ ）A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
7题图 （第1题图）
2. 如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ， 则
A ．25 3等于（ ） DO 121 B ． C ． D ． 332
3. 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值 （ ）
A ．只有1个 B ．可以有2个 C ．有2个以上但有限 D ．有无数个 4. 在比例尺为1：200的地图上，测得A ，B 两地间的图上距离为4.5 cm，则A 、B 两地间的
实际距离为 m ．
5. 已知△ABC 与△DEF 相似且对应中线的比为2:3，则△ABC 与△DEF 的周长比为
_____________.
6. 如图，光源P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB ∥CD ，AB ＝2m ，CD ＝6m ，点P 到CD 的距离是2. 7m ，则AB 与CD 间的距离是__________.
7. 如图，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD =4，DB =8，DE =3， BC = 。
8. 如图，△ABC 在方格纸中
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A (2，，3) C (6，2) ，并求出B 点坐标；
（2）以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的图
形△A 'B 'C '；
（3）计算△A 'B 'C '的面积S ．
9. 如图，ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 延长线上，连CE 交AD 于点F ，∠ECA ＝∠D ，求证：AC ·BE ＝CE ·AD 。
10正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上
运动时，保持AM 和MN 垂直，
（1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；
（2）设BM =x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；
（
3）当M 点运动到什么位置时Rt △ABM ∽Rt △AMN ，求x 的值．