初一数学培优训练
一、基础知识及基本技能总结与训练------从基础到能力，从简单到复杂 考点一：正负数的意义
1. 下列语句中，含有相反意义的两个量是（ ）
A. 盈利1千元和收入2千元 B.上升8米和后退8米 C. 存入1千元和取出2千元 D.超过2厘米和上涨2厘米 2. 如果零上6℃记作+3℃，则这个问题中，基准是（ ）
A. 零上3℃ B.零下3 ℃ C. 0℃ D.以上都不对 考点二：有理数的分类
3._____________统称整数，_____________统称分数，_________统称有理数。
4. 最小的自然数是__， 最大的负整数是__，最小的正整数是__，最大的非正数是__。
考点三： 数 轴、相反数、绝对值、倒数
⑴数轴的定义：___________________________________________叫数轴。 结论：①在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大；②正数都大于0, 负数都小于0；正数大于一切负数；③所有有理数都可以用数轴上的点表示。
5. 与原点的距离为三个单位的点有__个，它们分别表示的有理数是__和__。
6. 与+3表示的点距离2000个单位的点有__个，它们分别表示的有理数是__ __ 和__ __ 。
- 1 -
(2)相反数的定义： 只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数。 位于原点两侧且到原点的距离相等的两个数，叫做互为相反数。
结论：①数a 的相反数是-a 。 ②0的相反数是0。 ③若a 、b 互为相反数，则a+b=0. ④a+b的相反数是-a-b,a-b 的相反数是b-a,a-b+c的相反数是-a+b-c
7. 一个数的相反数是最小的正整数，那么这个数是（ ） A .–1 B. 1 C .±1 D. 0 8. 只要符号不同，这两个数就是相反数（ ） 9. 表示相反意义的量的两个数互为相反数（ ）
10. 若-a=-8，则-a 的相反数是__________；-（-4）的相反数是____________。
(3)倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数
①a 的倒数是 （a ≠0）； ②0没有倒数 ；③若a 与b 互为倒数，则ab=1.
(4)绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。
结论：①数a 的绝对值记作︱a ︱; 若a ＞0，则︱a ︱= ;
② 若a ＜0，则︱a ︱= ; 若a =0，则︱a ︱= ;
③对任何有理数a, 总有︱a ︱≥0. 注：互为相反数的两个数的绝对值相等
11. 填空：(1)当a ＞0时，|2a|＝______ ； (2)当a ＞1时，|a－1|＝______ ； (3)当a ＜－2时，|a＋2|＝______ 。(4)若|a|＝3，
则a ＝____；(5)|a+1|＝0，则a ＝____；(6)若|a+1|＝3，则a ＝____。 12. 已知a>0，ab
13. 在数轴上表示绝对值不少于2而又不大于5.1的所有整数；并求出绝对值少于4的所有整数的和与积？ 14. 若（x-1) 2 +|y+4|=0,则3x+5y=______ 15. 已知|x|=3,|y|=2,且x
16已知︱x ︱＝3，︱y ︱＝4，xy ＞0。求︱3x －5y ︱的值。
17. 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，化简|a|-|a+b|+|c-a|+|b+c||
111⎛2⎫12005
-2+(-1)-1⨯ 0. 5-⎪÷1。 （2）-22⎝3⎭92
2
（3）(-49)-(+91)-(-5)+(-9) （4）13+7-(-20) -(-40) -6
⎛753⎫
（5）-24+3⨯(-1) 2000-(-2) 2 （6） -+-⎪⨯(-36)
⎝964⎭
c b 0 a
18. ①绝对值等于本身的数是________；②相反数等于本身的数________； ③倒数等于本身的数________； ④平方等于本身的数________； ⑤立方等于本身的数________；
考点四：有理数的混合运算 ⑴加法四结合解题技巧： ①. 凑整结合法 ②. 同号结合法
③. 两个相反数结合法 ④. 同分母或易通分的分数结合法 ⑵乘法三结合解题技巧：
① 、 积为整数结合 ②、两个倒数结合 ③、能约分的结合
19. （1）-2-24⨯
3
考点五：探索规律
20、观察1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，1+3+5+7+9=52……，则猜想：1+3+5+……+（2n+1）= 。（n 为正整数）
21、观察下面一列数：2，5，10，x ，26，37，50，65，…，根据规律，其中x 表示的数是 ；
⎛153⎫
-+⎪； ⎝1268⎭
111111, -, , -, , , . [***********]
23、观察下列式子: 2=2⨯, 3=3⨯, 4=42⨯, 你发现它们之间
33881515
22、 按规律填数:
存在怎样的规律?(用含n 的式子表示出来,(n表示大于等于2整数):__________.
