透视直线的斜率

　　直线是最常见的图形，通过初中的学习我们知道，两点确定一条直线.当然，如果知道直线经过一个确定的点，另外还知道直线的方向，同样可以确定直线.而今天我们要学的直线的斜率，则是用数刻画直线倾斜程度的量，它反映了直线相对于水平方向的倾斜程度.　　1 生活中的斜率　　我们去爬山，能够感受到山坡的陡峭和平缓，影响我们这种感受的量称为坡度.坡度=hl，即从山脚至山顶过程中竖直方向和水平方向变量之比（如图1）.如果我们把坡面所在位置抽象成一条直线，那么可以用坡度来刻画直线的倾斜程度.　　同样，影响楼梯陡峭与平缓程度的量也可以用上述比值表示.特别的，若每级楼梯的宽度l和高度h都分别相同（如图2），则坡度=hl.　　2 斜率的定义　　已知两点P(x1, y1), Q(x2, y2)，如图3，若x1≠x2，则直线PQ的斜率为k=y2－y1x2－x1；如图4，若x1=x2，则直线PQ的斜率不存在.　　　　根据斜率的实际意义，k=y2－y1x2－x1=ΔyΔx，即为点沿直线运动过程中“高度”相对于“宽度”的平均变化率.对于一条不与x轴垂直的直线而言，它的斜率是一个定值，它可由直线上任意两点的坐标确定.　　当直线从左下方向右上方倾斜时，斜率为正，若直线绕其上一点逆时针转动至与y轴平行的过程中　　，则斜率越来越大，直至趋于+∞；当直线从左上方向右下方倾斜时，斜率为负，若直线绕其上一点逆时针转动至与x轴平行的过程中　　，则斜率越来越大，逐渐变大到0；当直线斜率为0时，直线与x轴平行；当直线与x轴垂直时，斜率不存在.这样，对于任何一条不与x轴垂直的直线，都有一个唯一的倾斜方向，也就是有唯一的斜率，当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在，但直线也是有唯一的倾斜程度.　　斜率可以刻画直线的倾斜程度，说明用数可以表示几何图形的性质，用代数的工具研究几何性质，正是我们将要学习的解析几何的重要特色，我们要好好体会.　　3 典型例题　　例1　　已知直线上一点的坐标为(－3, 2)，斜率为－43，试求该直线上不同于已知点的另一点的坐标.　　分析　　根据斜率公式k=ΔyΔx，要找出另一点坐标可结合图形，先找出相应的纵方向增量Δy和横方向的增量Δx.　　解　　设所求点坐标为(x, y)，由题意可知y－2x－(－3)=－43，化简可得：　　y=－43x－2 (x≠－3)，取x≠－3且x∈R的任一实数，均可得到相应的y值，求出点坐标.　　评析　　几何问题可以利用代数方法，通过解方程来处理，这也是解析几何中问题解决的重要思想.　　例2　　已知三点A(a, 2), B(5, 1), C(－4, 2a)在同一直线上，求a的值.　　解　　根据直线斜率公式k=y2－y1x2－x1可得，kAB=2－1a－5, kBC=2a－1－4－5.　　已知A, B, C三点共线，必有kAB=kBC.　　由2－1a－5=2a－1－4－5得，a1=2, a2=72.　　故所求a的值为2或72.　　评析　　反之，若直线AB和直线BC的斜率相等（即kAB=kBC），则A, B, C三点共线.　　例3　　已知a, b, m∈R+，且aab.　　分析　　不等式的左边的结构与斜率公式k=y2－y1x2－x1相似，a+mb+m=a－(－m)b－(－m)的几何意义为点(b, a)与点(－m, －m)的连线的斜率.　　证明：如图5，　　因为0　　因为m>0，所以点M(－m, －m)在第三象限且在直线y=x上.　　连结OP， PM，则kOP=ab, kPM=a+mb+m，　　由图可知kPM>kOP，　　即a+mb+m>ab.　　评析　　用解析几何证明不等式，对拓宽我们的思维，提高分析问题的能力和综合运用数学知识解决数学问题有很好的作用.　　　　1 设a, b, c是两两不等的实数，直线l经过点P(b, b+c)与点Q(a, a+c)，则直线l的斜率是 .　　2 经过点M(－m, 3)， N(5, －m)的直线的斜率为1，则m= ．　　3 已知△OBC三顶点的坐标分别是O(0, 0)， B(4, 0)， C(0, 3)，求△OBC各边所在直线的斜率．　　　　1 1.　　2 -4.　　3 OB:0， OC:不存在，BC:-34.

