北京交通大学
硕士学位论文
精确三维图像重建算法及其实现的研究
姓名：兰勇生
申请学位级别：硕士
专业：计算数学
指导教师：渠刚荣
20061201
北京交通大学硕士学位论文中文摘要
中文摘要
摘要：三维螺旋凹具有精确性，高分辨率，图像质量好等优点，其对应的算法一三维精确重建算法，是近年来研究的热点。而根据射线源的不同，可分为平行柬、扇型束和锥束等。
二维的平行束精确重建算法早在上世纪７０年代就被提出了，三维的平行束精确重建算法也以各种形式被提出，但没有统一的公式。在本文中，用构造６序列的方法，给出了一种扎维ｍ如ｎ变换反演的卷积反投影算法，证明了该算法在图像的连续点收敛于原图像。当ｎ＝２时，就是广泛用于图像重建的卷积反投影算法．当ｎ＝３时，是一种新的满三维重建卷积反投影算法，对研究三维局部重建有一定的指导意义。
２００２年Ｋ耐ｓｅｔ，ｌｃ７ｌ给出的反演公式是精确锥束重建方法近年来的突破性理论成果。但仍有些问题存在，如计算量过大，需要的数据量仍然偏大，求偏导困难等，针对这些问题，有很多学者对该算法进行了改进，如Ｚ缸ｈ和只帆Ｘ缸栅ｌ纰ｎ等人提出一种更精确和需要更小数据量的重建公式，该重建方法对求偏导有很大的改进，且有更好的局部性。在孙卜ＰＤｎ算法的滤波过程中，有一步是沿着ＰＪ线在探测平面的投影线进行上“ｆ醣ｒｔ变换，而直接计算会计算量和误差比较大。本文用正则化方法代替了直接计算，得到了该反演公式的一种有效算法实现。我们利用模拟数据进行了数值仿真，试验表明该方法的计算量和计算误差比原方法都要有所减少。
关键词：图像重建；Ｋ０ｔｓｅ优饥算法；历伽Ｐ口佗算法；三维平行束重建；三维锥束重建；Ｒ砌ｎ变换
北京交通大学硕士学位论文
ＡＢＳＴＲＡＣＴ
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北京交通大学硕士学位论文ＡＢＳＴＲＡＣＴ
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北京交通大学硬士学位论文第一章引言
第一章引言
图像重建是图像处理的一个重要的分支，涉及数学、物理、计算机等学科，目前已经广泛应用于医学、地球物理、射电天文学、遥感技术、显微技术、材料科学及分子生物等领域。在医学上，ＣＴ（ｃｏｍｐｕ锄？让矧Ｔ０删殍叩ｈｙ）是其直接的应用，使用最新的三维锥束重建技术，在六秒钟内能将病人的整个身体进行重建一次，极大的帮助了对病症的诊断；在地球物理有多方面的应用，地球物理勘探层析成像、地震层析成像、天然地震预报层析成像等；在安全上，有集装箱检测、包箱检测、反恐、防贩毒等应用；它还可以应用于交通、地质、建设、冶金、石油等部门．
根据射线源的不同，可分为平行束、扇型柬和锥柬等。三维锥束ＣＴ图像重建问题，就是通过采集锥束投影数据，利用尽可能少的数据来得到三维物体的精确图像，实质上是利用已知的函数值来反演原函数分布的过程。锥束重建问题的研究主要集中在如何找一种快速有效采集方式，以及利用采集到的数据如何设计出对应的快速、尽可能精确的重建算法。近２０来，对此有很多的研究工作和各种不同的算法．
二维的平行束精确重建算法早在上世纪７０年代就被提出了，三维的平行束精确重建算法也以各种形式被提出，如ｗ塘ｎｅｒｌ２１】，但没有统一的公式。在本文中，用构造ｄ序列的方法，给出了一种竹维鼽ｄ∞变换反演的卷积反投影算法，证明了该算法在图像的连续点收敛于原图像。当ｎ＝２时，就是广泛用于图像重建的卷积反投影算法．当ｎ＝３时，是一种新的满三维重建卷积反投影算法，对研究三维局部重建有一定的指导意义．
对于三维图像重建问题，在１９８３年，呻【２】和ｓｍｉｔｈ【４】给出了精确重建的充分必要条件：即每一个与被检测物体相交的平面上至少包含一个射线源点。就是每一个与被检测物体相交的平面上至少包要被采集一次。从而仉ｙ１２１和Ｓｍｉｔｈｆ４】的结果在理论上已经解决了三维图像重建问题，然而他们给出的重建公式在数值上很难实现．Ｔｈｙｆ２】和ｓｍｉｔｈ［４Ｊ的结果表明投影数据的采集和重建算法都不是唯一的，因此，如何经济的、高效的采集数据，并利用这些投影数据进行快速、精确的重建算法成为解决问题的关键。
螺旋ＣＴ通过射线源沿着螺旋线移动可以获得连续的投影数据，从而螺旋ｃＴ比传统ＣＴ有着巨大的优势，并且现在已经成为标准的影像医疗工具，由于螺旋ＧＴ的
北京交通大学硕士学位论文第一章引言探测平面是一个二维的探测器，所以比以前的一维线性探测器能一次性获得更多的投影数据，这样就大大的提高了扫描的速度，同时也降低了伪影的产生，从而可以用于像心脏等会随时变化的物体的重建。而螺旋ＣＴ使用的重建算法即是三维锥束重建算法．
三维锥束重建算法可分为：近似重建算法、精确重建算法等。
三维锥束近似重建算法以ＦＤＫ【３】为代表，其实现简单、成像速度快，主要缺点是ｘ射线压轴向锥角较大时远离中心层的重建图像误差较大，但该算法仍是一种较为实用的算法．三维锥束精确重建算法以Ｇｒ缸ｇｅａｔ和Ｋａ＿ｔｓｅｖｉｃｈ等人的工作为代表。ｗｉｎｇｇｅ【１６１对这两种算法进行了详细的比较，得出了分别使用的范围和需要的计算量。Ｇｒ瓶删【５】通过ｘ．射线变换和三维ｍＩｄｏｎ变换的关系，实现了从短物体的锥束重建的精确算法，之后Ⅸ舸瞬【１３】针对长物体问题提出了新的解决办法。在螺旋锥柬ＣＴ精确重建中，Ⅳ线和Ｔ锄．Ｄ柚ｉ幽∞ｎ【１２ｌ窗两个概念起着关键性作用，Ｋａｔ８嘶ｃｈ｜９，１０ｌ在２００２年提出的三维锥束ｃＴ精确重建算法具有突破性进展，该算法并没有用到ｍ删换，一般来说，从Ｋａｔ８ｅｖｉｃｈ算法推导出来的重建公式要比基于Ｒａｄｏｎ变换的重建算法在计算上更有效【７】。虽然是在理论上是精确的，但现实中要实现精确却很困难，ＹｕＨｅｎｇｙｏｎｇ【１４，１５】等人对实现该算法有比较好的结果，并对实现重建中的伪影进行了分类。Ｙ－蛆ｇＪｉ加ｓｈｅｎｇ【１７】等人提出一种锥束覆盖的概念，并将重建的数据和重建次序进行了改进，从而避免了求ＰＩ线，为重建减少了计算量。该算法也是滤波反投影型的重建算法，其计算量明显少于ｍ—ｏｎ变换型的精确重建算法。虽然计算量减少了，但相对于现在的硬件计算速度还不能满足现实要求，所以寻求该算法快速实现是大家关注的问题，Ｋａ诹炯ｃｈｆ６，７＇８，１ｌ】对该算法进行了进一步的改进，将计算量减少了一半，并且推广到一般轨线的重建公式。在Ｋａｔ∞ｖｉｃｈ算法的基础上，ｚｏｕＹｕ，Ｐ蛆Ⅺａ０Ｃｈｕ柚ｆ２４，２３，２５１等人得出另一种精确重建算法，该算法在计算导数上明显比Ｋ曲｜ｅ’ｄｃｈ算法简单、高效、需要更小数据量、局部性重建效果好，该算法先沿着Ⅳ线在探测平面上的投影线进行积分（滤波），再沿着Ｐ胜Ｅ对应的螺旋线进行积分（反投影）。
本文主要研究孙ｕ－Ｐａｎ算法的快速、精确的实现．
在ｚ＊Ｐｎｎ算法的滤波过程中，有一步是沿着Ｐ，线在探测平面的投影线进行三“Ｚ６ｅ竹变换，而直接计算会计算量和误差比较大，本文用正则化方法代替了直接计算，得到了该反演公式的一种有效算法实现。我们利用模拟数据进行了数值仿真，试验表明该方法的计算量和计算误差比原方法都要有所减少。
北京交通大学硕士学位论文第一章引言
第二章引入胁变换及推导出三维平行束精确重建算法。
第三章将首先引入三维锥束重建的数学模型，然后讨论Ⅳ线的数值计算方法，最后引入ＺＤ洳Ｐ帆精确重建算法，并对其实现方法进行改进，通过对改进后的计算方法进行了数值模拟。全文共分四章，主要内容安捧如下：
第四章将对已有工作进行总结，讨论需要进一步改进的方向。
第二章满三维平行束精确重建算法
本本章通过构造广义函数６函数序列【ｌ】的方法给出了一种满三维重建的卷积反投影算法，它简单且易于实现。此算法除了维数上比经典二维卷积反投影算法多一维外，形式上和经典二维卷积反投影法一样，另外本章也给出了经典二维卷积反投影算法的另一种证明；这样二维和任意ｎ维的平行束精确重建公式都有一个统一的反演公式。由Ｎａｔｔｅｒ【２０】知当＂为奇数时反演公式具有好的局部性，所以当，ｌ＝３时反演公式具有好的局部性，这在局部重建中将会有很大作用；本章就，ｌ＝３的情况下分析了算法的具体实现，并通过３Ｄｓ＾ｅ卯一如ｇｏｎ【２２ｌ模拟数据，对整体的完全数据进行了数值仿真，结果说明该算法是有效的。
以下将以介绍任意ｎ维的平行束精确重建公式、该算法的数值方法及模拟结果来展开。
§２．１平行束三维重建的数学描述及必要的概念
定义一（收敛性）【１】．设皿∈∥（ｎ）（广义函数空间），若对即（ｚ）∈９（Ｒ）（基本函数空间）・有厶皿（ｚ）妒（ｚ）出一ｏａ一∞），则称：皿一ｏＧ—ｏｏ）；若皿一夕一ｏ，则移鲰一ｇ．
定义二（腑列）［１】．称协｝函是６序列，
若皿∈∥（Ｑ），即（ｚ）∈９（冗）有厶皿（ｚ）妒（茁）如一妒（ｏ）ａ一∞）．
定义三（尼ｌｄ帆变换）【１９】：称ｇ玎（口，８）是鼢ｄＤ，ｌ变换。若，（力∈９（Ｒ）（基本函数空间），ｇ町（ｐ，ｓ）对任意的口和ｓ都是已知的且魔，（口，ｓ）＝Ｊ；，（ｚ）６扛・口一ｓ）如；这里ｐ∈驴一１（彤上的单位球面），ｚ∈Ｊ≯，ｓ∈冗。
以下是一些要用到的基本概念：
１．伊－１＝扣∈ｊｐ｜｜ｕＩ；１）是有佗维空问单位向量组成的集合。
２．设ｓ是实数，则工：ｓ＝ｚ・ｕ是ｎ维空阃ｊｐ中的超平面。，（ｚ）沿三的ｍｄＤｎ变换：ｇ盯（ｕ，ｓ）＝正：；。，（ｚ）出・有性质留，（ｕ，一ｓ）＝ｇ町（一ｕ，ｓ），即ｇ玎是∞，ｓ）的偶函数，当ｎ＝３时，（ｕ，ｓ）称为图像函数在平面工上的投影。满三维重建就是已知所有ｓ∈Ｒ，ｕ∈碑＝如ｐ＝（∽，岫，吣），岫≥ｏ）的投影值重建三维图像函数。３．反投影算子尉１２０】定义为：若９是定义在ｚ＝｛ｐ，８）１８∈Ｒ，ｕ∈驴－１｝上的函数，则剜９（ｚ）＝Ｊ≥一。ｇｐ・ｕ，ｕ）咖。
为了数学论证的一般性，设，（善）∈铲（留）且有紧支集，即，（￡）的紧支集是ｓ唧ｐ，０）＝仁Ｉ，（善）≠ｏ）是有界的。
§２．２卷积反投影重建算法
为了给出重建公式的统一形式，现在考虑舻中的腑变换反演的卷积反投影方法。
设９是舻中速降函数空间，称函数列｛肌）＾，ｏ是一个６序列，若对任意的妒（ｚ）∈勿，有尘恐Ｊ；弛ｐ）妒ｐ）如２妒（ｏ）・易验证，对任意的妒（茹）∈９有
舰厶鲋（Ｆ）妒（。一§，）如２妒扛）・
若，（功∈驴（舻）且有紧支集，有公式【２０】
，｝科口＝尉（留，｛曲．（２．２．１）
其中ｇ是定义在；＝伊－１×Ｒ１＝｛ｐ，ｓ）ｐ∈伊一，ｓ∈兄１｝上的函数。我们试图通过（１）式来构造一个６序列，使得剜ｑＡ＝ｇＡ，有下面的定理。
定理１若函数凡（ｕ）满足：
（ｉ）ｏ≤ｊ’＾（＂）≤１，如果ｕ≥参，则兄（ｔ，）＝ｏ；
