第一章
1. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中原子数之比.
解：设原子的半径为R , 体心立方(bcc)晶胞的体对角线为4R , 晶胞的边长为
, 晶胞的体积为
, 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为
; 面心立方(fcc)晶胞的边长为 , 单位体积晶体中的原子数为
, 晶胞的体积为
, 一个晶胞包含四个原子, 一个原子占的体积为
. 因此, 同体积的体心和面心, 单位体积晶体中的原子数为
立方晶体中的原子数之比为
=0.918.
2. 解理面是指低指数的晶面还是高指数的晶面？为什么？
解：晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面.
3. 基矢为a 1=ai a2=aj a3=a（i+j+k）/2的晶体为何种结构？
解：有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积
由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题14, 我们可以构造新的
矢量,
,
.
对应体心立方结构. 根据14题可以验证,
可见基矢为
,
, 满足选作基矢的充分条件. 的晶体为体心立方结构.
若
+
,
则晶体的原胞的体积, 该晶体仍为体心立方结构.
4. 面心立方元素晶体中最小晶列周期多大？该晶列在哪些晶面内？
解： 周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内. 若以密堆积模型, 则原子面密度最大的晶面就是密排面. [l1,l 2,l 3]晶列上格点周期为
∣R l ∣=∣l 1a +l2a +l3a ∣
密勒指数(111)是一个密排面晶面族, 最小的晶列周期为∣R l ∣=
的性质, 周期最小的晶列处于{111}面内.
5. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ . 根据同族晶面族
解：晶体中原子间距的数量级为
波的波长应小于
米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光米, 是晶体中原子间距的米. 但可见光的波长为7.6 4.0
1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光.
6. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比，对于同级衍射，哪一晶面族衍射光弱？为什么？
解：对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射) 作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射) 作用弱. 另外, 由布拉格反射公式
可知, 面间距
大的晶面, 对应一个小的光的掠射角
. 面间距
小的晶面, 对应一个大的光的掠射角
. 越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.
7. 确定fcc 结构中粒子密度最大的晶面.
8. 温度升高时，衍射角如何变化？X 光波长变化是，衍射角如何变化？
解：温度升高时, 由于热膨胀, 面间距
逐渐变大.
由布拉格反射公式
可知, 对应同一级衍射, 当X 光波长不变时, 面间距
渐变小. 所以温度升高, 衍射角变小. 逐渐变大, 衍射角
逐
当温度不变, X光波长变大时, 对于同一晶面族, 衍射角
随之变大.
5. 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基矢
、 和
重合，除O 点外, OA 、OB 和OC 上是否有格点？ 若ABC 面的指数为（234），情况又如何？
[解答]
晶面族（123）截
面，OA 的长度等于
是格点.
6. 验证晶面（
），（
）和（012）是否属于同一晶带. 若是同一晶带, 其、
和
分别为1、2、3等份，ABC 面是离原点O 最近的晶的长度的1/2，OC 的长度等于
的长的长度，OB 的长度等于
度的1/3，所以只有A 点是格点. 若ABC 面的指数为(234)的晶面族, 则A 、B 和C 都不带轴方向的晶列指数是什么?
[解答]
由习题12可知, 若（
），（
）和（012）属于同一晶带, 则由它们构成的行列式的值必定为0. 可以验证
说明(
），（
=0, ）和（012）属于同一晶带.
晶带中任两晶面的交线的方向即是带轴的方向. 由习题13可知, 带轴方向晶列[l 1l 2l 3]的取值为
l1=
=1, l 2=
=2, l 3=
=1.
7．带轴为[001]的晶带各晶面，其面指数有何特点？
[解答] 带轴为[001]的晶带各晶面平行于[001]方向，即各晶面平行于晶胞坐标系的 轴或原胞坐标系的
为0.
8. 与晶列[l 1l 2l 3]垂直的倒格面的面指数是什么?
[解答]正格子与倒格子互为倒格子. 正格子晶面(h 1h 2h 3) 与倒格式
垂直, 则倒格晶面(l 1l 2l 3) 与正格矢
倒格面(l 1l 2l 3) 垂直.
9. 在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的? 轴，各晶面的面指数形为（hk0）或（h 1h 20）, 即第三个数字一定h 1 +h 2 +h
3 l 1 + l2 + l3 正交. 即晶列[l 1l 2l 3]与
[解答]在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性.
10. 六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子?