　　直线是最常见的图形，通过初中的学习我们知道，两点确定一条直线.当然，如果知道直线经过一个确定的点，另外还知道直线的方向，同样可以确定直线.而今天我们要学的直线的斜率，则是用数刻画直线倾斜程度的量，它反映了直线相对于水平方向的倾斜程度.　　1 生活中的斜率　　我们去爬山，能够感受到山坡的陡峭和平缓，影响我们这种感受的量称为坡度.坡度=hl，即从山脚至山顶过程中竖直方向和水平方向变量之比（如图1）.如果我们把坡面所在位置抽象成一条直线，那么可以用坡度来刻画直线的倾斜程度.　　同样，影响楼梯陡峭与平缓程度的量也可以用上述比值表示.特别的，若每级楼梯的宽度l和高度h都分别相同（如图2），则坡度=hl.　　2 斜率的定义　　已知两点P(x1, y1), Q(x2, y2)，如图3，若x1≠x2，则直线PQ的斜率为k=y2－y1x2－x1；如图4，若x1=x2，则直线PQ的斜率不存在.　　　　根据斜率的实际意义，k=y2－y1x2－x1=ΔyΔx，即为点沿直线运动过程中“高度”相对于“宽度”的平均变化率.对于一条不与x轴垂直的直线而言，它的斜率是一个定值，它可由直线上任意两点的坐标确定.　　当直线从左下方向右上方倾斜时，斜率为正，若直线绕其上一点逆时针转动至与y轴平行的过程中　　，则斜率越来越大，直至趋于+∞；当直线从左上方向右下方倾斜时，斜率为负，若直线绕其上一点逆时针转动至与x轴平行的过程中　　，则斜率越来越大，逐渐变大到0；当直线斜率为0时，直线与x轴平行；当直线与x轴垂直时，斜率不存在.这样，对于任何一条不与x轴垂直的直线，都有一个唯一的倾斜方向，也就是有唯一的斜率，当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在，但直线也是有唯一的倾斜程度.　　斜率可以刻画直线的倾斜程度，说明用数可以表示几何图形的性质，用代数的工具研究几何性质，正是我们将要学习的解析几何的重要特色，我们要好好体会.　　3 典型例题　　例1　　已知直线上一点的坐标为(－3, 2)，斜率为－43，试求该直线上不同于已知点的另一点的坐标.　　分析　　根据斜率公式k=ΔyΔx，要找出另一点坐标可结合图形，先找出相应的纵方向增量Δy和横方向的增量Δx.　　解　　设所求点坐标为(x, y)，由题意可知y－2x－(－3)=－43，化简可得：　　y=－43x－2 (x≠－3)，取x≠－3且x∈R的任一实数，均可得到相应的y值，求出点坐标.　　评析　　几何问题可以利用代数方法，通过解方程来处理，这也是解析几何中问题解决的重要思想.　　例2　　已知三点A(a, 2), B(5, 1), C(－4, 2a)在同一直线上，求a的值.　　解　　根据直线斜率公式k=y2－y1x2－x1可得，kAB=2－1a－5, kBC=2a－1－4－5.　　已知A, B, C三点共线，必有kAB=kBC.　　由2－1a－5=2a－1－4－5得，a1=2, a2=72.　　故所求a的值为2或72.　　评析　　反之，若直线AB和直线BC的斜率相等（即kAB=kBC），则A, B, C三点共线.　　例3　　已知a, b, m∈R+，且aab.　　分析　　不等式的左边的结构与斜率公式k=y2－y1x2－x1相似，a+mb+m=a－(－m)b－(－m)的几何意义为点(b, a)与点(－m, －m)的连线的斜率.　　证明：如图5，　　因为0　　因为m>0，所以点M(－m, －m)在第三象限且在直线y=x上.　　连结OP， PM，则kOP=ab, kPM=a+mb+m，　　由图可知kPM>kOP，　　即a+mb+m>ab.　　评析　　用解析几何证明不等式，对拓宽我们的思维，提高分析问题的能力和综合运用数学知识解决数学问题有很好的作用.　　　　1 设a, b, c是两两不等的实数，直线l经过点P(b, b+c)与点Q(a, a+c)，则直线l的斜率是 .　　2 经过点M(－m, 3)， N(5, －m)的直线的斜率为1，则m= ．　　3 已知△OBC三顶点的坐标分别是O(0, 0)， B(4, 0)， C(0, 3)，求△OBC各边所在直线的斜率．　　　　1 1.　　2 -4.　　3 OB:0， OC:不存在，BC:-34.