（虹）ＦＡ扣）是”的单调不增函数；
（ｉｉｉ）舰丹（口）＝１・
设弘（ｓ）＝２Ｊ∥２矿一１ｊ＿（”）ｏ∞（２丌ｓ＂）如以及纵（ｚ）＝ＲＩ勘（∞，则驰（功是一个硐：列。
证明：由于，（ｚ）∈Ｌ２∞）且有紧支集，所以
蚰（ｚ）＝剜弘（功＝／ｇ＾ｐ・ｕ）础
＝上一。ｚ．／（州２矿。１兄（ｕ）嘲（２彻．洲）批
令＂＝一ｕ’≥０
ｆ胆扩４见（ｕ）ｃｏｓ（２丌删咖＝￡，。Ｍ”１ＦＡ（ｕ，）ｃｏｓ（２丌ｓ∥）∥
所以
ｒｒＡ｜２
Ｊ一＾ｆ２“（ｚ）＝／／Ｊｐ—ｌ＂。１ｎ（＂）ｃｏｓ（２７ｒｚ・洲）咖幽
北京交通大学硕士学位论文第二章满兰维平行束精确重建算法而Ｍ”１昂扣）ｏ∞（２船・‘‘，ｔ，）也是偶函数，所以
甄（ｚ）＝上一。成Ｍ”１乃扣）ｅ－她一幽山
＝上一。上：Ｍ”１以ｃｕ，ｅ撕一面面
对舻中任意可积函数＿Ｉｌ＠）有（２．２．２）
２厶昧心２上，Ｍ”１厶一，蚓”∽凼咖，ＪｐＪ冠ｌ（２．２．３）Ｊ一一ｌ
因为，令ｆ＝ｗ，ｕ∈ｓ’Ｉ～，＂≥Ｏ，则
ｚ厶㈨鹰＝ｚｆ∥上，（ｗ妣ＪＢ，ＪｏＪ一一ｌ
ｆ矿。１上一。Ｊｌ（ｗ）咖面＝￡（一ｕ，。１二一。＾（一√ｕ）咖∥
＝／阳”１／＿Ｉｌ（１√Ｉｕ）础∥Ｊ一∞Ｊ●＾一ｌ
由（２．３）式代入（２．２）式右端可得
ｆｒＡ豫ｆ
Ｊ，一ｌＪ—Ａ｜２／／Ｍ”１死（…ｕ１）ｅ撕。仲Ｉ由幽＝２／以（㈨ｅ‰’钕Ｊ｝ｐ
所以
蚰（ｚ）＝２／玖（㈨ｅ蛐《西＝２／．凡（㈨伊缸嗽Ｊ尼’．，Ｉ‘Ｉ＜譬
记Ｆ（ｆ）＝Ｊ；，（￡）ｅ一蛐‘‘如是，ｐ）的ＦＤｌｌｒ｛ｅｒ变换。
由于，（ｚｏ）＝Ｊ；ｅ２霄蛔‘‘武，，（￡）ｅ－２椭《出，所以
，
，（知）一，＋饥（知）＝，（粕）一／，０）“（跏一曲出ＪＪｐ
＝，（跏）一／，（ｚ）／．乃（㈨ｅ拥‰卅‘《如Ｊ冗ｎＪＩ‘ｌ≤害
＝厶ｅ２ｍ《必／，（ｚ）ｅ—ｈ锄《如
一以Ｉ≤鲁既“引）ｅ２”。《武厶“力ｅ一打嘶‘如
＝｛丘ｌ；每ｆｌ一乃（㈦）】ｅｈ咖《武＋名Ｉ！譬ｅ２咖‘鹰）厶，（动ｅ以～‘如２名Ｉｓ季ｆ１一Ｆ＾“刳）】Ｆ（。ｅ撕“‘《＋丘ｌ≥譬。打”‘只。武
由Ｆ（ｆ）可积，于是对任惹的Ｅ＞０，存在肘ｌ，便得当Ａ＞尬时，有
ｌ丘Ｉ≥＾，２ｅ２临｛Ｆ（‘）西Ｉ＜丘附胆ＩＦ（ｆ）Ｉ武＜√２
ＪｋＩ≥＾，２
ＪＫＩ≥＾胆
即
Ａ—＋＊。．，ｋｌ≥舭
陋Ｉ／ｅ缸‘“《Ｆ代）武Ｉ＝ｏ…’’
由死（ｔ，）满足条件（诳）可得，ｐｍｊ＇Ａ（吲）三墨１，所以
舰Ｉ，‰）一，・姒‰）Ｉ
≤概丘皤１１一以（ｆ刮）ＩＩＦ悠）ｅ‰‘ｌ必＝ｏ
即驰（功似一∞）是一个６序列。证毕＃
定理２
（碰卷积反投影重建公式）【１８】设ｚ∈口，“，∈扩－１且，（力∈铲（毋）
有紧支集，ｊ＿（ｔ，）是关于＂的偶窗函数，则在，（￥）的连续点有
，（￥）＝上骢厶，ｄＶ上，ｌ町∞，ｓ）似。‘ｕ—ｓ）ｄｓ
Ｉｓ＃１＝如ｌｐｌ＝ｌ，ｕ方向向上）｝
由（２．１）式得
，（ｚ）＝尉（够，・“）（ｚ）
其中Ａ是一个适当大的数。而
（２－２－４）
证明：由ｎ（”）是偶函数可得ｑＡ（８）也是偶函数，又由定理１得剜口为一６序列，再
ＲＩＩ（ｇ町・“）（ｚ）＝／（田，＋“）∞，ｚ・‘‘，）山
＝上一。幽厶曰，∞，ｓ）纵＠・ｕ—ｓ）如
所以定理得证，证毕Ⅱ
§２．３三维卷积反投影重建公式的数值实现
由（２．４）式知，三维空间时，当口∈【ｏ，州，ｕ∈【０’７ｒ】时，ｕ在辞上积分。即
他）＝舰厶缸上。研（州咖‘ｕ叫ｄｓ
；坐恐ｒ枷ｒｓｉｎ幽上刃ｐ潮口＾（ｚ・ｕ—ｓ）幽（２．３．１）
其机＝（ｚ１，勋，秘）∈舻，‘‘，＝（血妒懈口，ｓｉｎ妒ｓｉｎｐ，嘲∞
ｆＡ住
纵（ｓ）＝２／
ｊ＿（＂）可取日。俐俩叩窗，即
铲乃（ｔＪ）ｃｏｓ（２丌ｓ＂）咖
只（ｕ）＝ｎ＋（１一ｏ）嘲（２彻肛），ｎ＝Ｏ．５４．
假设数据采集是以平行束方式取得的，在日方向有尬个等距方位图，在妒方向有尬个等距方位图，每个方位图有２Ⅳ＋１条等距平行线，我们用△表示相邻两个方位图之间的夹角，因此△口＝霄／尬，△妒＝＇ｒ／＾如．用ｄ表示相邻两条等距平行射
线之间的距离，因此ｄ＝Ｅ／Ⅳ，Ｅ表示，（功的紧支集。所以（２．５）式可表示为：
＾ｆ２一ｌ
，（ｒ＇口，妒）≈ｄ△妒∑８ｉｎ（ｍ２△妒）△口
ｔｎ２＝０
村ｌ－１．Ⅳ
・∑∑研（，ｌｄ，ｍｔ△口，弛△纠纵（ｏｄ一，ｌｄ）
ｍ１；０ｎ＝一Ⅳ
（２．３．２）
注：这里用∥ｄ代替了ｚ．‘‘，，用插值法来估计ｚ．ｕ．（２．６）式实际是一个梯形求积公式，因为，（ｚ）有紧支集，所以在边界外为零。
§２．４算法的数值模拟结果
以下是用公式（２．６）实现的模拟结果：
图２．１此组图是３Ｄｓ＾？印一厶蟹∞２酾×２∞×２５６（ｄ＝１，△口＝１０，△矿）灰度范围【ｏ１１的切片图；第一行是原切片图，第二行是重建后的切片图；第一列是ｏ＝Ｏ的切片图，第二列是Ｆ＝０的切片图，第三列是￡＝Ｏ的切片图；
图２．２此图是沿着口＝ｏ，ｚ＝ｏ，ｚ＝【一１船１２８ｌ的一条直线的精确值和计算值的对比图；虚线部分是精确值的图。实线部分是重建值的图：
表２．１：３Ｄ
Ｎｏ．
１
ｄ
Ｓ＿Ｉｌｅ即一切肌模型的参数
Ｃ
６Ｏ．９２０Ｏ．８７４０．３１０Ｏ．４１００．２５００．０７６０．０７６０．０６３Ｏ．０６３０．０９６
知
００Ｏ．２２．０．２２ＯＯ０．Ｏ．０８００．０６
珈
Ｏ．０．０１８４ＯＯ０．３５０．１—０．１．Ｏ．６０５—０．６０５．Ｏ．６０５
匈０ＯＯ０Ｏ
０
西Ｏ０１８—１８０Ｏ０Ｏ００
Ａ１．０－０．５—０．２一Ｏ．２０．１０．１Ｏ．Ｉ０．１Ｏ．１０．１
Ｏ．６９０００．６６２４０．１１０００．１６００Ｏ．２１００Ｏ．０７６００．０７６００．０７６００．０６３００．０６３０
Ｏ．９２００．８７４０．３１００．４１００．２５０Ｏ．０７６０．０７６０．０６３０．０６３０．０９６
２３４５６７８９１０
ＯＯ００
表中口，６，ｃ是椭球的三个半轴长，（知，珈，匈）是椭球的中心，≯是绕ｚ轴的旋转角，Ａ邑每个椭球的灰度增量。图（２．１）、图（２．２）的原图像函数值是通过表（２．１）的模
型参数生成的。
第三章三维锥束精确重建算法
这一章将介绍三维锥束重建的数学模型，然后介绍重建中有关键作用的概念，
即川线的概念及其计算的数值方法。及ｚＤ洳Ｐ帆型精确重建公式。在Ｋａ＿ｔ８ｅ、ｒｉｃｈ【７】算
法的基础上，ｚ叽Ｙｕ，Ｐ腿Ⅺ∞Ｃｈｌｌ蛆【２４，２３，２５ｌ等人得出另ｚＤ廿Ｐ肌型精确重
建算法，该算法在计算导数上明显比Ｋ８ｔｓＥ｝访ｃｈ算法简单、高效、需要更小数据量、局部性重建效果好，该算法先沿着Ｐ，线在探测平面上的投影线进行积分（滤波），再沿着Ｐ，线对应的螺旋线迸行积分（反投影）．该锥束重建算法直接应用是锥束螺旋ＣＴ的成像。
§３．１三维锥束重建的数学模型
三维锥束重建的实际模型之一是螺旋ＣＴ，如图３．１。它由放射源、被测物体及探测平面三部分组成。放射源可以是Ｘ射线，通常是呈锥束状的且有多处，如图３．２，它沿着螺旋轨线移动；探测平面随着放射源移动，通常是放射源与探测平面固定在一个大圆周上，如图３．３，探测平面接收经过被测物体后而衰减了的．Ｘ射线的能量，如图３．４，即是所谓的投影数据。而三维重建就是要从有限的投影数据中尽可能精确的重建出被测问题的三维图像，当然在同样精确的情况下，需用的投影数据量越小越好。评判一个重建算法的好坏通常可以通过重建的精确程度、需用的投影数据、重建的时间（计算的复杂性）、重建的局部性质等。
图３．１螺旋ｃＴ的实物模型
图３．２从射线源出发的截面图
图３．３螺旋ＣＴ的几何模型
图３．４从射线源出发到探测平面的截面图
我们用，（ｚ），ｚ∈帮来表示被测物体的吸收系数的空间分布，而三维螺旋轨线
的参数方程为：
ｅ＝｛暑『∈舻Ｉ钆＝冗ｃ０８（Ａ），抛＝ＲｓｉⅡ（Ａ），细＝７ｌＡ／（２，ｒ），Ａ∈冗）
其中７ｌ＞０是螺距，Ｕ是一个严格在Ｃ螺旋体内的开集，即
（３．１．１）
万ｃ扛∈斧：砰＋霹＜ｒ２ｌｏ＜ｒ＜研
当，（ｚ）Ｉｚ隹ｕ时，（功毫ｏ。
（３．１．２）
设口是射线的单位向量，即
鼬，加占揣
（３．Ｌ３）
锥束变换可以写成：
，∞
Ｄ，（玑励＝／，白＋庳冲
（３．１．４）
Ｊ０
§３．２计算Ｐ睦电的数值方法
Ⅳ线在讹缸ｅ撕曲型算法中有非常重要的作用，对投影数据的滤波是沿着ＰＪ线
进行积分的。
Ⅳ线：一条两个端点都在螺旋线上且对应的弧长之差不超过２丌的线段，且螺旋体内部的任意一点硝口存在且唯一的Ⅳ线（如图３．５）。
Ｖ霉∈矿点上的Ⅳ线的两个端点对应的参数分别用～＝～（ｚ）和九＝丸０），
且知（妨≤丸０），区间啊（ｚ）＝【～（功，凡ｐ）Ｊ称为Ｐ，线参数区间，昂Ｊ０）对应的弧
线记为ｃｆＰＪ（ｚ）．
五＝
图３．５硝线示意图
图３．６螺旋线的坐标系统
Ｉｚ１＝威ｃ∞（Ａ６）＋咒（１一ｔ）ｏ∞（＾）｛龟＝廊ｓｉｎ（～）＋Ｒ（１一￡）８ｉｎ（凡）
（３．２．１）
【勰＝刍ｔｋ＋
嘉（１一ｔ）丸
北京交通大学硕士学位论文
第三章三维锥束精确重建算法
为了解非线性方程组（３．５），首先考虑一族Ｐ，线，这族Ｐ鳇％与过点知＝（ｚｌ，勋，《）
忙瓮’二。
‘２丽面ｊ丽索ｊ丽
＠沈，
ｔ一研妥蒜习
凡一知引瞄。１‘而嚣尝杀豢霭）
％（～）＝嘉ｔ（Ｍｋ＋砉【ｌ—ｔ（～）】Ａｔ（～）
（３－。ｔ３）ｐ。。’（３．ｚ．４）
掣＝每（～训表＋ｔ＋（－叫瓮】
ｌ奏“？‘学）
【褰＝击
（３．ｚ．５）
（３．２．６）
、
’
易验证，如果ｔ，Ｊｌ＞ｏ，沁一沁∈（ｏ，２丌），那么掣＞ｏ，所以方程ｚ３（Ａ６）＝ｚ３有且
只有一个解。令知＝２铲，脚＝器，那么ｏ≤伽＜１，代入（３．５）的第三个方程得：
掣＝争学ｃｏｔ（学）ｌ
（３．ｚ．７）
ｋ一知卅（卜ｔ弦１‘万杀尝赫）（３．ｚ．９）
（３．２．１０）
嘲。１‰）ｓ嘲。‘劢嚣焉譬篆云；宝霖二丽）≤”一嘲。１汹）（３卫Ｊ・）
再由（３．５）可得：
＿１＜电祭铲ｓ嘲一ｌ
化简可得：
（３．２．１２）
ｔ∈【毕，半】
由（３．１５），（３．１７）知，（３．１３）可化为：
（３．２．１３）
ｋ∈‰一（１＋伽）（丌一嘲－１（肋）），知一（１一伽）嘲－１（脚）】
数的零点。
下面给出用二分法计算Ｐ，线的数值计算步骤：
（３．２．１４）
所以函数铂（Ａ６）是单调的且有唯一解，我们可以用二分法或Ⅳｅｔ以帆迭代法找该函
（口）给定的Ｒ，＿７Ｉ，茁＝（霉ｌ，现，如），通过（３．５）可得到砌，ｆ，肋，通过（３．１８）式可得到知的
最大值和最小值，分别记为口’６。
（６）
（１）令知＝（ｄ＋６）／２；
（ｉｉ）由（３．７），（３．８）式可得到ｔ，＾：
（饿）令ｇ＝铂（～）一刍ｐ知＋（１一ｔ）凡】，如果￡≥ｏ，那么Ｂ＝～，否则６＝～