- 2 -
24、计算3的正数次幂，
31=3, 32=9, 33=27, 34=81, 35=243, 36=729, 37=2187, 38=6561…观察
归纳各计算结果中个位数字的规律，可得32003的个位数字是( ) A 、1 B 、3 C 、7 D 、9 25、. 观察下列各式规律并填空:
①1×3+1=4=2² ; ②2×4+1=9=3² ; ③3×5+1=16=4² ; ④4×6+1=25=5². 则第10个式子怎么表达? 第n 个呢?
（A ）第502个正方形的左下角 （B ）第502个正方形的右下角 （C ）第503个正方形的左上角 （D ）第503个正方形的右下角 4. （山东菏泽）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，
m 的值 是 ．
26. 观察以下等式可得：
1=21- 1 3=1+ 21 =22- 1 7=1+21 +22 =23- 1 15= 1+21 +22 +23=24-
1
5.(重庆綦江)
相邻格子中所填整数之和都相等，则第2011个格子中的数为（ ） ．．
A. 3 B. 2 C. 0 D. －1 6.(江苏南京) 甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6……按
所以 1+2+22+23+24+„„2n =
中考链接
1. （浙江省嘉兴）一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一
部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ） （A ）2010
（B ）2011
（C ）2012
（D ）2013
此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为____________．
7. （台湾台北）已知世运会、亚运会、奥运会分别于公元2009年、2011年、2012年办？
„ „
红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 黄 绿 蓝 紫 2. （安徽）－2，0，2，－3这四个数中最大的是（ ）
A ．2
B ．0
C ．－2
D ．－2
- 3 -
A ．公元2070年 B ．公元2071年 C ．公元2072年 D ．公元2073年
3. （山东日照）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（ ）
类型一、有理数相关概念
1． 已知x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求（5）下列各对算式中，结果相等的是（ ）
A．-a 6与(-a) 6 B ．-a 3与|-a|3 C．[(-a)2]3与(-a3) 2 D．(ab)3与ab 3 【答案】（1）C; （2）C; （3）A ；（4）D ；(5)C
a 2-(x+y+mn) a+(x+y) 2009+(-mn ) 2010的值．
【思路点拨】(1)若有理数x 与y 互为相反数，则x+y＝0，反过来也成立． (2)若有理数m 与n 互为倒数，则mn ＝1，反过来也成立． 【答案与解析】因为x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，（a-1）2≥0， 所以x+y＝0，mn ＝1，a ＝1，
所以a 2-(x+y+mn) a+(x+y) 2009+(-mn ) 2010 ＝a 2-(0+1) a+02009+(-1) 2010 ＝a 2-a+1．
∵a ＝1，∴原式＝12-1+1＝1
【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念. 举一反三：
【高清课堂：有理数的复习与提高 357129 复习例题2】
【变式1】选择题 （1）已知四种说法：
①|a|=a时，a>0; |a|=-a时， a
①有最小的有理数 ②有绝对值最小的有理数 ③有最小的正有理数 ④没有最大的负有理数 上述说法正确的是（ ）
A ．①② B．③④ C．②④ D．①② （3）已知(-ab)3
>0，则（ ）
A．ab0 C．a>0且b
【变式2】某市2008年的国民生产总值约为333.9亿元，预计2009年比上一年增长10%，表示2009年这个市的国民生产总值应是（结果保留3个有效数字）________元.
【答案】3.67⨯1010. 提示：333.9⨯1.1=367.29（亿元）=3.67⨯1010（元）
2. 在下列两数之间填上适当的不等号： -
99100________-100101
． 【思路点拨】在a 、b 均为正数的条件下，根据“
a b >1，a b =1，a
b
【答案】 ＞
【解析】法一：作差法：-99100-（-100
101
） =-99100-100+101=99⨯101+100⨯100101⨯100=110100>0， ∴-99100100>-
101
. 法二：作商法：由于[***********]0
100÷101=100⨯100=10000
101
． 再根据两个负数，绝对值大的反而小，得到：-99100
100>-
101
． 【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用.