[解答] 六角密积属六角晶系, 一个晶胞(平行六面体) 包含两个原子.
12. 面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大? 该晶列在哪些晶面内?
[解答]周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内. 若以密堆积模型, 则原子面密度最大的晶面就是密排面. 由图1.9可知密勒指数(111)[可以证明原胞坐标系中的面指数也为(111)]是一个密排面晶面族, 最小的晶列周期为
族的性质, 周期最小的晶列处于{111}面内.
13. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？
[解答]晶体中原子间距的数量级为
的波长应小于
米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波米, 是晶体中原子间距的. 根据同族晶面米. 但可见光的波长为7.6 4.0
1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光.
14. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么?
[解答]对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射) 作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射) 作用弱. 另外, 由布拉格反射公式
可知, 面间距
小的晶面, 大的晶面, 对应一个小的光的掠射角
. 面间距
对应一个大的光的掠射角
. 越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.
15. 温度升高时, 衍射角如何变化? X光波长变化时, 衍射角如何变化?
[解答]温度升高时, 由于热膨胀, 面间距
逐渐变大, 衍射角
逐逐渐变大. 由布拉格反射公式
可知, 对应同一级衍射, 当X 光波长不变时, 面间距
渐变小. 所以温度升高, 衍射角变小.
当温度不变, X光波长变大时, 对于同一晶面族, 衍射角
随之变大.
18. 金刚石和硅、锗的几何结构因子有何异同?
[解答] 取几何结构因子的(1.44)表达式
,
轴上投影的系数. 其中u j ,v j ,w j 是任一个晶胞内, 第j 个原子的位置矢量在
金刚石和硅、锗具有相同的结构, 尽管它们的
矢量在
大小不相同, 但第j 个原子的位置都一样, 轴上投影的系数相同. 如果认为晶胞内各个原子的散射因子
则几何结构因子化为
.
在这种情况下金刚石和硅、锗的几何结构因子的求和部分相同. 由于金刚石和硅、锗原子中的电子数和分布不同, 几何结构因子中的原子散射因子
不会相同.
第二章
1. 离子键，金属键，共价键，范德瓦尔斯键和氢键中，哪些键可能形成绝缘体和半导体？哪些键具有饱和性和方向性？为什么？
解：
2. 试证由两种离子组成的，间距为R 的一维晶格的马德隆常数M=2Ln2.
3. 只考虑最近邻和次近邻，试计算Nacl 和Cscl 结构的马德隆常数.
1. 是否有与库仑力无关的晶体结合类型?
[解答]共价结合中, 电子虽然不能脱离电负性大的原子, 但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电子, 形成电子共享的形式, 即这一对电子的主要活动范围处于两个原子之间, 通过库仑力, 把两个原子连接起来. 离子晶体中, 正离子与负离子的吸引力就是库仑力. 金属结合中, 原子实依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着. 分子结合中, 是电偶极矩把原本分离的原子结合成了晶体. 电偶极矩的作用力实际就是库仑力. 氢键结合中, 氢先与电负性大的原子形成共价结合后, 氢核与负电中心不在重合, 迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合. 可见, 所有晶体结合类型都与库仑力有关.
2. 如何理解库仑力是原子结合的动力?
[解答]晶体结合中, 原子间的排斥力是短程力, 在原子吸引靠近的过程中, 把原本分离的原子拉近的动力只能是长程力, 这个长程吸引力就是库仑力. 所以, 库仑力是原子结合的动力.
3. 晶体的结合能, 晶体的内能, 原子间的相互作用势能有何区别?
[解答] 自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量, 称为晶体的结合能.
原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能. 在0K 时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多. 所以, 在0K 时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能.
4. 原子间的排斥作用取决于什么原因?
[解答]相邻的原子靠得很近, 以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时, 相邻的原子间便产生巨大排斥力. 也就是说, 原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠.
5. 原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么?
[解答]在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为
时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离
6. 共价结合为什么有 “饱和性”和 “方向性”?
[解答]设N 为一个原子的价电子数目, 对于IV A 、V A 、VI A 、VII A 族元素，价电子壳层一共有8个量子态, 最多能接纳(8- N) 个电子, 形成(8- N) 个共价键. 这就是共价结合的 “饱和性”.
共价键的形成只在特定的方向上, 这些方向是配对电子波函数的对称轴方向, 在这个方向上交迭的电子云密度最大. 这就是共价结合的 “方向性”.