令￡ｔ表示最大误差，对于给定的Ｅ１，如果Ｈ＞ｓ１。跳转到第（ｉ）步・直到Ｈ≤￡，为
止。这样就可得到ｋ凡，ｔ及ｂｊ（动＝队，丸ｌｏ
以下是求ＰＩ线的数值试验结果（如表（３．１）），假设Ｒ＝ｌ，，ｌ＝１，￡ｌ＝１．０
取四个样本点。
ｘ
１０～，
表３．１：求Ⅳ线的数值试验结果
ⅣＤ．
１２３４
Ｚ
～
３．２１７１８３．０９５３６１．８８７７７Ｏ．４９０２０１
九
８．０４２４１６．６１２３９５．０９２３８４．５３６０７
￡
ｚ（一Ｏ．５３１５６，Ｏ．５３２６４，Ｏ．９５３５４）ｚ（一Ｏ．１７４５６，Ｏ．１６３６４，０．７２９８６）￥（０．０６３４４，一Ｏ．０８２３６，０．５８０７４）
ｚ（Ｏ．３０１“，一Ｏ．３２８３６，０．４３１６２）
８．２４０９９ｅ－００８３．００１９５８ｅ－００８６．４３８４６ｅ－００８２．０２００３ｅ－００９
§３．３加洳Ｐｎｎ型精确重建公式
Ｚ伽ｙｔｌ，只帆ＸｉａＤｃｈ口ｎ等在文章中给出了一个精确的滤波反投影重建公式，
该算法先沿着Ⅳ线在探测平面上Ｄ的投影线进行积分（滤波），然后沿着抽对应的
螺旋线进行积分（反投影）。下面将引入这个公式．
§３．３．１重建公式
首先引入两个坐标系如图（３．７）分别为｛ｚ，弘ｚ，与｛牡，ｔ，，埘｝，ｚ！，ｚ是整体坐标系，
其原点一般在被测物体的中心位置，而ｔｎ儿ｕ是局部坐标系，其原点在螺旋线上的
射线源点处，即在螺旋线上移动。伽伽坐标系是甜ｚ坐标系绕ｚ一轴逆时针方向旋
转Ａ，即
㈠亨刊㈠
＠弘，
甜
Ｗ
图３．７三个坐标系的示意图
（ｔ协
图３．８Ⅳ线投影的示意图
北京交通大学硕士学位论文第三章三维锥束精确重建算法所以ｔｎ舢坐标系的三个轴上的单位向量分别为：
乏（Ａ）＝（一咖Ａ，ｏ嘴Ａ，ｏ）？
孟（Ａ）＝（ｏ，ｏ，１）Ｔ
云（Ａ）＝（ｃｏｓＡ，ｓｉｎＡ，ｏ）Ｔ
由（３．１）知，删加坐标系的原点坐标为：
菇（Ａ）＝（冗ｃ∞Ａ，Ｒｓｉｎ＾，嘉Ａ）Ｔ
易知，删伽坐标与ｚ舻坐标之问的关系：
ｚ＝一牡８ｉｎＡ＋（伽＋固ｃ０６Ａ
Ｆ＝ⅡｃｏｓＡ＋（伽＋硒如Ａ（３．３．２）
ｚ＝ｔ，＋嘉Ａ
假设探测平面Ｄ的方向为乏Ｏ）且距离源点蔬（Ａ）为ｓ，那么在Ｄ平面上的二维坐标系记为ｆ呦，％），由Ｄ平面与伽平面平行知，％一轴与％一轴的单位向量分别为五（Ａ），乏（柚。原点则是源点磊（Ａ）在Ｄ平面上的投影点。
易知，｛钍，ｔ，，伽）与｛‰，％）的关系：
＂２了％
ｔ，＝等％
当探测平面Ｄ足够大且Ａ固定时，Ｖ譬∈玑ｚ与（蛳，砌是一＿对应的。
由（３．３）知（３．３．３）
ｐ（ｕｄ，抛，Ａ）＝万石｝面［蛳云（Ａ）＋％云（Ａ）一ｓ云（Ａ）】
Ａ（呦，啦）＝￣／嵋＋嵋＋ｓ２
由（３．４）知（３．３．４）
．Ｄ，（菇（Ａ），仂＝／，（菇（Ａ）＋ｔｐ（ｚ，Ａ））ｄｔ
＝／，（磊（＾）＋妒（‰，抛，Ａ））疵
＝Ｐ（蛳，抛，Ａ）
由（３．５）知，给定一点。＝（ｚｌ，勘，瓢）可唯一确定凡，ｋ，厶若固定源点磊（Ａ）及ｚ，（３．３．５）则可以确定ｚ点所在的Ｐ鹿Ｅ，记“，为Ⅳ线上的一维坐标系，那么ＰＪ线段的两个端１７
北京交通大学硕士学位论文第三章三维锥柬精确重建算法点分别记为ｔ‰，ｕ“且ｔＩ霄ｂ≤ｔＩｆｔ；记（ｔ协，ｔ协）。（ｔ恤，址）分别表示ｔ铀，ｔ‘ｆｔ在Ｄ平面上的投影坐标，如图（３．８）。易知，（蛳，％）与‰的关系：
ｔｌｄ：竺苎二兰生（ｔｋ一＂曲）＋蚰牡耐一ｔＩｔｂ
ｔ７ｄ＝兰！！二兰（ｔｈ—ｕ神）＋ｔ『西１姐＝石：＝瓦【１ｈ—ｕ神）＋。协
在ｚ甜一Ｐ帆｛２４Ｊ中的三维锥束重建公式为：（３．３．６）ＩＪ。３‘哪
，（乃
一去［耥上糟・去幽（》．∞
其中土冲滕黼糟去咖
，（“，对一Ｉ掣似蚋∽１Ｐ‰，¨）＋ｌ掣荫小…，掣＋ｌ掣司小…，骂掣＠。固
掣低们，＝南易证：
・卜ａ甜Ａ＋ｓＲ血ＡｃｏｓＡ＋砌ａｃ毋Ａ＋去Ⅷ】
（３．３．９）¨“。７
（３．３．１０）
（３．３．１１）掣司＂＝冗掣日柚＝去＝孺乒击手甭（肌＋嘉蝴）一正再可干夺Ｖ…。２７ｒ”７
求偏导可以使用中点公式：
／（移＋＾）＝去【，‰＋２＿１１）一，‰）卜等厂『，（。
由甲点公式得：
由（３．２７）一（３．２９）易得：掣＝击ｍ＋龇枷＿Ｐ（《一‰训（３．ｓ．１２）掣＝去［Ｐ（“＋舰∽叫“一舰巾３．３．１３）甏措＝若端蹦础
令鬻㈣＝叫训
絮黼＝嘶∽Ａ２（心（疋），以（《））
Ａ（嵋（《），嵋（ｕ：））…、’’…一…””７
ｆＡ椎＋南骂产＋磊孺雨∑葡业（＆３’１４）＋嘉南鼍产＠３“，下面引入正则化定理：ｖＡ∈Ｒ，令Ｆ＾是一个可积实函数，且对Ｕ２Ｏ，满足：Ｇ）ｏ≤Ｆ＾（ｕ）≤１，如果ｕ≥譬，则Ｆ＾（∽＝ｏ；（ｉｉ）ｊ．＾（ｕ）是ｕ的单调不增函数；（饿）舰乃（ｕ）＝１・令
舶（钍）一一２／以（∽ｓｉｎ（２丌魄）彤
，Ｏ
则｛ｍＩＡ＞ｏ）是一个正则化函数族，即满足关系式：
舰眵，州（ｔ，）＝俐（＂）
由上“Ｚｋｎ变换和正则化定理知：
亭上考熬ｄｕ：＝。嬲“（呦＝热Ｇ＋肌∽（柚）
＝一ｚ舰／厂脚）咖岫蜊∞】出
．Ｇ（‰，Ａ）幽：（３．３．１５）
当确定～，＾，Ａ时，可确定ｔ协，ｔ恤，ｕ出，铀，呦，％，由（３．２１）知：
进一步得：们）一等糍铴（¨）＝黼∞，＝≤篝蔷ｂ
嚣（Ａ一～）：型ｔ协（知，”
ｔ岫（九，Ａ）：＠。瑚，：堑！：：：Ｒ【１一ｃｏｓＱ—Ａ６）】：曼塑坠二塑１一ｃｏｓ（Ａ一九）（３．３．１７）
毗（丸，Ａ）＝可Ｆ面而＝研等ｎ一＾）
前面规定‰为一维坐标系时，并没有规定源点，这里规定，取ｔ‘。一‰的中点为源点。ｔ‘ｔ可由呦，％来确定，即‰＝［篆老一ｏ．５］厄鬲万丽（３．ｓ．・８）弧舳）２而高等南“：＋锄
讥¨）２而言等岩杀丽札：＋铀（３．ｓ舶）易证，由《可推出以，访的关系式：
令
寻上器瓷越＝只（凡丸，丸）
＝见（沁，凡）
＝玛（～，九）寻／：菘避赋，ｒ厶‰（凡）一嵋一。；上蒜隧如：丌厶‰（Ａ６）一嵋一。
最后，可得到反投影的表达式：
ｋ：ｈ（ｉ）ＬＩ∥卜去、羹，［鬻辫…㈨叫∥）＝去∑Ｉ等凳去铲肿＾舭叫”、。７Ｉ＋去雠叭Ａ）＋磊育专焉幕矛易（～，九）ｏ
北京交通大学硕士学位论文第三章三维锥束精确重建算法
一去军端群ｍ㈨１７一菇（ｈ）Ｉ～……”２７ｒ＠。脚，………
实现该算法的数值计算可总结为以下几步：
（口）对于给定点７＝（ｚ，玑ｚ），可以通过（３．５），用第（３．２）节的方法唯一确定Ⅳ线，即～，凡。
（∞对坝∈‰，Ｍ，通过（３．３４）可求得锄．，ｔ『而，ｔｌｄｌ，％，缸ｄ，％。进一步得，
求得Ｇ・（《，Ａ），Ｇ２（疋，～），Ｇ・（疋，丸），进而求得Ｆｌ（Ａ，～，丸），尼（～，凡），乃（～，九）．（ｃ）根据（３．３８），最终得到，（ｚ，Ⅳ，ｚ）的值。
§３．３．３重建公式的数值模拟彳；！：鬻产，≈等！：爰铲，≈；芝；：爰铲；通过（３・３６）可得‰；利用（３‘２６），（３．３７）可
首先，我们可以一次性把所有要重建的点（ｚ，暑，，ｚ）计算出Ⅳ线，即知，九，对于给定的Ｐ（啦，抛，Ａ）可以一次性计算出相应的Ｇｌ（坳，瑚，Ａ），Ｇ２（％，抛，Ａ），岛（锄，抛，Ａ），以后要用该数值时可以通过内插值法进行插值。下面计算肌（‰一《）。砍（ｕ）是窗函数，在本文的模拟试验中，取广义汉明窗。因为肌是对ｔｌ：沿着“。进行积分的，而探测平面Ｄ是有限大小的，假设有Ｍ×Ⅳ个点，间隔分别为△呦，△％，那ｔ‘，一《∈Ｉ＿、／ｉ】ｉ死函万再币娩【ｉ矛，￣／丽死函万丐－（丙ｊ而严Ｉ，其间隔取决于最（Ａ，知，凡），足（ｋ～），马（沁，丸）对《的积分间隔，在本文的模拟试验中，取△＝盟竺ｌ±丝，这样可得肌（‰一ｔ‘：）的所有可能的值，且整个重建的过程中只需求一次．由于在探测平面外的函数取值都认为是零，所以对ｔ的积分上下限是有限的，即“：∈卜乎，半】・在我们的模拟试验中，螺旋ＣＴ的相关参数如表（３．２）所示。
北京交通大学硕士学位论文第三章三维锥束精确重建算法
表３．２：螺旋ＣＴ的相关参数
ｒ（被测物体的半径）
日（被测物体的高度）
Ｒ（螺旋线的半径）
Ｓ（射线源到探测平面的距离）２５５０７５１５０
５００
６０
ｌ
１
ｌＯ
４００Ｍ（探测平面水平方向的取样数）Ⅳ（探测平面垂直方向的取样数）△Ⅱｄ（探测平面水平方向的间隔）△抛（探测平面垂直方向的间隔）＿｝ｌ（螺距）螺旋线每圈上的射线源点取样数
Ａ的取值范围
图像大小【一１０丌，１叫２５６×２５６×２５６
这里使用的原图像函数是通过表（２．１）的模型参数生成的，图像重建的模拟结果如图（３．９），（３．１０），（３．１１）所示，重建范围从一１０丌到１０丌，灰度范围【０ｌ】．
图３．９白＝一０．４６８７５，ｚ＝一１）到扫＝ｏＪＤ９３７５，：＝１）的切片图，左边是原图，右边是重建后的
图
北京交通大学硕士学位论文第三章三维锥束精确重建算法
图３．１０伽＝一ｌ，ｚ＝一１）到ｐ＝ｏ．７，＝＝１）的切片图，左边是原图，右边是重建后的图图３．１１伽＝－ｏ．蜩，７５’Ｆ＝一１）到任＝０．０９３７５，Ｆ＝１）的切片图，左边是原图，右边是重建后
的图
北京交通大学硕士学位论文第三章三维锥束精确重建算法
图３．１２ｏ＝ｏ处的切片图，左边是原图，右边是重建后的图
图３．１３可＝０处的切片圈，左边是原图，右边是重建后的图
图３．１４
ｚ＝ｏ处的切片图，左边是原图，右边是重建后的图
北京交通大学硕士学位论文第四章结束语
第四章结束语
本文主要研究了三维锥束的精确重建算法，并详细的给出了求Ｐ，线的算法和数值实现步骤，其中以ＺＤ弘Ｐ吼算法为主要研究对象，并改进了实现算法，使得改进后的算法减少了伪影，并做了数值模拟试验，效果较好。
本文中是用正则化方法代替原有的算法中做上“ｆ６ｅ竹变换，从而进一步增加了精确性。然而正则化的过程中要取定Ａ的值，不能满足理论上对Ａ—ｏｏ的假设，所以还是有一定的误差。另外，具体的误差是多少，及如何判断两种算法的误差的大小等都有待进一步的研究。
北京交通大学硕士学位论文参考文献
参考文献
【ｌｌ盏尔芳特，希洛夫．广义函数Ｉ．北京：科学出版社，１９明．
｜２ｌＨ．Ｋ．１、聃ＡⅡｉ删竹ｓｉ∞如ｒ矾ｌｌ矗蠡玎∞珊－ｂ哪阳喇１ｓ‘ｎ｜ｃ‘ｉｏ儿ｓＩＡＭＪ删胁囊ｌ∞Ａｌ，邮ｅｄｍａｌ蛔．∞（１惦３），劓６－砧２．Ｍ酬ｂｅ．
【３】Ｌ．＾．ＦｅⅫ妇印，Ｌ．ｃ．Ｄ删曲，Ｊ．ｗ．Ｋｆ嘲．晰ｉｃ柚∞∞・ｂ咖ａｌ霉嘣ｔｈｍ．Ｊ．ｏｐ‘．ｓｋＡｍ．１（Ａ）（１舳４）６１２击ｌ９．
【４ｌＢ．Ｓｍｉｔｈ．Ｉｍａｇｅ舶∞删吐嘣ｉ衄丘锄咖ｅ＿ｂ∞ｍｐｒｏｊ∞恼蛳加钟缈ａｑａ玎ｄ舶ｌｍｄ衄ｔ伽砌ｔ．蛐ａｎｄ阳∞聃ｈｌｌｃｔｉ∞珊吨ｈｏｄ８．ＩＥＥＥＴｈ珊．Ｍｅ出ｋｍ西吣．４（１９踮），１４－２５．