举一反三：
【变式】在下列两数之间填上适当的不等号． -
1111111_________-1111
11111
． 【答案】＞ （提示：倒数法较简便）
类型二、有理数的运算
- 4 -
【高清课堂：有理数专题复习 357133 有理数的混合运算】
3．
(1) ⎛-42⎪⎫- ⎛-31⎪⎫- ⎛1⎫⎛1⎫⎝3⎭⎝3⎭⎝-62⎪⎭+ ⎝-24⎪⎭
(2) (-
512) ÷154⨯(-1. 5) ÷(-34
)
(3) -25÷(-4)⨯⎛ 1⎫
2
3⎝2⎪⎭
-12⨯(-15+24)
(4) ⎡⎢1⎛377⎫⎛7⎫⎤5⎛1⎣13+ ⎝14-8-12⎪⎭÷ ⎝-8⎪⎭⎥⎦
-2. 5÷6⨯ ⎫⎝-3⎪⎭
(5)
-53-(-1)
100
-12÷⎛ 1⎫
⎝-22⎪
⎭
1+-1-32⨯2
【答案与解析】（1）原式=-4
23+313+61111
2-24=212
（2）原式=-512⨯415⨯32⨯42
3=-9
（3）原式=-32÷(-4) ⨯14
-12⨯(-15+16) 3
=-10
（4）原式=[113+(-2) +1+2561
3]-2⨯5⨯(-3) =2
（5）-125-1-12÷(-1)
原式==-3.9
1+-1-9⨯2
【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a (b+c) ＝ab+ac；逆向应用分配律：ab+ac＝a (b+c) 等. 举一反三：
【变式】
（1）[(-5) 2÷111714⨯78-0.25]⨯19989-32⨯[(-2
3) 2-2]
（2）(-112) 2⨯(-59) -(-5115
9) ⨯(-22) +(-2) 3⨯9
【答案】
（1）[(-5117
) 2÷1
14⨯78-0.25]⨯19989-32⨯[(-2
3) 2-2] =(2549⨯1425⨯78-14) ⨯19989-32⨯(4
9-2)
=(14-14) ⨯19989-(343
2⨯9-2⨯2)
=0-(2
3-3)
=0-2
3+3
=21
3
（2）(-112551135
2) ⨯(-9) -(-9) ⨯(-22) +(-2) ⨯9
=94⨯(-59) -(-59) ⨯(-52) +(-15
8) ⨯9
=(-59) ⨯(94+52+18) =-217
24
4. 先观察下列各式：
11⎛11⨯4=3 ⎝1-⎫4⎪⎭；14⨯7=1⎛3 1⎝4-1⎫7⎪⎭
； 17⨯10=1⎛3 1⎝7-1⎫10⎪11⎛11⎫
⎭；„；n (n +3) =3 ⎝n -n +3⎪⎭
，根据以上观察，计算：11⨯4+14⨯7+17⨯10+„+
1
2005⨯2008
的值． - 5 -
1⎛1⎫1⎛11⎫1⎛11⎫1⎛11⎫
【答案与解析】原式= 1-⎪+ -⎪+ -⎪+…+ -⎪
3⎝4⎭3⎝47⎭3⎝710⎭3⎝20052008⎭
=
1⎛1111111⎫1-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ 3⎝[1**********]008⎭1⎛1⎫12007669
． 1-= ⎪=⨯
3⎝2008⎭320082008
=
【答案与解析】（1）从数轴上a 、b 两点的位置可以看出a ＜0，b ＞0，且|a |＞|b |，所以|a |-|a+b|-|b -a |＝-a+a+b-b+a＝a ．
（2）a 可能是正数，0或负数，这就需要分类讨论：
当a ＞0时，|a |＝a ＞0，-2a ＜0，所以|a |＞-2a ； 当a ＝0时，|a |＝0，-2a ＝0，所以|a |＝-2a ；
当a ＜0时，|a |＝-a>0，-2a ＞0，又-a ＜-2a ，所以|a |＜-2a ． 综上所述：当a ≥0时， |a |≥-2a ；当a ＜0时，|a |＜-2a ． （3）
【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成 进行计算．
举一反三：
【高清课堂：有理数的复习与提高 例2】 【变式】用简单方法计算：
1⎛11⎫
-⎪的形式，然后再3⎝n n +3⎭
⎛1⎫
(-999) ÷ -⎪=(-1000+1) ⨯(-35) =(-1000) ⨯(-35) +1⨯(-35) =34965．
⎝35⎭
【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段. 数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”.
11111
++++
8244880120
【答案】原式
类型四、规律探索
6. (安徽) 下面两个多位数1248624„，6248624„都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字„„，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( ) ． A ．495 B ．497 C ．501 D ．503
【思路点拨】多位数1248624„是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2，将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4，将其写在第3位上，将第3位数字4乘以2的8，将8写在第4位上，将第4位数字8乘以2得16，将16的个位数字6写在第5位上，将第5位数字6乘以2得12，将12的个位数字2写在第6位上，再将第6位数字2乘以2得4，将其写在第7位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和． 【答案】A
【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248„，后面6248循环，所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8) ×24+6+2+4＝495，所以选A ．
- 6 -
[1**********]15
++++=(-+-+... +-) =
2⨯44⨯66⨯88⨯1010⨯[1**********]24类型三、数学思想在本章中的应用
=
5. （1）数形结合思想：已知有理数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示，且|a |＞|b |，求|a |-|a+b|-|b -a |的值．
A ．2b+a B ．2b -a C ．a D ．b
（2）分类讨论思想：已知a 是任一有理数，试比较|a |与-2a 的大小． （3）转化思想：(-999) ÷ -
⎛1⎫
⎪． 35⎝⎭
【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并表示出来． 举一反三：
【变式】(2009·山东聊城) 将1，-如下：
A. 3 B. 2 C. 0 D. －1 【答案】：A
3. （2011山东菏泽，14，3分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，
根据这种规律，m 的值 是 ．
11111
，，-，，-，„，按一定规律排列23456
请你写出第20行从左至右第10个数是________． 【答案】-
【答案】158
1
200
16. (2011江苏南京，16，2分) 甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规
定：
①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6……按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为____________． 【答案】4
8. （湖北宜昌）如果用+0.02克表示一只乒乓球质量超出标准质量0.02 克，那么一只乒乓球质量低于标准质量0.02克记作( ) ．
A ． +0.02克 B.-0.02克 C. 0 克 D ．+0.04克
9.