7. 共价结合, 两原子电子云交迭产生吸引, 而原子靠近时, 电子云交迭会产生巨大的排斥力, 如何解释? , 当相邻原子间的距离 > 时, 排斥力起主导作用.
[解答]共价结合, 形成共价键的配对电子, 它们的自旋方向相反, 这两个电子的电子云交迭使得体系的能量降低, 结构稳定. 但当原子靠得很近时, 原子内部满壳层电子的电子云交迭, 量子态相同的电子产生巨大的排斥力, 使得系统的能量急剧增大.
10. 为什么许多金属为密积结构?
[解答]金属结合中, 受到最小能量原理的约束, 要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要尽可能的低(绝对值尽可能的大). 原子实越紧凑, 原子实与共有电子电子云靠得就越紧密, 库仑能就越低. 所以, 许多金属的结构为密积结构.
第三章
1. 长光学格波与长声学格波本质上有何区别？
解：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子) 晶体不存在光学支格波.
2．晶体中声子数目是否守恒？声子与光子有何区别？
解：频率为
的格波的(平均) 声子数为
即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.
按照德拜模型, 晶体中的声子数目N’为
. 作变量代换
，
其中
是德拜温度. 高温时
,
,
即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比.
低温时
,
,
,
即低温时, 晶体中的声子数目与T 3成正比.
3. 温度一定，光学波的声子数目多还是声学波的声子数目多？
解：频率为 的格波的(平均) 声子数为
比声学波的频率
高, (
) 大于(
), . 因为光学波的频率
所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目. {7. 对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多? 解：设温度T H >T L , 由于(
目多于温度低时的声子数目.
8. 高温时, 频率为
解： 温度很高时
, ) 小于(
), 所以温度高时的声子数的格波的声子数目与温度有何关系? , 频率为 的格波的(平均) 声子数为
.
可见高温时, 格波的声子数目与温度近似成正比. }
4，长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化？
解：长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子) 产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化.
5. 爱因斯坦模型所得固体热容量在低温下与试验存在偏差，为什么？
解：按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为
, 属于光学支频率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源.
{18. 在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符?
解：在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符.
19. 在绝对零度时还有格波存在吗? 若存在, 格波间还有能量交换吗?
解：频率为
, 其中
的格波的振动能为是由
个声子携带的热振动能, (
) 是零点振动能, 声子数
.
绝对零度时
, =0. 频率为
的格波的振动能只剩下零点振动能.
格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的. 绝对零度时, 声子消失, 格波间不再交换能量.}
2. 引入玻恩卡门条件的理由是什么?
[解答](1) 方便于求解原子运动方程.
由本教科书的(3.4)式可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.
(2) 与实验结果吻合得较好.
对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定
的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动
谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(参见本教科书§3.2与§3.4). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.
第四章
1．晶体中缺陷分为哪几种？各有什么特点？
2. 何为弗仑克缺陷和肖脱基缺陷？
3. 根据刃型位错模型解释金属范性变形。
7. 试指出立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数.
[解答]滑移面一定是密积面, 因为密积面上的原子密度最大, 面与面的间距最大, 面与面之间原子的相互作用力最小. 对于立方密积, {111}是密积面. 对于六角密积, (001)是密积面. 因此, 立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数分别为{111}和(001).
第五章
1. 从遵循统计规律说明电子与声子的区别
2. 为什么说绝对零度时和常温下电子平均动能十分相近？
解：自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价) 电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近.
3. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？
解：费密能级
其中 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, 变小, 费密能级降低.
4. 高温条件下，电子对技术热容量的贡献有何不同？并说明原因。
5. 金属电导与热导之间有何联系？
4. 与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？
[解答]当电子的波矢k 满足关系式
时, 与布里渊区边界平行且垂直于
界的分量的模等于
. 的晶面族对波矢为k 的电子具有强烈的散射作用. 此时, 电子的波矢很大, 波矢的末端落在了布里渊区边界上, k 垂直于布里渊区边
7. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点?
[解答]电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢
, 正交, 则禁带的宽度
是周期势场的付里叶级数的系数.
不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交.
8. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 其有效质量何以与真实质量有显著差别?
[解答]晶体中的电子除受外场力的作用外, 还和晶格相互作用. 设外场力为F , 晶格对电子的作用力为F l , 电子的加速度为
.