１５】Ｐ．Ｇ咖卵札．Ｍ８ｔｈ朗圳ｃａｌ奇锄朗ｒｏｆｋｏｆ伽ｅｂｅａｌｎ３Ｄ托舢ｔｒＩｌｃ‘ｉ仰ｖｊａｔｈｅ五Ｉｓｔｄｅｆｉｖａｔｉ＂ｏｆｔｈｅＲ丑ｄ∞ｔｒ衄疵ｆｍ，虹｛Ｍａｌｈｅｍ雠ｉｃｍＭｅｔｈｏ凼．ｍ
６Ⅲ．
ｆ６ｌ
８ＬＡＭＴ０ｍ昭｜－由，Ｉ七吐ｕ弛Ｎ神∞ｊｎＭａｔｈ．１４９７（１蛐１），Ａ．ＫａｔＢｅ岫．ｎ。叫ｅｔｊｃｄ可嘞ｃｔ矗ｌｔ曲日ｄｂａ却ｒｏｊｅｃ‘ｉｍ旧，ｐｅ蛔憎咖ｎａｌ霉砸ｎⅢＩ细印Ｉ瑚凹ＪａＩＩｍ矗Ｉ∞ＡｐｐｕｅｄＭａｔｈ哪砒Ｉ荡．∞（２∞２）＇∞１２－２０２６．
ｍＡ．Ｋａｔ钾ｖ｜ｄ．＾ｎ王ｍ口洲ｅｄｅｘ扯ｔ矗ｌｔ∞阳ｂａｄｐｒｏｊ∞Ｈ蛆蛔ｔｈｍｈ８砷瞄湖ｐＩｌｔｅｄｔ０瑚掣ａｐ坶＾‘Ｉｖ蝴缸ＡｐｐＩｉｅｄＭ砒ｌ始ｍ鲥ｂ．３２（２∞４），鹋１瑚７．
Ａ．Ｋ越糖ｖ地Ａ伊ｎ盯ｍ
ｔｊｏｎ址Ｊｏ帆“０ｆＭ砒ｈｅｍｄ妇ａⅡｄＭ砒ｈｅｍ８ｌ跏ｓｃｉｅｎ嘲．２１（２０∞），１３０５－１３２１．｜８ｌ８出咖ｅ细伽棚㈨ｊ丑ｇｊｎｖ钉棚蜘ｔｈｍｈ岫ｂ咖既ｈ土ｅｍＩ
【。ｌＡ．１（ａｌ鳓．＾ｎ喊出ｏｒｉｔｈｍ蛔印叫四
硼瑚呻ａｎｄＡｐｐＩｉｃ蜊删．２∞１．
ｎｏ】＾．Ｋ砒∞ｖｉ曲．＾ｎｄｙ８ｉＢｏｆ’柚ａ【＾ｃｔｉ脚啊８ｉ∞ｄｇ∞恤＾Ⅱ印由ａｌ啪ｅ．ｂ蛐１０Ｔ．Ｐｂ＾Ｍｅｄ．Ｂ湖．
４７（２∞２），蠲酪２研．
１１ｌＪＡ．Ｋａ酬西，ｅｔａ１．Ｅ憎岫ｉ∞ａｎｄ锄曲ｋ■锄蛐ｏｆ柚ｅｘ∞ｔＦＢＰ矗ｌＩ卿汕ｍｈＢｐｊｌ＿ａｌ咖争
ｂ蛐ｃＴ．ｓＰｍＭｅｄｉｃａｌＩｎｌａＩ乒婚５∞２（２０∞）＇６６３－６７４．
ｔ１２】Ｐ．Ｅ．ｎ帆ｉ曲翦掘ｎａ１．ｍ搠ｔｒ山∞【Ｂｃ‘枷础ｎＩｃｔｉ∞ｈｈｅｌｉ∞Ｉ∞ｎｅ＿ｂ∞船船咖ｉ醒ｏｆＩｏ略ｏｔ咖ｃｔ艮
Ａ蜘ｄｅｔｅｃ‘田撕髓叫｝咖ｅｎ‘ａｎｄ＾ｎｇ－蜘ｐＩ岫∞Ｂ伽恤Ｉｉｔ妇，Ｐ慨ｌ氍１７Ｍｅｅｔｉｎｇ如吣３Ｄｌｍａ卵ｍ棚邶ｔｎｌｃｔｉｏｎｉｎＲ“ｉ０１０盯蛐ｄＮｕｃｌｅ盯Ｍｅｄｉｄｎｅ（ＰｉｍｂｕＦｇｈ）（Ｄ．、ＨＴ０忉啪ｄ衄ｄＰ．Ｅ．ＫｉｎＩＩｈ８ｎ，ｅ血），１９９７’１４１．１４４．
【１３ＪＤ．暗Ｈ盼Ｍ，Ｎ∞ＦａｎｄＫｕｄｏＨ．Ａ∞ｌｕｔ；恤ｔｏｔｈｅｌｏｎｇ－ｏｂｊｅｃｔｐｒｏｂｌｅｍｉｎｈｅｂｃａｌ∞ｎｅ．ｂ锄ｔ锄喈
ａｌ鲫岫ｍ蛔印ｉｒａｌ。叩岵Ｐｈｙｓ．Ｍｅｄ．Ｂ“．４５（２∞ｏ），６２３－４３【１４ｌＨｅｎｇｙ加ｇＹｕ蜘ｄ
【１５ｌ∞ｎｅ＿ｂ锄Ｇｒ．Ｊ彻ａｌｘ．Ｒ町ｓｃｉｅｎ∞ａｎｄ凰曲瑚如ｇｙ．１２（２００４），９７－１１６．Ｈ蛆驰ｇＧｅｗ抽ｇ．ｓｔｕｄｊｅ８蛳删‰０ｆｔｈｅＫ幽ｅｖｉｄｌａｌｇ喇ｔｈｍｈ８ｐｉｍ啪ｅ＿ｂ鲫ｏｆＹｕａ玎ｄＧｅｗｈ％ｓ埘ｉ嚣傩妇ｐｌｅｍ枷ａｔ．ｍｏｆｔｈｅＫａ协ｅｖｉｃｈ
ｃＴ．Ｐｍ∞ｅｄｉｎ铲０ｆｓＰＩＥ．５５３５（２００哇）
【１６】Ｇｅｗ啦，ｓ帆ｍｇ
ＣＴｗ融Ｉ脚‘Ｇ咖辨ｇ‘．１细ａｎｄＩ（Ｉ妇砒Ｔ婀Ａ嘧埘她ｆｈｃｏｍ．Ｂ蛐ｃ玑Ｔｈｅｏ町ａｎｄ＾Ｍｍ脚畸啷．Ｖ乩１２，Ｎｏ．２，∞∞，４５・５５．
Ｅ１钉Ｊｉａ∞ｈｅｎｇ№ｑ柚ｇＫ伽ｇ＇ｅ‘丑Ｌｃ曲ｅｂ伽册ｍｔｈｏｄ：Ａｎ印ｐｒｏ础ｔｏｐｅ血嘶ｂ诎－
聃ｊ∞ｔｉ衄缸Ｉ（１岫ｅｖｉｃｈ’Ｂｅｘ坼ｔ蜊ｔｈ６盯叩砌㈣ｂ锄ＣＴ．Ｊ删ｍａｌ０ｆｘ．Ｒ町Ｓｄ即∞衄ｄ
仉曲呲岫ｇｙ．１２（∞峭），１９９．２１４．
１１８】Ｌ柚Ｙ‘删卿嘲％ｑｕＧ柚ｇｒｏ醇，哦ａＬ
ｄ．衄删ｌｓｊ衄“蛔ｄ驴腭∞脚虹ｌＩｃ‘ｉｏｎ．Ｃｈｉ蜮Ｊ０删’曲ＩＯｆＳｔｅｒ∞ｌｏ口ＡｎｄＩｍａ卵Ａｍｄｙｓ缸．ｖ０１．１０＇
Ｎ“３，２瞄，１７０－１７３．
【１９ｌＧ．Ｔ．赫尔曼，严洪范，等译．由投影重建图像ｃＴ的理论基础．北京：科学出版社，１９髓．ｃ‘ｍ∞ｌｎ啪巾ｂａ矗吣ｊ∞ｔｉ帆蜊ｔｈｍｏｆｆＩｌⅡｙｎＩｒｅｅ－
㈣Ｎ蜘Ｆ．‰Ｍ砒ｈｅｍａ毫ｊ∞ｏｆｃ‘姗辨帆血ｅｄＴ（哪０９呐：Ｎ押Ｙ砒，Ｊｏｈｎｗｍｙ＆ｓ啷．１９８６．
【２１１ｗｈ印付ＪＭ，Ｆ．Ｎ∞．硼ｌｒ∞碰ｍ曲ｓｉ加ｌ囊ｌ蛔ａ卵Ｍ础ｔｒＩＩｃｔｉ∞ｂｍ靠ｐｏｎｅｎｔｊａｌｐａｆ柚ｌｅｌ．ｂ嘲Ⅳｏｊ∞虹曲＆ｍＥＥ嘶Ｎ１ｌｌ８ｃＬ∞０１，船（３），弛瑚．
ＬＡＩ矧ｓｈｅｐｐａ血ｄ岫ＢＦ．ｍＦｏ妇＂舢ｔ删ｊ∞ｏｆａｈｅａｄ∞ｃ‘．啪．ＩＥＥＥ船Ｎ１ｌｌｓｃｉ．
矧Ｙｕ细＾ｎｄ龇Ｐａｎ．蛳ｉｍ噼Ⅻ蛐∞ＰＩ．陆ｌ‰蛐Ⅷ柏．ｍ姒
ｈｅｌｊｌｃＢｌ１９７４，Ｎ＆２１，２ｌ椎啪ｅ－ｂ蛐ｃｒ．Ｐｈ弘Ｍｅｄ．Ｂ湖．４９（２０毗），９４Ｉ－９∞．ｆ刎Ｙｈｚ鲫ａｎｄ）【ｉ∞ｄｍ衄Ｐ曲．ｈ８卵地咖ｔｍｃｔｉ∞佃ＰＩ．１ｉｎ∞珂ｕ∞ｏｆ舭盯ｄｂａｄ呷ｉ酬叩ｊｎｏ叩睁ｂ锄ｃＴ．Ｐｈｙ暑．Ｍｅｄ．Ｂ“．∞（２０阻），盯１７．２７３１．
ｆ２５Ｊ】【ｊ∞ｃｈｕ衄Ｐ柚，Ｄ锄）【ｉａ，巩ａ１．Ａ
ａｎｄｌｌｎｉ丘ｅｄ叫蛐ｏｆＦＢＰ＿ｂａ。ｅｄａｌ酬ｔｈ瑚ｉｎｈｅｎｃａｌ咖争ｂ∞ｍｄ比ｕＩ盯∞∞・ｂ彻ａｎｄ蠡ｎｂ锄∞ａ麟ｎ驴．Ｍｅｄ．Ｂ蹦．４９（２００４），４３４９＿４３曲．
致谢
首先非常感谢导师渠刚荣副教授，本论文的各项工作都是在渠老师的悉心指
导和亲切关怀下顺利完成的。两年多来，无论是在基础课学习过程中，还是在论
文的选题、研究以及成文的过程中，渠老师自始至终都给了我极大的支持和帮助。
渠老师以渊博宽广的知识系统、严谨务实的治学态度和把握科学前沿的敏锐洞察
力使我受益匪浅；他谦虚正直、平易近人的长者风范和对学生无微不至的关怀是
给我的另一笔人生财富，在此特向渠老师表示深深的敬意和感激。
感谢关心我们成长的学校、学院领导，感谢给我以传道授业解惑和在生活学
习上支持帮助我的所有老师们。
感谢同门的师姐师弟师妹们，共同的学习、探讨与合作使我收获多多。感谢
所有一路走来、互相勉励的同学和朋友，感谢他们在学习和生活中给予我的关心
和帮助。
对父母及家人的感激是无法用语言表达的，他们对我的无私支持和鼓励是我
前进的最大源泉和动力。
最后，诚谢各位专家和学者在百忙中审阅我的论文，诚恳接受您的宝贵意见
和建议，并期待您的批评和指导。
兰勇生
２００６年ｉ２Ａ于北京交通大学理学院
北京交通大学硕士学位论文独创性声明
北京交通大学学位论文独创性声明
本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行研究工作及取得的研
究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他
人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其它教育机构
的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均
已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
学位论文作者签名：呈乌ｔ杉日期：≯卯埠ｆ狷ｆ７日
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本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特
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学位论文作者签名：兰匀‘￡导师签名：坚膏１蓉
签字日期：卫ｏｏＧ年ｆｚ月飞日签字日期：切鲐ｆ胡，，日
北京交通大学硕士学位论文作者简历
作者简历
兰勇生（１９８１．）。男，畲族，江西赣州人，硕士研究生。师从渠刚荣副教授，主
要从事图像处理与图像重建的研究．
教育经历：
２０００．９至２００４．７
２００４．９至２００７．４
已发论文：
‘满三维图像重建的卷积反投影算法》发表于‘中国体视学与图像分析》期刊２００５年第１０卷第３期，第一作者中央民族大学信息与计算科学本科北京交通大学计算数学硕士
精确三维图像重建算法及其实现的研究
作者：
学位授予单位：兰勇生北京交通大学
相似文献(4条)
1.期刊论文 曾理. 牛小明. 邹晓兵. ZENG Li. NIU Xiao-ming. ZOU Xiao-bing 螺旋锥束CT重建Katsevich算法在含噪投影中的应用 -计算机工程与应用2007,43(26)
针对含有噪声的投影数据,在利用螺旋锥束Katsevich算法进行重建的过程中,首先采用了一种改进的中值滤波方法对投影体数据进行预处理,然后对处理后的投影数据拟合求导来取代Katsevich算法中的直接求导,减小了噪声带来的负面影响.计算机仿真实验结果证实了这种方法的有效性.
2.学位论文 翟静 三维锥束CT中滤波反投影算法的研究 2008
近年来，三维锥束CT在医学和工业上得到越来越广泛的关注，同时锥束投影图像重建算法也在迅速发展。在各种三维锥束重建算法中，滤波反投影算法仍然是一类最常用的重建算法，在医学和工业检测上有着重要的意义。 本论文针对三维锥束CT中两种滤波反投影算法，以提高重建质量，降低重建图像的噪声为目的，分别对其中的FDK算法和Katsevich算法进行了一些研究和探索。首先分析了FDK算法，研究了其性质，并进行了仿真验证。然后，在滤波函数方面，采取了一种介于R-L和S-L之间的混合滤波函数，由实际的重建结果可知，该滤波函数的重建结果无论在横向还是在纵向上的分辨率都比较高，并且在空间分辨率和时间分辨率上都有较好的效果。接着，在插值函数方面，针对FDK算法的反投影过程中，各个体素在探测器上投影分布的特点，提出了一种新的插值方法。实际实验结果表明，在该算法中这个新的插值方法能更好地抑制噪声。最后，针对螺旋扫描轨迹的精确重建算法--Katsevich算法的公式，对其步骤(投影数据求导，滤波过程和反投影重建物体三个步骤)进行了一定的分析和研究，并做了仿真实验，为以后相关工作打下了基础。
3.期刊论文 牛小明. 曾理. 刘宝东. 邹晓兵. NIU Xiao-ming. ZENG Li. LIU Bao-dong. ZOU Xiao-bing 偏心螺旋锥束CT的Katsevich修正重建算法 -计算机工程2009,35(5)
在实际的锥束工业CT中,射线源焦点与探测器中心的水下高度不一致及转心偏移等原因会使获得的实际投影数据发生偏移.如果直接利用实际扫描所得投影数据进行图像重建,得到的图像不清晰.针对以上问题,该文修正Katsevich精确重建算法,以适应偏心的CT成像系统.将投影数据的偏移转换为探测器中心的偏移.在重建过程中,根据探测器的中心偏移量,对滤波线方程、滤波前后的重排和校正以及反投影过程进行修正处理.计算机仿真实验结果证实,该方法可以有效减小投影数据的偏移对重建图像的影响.