68. (2011重庆綦江，10，4分) 如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，．．
使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2011个格子中的数为．．（ ）
16
- 7 -
二、常考点、重难点训练-------包括常见题型
27. 市话费在3分钟内一次计费0.22元，超过3分钟的每分钟0.11元，小华通话时间用x 表示，通话费用用y 表示。用含x 的代数式表示y. 小华
一次打了12分钟，问这次通话费多少元？
28. 若a-b=2,b-c=-3,c-d=5,则(a-c)(b-d)÷(a-d)=________. 29. 已知-m+2n=5,那么5(m-2n)2+6n-3m-60的值为( )
41．如果x －2y=5，则5－3x+6y=_______．
42．若a 2+2b2=5，则多项式（3a 2－2ab+b2）－（a 2－2ab －3b 2）的值是________． 43、某种商品原价每件a 元, 第一次降价是打 “九折” (按原价的90%出售), 第二次降价每件又减少10元, 这时的售价是_________________元.
44、当x= 2时，多项式ax 5+ bx ³+ cx- 5的值为2，则当x= - 2时，ax 5+ bx ³+ cx+1的值为 . 45、
30．下列各题中的两项哪些是同类项？并指出每一项的系数与次数 （1）－2m 2n 与－
221
m n ； （2）x 2y 3与－x 3y 2； （3）5a 2b 与5a 2bc ； 32
（4）23a 2与32a 2； （5）3p 2q 与－qp 2； （6）53与－33． 31、（1）化简：5a －2a=_______;（2）若－4x a y+x2y b =－3x 2y ，则a+b=_______． 32、已知（a+1）2+│b－2│=0，求多项式a 2b 2+3ab－7a 2b 2－2ab+1+5a2b 2的值． 33．多项式－3x y －10x +3x+6xy+3xy －6x y+7x的值是（ ）．
A ．与x ，y 都无关 B ．只与x 有关 C ．只与y 有关 D ．与x ，y 都有关
34．如果多项式3x －2x +x+│k│x－5中不含x 项，则k 的值为（ ）． A ．±2 B ．－2 C ．2 D ．0 35．若2x 2y m 与－3x n y 3是同类项，则m+n________． 36．减去－4x 等于3x 2－2x －1的多项式为（ ）．
A ．3x 2－6x －1 B ．5x 2－1 C ．3x 2+2x－1 D ．3x 2+6x－1 37．五个连续偶数中，中间一个是n ，这五个数的和是_______． 38．若m 为常数，多项式mxy+2x－3y －1－4xy 为三项式，则______． 39．若单项式－
3
2
2
2
2
3
3
3
2
3
3
152m +11
与-a 3n b 6的和仍是单项式，求m,n. a b
43
1
46、4xy k -(k -3) y 2+1是四次三项式，求k 的值.
5
47化简下列各式：
（1）a+（5a －3b ）－（a －2b ）； （2）2（3x 2－2xy ）－4（3x 2－4xy+
12
y ）． 2
（3）．化简求值：2ab 2-3a 2b -2(a 2b -ab 2)，其中a =-1, b =-2.
（4）-2(a 5-7b ) -3(-3a 5+4b ) ，其中a =-1, b =-2.