但F l 的具体形式是难以得知的. 要使上式中不显含F l , 又要保持上式左右恒等, 则只有
.
显然, 晶格对电子的作用越弱, 有效质量m*与真实质量m 的差别就越小. 相反, 晶格对电子的作用越强, 有效质量m *与真实质量m 的差别就越大. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用最强烈. 在晶面族的反射方向上, 各格点的散射波相位相同, 迭加形成很强的反射波. 正因为在布里渊区边界上的电子与晶格的作用很强, 所以其有效质量与真实质量有显著差别.
18. 一维简单晶格中一个能级包含几个电子?
[解答]设晶格是由N 个格点组成, 则一个能带有N 个不同的波矢状态, 能容纳2N 个电子. 由于电子的能带是波矢的偶函数, 所以能级有(N /2)个. 可见一个能级上包含4个电子.
19. 本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同?
[解答]在低温下, 本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同. 但本征半导体的禁带较窄, 禁带宽度通常在2个电子伏特以下. 由于禁带窄, 本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发, 跃迁到禁带上面空带的底部, 使得满带不满, 空带不空, 二者都对导电有贡献.
18. 电导大的金属热导系数也大, 其本质联系是什么?
[解答]以立方晶系金属为例，电导与电流的关系是
.
可见, 电场强度
力的量度.
热导系数与热能流密度的关系是
一定, 电导 大, 电流密度
就大. 电导 成为金属通流能
.
可见, 温度梯度一定, 热导系数
大, 热能流密度
属传输热能流能力的量度.
通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数. 而传输热能流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数目. 也就是说，二者传输能量的机制是相同的. 因此, 电导大的金属热导系数也大.
另外, 由(6.126)可知, 金属的热导系数
就大. 热导系数
成为金
.
对于立方晶系金属来说
.
可见立方晶系金属的热导率与电导率成正比, 自然电导大的金属热导系数也大.
第五章
19本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同?
解：在低温下, 本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同. 但本征半导体的禁带较窄, 禁带宽度通常在2个电子伏特以下. 由于禁带窄, 本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发, 跃迁到禁带上面空带的底部, 使得满带不满, 空带不空, 二者都对
第二章
7. 共价结合, 两原子电子云交迭产生吸引, 而原子靠近时, 电子云交迭会产生巨大的排斥力, 如何解释?
解： 共价结合, 形成共价键的配对电子, 它们的自旋方向相反, 这两个电子的电子云交迭使得体系的能量降低, 结构稳定. 但当原子靠得很近时, 原子内部满壳层电子的电子云交迭, 量子态相同的电子产生巨大的排斥力, 使得系统的能量急剧增大.
2. 布洛赫函数满足
=
, 何以见得上式中
具有波矢的意义?
解：人们总可以把布洛赫函数
展成傅里叶级数
,
其中k ’是电子的波矢. 将
代入
=
=
. , 得到
其中利用了
(
是整数), 由上式可知, k =k ’, 即k 具有波矢的意义. 3. 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? 解：波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为
矢空间的基矢分别为
方向晶体的原胞数目. , N 1、N 2、N 3分别是沿正格子基矢
, 而波
倒格空间中一个倒格点对应的体积为 波矢空间中一个波矢点对应的体积为
即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N . 由于N 是晶体的原胞数目, 数目巨大, 所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的. 也就是说, 波矢点在倒格空间看是极其稠密的. 因此, 在波矢
空间内作求和处理时, 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的.
19. 本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同?
解：在低温下, 本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同. 但本征半导体的禁带较窄, 禁带宽度通常在2个电子伏特以下. 由于禁带窄, 本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发, 跃迁到禁带上面空带的底部, 使得满带不满, 空带不空, 二者都对导电有贡献.
20试用能带论解释导体、半导体、和绝缘体的区别。
解：晶体电子的状态由分立的原子能级分裂为能带，电子填充能带的情况分为满带、不满带和空带，对于半导体和绝缘体，只存在满带和空带，最高满带称价带，最低满带称导带，导带与价带之间的间隔称带隙，一般绝缘体带隙较大，半导体带隙较小。
对于导体，出满带和空带外，还存在不满带，即导带。满带电子不导电，而不满带中的电子参与导电。半导体的带隙较小，价带电子受到激发后可以跃迁至导带参与导电，绝缘体的带隙较大，价电子须获得很大的能量才能激发，故一般情况下，不易产生跃迁现象。
第一章
1. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中原子数之比.