4.学位论文 马建华 锥束扇束CT优质重建算法研究 2008
计算机体层成像(Computerizedtomography,CT)使得层面成像第一次得到了广泛的应用，而且取得了突破性的发展。自上世纪七十年代第一台商用CT扫描机面世以来，CT成像技术已经经历了三十多年的长足发展，现在CT已经成为放射诊断领域内不可缺少的一部分，是一种成熟的、在临床上普遍认可的检查方法。目前CT正处于快速的技术发展阶段，并再次扩展了它的应用领域，如心脏、肺的动态检查及CT血管造影。螺旋CT的发展以及从单层扫描向快速扫描的转变使得CT再次富有吸引力，并使得CT在技术和临床前景方面有决定性的发展。 八十年代FDK算法的提出，实现了三维意义上的CT重建。鉴于FDK算法可以基本解决小、中锥角效应对图像重建的影响，一直是实际应用的主流算法。但随着面积探测器技术的发展以及现代医疗对成像速度和精度要求的进一步提升，将会使基于该技术和要求的快速精确三维锥束CT重建算法代表了当前许多研发部门正在研究和开发的关键性课题。 现代医疗技术为了减少X射线对正常器官的辐射，希望以最少的x射线剂量获取最好的图像重建质量，一方面可以通过感兴趣区域重建，即尽量能对病灶区域集中成像；另一方面可以通过研究低剂量条件下重建图像中存在的噪声和诊断结果之间的关系，设计优良的CT成像算法。前者的实现要求射束的视场应该尽量小，能罩住感兴趣区同时要求扫描的轨道应该尽可能短；后者要求根据图像噪声与诊断结果之间的统计关系建立合适的数学模型。上述两方面均是目前临床上CT应用中急需解决的问题。 在影像诊断中高密度的物体，如金属植入物、外科固定器以及口腔填充物等，往往会在CT成像时造成严重的金属伪影，以致严重影响临床诊断效果。因此，高效准确的CT图像金属伪影消除算法的研究始终是CT应用研究的热点问题，在临床上将直接有助于指导放射治疗计划的制定。 因此，为了解决上述的系列问题，我们需要真正意义上的三维重建算法，能够快速精确地获取优质的重建图像：需要针对感兴趣区精确成像的重建算法和低剂量条件下的重建算法，以期在最小的剂量下获取最好的图像重建质量；我们还需要高效准确的CT图像金属伪影消除算法，辅助临床诊断。 本论文的主要创新点集中表现如下： ·提出一种新的基于混合滤波的螺旋锥束CT优质精确重建算法。新算法采用Katsevich算法框架，巧妙地将现有FDK类型算法和Katsevich算法的不同优点有机地融合，完全回避投影数据中关于探测器坐标变量的直接微分运算，提高了成像质量，减少了重建伪影。同时新算法的滤波过程仍是平移不变滤波且与FDK类型重建算法相比数据冗余加权是在滤波过程之后进行，增强了数值计算的灵活性且没额外增加计算复杂度。 ·提出一种新的螺旋锥束CT精确重建公式。新重建公式利用数学上严格的推导，将Katseivch重建公式中关于旋转角度的微分运算完全回避，使得成像质量得到较大改善，减少了重建伪影。同时新算法仍然基于平移不变滤波且数据冗余加权在滤波过程之后进行，保持了数值计算的灵活性。 ·提出一种新的基于PI线的扇形束CT超短扫描优质重建算法，新算法仍采用经典的FBP重建算法框架，当且仅当满足通过感兴趣区域的任一直线均与扫描轨道相交时，就可以有效地进行该区域的精确重建。新重建公式中回避了投影数据的求导运算，将加权Hilbert滤波转化为HiIbert滤波与Ramp滤波的组合形式。由于实际重建过程中要对离散数据进行处理，新算法中导数的回避将增加数值计算稳定性，提高重建图像质量。 ·提出一种新的基于广义Gibbs先验的低剂量CT重建算法。新算法首先对投影数据进行统计建模，其后采用Bayesian最大后验估计方法，将投影数据中非局部的先验信息加诸于该数据的恢复中，达到抑制噪声的效果，最后仍采用经典的滤波反投影方法对恢复后的投影数据进行解析CT重建。其中非局部先验我们称之为广义Gibbs先验，其原因在于该先验具有传统Gibbs先验形式的同时，可以通过选择较大邻域和自适应的加权方式充分利用投影数据的全局信息进行数据恢复。 ·建立一种新的针对由金属伪影造成的CT图像质量退化的恢复算法。利用自适应各向异性高斯滤波器对原始CT图像进行全局滤波，从而有效地滤除原始图像中的噪声并对射线状金属伪影进行了平滑，其后配合最大互信息量分割算法从图像中分割出伪影成份，并利用其周围非伪影部分的像素对伪影类像素进行插值处理得到一个称之为“伪组织”类的图像，通过融合“伪组织”图像的sinogram和原始CT图像的sinogram得到校正的sinogram；最后采用滤波反投影重建算法获得金属伪影的CT校正图像。新方法可以对含有金属伪影的CT图像进行有效伪影消除，其中射线状伪影消除效果显著。另外，新方法还可以锐化器官轮廓，避免了临床上由于金属伪影导致的放射治疗效果下降。
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Thesis_Y1081158.aspx
下载时间：2009年12月18日
北京交通大学
硕士学位论文
精确三维图像重建算法及其实现的研究
姓名：兰勇生
申请学位级别：硕士
专业：计算数学
指导教师：渠刚荣
20061201
北京交通大学硕士学位论文中文摘要
中文摘要
摘要：三维螺旋凹具有精确性，高分辨率，图像质量好等优点，其对应的算法一三维精确重建算法，是近年来研究的热点。而根据射线源的不同，可分为平行柬、扇型束和锥束等。
二维的平行束精确重建算法早在上世纪７０年代就被提出了，三维的平行束精确重建算法也以各种形式被提出，但没有统一的公式。在本文中，用构造６序列的方法，给出了一种扎维ｍ如ｎ变换反演的卷积反投影算法，证明了该算法在图像的连续点收敛于原图像。当ｎ＝２时，就是广泛用于图像重建的卷积反投影算法．当ｎ＝３时，是一种新的满三维重建卷积反投影算法，对研究三维局部重建有一定的指导意义。
２００２年Ｋ耐ｓｅｔ，ｌｃ７ｌ给出的反演公式是精确锥束重建方法近年来的突破性理论成果。但仍有些问题存在，如计算量过大，需要的数据量仍然偏大，求偏导困难等，针对这些问题，有很多学者对该算法进行了改进，如Ｚ缸ｈ和只帆Ｘ缸栅ｌ纰ｎ等人提出一种更精确和需要更小数据量的重建公式，该重建方法对求偏导有很大的改进，且有更好的局部性。在孙卜ＰＤｎ算法的滤波过程中，有一步是沿着ＰＪ线在探测平面的投影线进行上“ｆ醣ｒｔ变换，而直接计算会计算量和误差比较大。本文用正则化方法代替了直接计算，得到了该反演公式的一种有效算法实现。我们利用模拟数据进行了数值仿真，试验表明该方法的计算量和计算误差比原方法都要有所减少。
关键词：图像重建；Ｋ０ｔｓｅ优饥算法；历伽Ｐ口佗算法；三维平行束重建；三维锥束重建；Ｒ砌ｎ变换
北京交通大学硕士学位论文
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北京交通大学硬士学位论文第一章引言
第一章引言
图像重建是图像处理的一个重要的分支，涉及数学、物理、计算机等学科，目前已经广泛应用于医学、地球物理、射电天文学、遥感技术、显微技术、材料科学及分子生物等领域。在医学上，ＣＴ（ｃｏｍｐｕ锄？让矧Ｔ０删殍叩ｈｙ）是其直接的应用，使用最新的三维锥束重建技术，在六秒钟内能将病人的整个身体进行重建一次，极大的帮助了对病症的诊断；在地球物理有多方面的应用，地球物理勘探层析成像、地震层析成像、天然地震预报层析成像等；在安全上，有集装箱检测、包箱检测、反恐、防贩毒等应用；它还可以应用于交通、地质、建设、冶金、石油等部门．
根据射线源的不同，可分为平行束、扇型柬和锥柬等。三维锥束ＣＴ图像重建问题，就是通过采集锥束投影数据，利用尽可能少的数据来得到三维物体的精确图像，实质上是利用已知的函数值来反演原函数分布的过程。锥束重建问题的研究主要集中在如何找一种快速有效采集方式，以及利用采集到的数据如何设计出对应的快速、尽可能精确的重建算法。近２０来，对此有很多的研究工作和各种不同的算法．
二维的平行束精确重建算法早在上世纪７０年代就被提出了，三维的平行束精确重建算法也以各种形式被提出，如ｗ塘ｎｅｒｌ２１】，但没有统一的公式。在本文中，用构造ｄ序列的方法，给出了一种竹维鼽ｄ∞变换反演的卷积反投影算法，证明了该算法在图像的连续点收敛于原图像。当ｎ＝２时，就是广泛用于图像重建的卷积反投影算法．当ｎ＝３时，是一种新的满三维重建卷积反投影算法，对研究三维局部重建有一定的指导意义．
对于三维图像重建问题，在１９８３年，呻【２】和ｓｍｉｔｈ【４】给出了精确重建的充分必要条件：即每一个与被检测物体相交的平面上至少包含一个射线源点。就是每一个与被检测物体相交的平面上至少包要被采集一次。从而仉ｙ１２１和Ｓｍｉｔｈｆ４】的结果在理论上已经解决了三维图像重建问题，然而他们给出的重建公式在数值上很难实现．Ｔｈｙｆ２】和ｓｍｉｔｈ［４Ｊ的结果表明投影数据的采集和重建算法都不是唯一的，因此，如何经济的、高效的采集数据，并利用这些投影数据进行快速、精确的重建算法成为解决问题的关键。
螺旋ＣＴ通过射线源沿着螺旋线移动可以获得连续的投影数据，从而螺旋ｃＴ比传统ＣＴ有着巨大的优势，并且现在已经成为标准的影像医疗工具，由于螺旋ＧＴ的
北京交通大学硕士学位论文第一章引言探测平面是一个二维的探测器，所以比以前的一维线性探测器能一次性获得更多的投影数据，这样就大大的提高了扫描的速度，同时也降低了伪影的产生，从而可以用于像心脏等会随时变化的物体的重建。而螺旋ＣＴ使用的重建算法即是三维锥束重建算法．
三维锥束重建算法可分为：近似重建算法、精确重建算法等。
三维锥束近似重建算法以ＦＤＫ【３】为代表，其实现简单、成像速度快，主要缺点是ｘ射线压轴向锥角较大时远离中心层的重建图像误差较大，但该算法仍是一种较为实用的算法．三维锥束精确重建算法以Ｇｒ缸ｇｅａｔ和Ｋａ＿ｔｓｅｖｉｃｈ等人的工作为代表。ｗｉｎｇｇｅ【１６１对这两种算法进行了详细的比较，得出了分别使用的范围和需要的计算量。Ｇｒ瓶删【５】通过ｘ．射线变换和三维ｍＩｄｏｎ变换的关系，实现了从短物体的锥束重建的精确算法，之后Ⅸ舸瞬【１３】针对长物体问题提出了新的解决办法。在螺旋锥柬ＣＴ精确重建中，Ⅳ线和Ｔ锄．Ｄ柚ｉ幽∞ｎ【１２ｌ窗两个概念起着关键性作用，Ｋａｔ８嘶ｃｈ｜９，１０ｌ在２００２年提出的三维锥束ｃＴ精确重建算法具有突破性进展，该算法并没有用到ｍ删换，一般来说，从Ｋａｔ８ｅｖｉｃｈ算法推导出来的重建公式要比基于Ｒａｄｏｎ变换的重建算法在计算上更有效【７】。虽然是在理论上是精确的，但现实中要实现精确却很困难，ＹｕＨｅｎｇｙｏｎｇ【１４，１５】等人对实现该算法有比较好的结果，并对实现重建中的伪影进行了分类。Ｙ－蛆ｇＪｉ加ｓｈｅｎｇ【１７】等人提出一种锥束覆盖的概念，并将重建的数据和重建次序进行了改进，从而避免了求ＰＩ线，为重建减少了计算量。该算法也是滤波反投影型的重建算法，其计算量明显少于ｍ—ｏｎ变换型的精确重建算法。虽然计算量减少了，但相对于现在的硬件计算速度还不能满足现实要求，所以寻求该算法快速实现是大家关注的问题，Ｋａ诹炯ｃｈｆ６，７＇８，１ｌ】对该算法进行了进一步的改进，将计算量减少了一半，并且推广到一般轨线的重建公式。在Ｋａｔ∞ｖｉｃｈ算法的基础上，ｚｏｕＹｕ，Ｐ蛆Ⅺａ０Ｃｈｕ柚ｆ２４，２３，２５１等人得出另一种精确重建算法，该算法在计算导数上明显比Ｋ曲｜ｅ’ｄｃｈ算法简单、高效、需要更小数据量、局部性重建效果好，该算法先沿着Ⅳ线在探测平面上的投影线进行积分（滤波），再沿着Ｐ胜Ｅ对应的螺旋线进行积分（反投影）。
本文主要研究孙ｕ－Ｐａｎ算法的快速、精确的实现．
在ｚ＊Ｐｎｎ算法的滤波过程中，有一步是沿着Ｐ，线在探测平面的投影线进行三“Ｚ６ｅ竹变换，而直接计算会计算量和误差比较大，本文用正则化方法代替了直接计算，得到了该反演公式的一种有效算法实现。我们利用模拟数据进行了数值仿真，试验表明该方法的计算量和计算误差比原方法都要有所减少。
北京交通大学硕士学位论文第一章引言
第二章引入胁变换及推导出三维平行束精确重建算法。