1
432
(6)、 2(5a2-7ab+9b2)-3(14a2-2ab+3b2) ，其中a=, b =-(8分)
43
12
m －m+2的值是2
(5)、 5(2x-7y)-3 (4x-10y). 其中
12x m 1－
a b 与a n b y 1可合并为a 2b 4，则xy －mn=_______． 22
x =1,y =－
40．关于x ，y 的多项式6mx 2+4nxy+2x+2xy－x 2+y+4不含二次项，求6m －2n+2的值．
- 8 -
(7). 5ab2－{2a2b －3[ab2－2（2ab 2+a2b ）]}，其中a ，b 满足│a+1┃+（b －2）2=0． 48．当
2x -y 2x -y x +y
的值。 =3时，求代数式+
x +y 2x +2y 6x -3y
- 9 -
初一数学培优训练
一、基础知识及基本技能总结与训练------从基础到能力，从简单到复杂 考点一：正负数的意义
1. 下列语句中，含有相反意义的两个量是（ ）
A. 盈利1千元和收入2千元 B.上升8米和后退8米 C. 存入1千元和取出2千元 D.超过2厘米和上涨2厘米 2. 如果零上6℃记作+3℃，则这个问题中，基准是（ ）
A. 零上3℃ B.零下3 ℃ C. 0℃ D.以上都不对 考点二：有理数的分类
3._____________统称整数，_____________统称分数，_________统称有理数。
4. 最小的自然数是__， 最大的负整数是__，最小的正整数是__，最大的非正数是__。
考点三： 数 轴、相反数、绝对值、倒数
⑴数轴的定义：___________________________________________叫数轴。 结论：①在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大；②正数都大于0, 负数都小于0；正数大于一切负数；③所有有理数都可以用数轴上的点表示。
5. 与原点的距离为三个单位的点有__个，它们分别表示的有理数是__和__。
6. 与+3表示的点距离2000个单位的点有__个，它们分别表示的有理数是__ __ 和__ __ 。
- 1 -
(2)相反数的定义： 只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数。 位于原点两侧且到原点的距离相等的两个数，叫做互为相反数。
结论：①数a 的相反数是-a 。 ②0的相反数是0。 ③若a 、b 互为相反数，则a+b=0. ④a+b的相反数是-a-b,a-b 的相反数是b-a,a-b+c的相反数是-a+b-c
7. 一个数的相反数是最小的正整数，那么这个数是（ ） A .–1 B. 1 C .±1 D. 0 8. 只要符号不同，这两个数就是相反数（ ） 9. 表示相反意义的量的两个数互为相反数（ ）
10. 若-a=-8，则-a 的相反数是__________；-（-4）的相反数是____________。
(3)倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数
①a 的倒数是 （a ≠0）； ②0没有倒数 ；③若a 与b 互为倒数，则ab=1.
(4)绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。
结论：①数a 的绝对值记作︱a ︱; 若a ＞0，则︱a ︱= ;
② 若a ＜0，则︱a ︱= ; 若a =0，则︱a ︱= ;
③对任何有理数a, 总有︱a ︱≥0. 注：互为相反数的两个数的绝对值相等
11. 填空：(1)当a ＞0时，|2a|＝______ ； (2)当a ＞1时，|a－1|＝______ ； (3)当a ＜－2时，|a＋2|＝______ 。(4)若|a|＝3，
则a ＝____；(5)|a+1|＝0，则a ＝____；(6)若|a+1|＝3，则a ＝____。 12. 已知a>0，ab
13. 在数轴上表示绝对值不少于2而又不大于5.1的所有整数；并求出绝对值少于4的所有整数的和与积？ 14. 若（x-1) 2 +|y+4|=0,则3x+5y=______ 15. 已知|x|=3,|y|=2,且x
16已知︱x ︱＝3，︱y ︱＝4，xy ＞0。求︱3x －5y ︱的值。
17. 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，化简|a|-|a+b|+|c-a|+|b+c||
111⎛2⎫12005
-2+(-1)-1⨯ 0. 5-⎪÷1。 （2）-22⎝3⎭92
2
（3）(-49)-(+91)-(-5)+(-9) （4）13+7-(-20) -(-40) -6
⎛753⎫
（5）-24+3⨯(-1) 2000-(-2) 2 （6） -+-⎪⨯(-36)
⎝964⎭
c b 0 a
18. ①绝对值等于本身的数是________；②相反数等于本身的数________； ③倒数等于本身的数________； ④平方等于本身的数________； ⑤立方等于本身的数________；
考点四：有理数的混合运算 ⑴加法四结合解题技巧： ①. 凑整结合法 ②. 同号结合法
③. 两个相反数结合法 ④. 同分母或易通分的分数结合法 ⑵乘法三结合解题技巧：
① 、 积为整数结合 ②、两个倒数结合 ③、能约分的结合
19. （1）-2-24⨯
3
考点五：探索规律
20、观察1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，1+3+5+7+9=52……，则猜想：1+3+5+……+（2n+1）= 。（n 为正整数）
21、观察下面一列数：2，5，10，x ，26，37，50，65，…，根据规律，其中x 表示的数是 ；
⎛153⎫
-+⎪； ⎝1268⎭
111111, -, , -, , , . [***********]
23、观察下列式子: 2=2⨯, 3=3⨯, 4=42⨯, 你发现它们之间
33881515
22、 按规律填数:
存在怎样的规律?(用含n 的式子表示出来,(n表示大于等于2整数):__________.