解：设原子的半径为R , 体心立方(bcc)晶胞的体对角线为4R , 晶胞的边长为
, 晶胞的体积为
, 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为
; 面心立方(fcc)晶胞的边长为 , 单位体积晶体中的原子数为
, 晶胞的体积为
, 一个晶胞包含四个原子, 一个原子占的体积为
. 因此, 同体积的体心和面心, 单位体积晶体中的原子数为
立方晶体中的原子数之比为
=0.918.
2. 解理面是指低指数的晶面还是高指数的晶面？为什么？
解：晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面.
3. 基矢为a 1=ai a2=aj a3=a（i+j+k）/2的晶体为何种结构？
解：有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积
由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题14, 我们可以构造新的
矢量,
,
.
对应体心立方结构. 根据14题可以验证,
可见基矢为
,
, 满足选作基矢的充分条件. 的晶体为体心立方结构.
若
+
,
则晶体的原胞的体积, 该晶体仍为体心立方结构.
4. 面心立方元素晶体中最小晶列周期多大？该晶列在哪些晶面内？
解： 周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内. 若以密堆积模型, 则原子面密度最大的晶面就是密排面. [l1,l 2,l 3]晶列上格点周期为
∣R l ∣=∣l 1a +l2a +l3a ∣
密勒指数(111)是一个密排面晶面族, 最小的晶列周期为∣R l ∣=
的性质, 周期最小的晶列处于{111}面内.
5. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ . 根据同族晶面族
解：晶体中原子间距的数量级为
波的波长应小于
米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光米, 是晶体中原子间距的米. 但可见光的波长为7.6 4.0
1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光.
6. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比，对于同级衍射，哪一晶面族衍射光弱？为什么？
解：对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射) 作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射) 作用弱. 另外, 由布拉格反射公式
可知, 面间距
大的晶面, 对应一个小的光的掠射角
. 面间距
小的晶面, 对应一个大的光的掠射角
. 越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.
7. 确定fcc 结构中粒子密度最大的晶面.
8. 温度升高时，衍射角如何变化？X 光波长变化是，衍射角如何变化？
解：温度升高时, 由于热膨胀, 面间距
逐渐变大.
由布拉格反射公式
可知, 对应同一级衍射, 当X 光波长不变时, 面间距
渐变小. 所以温度升高, 衍射角变小. 逐渐变大, 衍射角
逐
当温度不变, X光波长变大时, 对于同一晶面族, 衍射角
随之变大.
5. 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基矢
、 和
重合，除O 点外, OA 、OB 和OC 上是否有格点？ 若ABC 面的指数为（234），情况又如何？
[解答]
晶面族（123）截
面，OA 的长度等于
是格点.
6. 验证晶面（
），（
）和（012）是否属于同一晶带. 若是同一晶带, 其、
和
分别为1、2、3等份，ABC 面是离原点O 最近的晶的长度的1/2，OC 的长度等于
的长的长度，OB 的长度等于
度的1/3，所以只有A 点是格点. 若ABC 面的指数为(234)的晶面族, 则A 、B 和C 都不带轴方向的晶列指数是什么?
[解答]
由习题12可知, 若（
），（
）和（012）属于同一晶带, 则由它们构成的行列式的值必定为0. 可以验证
说明(
），（
=0, ）和（012）属于同一晶带.
晶带中任两晶面的交线的方向即是带轴的方向. 由习题13可知, 带轴方向晶列[l 1l 2l 3]的取值为
l1=
=1, l 2=
=2, l 3=
=1.
7．带轴为[001]的晶带各晶面，其面指数有何特点？
[解答] 带轴为[001]的晶带各晶面平行于[001]方向，即各晶面平行于晶胞坐标系的 轴或原胞坐标系的
为0.
8. 与晶列[l 1l 2l 3]垂直的倒格面的面指数是什么?
[解答]正格子与倒格子互为倒格子. 正格子晶面(h 1h 2h 3) 与倒格式
垂直, 则倒格晶面(l 1l 2l 3) 与正格矢
倒格面(l 1l 2l 3) 垂直.
9. 在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的? 轴，各晶面的面指数形为（hk0）或（h 1h 20）, 即第三个数字一定h 1 +h 2 +h
3 l 1 + l2 + l3 正交. 即晶列[l 1l 2l 3]与
[解答]在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性.
10. 六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子?