第三章将首先引入三维锥束重建的数学模型，然后讨论Ⅳ线的数值计算方法，最后引入ＺＤ洳Ｐ帆精确重建算法，并对其实现方法进行改进，通过对改进后的计算方法进行了数值模拟。全文共分四章，主要内容安捧如下：
第四章将对已有工作进行总结，讨论需要进一步改进的方向。
第二章满三维平行束精确重建算法
本本章通过构造广义函数６函数序列【ｌ】的方法给出了一种满三维重建的卷积反投影算法，它简单且易于实现。此算法除了维数上比经典二维卷积反投影算法多一维外，形式上和经典二维卷积反投影法一样，另外本章也给出了经典二维卷积反投影算法的另一种证明；这样二维和任意ｎ维的平行束精确重建公式都有一个统一的反演公式。由Ｎａｔｔｅｒ【２０】知当＂为奇数时反演公式具有好的局部性，所以当，ｌ＝３时反演公式具有好的局部性，这在局部重建中将会有很大作用；本章就，ｌ＝３的情况下分析了算法的具体实现，并通过３Ｄｓ＾ｅ卯一如ｇｏｎ【２２ｌ模拟数据，对整体的完全数据进行了数值仿真，结果说明该算法是有效的。
以下将以介绍任意ｎ维的平行束精确重建公式、该算法的数值方法及模拟结果来展开。
§２．１平行束三维重建的数学描述及必要的概念
定义一（收敛性）【１】．设皿∈∥（ｎ）（广义函数空间），若对即（ｚ）∈９（Ｒ）（基本函数空间）・有厶皿（ｚ）妒（ｚ）出一ｏａ一∞），则称：皿一ｏＧ—ｏｏ）；若皿一夕一ｏ，则移鲰一ｇ．
定义二（腑列）［１】．称协｝函是６序列，
若皿∈∥（Ｑ），即（ｚ）∈９（冗）有厶皿（ｚ）妒（茁）如一妒（ｏ）ａ一∞）．
定义三（尼ｌｄ帆变换）【１９】：称ｇ玎（口，８）是鼢ｄＤ，ｌ变换。若，（力∈９（Ｒ）（基本函数空间），ｇ町（ｐ，ｓ）对任意的口和ｓ都是已知的且魔，（口，ｓ）＝Ｊ；，（ｚ）６扛・口一ｓ）如；这里ｐ∈驴一１（彤上的单位球面），ｚ∈Ｊ≯，ｓ∈冗。
以下是一些要用到的基本概念：
１．伊－１＝扣∈ｊｐ｜｜ｕＩ；１）是有佗维空问单位向量组成的集合。
２．设ｓ是实数，则工：ｓ＝ｚ・ｕ是ｎ维空阃ｊｐ中的超平面。，（ｚ）沿三的ｍｄＤｎ变换：ｇ盯（ｕ，ｓ）＝正：；。，（ｚ）出・有性质留，（ｕ，一ｓ）＝ｇ町（一ｕ，ｓ），即ｇ玎是∞，ｓ）的偶函数，当ｎ＝３时，（ｕ，ｓ）称为图像函数在平面工上的投影。满三维重建就是已知所有ｓ∈Ｒ，ｕ∈碑＝如ｐ＝（∽，岫，吣），岫≥ｏ）的投影值重建三维图像函数。３．反投影算子尉１２０】定义为：若９是定义在ｚ＝｛ｐ，８）１８∈Ｒ，ｕ∈驴－１｝上的函数，则剜９（ｚ）＝Ｊ≥一。ｇｐ・ｕ，ｕ）咖。
为了数学论证的一般性，设，（善）∈铲（留）且有紧支集，即，（￡）的紧支集是ｓ唧ｐ，０）＝仁Ｉ，（善）≠ｏ）是有界的。
§２．２卷积反投影重建算法
为了给出重建公式的统一形式，现在考虑舻中的腑变换反演的卷积反投影方法。
设９是舻中速降函数空间，称函数列｛肌）＾，ｏ是一个６序列，若对任意的妒（ｚ）∈勿，有尘恐Ｊ；弛ｐ）妒ｐ）如２妒（ｏ）・易验证，对任意的妒（茹）∈９有
舰厶鲋（Ｆ）妒（。一§，）如２妒扛）・
若，（功∈驴（舻）且有紧支集，有公式【２０】
，｝科口＝尉（留，｛曲．（２．２．１）
其中ｇ是定义在；＝伊－１×Ｒ１＝｛ｐ，ｓ）ｐ∈伊一，ｓ∈兄１｝上的函数。我们试图通过（１）式来构造一个６序列，使得剜ｑＡ＝ｇＡ，有下面的定理。
定理１若函数凡（ｕ）满足：
（ｉ）ｏ≤ｊ’＾（＂）≤１，如果ｕ≥参，则兄（ｔ，）＝ｏ；
（虹）ＦＡ扣）是”的单调不增函数；
（ｉｉｉ）舰丹（口）＝１・
设弘（ｓ）＝２Ｊ∥２矿一１ｊ＿（”）ｏ∞（２丌ｓ＂）如以及纵（ｚ）＝ＲＩ勘（∞，则驰（功是一个硐：列。
证明：由于，（ｚ）∈Ｌ２∞）且有紧支集，所以
蚰（ｚ）＝剜弘（功＝／ｇ＾ｐ・ｕ）础
＝上一。ｚ．／（州２矿。１兄（ｕ）嘲（２彻．洲）批
令＂＝一ｕ’≥０
ｆ胆扩４见（ｕ）ｃｏｓ（２丌删咖＝￡，。Ｍ”１ＦＡ（ｕ，）ｃｏｓ（２丌ｓ∥）∥
所以
ｒｒＡ｜２
Ｊ一＾ｆ２“（ｚ）＝／／Ｊｐ—ｌ＂。１ｎ（＂）ｃｏｓ（２７ｒｚ・洲）咖幽
北京交通大学硕士学位论文第二章满兰维平行束精确重建算法而Ｍ”１昂扣）ｏ∞（２船・‘‘，ｔ，）也是偶函数，所以
甄（ｚ）＝上一。成Ｍ”１乃扣）ｅ－她一幽山
＝上一。上：Ｍ”１以ｃｕ，ｅ撕一面面
对舻中任意可积函数＿Ｉｌ＠）有（２．２．２）
２厶昧心２上，Ｍ”１厶一，蚓”∽凼咖，ＪｐＪ冠ｌ（２．２．３）Ｊ一一ｌ
因为，令ｆ＝ｗ，ｕ∈ｓ’Ｉ～，＂≥Ｏ，则
ｚ厶㈨鹰＝ｚｆ∥上，（ｗ妣ＪＢ，ＪｏＪ一一ｌ
ｆ矿。１上一。Ｊｌ（ｗ）咖面＝￡（一ｕ，。１二一。＾（一√ｕ）咖∥
＝／阳”１／＿Ｉｌ（１√Ｉｕ）础∥Ｊ一∞Ｊ●＾一ｌ
由（２．３）式代入（２．２）式右端可得
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＝｛丘ｌ；每ｆｌ一乃（㈦）】ｅｈ咖《武＋名Ｉ！譬ｅ２咖‘鹰）厶，（动ｅ以～‘如２名Ｉｓ季ｆ１一Ｆ＾“刳）】Ｆ（。ｅ撕“‘《＋丘ｌ≥譬。打”‘只。武
由Ｆ（ｆ）可积，于是对任惹的Ｅ＞０，存在肘ｌ，便得当Ａ＞尬时，有
ｌ丘Ｉ≥＾，２ｅ２临｛Ｆ（‘）西Ｉ＜丘附胆ＩＦ（ｆ）Ｉ武＜√２
ＪｋＩ≥＾，２
ＪＫＩ≥＾胆
即
Ａ—＋＊。．，ｋｌ≥舭
陋Ｉ／ｅ缸‘“《Ｆ代）武Ｉ＝ｏ…’’
由死（ｔ，）满足条件（诳）可得，ｐｍｊ＇Ａ（吲）三墨１，所以
舰Ｉ，‰）一，・姒‰）Ｉ
≤概丘皤１１一以（ｆ刮）ＩＩＦ悠）ｅ‰‘ｌ必＝ｏ
即驰（功似一∞）是一个６序列。证毕＃
定理２
（碰卷积反投影重建公式）【１８】设ｚ∈口，“，∈扩－１且，（力∈铲（毋）
有紧支集，ｊ＿（ｔ，）是关于＂的偶窗函数，则在，（￥）的连续点有
，（￥）＝上骢厶，ｄＶ上，ｌ町∞，ｓ）似。‘ｕ—ｓ）ｄｓ
Ｉｓ＃１＝如ｌｐｌ＝ｌ，ｕ方向向上）｝
由（２．１）式得
，（ｚ）＝尉（够，・“）（ｚ）
其中Ａ是一个适当大的数。而
（２－２－４）
证明：由ｎ（”）是偶函数可得ｑＡ（８）也是偶函数，又由定理１得剜口为一６序列，再
ＲＩＩ（ｇ町・“）（ｚ）＝／（田，＋“）∞，ｚ・‘‘，）山
＝上一。幽厶曰，∞，ｓ）纵＠・ｕ—ｓ）如
所以定理得证，证毕Ⅱ
§２．３三维卷积反投影重建公式的数值实现
由（２．４）式知，三维空间时，当口∈【ｏ，州，ｕ∈【０’７ｒ】时，ｕ在辞上积分。即
他）＝舰厶缸上。研（州咖‘ｕ叫ｄｓ
；坐恐ｒ枷ｒｓｉｎ幽上刃ｐ潮口＾（ｚ・ｕ—ｓ）幽（２．３．１）
其机＝（ｚ１，勋，秘）∈舻，‘‘，＝（血妒懈口，ｓｉｎ妒ｓｉｎｐ，嘲∞
ｆＡ住
纵（ｓ）＝２／
ｊ＿（＂）可取日。俐俩叩窗，即
铲乃（ｔＪ）ｃｏｓ（２丌ｓ＂）咖
只（ｕ）＝ｎ＋（１一ｏ）嘲（２彻肛），ｎ＝Ｏ．５４．
假设数据采集是以平行束方式取得的，在日方向有尬个等距方位图，在妒方向有尬个等距方位图，每个方位图有２Ⅳ＋１条等距平行线，我们用△表示相邻两个方位图之间的夹角，因此△口＝霄／尬，△妒＝＇ｒ／＾如．用ｄ表示相邻两条等距平行射
线之间的距离，因此ｄ＝Ｅ／Ⅳ，Ｅ表示，（功的紧支集。所以（２．５）式可表示为：
＾ｆ２一ｌ
，（ｒ＇口，妒）≈ｄ△妒∑８ｉｎ（ｍ２△妒）△口
ｔｎ２＝０
村ｌ－１．Ⅳ
・∑∑研（，ｌｄ，ｍｔ△口，弛△纠纵（ｏｄ一，ｌｄ）
ｍ１；０ｎ＝一Ⅳ
（２．３．２）
注：这里用∥ｄ代替了ｚ．‘‘，，用插值法来估计ｚ．ｕ．（２．６）式实际是一个梯形求积公式，因为，（ｚ）有紧支集，所以在边界外为零。
§２．４算法的数值模拟结果
以下是用公式（２．６）实现的模拟结果：
图２．１此组图是３Ｄｓ＾？印一厶蟹∞２酾×２∞×２５６（ｄ＝１，△口＝１０，△矿）灰度范围【ｏ１１的切片图；第一行是原切片图，第二行是重建后的切片图；第一列是ｏ＝Ｏ的切片图，第二列是Ｆ＝０的切片图，第三列是￡＝Ｏ的切片图；
图２．２此图是沿着口＝ｏ，ｚ＝ｏ，ｚ＝【一１船１２８ｌ的一条直线的精确值和计算值的对比图；虚线部分是精确值的图。实线部分是重建值的图：
表２．１：３Ｄ
Ｎｏ．
１
ｄ
Ｓ＿Ｉｌｅ即一切肌模型的参数
Ｃ
６Ｏ．９２０Ｏ．８７４０．３１０Ｏ．４１００．２５００．０７６０．０７６０．０６３Ｏ．０６３０．０９６
知
００Ｏ．２２．０．２２ＯＯ０．Ｏ．０８００．０６
珈
Ｏ．０．０１８４ＯＯ０．３５０．１—０．１．Ｏ．６０５—０．６０５．Ｏ．６０５
匈０ＯＯ０Ｏ
０
西Ｏ０１８—１８０Ｏ０Ｏ００
Ａ１．０－０．５—０．２一Ｏ．２０．１０．１Ｏ．Ｉ０．１Ｏ．１０．１
Ｏ．６９０００．６６２４０．１１０００．１６００Ｏ．２１００Ｏ．０７６００．０７６００．０７６００．０６３００．０６３０
Ｏ．９２００．８７４０．３１００．４１００．２５０Ｏ．０７６０．０７６０．０６３０．０６３０．０９６
２３４５６７８９１０
ＯＯ００
表中口，６，ｃ是椭球的三个半轴长，（知，珈，匈）是椭球的中心，≯是绕ｚ轴的旋转角，Ａ邑每个椭球的灰度增量。图（２．１）、图（２．２）的原图像函数值是通过表（２．１）的模
型参数生成的。
第三章三维锥束精确重建算法
这一章将介绍三维锥束重建的数学模型，然后介绍重建中有关键作用的概念，
即川线的概念及其计算的数值方法。及ｚＤ洳Ｐ帆型精确重建公式。在Ｋａ＿ｔ８ｅ、ｒｉｃｈ【７】算
法的基础上，ｚ叽Ｙｕ，Ｐ腿Ⅺ∞Ｃｈｌｌ蛆【２４，２３，２５ｌ等人得出另ｚＤ廿Ｐ肌型精确重
建算法，该算法在计算导数上明显比Ｋ８ｔｓＥ｝访ｃｈ算法简单、高效、需要更小数据量、局部性重建效果好，该算法先沿着Ｐ，线在探测平面上的投影线进行积分（滤波），再沿着Ｐ，线对应的螺旋线迸行积分（反投影）．该锥束重建算法直接应用是锥束螺旋ＣＴ的成像。
§３．１三维锥束重建的数学模型
三维锥束重建的实际模型之一是螺旋ＣＴ，如图３．１。它由放射源、被测物体及探测平面三部分组成。放射源可以是Ｘ射线，通常是呈锥束状的且有多处，如图３．２，它沿着螺旋轨线移动；探测平面随着放射源移动，通常是放射源与探测平面固定在一个大圆周上，如图３．３，探测平面接收经过被测物体后而衰减了的．Ｘ射线的能量，如图３．４，即是所谓的投影数据。而三维重建就是要从有限的投影数据中尽可能精确的重建出被测问题的三维图像，当然在同样精确的情况下，需用的投影数据量越小越好。评判一个重建算法的好坏通常可以通过重建的精确程度、需用的投影数据、重建的时间（计算的复杂性）、重建的局部性质等。
图３．１螺旋ｃＴ的实物模型
图３．２从射线源出发的截面图
图３．３螺旋ＣＴ的几何模型
图３．４从射线源出发到探测平面的截面图
我们用，（ｚ），ｚ∈帮来表示被测物体的吸收系数的空间分布，而三维螺旋轨线
的参数方程为：
ｅ＝｛暑『∈舻Ｉ钆＝冗ｃ０８（Ａ），抛＝ＲｓｉⅡ（Ａ），细＝７ｌＡ／（２，ｒ），Ａ∈冗）
其中７ｌ＞０是螺距，Ｕ是一个严格在Ｃ螺旋体内的开集，即
（３．１．１）
万ｃ扛∈斧：砰＋霹＜ｒ２ｌｏ＜ｒ＜研
当，（ｚ）Ｉｚ隹ｕ时，（功毫ｏ。
（３．１．２）
设口是射线的单位向量，即
鼬，加占揣
（３．Ｌ３）
锥束变换可以写成：
，∞
Ｄ，（玑励＝／，白＋庳冲
（３．１．４）
Ｊ０
§３．２计算Ｐ睦电的数值方法
Ⅳ线在讹缸ｅ撕曲型算法中有非常重要的作用，对投影数据的滤波是沿着ＰＪ线
进行积分的。
Ⅳ线：一条两个端点都在螺旋线上且对应的弧长之差不超过２丌的线段，且螺旋体内部的任意一点硝口存在且唯一的Ⅳ线（如图３．５）。
Ｖ霉∈矿点上的Ⅳ线的两个端点对应的参数分别用～＝～（ｚ）和九＝丸０），
且知（妨≤丸０），区间啊（ｚ）＝【～（功，凡ｐ）Ｊ称为Ｐ，线参数区间，昂Ｊ０）对应的弧
线记为ｃｆＰＪ（ｚ）．
五＝
图３．５硝线示意图
图３．６螺旋线的坐标系统
Ｉｚ１＝威ｃ∞（Ａ６）＋咒（１一ｔ）ｏ∞（＾）｛龟＝廊ｓｉｎ（～）＋Ｒ（１一￡）８ｉｎ（凡）
（３．２．１）
【勰＝刍ｔｋ＋
嘉（１一ｔ）丸
北京交通大学硕士学位论文
第三章三维锥束精确重建算法
为了解非线性方程组（３．５），首先考虑一族Ｐ，线，这族Ｐ鳇％与过点知＝（ｚｌ，勋，《）
忙瓮’二。
‘２丽面ｊ丽索ｊ丽
＠沈，
ｔ一研妥蒜习
凡一知引瞄。１‘而嚣尝杀豢霭）
％（～）＝嘉ｔ（Ｍｋ＋砉【ｌ—ｔ（～）】Ａｔ（～）
（３－。ｔ３）ｐ。。’（３．ｚ．４）