- 2 -
24、计算3的正数次幂，
31=3, 32=9, 33=27, 34=81, 35=243, 36=729, 37=2187, 38=6561…观察
归纳各计算结果中个位数字的规律，可得32003的个位数字是( ) A 、1 B 、3 C 、7 D 、9 25、. 观察下列各式规律并填空:
①1×3+1=4=2² ; ②2×4+1=9=3² ; ③3×5+1=16=4² ; ④4×6+1=25=5². 则第10个式子怎么表达? 第n 个呢?
（A ）第502个正方形的左下角 （B ）第502个正方形的右下角 （C ）第503个正方形的左上角 （D ）第503个正方形的右下角 4. （山东菏泽）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，
m 的值 是 ．
26. 观察以下等式可得：
1=21- 1 3=1+ 21 =22- 1 7=1+21 +22 =23- 1 15= 1+21 +22 +23=24-
1
5.(重庆綦江)
相邻格子中所填整数之和都相等，则第2011个格子中的数为（ ） ．．
A. 3 B. 2 C. 0 D. －1 6.(江苏南京) 甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6……按
所以 1+2+22+23+24+„„2n =
中考链接
1. （浙江省嘉兴）一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一
部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ） （A ）2010
（B ）2011
（C ）2012
（D ）2013
此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为____________．
7. （台湾台北）已知世运会、亚运会、奥运会分别于公元2009年、2011年、2012年办？
„ „
红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 黄 绿 蓝 紫 2. （安徽）－2，0，2，－3这四个数中最大的是（ ）
A ．2
B ．0
C ．－2
D ．－2
- 3 -
A ．公元2070年 B ．公元2071年 C ．公元2072年 D ．公元2073年
3. （山东日照）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（ ）
类型一、有理数相关概念
1． 已知x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，|x+y |+（a-1）2＝0，求（5）下列各对算式中，结果相等的是（ ）
A．-a 6与(-a) 6 B ．-a 3与|-a|3 C．[(-a)2]3与(-a3) 2 D．(ab)3与ab 3 【答案】（1）C; （2）C; （3）A ；（4）D ；(5)C
a 2-(x+y+mn) a+(x+y) 2009+(-mn ) 2010的值．
【思路点拨】(1)若有理数x 与y 互为相反数，则x+y＝0，反过来也成立． (2)若有理数m 与n 互为倒数，则mn ＝1，反过来也成立． 【答案与解析】因为x 与y 互为相反数，m 与n 互为倒数，（a-1）2≥0， 所以x+y＝0，mn ＝1，a ＝1，
所以a 2-(x+y+mn) a+(x+y) 2009+(-mn ) 2010 ＝a 2-(0+1) a+02009+(-1) 2010 ＝a 2-a+1．
∵a ＝1，∴原式＝12-1+1＝1
【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念. 举一反三：
【高清课堂：有理数的复习与提高 357129 复习例题2】
【变式1】选择题 （1）已知四种说法：
①|a|=a时，a>0; |a|=-a时， a
①有最小的有理数 ②有绝对值最小的有理数 ③有最小的正有理数 ④没有最大的负有理数 上述说法正确的是（ ）
A ．①② B．③④ C．②④ D．①② （3）已知(-ab)3
>0，则（ ）
A．ab0 C．a>0且b
【变式2】某市2008年的国民生产总值约为333.9亿元，预计2009年比上一年增长10%，表示2009年这个市的国民生产总值应是（结果保留3个有效数字）________元.
【答案】3.67⨯1010. 提示：333.9⨯1.1=367.29（亿元）=3.67⨯1010（元）
2. 在下列两数之间填上适当的不等号： -
99100________-100101
． 【思路点拨】在a 、b 均为正数的条件下，根据“
a b >1，a b =1，a
b
【答案】 ＞
【解析】法一：作差法：-99100-（-100
101
） =-99100-100+101=99⨯101+100⨯100101⨯100=110100>0， ∴-99100100>-
101
. 法二：作商法：由于[***********]0
100÷101=100⨯100=10000
101
． 再根据两个负数，绝对值大的反而小，得到：-99100
100>-
101
． 【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用.