[解答] 六角密积属六角晶系, 一个晶胞(平行六面体) 包含两个原子.
12. 面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大? 该晶列在哪些晶面内?
[解答]周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内. 若以密堆积模型, 则原子面密度最大的晶面就是密排面. 由图1.9可知密勒指数(111)[可以证明原胞坐标系中的面指数也为(111)]是一个密排面晶面族, 最小的晶列周期为
族的性质, 周期最小的晶列处于{111}面内.
13. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？
[解答]晶体中原子间距的数量级为
的波长应小于
米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波米, 是晶体中原子间距的. 根据同族晶面米. 但可见光的波长为7.6 4.0
1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光.
14. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么?
[解答]对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射) 作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射) 作用弱. 另外, 由布拉格反射公式
可知, 面间距
小的晶面, 大的晶面, 对应一个小的光的掠射角
. 面间距
对应一个大的光的掠射角
. 越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.
15. 温度升高时, 衍射角如何变化? X光波长变化时, 衍射角如何变化?
[解答]温度升高时, 由于热膨胀, 面间距
逐渐变大, 衍射角
逐逐渐变大. 由布拉格反射公式
可知, 对应同一级衍射, 当X 光波长不变时, 面间距
渐变小. 所以温度升高, 衍射角变小.
当温度不变, X光波长变大时, 对于同一晶面族, 衍射角
随之变大.
18. 金刚石和硅、锗的几何结构因子有何异同?
[解答] 取几何结构因子的(1.44)表达式
,
轴上投影的系数. 其中u j ,v j ,w j 是任一个晶胞内, 第j 个原子的位置矢量在
金刚石和硅、锗具有相同的结构, 尽管它们的
矢量在
大小不相同, 但第j 个原子的位置都一样, 轴上投影的系数相同. 如果认为晶胞内各个原子的散射因子
则几何结构因子化为
.
在这种情况下金刚石和硅、锗的几何结构因子的求和部分相同. 由于金刚石和硅、锗原子中的电子数和分布不同, 几何结构因子中的原子散射因子
不会相同.
第二章
1. 离子键，金属键，共价键，范德瓦尔斯键和氢键中，哪些键可能形成绝缘体和半导体？哪些键具有饱和性和方向性？为什么？
解：
2. 试证由两种离子组成的，间距为R 的一维晶格的马德隆常数M=2Ln2.
3. 只考虑最近邻和次近邻，试计算Nacl 和Cscl 结构的马德隆常数.
1. 是否有与库仑力无关的晶体结合类型?
[解答]共价结合中, 电子虽然不能脱离电负性大的原子, 但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电子, 形成电子共享的形式, 即这一对电子的主要活动范围处于两个原子之间, 通过库仑力, 把两个原子连接起来. 离子晶体中, 正离子与负离子的吸引力就是库仑力. 金属结合中, 原子实依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着. 分子结合中, 是电偶极矩把原本分离的原子结合成了晶体. 电偶极矩的作用力实际就是库仑力. 氢键结合中, 氢先与电负性大的原子形成共价结合后, 氢核与负电中心不在重合, 迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合. 可见, 所有晶体结合类型都与库仑力有关.
2. 如何理解库仑力是原子结合的动力?
[解答]晶体结合中, 原子间的排斥力是短程力, 在原子吸引靠近的过程中, 把原本分离的原子拉近的动力只能是长程力, 这个长程吸引力就是库仑力. 所以, 库仑力是原子结合的动力.
3. 晶体的结合能, 晶体的内能, 原子间的相互作用势能有何区别?
[解答] 自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量, 称为晶体的结合能.
原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能. 在0K 时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多. 所以, 在0K 时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能.
4. 原子间的排斥作用取决于什么原因?
[解答]相邻的原子靠得很近, 以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时, 相邻的原子间便产生巨大排斥力. 也就是说, 原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠.
5. 原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么?
[解答]在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为
时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离
6. 共价结合为什么有 “饱和性”和 “方向性”?
[解答]设N 为一个原子的价电子数目, 对于IV A 、V A 、VI A 、VII A 族元素，价电子壳层一共有8个量子态, 最多能接纳(8- N) 个电子, 形成(8- N) 个共价键. 这就是共价结合的 “饱和性”.
共价键的形成只在特定的方向上, 这些方向是配对电子波函数的对称轴方向, 在这个方向上交迭的电子云密度最大. 这就是共价结合的 “方向性”.