掣＝每（～训表＋ｔ＋（－叫瓮】
ｌ奏“？‘学）
【褰＝击
（３．ｚ．５）
（３．２．６）
、
’
易验证，如果ｔ，Ｊｌ＞ｏ，沁一沁∈（ｏ，２丌），那么掣＞ｏ，所以方程ｚ３（Ａ６）＝ｚ３有且
只有一个解。令知＝２铲，脚＝器，那么ｏ≤伽＜１，代入（３．５）的第三个方程得：
掣＝争学ｃｏｔ（学）ｌ
（３．ｚ．７）
ｋ一知卅（卜ｔ弦１‘万杀尝赫）（３．ｚ．９）
（３．２．１０）
嘲。１‰）ｓ嘲。‘劢嚣焉譬篆云；宝霖二丽）≤”一嘲。１汹）（３卫Ｊ・）
再由（３．５）可得：
＿１＜电祭铲ｓ嘲一ｌ
化简可得：
（３．２．１２）
ｔ∈【毕，半】
由（３．１５），（３．１７）知，（３．１３）可化为：
（３．２．１３）
ｋ∈‰一（１＋伽）（丌一嘲－１（肋）），知一（１一伽）嘲－１（脚）】
数的零点。
下面给出用二分法计算Ｐ，线的数值计算步骤：
（３．２．１４）
所以函数铂（Ａ６）是单调的且有唯一解，我们可以用二分法或Ⅳｅｔ以帆迭代法找该函
（口）给定的Ｒ，＿７Ｉ，茁＝（霉ｌ，现，如），通过（３．５）可得到砌，ｆ，肋，通过（３．１８）式可得到知的
最大值和最小值，分别记为口’６。
（６）
（１）令知＝（ｄ＋６）／２；
（ｉｉ）由（３．７），（３．８）式可得到ｔ，＾：
（饿）令ｇ＝铂（～）一刍ｐ知＋（１一ｔ）凡】，如果￡≥ｏ，那么Ｂ＝～，否则６＝～
令￡ｔ表示最大误差，对于给定的Ｅ１，如果Ｈ＞ｓ１。跳转到第（ｉ）步・直到Ｈ≤￡，为
止。这样就可得到ｋ凡，ｔ及ｂｊ（动＝队，丸ｌｏ
以下是求ＰＩ线的数值试验结果（如表（３．１）），假设Ｒ＝ｌ，，ｌ＝１，￡ｌ＝１．０
取四个样本点。
ｘ
１０～，
表３．１：求Ⅳ线的数值试验结果
ⅣＤ．
１２３４
Ｚ
～
３．２１７１８３．０９５３６１．８８７７７Ｏ．４９０２０１
九
８．０４２４１６．６１２３９５．０９２３８４．５３６０７
￡
ｚ（一Ｏ．５３１５６，Ｏ．５３２６４，Ｏ．９５３５４）ｚ（一Ｏ．１７４５６，Ｏ．１６３６４，０．７２９８６）￥（０．０６３４４，一Ｏ．０８２３６，０．５８０７４）
ｚ（Ｏ．３０１“，一Ｏ．３２８３６，０．４３１６２）
８．２４０９９ｅ－００８３．００１９５８ｅ－００８６．４３８４６ｅ－００８２．０２００３ｅ－００９
§３．３加洳Ｐｎｎ型精确重建公式
Ｚ伽ｙｔｌ，只帆ＸｉａＤｃｈ口ｎ等在文章中给出了一个精确的滤波反投影重建公式，
该算法先沿着Ⅳ线在探测平面上Ｄ的投影线进行积分（滤波），然后沿着抽对应的
螺旋线进行积分（反投影）。下面将引入这个公式．
§３．３．１重建公式
首先引入两个坐标系如图（３．７）分别为｛ｚ，弘ｚ，与｛牡，ｔ，，埘｝，ｚ！，ｚ是整体坐标系，
其原点一般在被测物体的中心位置，而ｔｎ儿ｕ是局部坐标系，其原点在螺旋线上的
射线源点处，即在螺旋线上移动。伽伽坐标系是甜ｚ坐标系绕ｚ一轴逆时针方向旋
转Ａ，即
㈠亨刊㈠
＠弘，
甜
Ｗ
图３．７三个坐标系的示意图
（ｔ协
图３．８Ⅳ线投影的示意图
北京交通大学硕士学位论文第三章三维锥束精确重建算法所以ｔｎ舢坐标系的三个轴上的单位向量分别为：
乏（Ａ）＝（一咖Ａ，ｏ嘴Ａ，ｏ）？
孟（Ａ）＝（ｏ，ｏ，１）Ｔ
云（Ａ）＝（ｃｏｓＡ，ｓｉｎＡ，ｏ）Ｔ
由（３．１）知，删加坐标系的原点坐标为：
菇（Ａ）＝（冗ｃ∞Ａ，Ｒｓｉｎ＾，嘉Ａ）Ｔ
易知，删伽坐标与ｚ舻坐标之问的关系：
ｚ＝一牡８ｉｎＡ＋（伽＋固ｃ０６Ａ
Ｆ＝ⅡｃｏｓＡ＋（伽＋硒如Ａ（３．３．２）
ｚ＝ｔ，＋嘉Ａ
假设探测平面Ｄ的方向为乏Ｏ）且距离源点蔬（Ａ）为ｓ，那么在Ｄ平面上的二维坐标系记为ｆ呦，％），由Ｄ平面与伽平面平行知，％一轴与％一轴的单位向量分别为五（Ａ），乏（柚。原点则是源点磊（Ａ）在Ｄ平面上的投影点。
易知，｛钍，ｔ，，伽）与｛‰，％）的关系：
＂２了％
ｔ，＝等％
当探测平面Ｄ足够大且Ａ固定时，Ｖ譬∈玑ｚ与（蛳，砌是一＿对应的。
由（３．３）知（３．３．３）
ｐ（ｕｄ，抛，Ａ）＝万石｝面［蛳云（Ａ）＋％云（Ａ）一ｓ云（Ａ）】
Ａ（呦，啦）＝￣／嵋＋嵋＋ｓ２
由（３．４）知（３．３．４）
．Ｄ，（菇（Ａ），仂＝／，（菇（Ａ）＋ｔｐ（ｚ，Ａ））ｄｔ
＝／，（磊（＾）＋妒（‰，抛，Ａ））疵
＝Ｐ（蛳，抛，Ａ）
由（３．５）知，给定一点。＝（ｚｌ，勘，瓢）可唯一确定凡，ｋ，厶若固定源点磊（Ａ）及ｚ，（３．３．５）则可以确定ｚ点所在的Ｐ鹿Ｅ，记“，为Ⅳ线上的一维坐标系，那么ＰＪ线段的两个端１７
北京交通大学硕士学位论文第三章三维锥柬精确重建算法点分别记为ｔ‰，ｕ“且ｔＩ霄ｂ≤ｔＩｆｔ；记（ｔ协，ｔ协）。（ｔ恤，址）分别表示ｔ铀，ｔ‘ｆｔ在Ｄ平面上的投影坐标，如图（３．８）。易知，（蛳，％）与‰的关系：
ｔｌｄ：竺苎二兰生（ｔｋ一＂曲）＋蚰牡耐一ｔＩｔｂ
ｔ７ｄ＝兰！！二兰（ｔｈ—ｕ神）＋ｔ『西１姐＝石：＝瓦【１ｈ—ｕ神）＋。协
在ｚ甜一Ｐ帆｛２４Ｊ中的三维锥束重建公式为：（３．３．６）ＩＪ。３‘哪
，（乃
一去［耥上糟・去幽（》．∞
其中土冲滕黼糟去咖
，（“，对一Ｉ掣似蚋∽１Ｐ‰，¨）＋ｌ掣荫小…，掣＋ｌ掣司小…，骂掣＠。固
掣低们，＝南易证：
・卜ａ甜Ａ＋ｓＲ血ＡｃｏｓＡ＋砌ａｃ毋Ａ＋去Ⅷ】
（３．３．９）¨“。７
（３．３．１０）
（３．３．１１）掣司＂＝冗掣日柚＝去＝孺乒击手甭（肌＋嘉蝴）一正再可干夺Ｖ…。２７ｒ”７
求偏导可以使用中点公式：
／（移＋＾）＝去【，‰＋２＿１１）一，‰）卜等厂『，（。
由甲点公式得：
由（３．２７）一（３．２９）易得：掣＝击ｍ＋龇枷＿Ｐ（《一‰训（３．ｓ．１２）掣＝去［Ｐ（“＋舰∽叫“一舰巾３．３．１３）甏措＝若端蹦础
令鬻㈣＝叫训
絮黼＝嘶∽Ａ２（心（疋），以（《））
Ａ（嵋（《），嵋（ｕ：））…、’’…一…””７
ｆＡ椎＋南骂产＋磊孺雨∑葡业（＆３’１４）＋嘉南鼍产＠３“，下面引入正则化定理：ｖＡ∈Ｒ，令Ｆ＾是一个可积实函数，且对Ｕ２Ｏ，满足：Ｇ）ｏ≤Ｆ＾（ｕ）≤１，如果ｕ≥譬，则Ｆ＾（∽＝ｏ；（ｉｉ）ｊ．＾（ｕ）是ｕ的单调不增函数；（饿）舰乃（ｕ）＝１・令
舶（钍）一一２／以（∽ｓｉｎ（２丌魄）彤
，Ｏ
则｛ｍＩＡ＞ｏ）是一个正则化函数族，即满足关系式：
舰眵，州（ｔ，）＝俐（＂）
由上“Ｚｋｎ变换和正则化定理知：
亭上考熬ｄｕ：＝。嬲“（呦＝热Ｇ＋肌∽（柚）
＝一ｚ舰／厂脚）咖岫蜊∞】出
．Ｇ（‰，Ａ）幽：（３．３．１５）
当确定～，＾，Ａ时，可确定ｔ协，ｔ恤，ｕ出，铀，呦，％，由（３．２１）知：
进一步得：们）一等糍铴（¨）＝黼∞，＝≤篝蔷ｂ
嚣（Ａ一～）：型ｔ协（知，”
ｔ岫（九，Ａ）：＠。瑚，：堑！：：：Ｒ【１一ｃｏｓＱ—Ａ６）】：曼塑坠二塑１一ｃｏｓ（Ａ一九）（３．３．１７）
毗（丸，Ａ）＝可Ｆ面而＝研等ｎ一＾）
前面规定‰为一维坐标系时，并没有规定源点，这里规定，取ｔ‘。一‰的中点为源点。ｔ‘ｔ可由呦，％来确定，即‰＝［篆老一ｏ．５］厄鬲万丽（３．ｓ．・８）弧舳）２而高等南“：＋锄
讥¨）２而言等岩杀丽札：＋铀（３．ｓ舶）易证，由《可推出以，访的关系式：
令
寻上器瓷越＝只（凡丸，丸）
＝见（沁，凡）
＝玛（～，九）寻／：菘避赋，ｒ厶‰（凡）一嵋一。；上蒜隧如：丌厶‰（Ａ６）一嵋一。
最后，可得到反投影的表达式：
ｋ：ｈ（ｉ）ＬＩ∥卜去、羹，［鬻辫…㈨叫∥）＝去∑Ｉ等凳去铲肿＾舭叫”、。７Ｉ＋去雠叭Ａ）＋磊育专焉幕矛易（～，九）ｏ
北京交通大学硕士学位论文第三章三维锥束精确重建算法
一去军端群ｍ㈨１７一菇（ｈ）Ｉ～……”２７ｒ＠。脚，………
实现该算法的数值计算可总结为以下几步：
（口）对于给定点７＝（ｚ，玑ｚ），可以通过（３．５），用第（３．２）节的方法唯一确定Ⅳ线，即～，凡。
（∞对坝∈‰，Ｍ，通过（３．３４）可求得锄．，ｔ『而，ｔｌｄｌ，％，缸ｄ，％。进一步得，
求得Ｇ・（《，Ａ），Ｇ２（疋，～），Ｇ・（疋，丸），进而求得Ｆｌ（Ａ，～，丸），尼（～，凡），乃（～，九）．（ｃ）根据（３．３８），最终得到，（ｚ，Ⅳ，ｚ）的值。
§３．３．３重建公式的数值模拟彳；！：鬻产，≈等！：爰铲，≈；芝；：爰铲；通过（３・３６）可得‰；利用（３‘２６），（３．３７）可
首先，我们可以一次性把所有要重建的点（ｚ，暑，，ｚ）计算出Ⅳ线，即知，九，对于给定的Ｐ（啦，抛，Ａ）可以一次性计算出相应的Ｇｌ（坳，瑚，Ａ），Ｇ２（％，抛，Ａ），岛（锄，抛，Ａ），以后要用该数值时可以通过内插值法进行插值。下面计算肌（‰一《）。砍（ｕ）是窗函数，在本文的模拟试验中，取广义汉明窗。因为肌是对ｔｌ：沿着“。进行积分的，而探测平面Ｄ是有限大小的，假设有Ｍ×Ⅳ个点，间隔分别为△呦，△％，那ｔ‘，一《∈Ｉ＿、／ｉ】ｉ死函万再币娩【ｉ矛，￣／丽死函万丐－（丙ｊ而严Ｉ，其间隔取决于最（Ａ，知，凡），足（ｋ～），马（沁，丸）对《的积分间隔，在本文的模拟试验中，取△＝盟竺ｌ±丝，这样可得肌（‰一ｔ‘：）的所有可能的值，且整个重建的过程中只需求一次．由于在探测平面外的函数取值都认为是零，所以对ｔ的积分上下限是有限的，即“：∈卜乎，半】・在我们的模拟试验中，螺旋ＣＴ的相关参数如表（３．２）所示。
北京交通大学硕士学位论文第三章三维锥束精确重建算法
表３．２：螺旋ＣＴ的相关参数
ｒ（被测物体的半径）
日（被测物体的高度）
Ｒ（螺旋线的半径）
Ｓ（射线源到探测平面的距离）２５５０７５１５０
５００
６０
ｌ
１
ｌＯ
４００Ｍ（探测平面水平方向的取样数）Ⅳ（探测平面垂直方向的取样数）△Ⅱｄ（探测平面水平方向的间隔）△抛（探测平面垂直方向的间隔）＿｝ｌ（螺距）螺旋线每圈上的射线源点取样数
Ａ的取值范围
图像大小【一１０丌，１叫２５６×２５６×２５６
这里使用的原图像函数是通过表（２．１）的模型参数生成的，图像重建的模拟结果如图（３．９），（３．１０），（３．１１）所示，重建范围从一１０丌到１０丌，灰度范围【０ｌ】．
图３．９白＝一０．４６８７５，ｚ＝一１）到扫＝ｏＪＤ９３７５，：＝１）的切片图，左边是原图，右边是重建后的
图
北京交通大学硕士学位论文第三章三维锥束精确重建算法
图３．１０伽＝一ｌ，ｚ＝一１）到ｐ＝ｏ．７，＝＝１）的切片图，左边是原图，右边是重建后的图图３．１１伽＝－ｏ．蜩，７５’Ｆ＝一１）到任＝０．０９３７５，Ｆ＝１）的切片图，左边是原图，右边是重建后
的图
北京交通大学硕士学位论文第三章三维锥束精确重建算法
图３．１２ｏ＝ｏ处的切片图，左边是原图，右边是重建后的图
图３．１３可＝０处的切片圈，左边是原图，右边是重建后的图
图３．１４
ｚ＝ｏ处的切片图，左边是原图，右边是重建后的图
北京交通大学硕士学位论文第四章结束语
第四章结束语
本文主要研究了三维锥束的精确重建算法，并详细的给出了求Ｐ，线的算法和数值实现步骤，其中以ＺＤ弘Ｐ吼算法为主要研究对象，并改进了实现算法，使得改进后的算法减少了伪影，并做了数值模拟试验，效果较好。
本文中是用正则化方法代替原有的算法中做上“ｆ６ｅ竹变换，从而进一步增加了精确性。然而正则化的过程中要取定Ａ的值，不能满足理论上对Ａ—ｏｏ的假设，所以还是有一定的误差。另外，具体的误差是多少，及如何判断两种算法的误差的大小等都有待进一步的研究。
北京交通大学硕士学位论文参考文献
参考文献
【ｌｌ盏尔芳特，希洛夫．广义函数Ｉ．北京：科学出版社，１９明．
｜２ｌＨ．Ｋ．１、聃ＡⅡｉ删竹ｓｉ∞如ｒ矾ｌｌ矗蠡玎∞珊－ｂ哪阳喇１ｓ‘ｎ｜ｃ‘ｉｏ儿ｓＩＡＭＪ删胁囊ｌ∞Ａｌ，邮ｅｄｍａｌ蛔．∞（１惦３），劓６－砧２．Ｍ酬ｂｅ．
【３】Ｌ．＾．ＦｅⅫ妇印，Ｌ．ｃ．Ｄ删曲，Ｊ．ｗ．Ｋｆ嘲．晰ｉｃ柚∞∞・ｂ咖ａｌ霉嘣ｔｈｍ．Ｊ．ｏｐ‘．ｓｋＡｍ．１（Ａ）（１舳４）６１２击ｌ９．
【４ｌＢ．Ｓｍｉｔｈ．Ｉｍａｇｅ舶∞删吐嘣ｉ衄丘锄咖ｅ＿ｂ∞ｍｐｒｏｊ∞恼蛳加钟缈ａｑａ玎ｄ舶ｌｍｄ衄ｔ伽砌ｔ．蛐ａｎｄ阳∞聃ｈｌｌｃｔｉ∞珊吨ｈｏｄ８．ＩＥＥＥＴｈ珊．Ｍｅ出ｋｍ西吣．４（１９踮），１４－２５．
１５】Ｐ．Ｇ咖卵札．Ｍ８ｔｈ朗圳ｃａｌ奇锄朗ｒｏｆｋｏｆ伽ｅｂｅａｌｎ３Ｄ托舢ｔｒＩｌｃ‘ｉ仰ｖｊａｔｈｅ五Ｉｓｔｄｅｆｉｖａｔｉ＂ｏｆｔｈｅＲ丑ｄ∞ｔｒ衄疵ｆｍ，虹｛Ｍａｌｈｅｍ雠ｉｃｍＭｅｔｈｏ凼．ｍ