举一反三：
【变式】在下列两数之间填上适当的不等号． -
1111111_________-1111
11111
． 【答案】＞ （提示：倒数法较简便）
类型二、有理数的运算
- 4 -
【高清课堂：有理数专题复习 357133 有理数的混合运算】
3．
(1) ⎛-42⎪⎫- ⎛-31⎪⎫- ⎛1⎫⎛1⎫⎝3⎭⎝3⎭⎝-62⎪⎭+ ⎝-24⎪⎭
(2) (-
512) ÷154⨯(-1. 5) ÷(-34
)
(3) -25÷(-4)⨯⎛ 1⎫
2
3⎝2⎪⎭
-12⨯(-15+24)
(4) ⎡⎢1⎛377⎫⎛7⎫⎤5⎛1⎣13+ ⎝14-8-12⎪⎭÷ ⎝-8⎪⎭⎥⎦
-2. 5÷6⨯ ⎫⎝-3⎪⎭
(5)
-53-(-1)
100
-12÷⎛ 1⎫
⎝-22⎪
⎭
1+-1-32⨯2
【答案与解析】（1）原式=-4
23+313+61111
2-24=212
（2）原式=-512⨯415⨯32⨯42
3=-9
（3）原式=-32÷(-4) ⨯14
-12⨯(-15+16) 3
=-10
（4）原式=[113+(-2) +1+2561
3]-2⨯5⨯(-3) =2
（5）-125-1-12÷(-1)
原式==-3.9
1+-1-9⨯2
【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a (b+c) ＝ab+ac；逆向应用分配律：ab+ac＝a (b+c) 等. 举一反三：
【变式】
（1）[(-5) 2÷111714⨯78-0.25]⨯19989-32⨯[(-2
3) 2-2]
（2）(-112) 2⨯(-59) -(-5115
9) ⨯(-22) +(-2) 3⨯9
【答案】
（1）[(-5117
) 2÷1
14⨯78-0.25]⨯19989-32⨯[(-2
3) 2-2] =(2549⨯1425⨯78-14) ⨯19989-32⨯(4
9-2)
=(14-14) ⨯19989-(343
2⨯9-2⨯2)
=0-(2
3-3)
=0-2
3+3
=21
3
（2）(-112551135
2) ⨯(-9) -(-9) ⨯(-22) +(-2) ⨯9
=94⨯(-59) -(-59) ⨯(-52) +(-15
8) ⨯9
=(-59) ⨯(94+52+18) =-217
24
4. 先观察下列各式：
11⎛11⨯4=3 ⎝1-⎫4⎪⎭；14⨯7=1⎛3 1⎝4-1⎫7⎪⎭
； 17⨯10=1⎛3 1⎝7-1⎫10⎪11⎛11⎫
⎭；„；n (n +3) =3 ⎝n -n +3⎪⎭
，根据以上观察，计算：11⨯4+14⨯7+17⨯10+„+
1
2005⨯2008
的值． - 5 -
1⎛1⎫1⎛11⎫1⎛11⎫1⎛11⎫
【答案与解析】原式= 1-⎪+ -⎪+ -⎪+…+ -⎪
3⎝4⎭3⎝47⎭3⎝710⎭3⎝20052008⎭
=
1⎛1111111⎫1-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ 3⎝[1**********]008⎭1⎛1⎫12007669
． 1-= ⎪=⨯
3⎝2008⎭320082008
=
【答案与解析】（1）从数轴上a 、b 两点的位置可以看出a ＜0，b ＞0，且|a |＞|b |，所以|a |-|a+b|-|b -a |＝-a+a+b-b+a＝a ．
（2）a 可能是正数，0或负数，这就需要分类讨论：
当a ＞0时，|a |＝a ＞0，-2a ＜0，所以|a |＞-2a ； 当a ＝0时，|a |＝0，-2a ＝0，所以|a |＝-2a ；
当a ＜0时，|a |＝-a>0，-2a ＞0，又-a ＜-2a ，所以|a |＜-2a ． 综上所述：当a ≥0时， |a |≥-2a ；当a ＜0时，|a |＜-2a ． （3）
【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成 进行计算．
举一反三：
【高清课堂：有理数的复习与提高 例2】 【变式】用简单方法计算：
1⎛11⎫
-⎪的形式，然后再3⎝n n +3⎭
⎛1⎫
(-999) ÷ -⎪=(-1000+1) ⨯(-35) =(-1000) ⨯(-35) +1⨯(-35) =34965．
⎝35⎭
【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段. 数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”.
11111
++++
8244880120
【答案】原式
类型四、规律探索
6. (安徽) 下面两个多位数1248624„，6248624„都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字„„，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( ) ． A ．495 B ．497 C ．501 D ．503
【思路点拨】多位数1248624„是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2，将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4，将其写在第3位上，将第3位数字4乘以2的8，将8写在第4位上，将第4位数字8乘以2得16，将16的个位数字6写在第5位上，将第5位数字6乘以2得12，将12的个位数字2写在第6位上，再将第6位数字2乘以2得4，将其写在第7位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和． 【答案】A
【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248„，后面6248循环，所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8) ×24+6+2+4＝495，所以选A ．
- 6 -
[1**********]15
++++=(-+-+... +-) =
2⨯44⨯66⨯88⨯1010⨯[1**********]24类型三、数学思想在本章中的应用
=
5. （1）数形结合思想：已知有理数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示，且|a |＞|b |，求|a |-|a+b|-|b -a |的值．
A ．2b+a B ．2b -a C ．a D ．b
（2）分类讨论思想：已知a 是任一有理数，试比较|a |与-2a 的大小． （3）转化思想：(-999) ÷ -
⎛1⎫
⎪． 35⎝⎭
【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并表示出来． 举一反三：
【变式】(2009·山东聊城) 将1，-如下：
A. 3 B. 2 C. 0 D. －1 【答案】：A
3. （2011山东菏泽，14，3分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，
根据这种规律，m 的值 是 ．
11111
，，-，，-，„，按一定规律排列23456
请你写出第20行从左至右第10个数是________． 【答案】-
【答案】158
1
200
16. (2011江苏南京，16，2分) 甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规
定：
①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6……按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束；
②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为____________． 【答案】4
8. （湖北宜昌）如果用+0.02克表示一只乒乓球质量超出标准质量0.02 克，那么一只乒乓球质量低于标准质量0.02克记作( ) ．
A ． +0.02克 B.-0.02克 C. 0 克 D ．+0.04克
9.