7. 共价结合, 两原子电子云交迭产生吸引, 而原子靠近时, 电子云交迭会产生巨大的排斥力, 如何解释? , 当相邻原子间的距离 > 时, 排斥力起主导作用.
[解答]共价结合, 形成共价键的配对电子, 它们的自旋方向相反, 这两个电子的电子云交迭使得体系的能量降低, 结构稳定. 但当原子靠得很近时, 原子内部满壳层电子的电子云交迭, 量子态相同的电子产生巨大的排斥力, 使得系统的能量急剧增大.
10. 为什么许多金属为密积结构?
[解答]金属结合中, 受到最小能量原理的约束, 要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要尽可能的低(绝对值尽可能的大). 原子实越紧凑, 原子实与共有电子电子云靠得就越紧密, 库仑能就越低. 所以, 许多金属的结构为密积结构.
第三章
1. 长光学格波与长声学格波本质上有何区别？
解：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子) 晶体不存在光学支格波.
2．晶体中声子数目是否守恒？声子与光子有何区别？
解：频率为
的格波的(平均) 声子数为
即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.
按照德拜模型, 晶体中的声子数目N’为
. 作变量代换
，
其中
是德拜温度. 高温时
,
,
即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比.
低温时
,
,
,
即低温时, 晶体中的声子数目与T 3成正比.
3. 温度一定，光学波的声子数目多还是声学波的声子数目多？
解：频率为 的格波的(平均) 声子数为
比声学波的频率
高, (
) 大于(
), . 因为光学波的频率
所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目. {7. 对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多? 解：设温度T H >T L , 由于(
目多于温度低时的声子数目.
8. 高温时, 频率为
解： 温度很高时
, ) 小于(
), 所以温度高时的声子数的格波的声子数目与温度有何关系? , 频率为 的格波的(平均) 声子数为
.
可见高温时, 格波的声子数目与温度近似成正比. }
4，长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化？
解：长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子) 产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化.
5. 爱因斯坦模型所得固体热容量在低温下与试验存在偏差，为什么？
解：按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为
, 属于光学支频率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源.
{18. 在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符?
解：在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符.
19. 在绝对零度时还有格波存在吗? 若存在, 格波间还有能量交换吗?
解：频率为
, 其中
的格波的振动能为是由
个声子携带的热振动能, (
) 是零点振动能, 声子数
.
绝对零度时
, =0. 频率为
的格波的振动能只剩下零点振动能.
格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的. 绝对零度时, 声子消失, 格波间不再交换能量.}
2. 引入玻恩卡门条件的理由是什么?
[解答](1) 方便于求解原子运动方程.
由本教科书的(3.4)式可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.
(2) 与实验结果吻合得较好.
对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定
的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动
谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(参见本教科书§3.2与§3.4). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.
第四章
1．晶体中缺陷分为哪几种？各有什么特点？
2. 何为弗仑克缺陷和肖脱基缺陷？
3. 根据刃型位错模型解释金属范性变形。
7. 试指出立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数.
[解答]滑移面一定是密积面, 因为密积面上的原子密度最大, 面与面的间距最大, 面与面之间原子的相互作用力最小. 对于立方密积, {111}是密积面. 对于六角密积, (001)是密积面. 因此, 立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数分别为{111}和(001).
第五章
1. 从遵循统计规律说明电子与声子的区别
2. 为什么说绝对零度时和常温下电子平均动能十分相近？
解：自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价) 电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近.
3. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？
解：费密能级
其中 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, 变小, 费密能级降低.
4. 高温条件下，电子对技术热容量的贡献有何不同？并说明原因。
5. 金属电导与热导之间有何联系？
4. 与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？
[解答]当电子的波矢k 满足关系式
时, 与布里渊区边界平行且垂直于
界的分量的模等于
. 的晶面族对波矢为k 的电子具有强烈的散射作用. 此时, 电子的波矢很大, 波矢的末端落在了布里渊区边界上, k 垂直于布里渊区边
7. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点?
[解答]电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢
, 正交, 则禁带的宽度
是周期势场的付里叶级数的系数.
不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交.
8. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 其有效质量何以与真实质量有显著差别?
[解答]晶体中的电子除受外场力的作用外, 还和晶格相互作用. 设外场力为F , 晶格对电子的作用力为F l , 电子的加速度为
.