６Ⅲ．
ｆ６ｌ
８ＬＡＭＴ０ｍ昭｜－由，Ｉ七吐ｕ弛Ｎ神∞ｊｎＭａｔｈ．１４９７（１蛐１），Ａ．ＫａｔＢｅ岫．ｎ。叫ｅｔｊｃｄ可嘞ｃｔ矗ｌｔ曲日ｄｂａ却ｒｏｊｅｃ‘ｉｍ旧，ｐｅ蛔憎咖ｎａｌ霉砸ｎⅢＩ细印Ｉ瑚凹ＪａＩＩｍ矗Ｉ∞ＡｐｐｕｅｄＭａｔｈ哪砒Ｉ荡．∞（２∞２）＇∞１２－２０２６．
ｍＡ．Ｋａｔ钾ｖ｜ｄ．＾ｎ王ｍ口洲ｅｄｅｘ扯ｔ矗ｌｔ∞阳ｂａｄｐｒｏｊ∞Ｈ蛆蛔ｔｈｍｈ８砷瞄湖ｐＩｌｔｅｄｔ０瑚掣ａｐ坶＾‘Ｉｖ蝴缸ＡｐｐＩｉｅｄＭ砒ｌ始ｍ鲥ｂ．３２（２∞４），鹋１瑚７．
Ａ．Ｋ越糖ｖ地Ａ伊ｎ盯ｍ
ｔｊｏｎ址Ｊｏ帆“０ｆＭ砒ｈｅｍｄ妇ａⅡｄＭ砒ｈｅｍ８ｌ跏ｓｃｉｅｎ嘲．２１（２０∞），１３０５－１３２１．｜８ｌ８出咖ｅ细伽棚㈨ｊ丑ｇｊｎｖ钉棚蜘ｔｈｍｈ岫ｂ咖既ｈ土ｅｍＩ
【。ｌＡ．１（ａｌ鳓．＾ｎ喊出ｏｒｉｔｈｍ蛔印叫四
硼瑚呻ａｎｄＡｐｐＩｉｃ蜊删．２∞１．
ｎｏ】＾．Ｋ砒∞ｖｉ曲．＾ｎｄｙ８ｉＢｏｆ’柚ａ【＾ｃｔｉ脚啊８ｉ∞ｄｇ∞恤＾Ⅱ印由ａｌ啪ｅ．ｂ蛐１０Ｔ．Ｐｂ＾Ｍｅｄ．Ｂ湖．
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致谢
首先非常感谢导师渠刚荣副教授，本论文的各项工作都是在渠老师的悉心指
导和亲切关怀下顺利完成的。两年多来，无论是在基础课学习过程中，还是在论
文的选题、研究以及成文的过程中，渠老师自始至终都给了我极大的支持和帮助。
渠老师以渊博宽广的知识系统、严谨务实的治学态度和把握科学前沿的敏锐洞察
力使我受益匪浅；他谦虚正直、平易近人的长者风范和对学生无微不至的关怀是
给我的另一笔人生财富，在此特向渠老师表示深深的敬意和感激。
感谢关心我们成长的学校、学院领导，感谢给我以传道授业解惑和在生活学
习上支持帮助我的所有老师们。
感谢同门的师姐师弟师妹们，共同的学习、探讨与合作使我收获多多。感谢
所有一路走来、互相勉励的同学和朋友，感谢他们在学习和生活中给予我的关心
和帮助。
对父母及家人的感激是无法用语言表达的，他们对我的无私支持和鼓励是我
前进的最大源泉和动力。
最后，诚谢各位专家和学者在百忙中审阅我的论文，诚恳接受您的宝贵意见
和建议，并期待您的批评和指导。
兰勇生
２００６年ｉ２Ａ于北京交通大学理学院
北京交通大学硕士学位论文独创性声明
北京交通大学学位论文独创性声明
本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行研究工作及取得的研
究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他
人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其它教育机构
的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均
已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
学位论文作者签名：呈乌ｔ杉日期：≯卯埠ｆ狷ｆ７日
学位论文版权使用授权书
本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特
授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘．
（保密的学位论文在解密后适用本授权说明）
学位论文作者签名：兰匀‘￡导师签名：坚膏１蓉
签字日期：卫ｏｏＧ年ｆｚ月飞日签字日期：切鲐ｆ胡，，日
北京交通大学硕士学位论文作者简历
作者简历
兰勇生（１９８１．）。男，畲族，江西赣州人，硕士研究生。师从渠刚荣副教授，主
要从事图像处理与图像重建的研究．
教育经历：
２０００．９至２００４．７
２００４．９至２００７．４
已发论文：
‘满三维图像重建的卷积反投影算法》发表于‘中国体视学与图像分析》期刊２００５年第１０卷第３期，第一作者中央民族大学信息与计算科学本科北京交通大学计算数学硕士
精确三维图像重建算法及其实现的研究
作者：
学位授予单位：兰勇生北京交通大学
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1.期刊论文 曾理. 牛小明. 邹晓兵. ZENG Li. NIU Xiao-ming. ZOU Xiao-bing 螺旋锥束CT重建Katsevich算法在含噪投影中的应用 -计算机工程与应用2007,43(26)
针对含有噪声的投影数据,在利用螺旋锥束Katsevich算法进行重建的过程中,首先采用了一种改进的中值滤波方法对投影体数据进行预处理,然后对处理后的投影数据拟合求导来取代Katsevich算法中的直接求导,减小了噪声带来的负面影响.计算机仿真实验结果证实了这种方法的有效性.
2.学位论文 翟静 三维锥束CT中滤波反投影算法的研究 2008
近年来，三维锥束CT在医学和工业上得到越来越广泛的关注，同时锥束投影图像重建算法也在迅速发展。在各种三维锥束重建算法中，滤波反投影算法仍然是一类最常用的重建算法，在医学和工业检测上有着重要的意义。 本论文针对三维锥束CT中两种滤波反投影算法，以提高重建质量，降低重建图像的噪声为目的，分别对其中的FDK算法和Katsevich算法进行了一些研究和探索。首先分析了FDK算法，研究了其性质，并进行了仿真验证。然后，在滤波函数方面，采取了一种介于R-L和S-L之间的混合滤波函数，由实际的重建结果可知，该滤波函数的重建结果无论在横向还是在纵向上的分辨率都比较高，并且在空间分辨率和时间分辨率上都有较好的效果。接着，在插值函数方面，针对FDK算法的反投影过程中，各个体素在探测器上投影分布的特点，提出了一种新的插值方法。实际实验结果表明，在该算法中这个新的插值方法能更好地抑制噪声。最后，针对螺旋扫描轨迹的精确重建算法--Katsevich算法的公式，对其步骤(投影数据求导，滤波过程和反投影重建物体三个步骤)进行了一定的分析和研究，并做了仿真实验，为以后相关工作打下了基础。
3.期刊论文 牛小明. 曾理. 刘宝东. 邹晓兵. NIU Xiao-ming. ZENG Li. LIU Bao-dong. ZOU Xiao-bing 偏心螺旋锥束CT的Katsevich修正重建算法 -计算机工程2009,35(5)
在实际的锥束工业CT中,射线源焦点与探测器中心的水下高度不一致及转心偏移等原因会使获得的实际投影数据发生偏移.如果直接利用实际扫描所得投影数据进行图像重建,得到的图像不清晰.针对以上问题,该文修正Katsevich精确重建算法,以适应偏心的CT成像系统.将投影数据的偏移转换为探测器中心的偏移.在重建过程中,根据探测器的中心偏移量,对滤波线方程、滤波前后的重排和校正以及反投影过程进行修正处理.计算机仿真实验结果证实,该方法可以有效减小投影数据的偏移对重建图像的影响.
4.学位论文 马建华 锥束扇束CT优质重建算法研究 2008
计算机体层成像(Computerizedtomography,CT)使得层面成像第一次得到了广泛的应用，而且取得了突破性的发展。自上世纪七十年代第一台商用CT扫描机面世以来，CT成像技术已经经历了三十多年的长足发展，现在CT已经成为放射诊断领域内不可缺少的一部分，是一种成熟的、在临床上普遍认可的检查方法。目前CT正处于快速的技术发展阶段，并再次扩展了它的应用领域，如心脏、肺的动态检查及CT血管造影。螺旋CT的发展以及从单层扫描向快速扫描的转变使得CT再次富有吸引力，并使得CT在技术和临床前景方面有决定性的发展。 八十年代FDK算法的提出，实现了三维意义上的CT重建。鉴于FDK算法可以基本解决小、中锥角效应对图像重建的影响，一直是实际应用的主流算法。但随着面积探测器技术的发展以及现代医疗对成像速度和精度要求的进一步提升，将会使基于该技术和要求的快速精确三维锥束CT重建算法代表了当前许多研发部门正在研究和开发的关键性课题。 现代医疗技术为了减少X射线对正常器官的辐射，希望以最少的x射线剂量获取最好的图像重建质量，一方面可以通过感兴趣区域重建，即尽量能对病灶区域集中成像；另一方面可以通过研究低剂量条件下重建图像中存在的噪声和诊断结果之间的关系，设计优良的CT成像算法。前者的实现要求射束的视场应该尽量小，能罩住感兴趣区同时要求扫描的轨道应该尽可能短；后者要求根据图像噪声与诊断结果之间的统计关系建立合适的数学模型。上述两方面均是目前临床上CT应用中急需解决的问题。 在影像诊断中高密度的物体，如金属植入物、外科固定器以及口腔填充物等，往往会在CT成像时造成严重的金属伪影，以致严重影响临床诊断效果。因此，高效准确的CT图像金属伪影消除算法的研究始终是CT应用研究的热点问题，在临床上将直接有助于指导放射治疗计划的制定。 因此，为了解决上述的系列问题，我们需要真正意义上的三维重建算法，能够快速精确地获取优质的重建图像：需要针对感兴趣区精确成像的重建算法和低剂量条件下的重建算法，以期在最小的剂量下获取最好的图像重建质量；我们还需要高效准确的CT图像金属伪影消除算法，辅助临床诊断。 本论文的主要创新点集中表现如下： ·提出一种新的基于混合滤波的螺旋锥束CT优质精确重建算法。新算法采用Katsevich算法框架，巧妙地将现有FDK类型算法和Katsevich算法的不同优点有机地融合，完全回避投影数据中关于探测器坐标变量的直接微分运算，提高了成像质量，减少了重建伪影。同时新算法的滤波过程仍是平移不变滤波且与FDK类型重建算法相比数据冗余加权是在滤波过程之后进行，增强了数值计算的灵活性且没额外增加计算复杂度。 ·提出一种新的螺旋锥束CT精确重建公式。新重建公式利用数学上严格的推导，将Katseivch重建公式中关于旋转角度的微分运算完全回避，使得成像质量得到较大改善，减少了重建伪影。同时新算法仍然基于平移不变滤波且数据冗余加权在滤波过程之后进行，保持了数值计算的灵活性。 ·提出一种新的基于PI线的扇形束CT超短扫描优质重建算法，新算法仍采用经典的FBP重建算法框架，当且仅当满足通过感兴趣区域的任一直线均与扫描轨道相交时，就可以有效地进行该区域的精确重建。新重建公式中回避了投影数据的求导运算，将加权Hilbert滤波转化为HiIbert滤波与Ramp滤波的组合形式。由于实际重建过程中要对离散数据进行处理，新算法中导数的回避将增加数值计算稳定性，提高重建图像质量。 ·提出一种新的基于广义Gibbs先验的低剂量CT重建算法。新算法首先对投影数据进行统计建模，其后采用Bayesian最大后验估计方法，将投影数据中非局部的先验信息加诸于该数据的恢复中，达到抑制噪声的效果，最后仍采用经典的滤波反投影方法对恢复后的投影数据进行解析CT重建。其中非局部先验我们称之为广义Gibbs先验，其原因在于该先验具有传统Gibbs先验形式的同时，可以通过选择较大邻域和自适应的加权方式充分利用投影数据的全局信息进行数据恢复。 ·建立一种新的针对由金属伪影造成的CT图像质量退化的恢复算法。利用自适应各向异性高斯滤波器对原始CT图像进行全局滤波，从而有效地滤除原始图像中的噪声并对射线状金属伪影进行了平滑，其后配合最大互信息量分割算法从图像中分割出伪影成份，并利用其周围非伪影部分的像素对伪影类像素进行插值处理得到一个称之为“伪组织”类的图像，通过融合“伪组织”图像的sinogram和原始CT图像的sinogram得到校正的sinogram；最后采用滤波反投影重建算法获得金属伪影的CT校正图像。新方法可以对含有金属伪影的CT图像进行有效伪影消除，其中射线状伪影消除效果显著。另外，新方法还可以锐化器官轮廓，避免了临床上由于金属伪影导致的放射治疗效果下降。
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下载时间：2009年12月18日