68. (2011重庆綦江，10，4分) 如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，．．
使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2011个格子中的数为．．（ ）
16
- 7 -
二、常考点、重难点训练-------包括常见题型
27. 市话费在3分钟内一次计费0.22元，超过3分钟的每分钟0.11元，小华通话时间用x 表示，通话费用用y 表示。用含x 的代数式表示y. 小华
一次打了12分钟，问这次通话费多少元？
28. 若a-b=2,b-c=-3,c-d=5,则(a-c)(b-d)÷(a-d)=________. 29. 已知-m+2n=5,那么5(m-2n)2+6n-3m-60的值为( )
41．如果x －2y=5，则5－3x+6y=_______．
42．若a 2+2b2=5，则多项式（3a 2－2ab+b2）－（a 2－2ab －3b 2）的值是________． 43、某种商品原价每件a 元, 第一次降价是打 “九折” (按原价的90%出售), 第二次降价每件又减少10元, 这时的售价是_________________元.
44、当x= 2时，多项式ax 5+ bx ³+ cx- 5的值为2，则当x= - 2时，ax 5+ bx ³+ cx+1的值为 . 45、
30．下列各题中的两项哪些是同类项？并指出每一项的系数与次数 （1）－2m 2n 与－
221
m n ； （2）x 2y 3与－x 3y 2； （3）5a 2b 与5a 2bc ； 32
（4）23a 2与32a 2； （5）3p 2q 与－qp 2； （6）53与－33． 31、（1）化简：5a －2a=_______;（2）若－4x a y+x2y b =－3x 2y ，则a+b=_______． 32、已知（a+1）2+│b－2│=0，求多项式a 2b 2+3ab－7a 2b 2－2ab+1+5a2b 2的值． 33．多项式－3x y －10x +3x+6xy+3xy －6x y+7x的值是（ ）．
A ．与x ，y 都无关 B ．只与x 有关 C ．只与y 有关 D ．与x ，y 都有关
34．如果多项式3x －2x +x+│k│x－5中不含x 项，则k 的值为（ ）． A ．±2 B ．－2 C ．2 D ．0 35．若2x 2y m 与－3x n y 3是同类项，则m+n________． 36．减去－4x 等于3x 2－2x －1的多项式为（ ）．
A ．3x 2－6x －1 B ．5x 2－1 C ．3x 2+2x－1 D ．3x 2+6x－1 37．五个连续偶数中，中间一个是n ，这五个数的和是_______． 38．若m 为常数，多项式mxy+2x－3y －1－4xy 为三项式，则______． 39．若单项式－
3
2
2
2
2
3
3
3
2
3
3
152m +11
与-a 3n b 6的和仍是单项式，求m,n. a b
43
1
46、4xy k -(k -3) y 2+1是四次三项式，求k 的值.
5
47化简下列各式：
（1）a+（5a －3b ）－（a －2b ）； （2）2（3x 2－2xy ）－4（3x 2－4xy+
12
y ）． 2
（3）．化简求值：2ab 2-3a 2b -2(a 2b -ab 2)，其中a =-1, b =-2.
（4）-2(a 5-7b ) -3(-3a 5+4b ) ，其中a =-1, b =-2.
1
432
(6)、 2(5a2-7ab+9b2)-3(14a2-2ab+3b2) ，其中a=, b =-(8分)
43
12
m －m+2的值是2
(5)、 5(2x-7y)-3 (4x-10y). 其中
12x m 1－
a b 与a n b y 1可合并为a 2b 4，则xy －mn=_______． 22
x =1,y =－
40．关于x ，y 的多项式6mx 2+4nxy+2x+2xy－x 2+y+4不含二次项，求6m －2n+2的值．
- 8 -
(7). 5ab2－{2a2b －3[ab2－2（2ab 2+a2b ）]}，其中a ，b 满足│a+1┃+（b －2）2=0． 48．当
2x -y 2x -y x +y
的值。 =3时，求代数式+
x +y 2x +2y 6x -3y
- 9 -