但F l 的具体形式是难以得知的. 要使上式中不显含F l , 又要保持上式左右恒等, 则只有
.
显然, 晶格对电子的作用越弱, 有效质量m*与真实质量m 的差别就越小. 相反, 晶格对电子的作用越强, 有效质量m *与真实质量m 的差别就越大. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用最强烈. 在晶面族的反射方向上, 各格点的散射波相位相同, 迭加形成很强的反射波. 正因为在布里渊区边界上的电子与晶格的作用很强, 所以其有效质量与真实质量有显著差别.
18. 一维简单晶格中一个能级包含几个电子?
[解答]设晶格是由N 个格点组成, 则一个能带有N 个不同的波矢状态, 能容纳2N 个电子. 由于电子的能带是波矢的偶函数, 所以能级有(N /2)个. 可见一个能级上包含4个电子.
19. 本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同?
[解答]在低温下, 本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同. 但本征半导体的禁带较窄, 禁带宽度通常在2个电子伏特以下. 由于禁带窄, 本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发, 跃迁到禁带上面空带的底部, 使得满带不满, 空带不空, 二者都对导电有贡献.
18. 电导大的金属热导系数也大, 其本质联系是什么?
[解答]以立方晶系金属为例，电导与电流的关系是
.
可见, 电场强度
力的量度.
热导系数与热能流密度的关系是
一定, 电导 大, 电流密度
就大. 电导 成为金属通流能
.
可见, 温度梯度一定, 热导系数
大, 热能流密度
属传输热能流能力的量度.
通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数. 而传输热能流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数目. 也就是说，二者传输能量的机制是相同的. 因此, 电导大的金属热导系数也大.
另外, 由(6.126)可知, 金属的热导系数
就大. 热导系数
成为金
.
对于立方晶系金属来说
.
可见立方晶系金属的热导率与电导率成正比, 自然电导大的金属热导系数也大.
第五章
19本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同?
解：在低温下, 本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同. 但本征半导体的禁带较窄, 禁带宽度通常在2个电子伏特以下. 由于禁带窄, 本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发, 跃迁到禁带上面空带的底部, 使得满带不满, 空带不空, 二者都对
第二章
7. 共价结合, 两原子电子云交迭产生吸引, 而原子靠近时, 电子云交迭会产生巨大的排斥力, 如何解释?
解： 共价结合, 形成共价键的配对电子, 它们的自旋方向相反, 这两个电子的电子云交迭使得体系的能量降低, 结构稳定. 但当原子靠得很近时, 原子内部满壳层电子的电子云交迭, 量子态相同的电子产生巨大的排斥力, 使得系统的能量急剧增大.
2. 布洛赫函数满足
=
, 何以见得上式中
具有波矢的意义?
解：人们总可以把布洛赫函数
展成傅里叶级数
,
其中k ’是电子的波矢. 将
代入
=
=
. , 得到
其中利用了
(
是整数), 由上式可知, k =k ’, 即k 具有波矢的意义. 3. 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? 解：波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为
矢空间的基矢分别为
方向晶体的原胞数目. , N 1、N 2、N 3分别是沿正格子基矢
, 而波
倒格空间中一个倒格点对应的体积为 波矢空间中一个波矢点对应的体积为
即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N . 由于N 是晶体的原胞数目, 数目巨大, 所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的. 也就是说, 波矢点在倒格空间看是极其稠密的. 因此, 在波矢
空间内作求和处理时, 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的.
19. 本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同?
解：在低温下, 本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同. 但本征半导体的禁带较窄, 禁带宽度通常在2个电子伏特以下. 由于禁带窄, 本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发, 跃迁到禁带上面空带的底部, 使得满带不满, 空带不空, 二者都对导电有贡献.
20试用能带论解释导体、半导体、和绝缘体的区别。
解：晶体电子的状态由分立的原子能级分裂为能带，电子填充能带的情况分为满带、不满带和空带，对于半导体和绝缘体，只存在满带和空带，最高满带称价带，最低满带称导带，导带与价带之间的间隔称带隙，一般绝缘体带隙较大，半导体带隙较小。
对于导体，出满带和空带外，还存在不满带，即导带。满带电子不导电，而不满带中的电子参与导电。半导体的带隙较小，价带电子受到激发后可以跃迁至导带参与导电，绝缘体的带隙较大，价电子须获得很大的能量才能激发，故一般情况下，不易产生跃迁现象。