巧用三角形外心的一个向量性质破解一类客观题
作者：刘正祥
来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2014年第11期
在近两年的各种高考调研卷、模拟卷中经常出现一类与三角形外心有关的向量问题，解决此类问题一般可分为两种思路：一种是利用平面向量基本定理转化来优化计算，二是通过建立坐标系，用平面向量的坐标来解决.但用思路一有时出现的向量较多，不知怎么转化，解题缺乏方向性；用思路二有时不好建系.本文就针对这类问题提出如何应用三角形外心的一个向量性质来有效、快速破解问题.
一、引例联想
（2012浙江调研）如图，在圆O中，若弦AB=3，弦AC=5，则AO·BC的值是（）
A. -8B. -1C. 1D. 8
一般解法：取BC的中点D，连接AD，OD，则有OD⊥BC，
AD=12（AB+AC），BC=AC-AB，
AO·BC=（AD+DO）·BC=AD·BC+DO·BC=AD·BC
=12（AB+AC）（AC-AB）=12AC2-12AB2=12（52-32）=8，
所以正确答案选D.
本题求解的关键和难点是向量之间的线性转化，解题的策略是将两个无关联的向量转化为两个目标基向量，通过数量积运算得到结果.
在解法中我们可以发现AO·BC=12AC2-12AB2，而AO·BC=AO·（AC-AB）
=AO·AC-AO·AB，则AO·AC-AO·AB=12AC2-12AB2，于是从结构形式上希望有AO·AB=12AB2，AO·AC=12AC2发生，从而猜想性质：已知O是△ABC外心，则
AO·AB=12AB2；AO·AC=12AC2；同理BO·BA=12BA2，BO·BC=12BC2；CO·CA=12CA2，CO·CB=12CB2.
二、性质证明
证明：如图，过O作OD⊥AB于点D，则AD=12AB且AB·DO=0，过O作OE⊥AC于点E，则AE=12AC且AC·EO=0，
AO·AB=（AD-OD）·AB=AD·AB+DO·AB=12AB·AB=12AB2，
同理AO·AC=12AC2；BO·BA=12BA2，BO·BC=12BC2；CO·CA=12CA2，CO·CB=12CB2. 该性质结构对称，记忆方便，而且看到这种结构能立刻条件反射，联想到用该性质，从而启发解题手段，例如引例可联想用性质解法如下：AO·BC=AO·（AC-AB）=AO·AC-AO·AB=12AC2-12AB2=12（52-32）=8，显然方便快捷.
三、应用举例
例1如图，在圆O中，若△ABC是圆O的内接三角形，且AB=4，M是BC边BC的中点，AO·AM=5，则AC=.
解：联想性质AO·AM=AO·12（AB+AC）=12AB·AO+12AC·AO
=14AB2+14AC2，则14×42+14AC2=5，解得AC=2.
评注：原答案提供的解法为：过O作OD⊥AB于点D，则AD=12AB且AB·DO=0，过O作OE⊥AC于点E，则AE=12AC且AC·EO=0，AO·AM=AO·12（AB+AC）
=12AB·AO+12AC·AO
=14AB2+14AC2，即14×42+14AC2=5，故AC=2.显然用性质解题方向明确，过程简捷，运算迅速.
例2已知O是△ABC外心，AB=AC，若AO=3mAB-nAC，且9m-3n=4，则cosA=. 解：因为O是△ABC外心，AB=AC，由对称性可知3m=-n又9m-3n=4，
则m=29，从AO=23AB+23AC，联想性质得AO·AB=23AB2+23AC·AB
即12AB2=23AB2+23AC·AB，即12c2=23c2+23c2cosA，故cosA=-14.
评注：原答案采用的是性质证明过程中所用方法，比较繁琐，显然先用对称性求出m，n，再联想性质构造数量积，得到方程，容易达到解题目的.
例3已知O是△ABC外心，AB=2a，AC=2a，∠BAC=120°，若AO=xAB+yAC，则x+y的最小值为.
解：由AO=xAB+yAC，联想性质得
AO·AB=xAB2+yAB·ACAO·AC=xAB·AC+yAC2，
得方程组4a2x-2y=2a2-2x+4ya2=2a2解方程组得x=2a2+13a2y=a2+23，所以
x+y=2a2+13a2+a2+23=43+13（a2+1a2）≥43+23a2·1a2=2即当a=1时，x+y取得最小值2.
评注：本题亦可以A为原点，以AC边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，则C（2a，0），B（-a，3a），O（1a，33（2a+1a））.由AO=xAB+yAC，得（1a，33（2a+1a））=（-ax，3ax）+（2ay，0）解得x=23+13a2，y=23+13a2，再利用基本不等式求出答案.而此法先用性质构造构造数量积，得到方程组，解出x，y后再利用基本不等式求解，显然该法解题方向明确，方法固化，容易入手.
四、类题演练
演练1设点O是△ABC三边的垂直平分线的交点，且AC2-2AC+AB2=0，则BC·AO的取值范围是.
解析：由AC2-2AC+AB2=0得AB2=2AC-AC2，则0
演练2已知O是△ABC外心，AB=1，AC=2，且AO=xAB+4-x8AC（x∈R且x≠0），则三角形ABC的边BC长为.
解析：联想性质，将等式AO=xAB+4-x8AC两边同时与AC数量积，得
12AC2=xAB·AC+4-x8AC2，即x8AC2=xAB·AC，即x8×22=x·1×2cosA解得cosA=14，再由余弦定理得BC=2，故答案为2.
演练3已知O是锐角△ABC的外心，且∠A=θ，若cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO，则m=（用θ表示）.
解析：联想性质，将等式cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO两边同时与AB数量积，得cosBsinCAB2+cosCsinBAC·AB=2mAO·AB，即cosBsinCc2+cosCsinBbccosA=mc2，即m=cosBsinC+cosCsinB·bccosA=cosBsinC+cosCsinB·sinBsinCcosA=cosB+cosAcosCsinC=-cos（A+C）+cosAcosCsinC=sinAsinCsinC=sinA=sinθ，故答案为sinθ.
由以上几例可知，用三角形外心的这个向量性质解题的本质是构造数量积，将向量等式转化为数量等式，将问题转化到三角形的边.同时题目条件本身就能预示解题方向，启发解题手段，在以后的解题中同学们应多加尝试.
（作者：刘正祥，江苏省阜宁中学）
巧用三角形外心的一个向量性质破解一类客观题
作者：刘正祥
来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2014年第11期
在近两年的各种高考调研卷、模拟卷中经常出现一类与三角形外心有关的向量问题，解决此类问题一般可分为两种思路：一种是利用平面向量基本定理转化来优化计算，二是通过建立坐标系，用平面向量的坐标来解决.但用思路一有时出现的向量较多，不知怎么转化，解题缺乏方向性；用思路二有时不好建系.本文就针对这类问题提出如何应用三角形外心的一个向量性质来有效、快速破解问题.
一、引例联想
（2012浙江调研）如图，在圆O中，若弦AB=3，弦AC=5，则AO·BC的值是（）
A. -8B. -1C. 1D. 8
一般解法：取BC的中点D，连接AD，OD，则有OD⊥BC，
AD=12（AB+AC），BC=AC-AB，
AO·BC=（AD+DO）·BC=AD·BC+DO·BC=AD·BC
=12（AB+AC）（AC-AB）=12AC2-12AB2=12（52-32）=8，
所以正确答案选D.
本题求解的关键和难点是向量之间的线性转化，解题的策略是将两个无关联的向量转化为两个目标基向量，通过数量积运算得到结果.
在解法中我们可以发现AO·BC=12AC2-12AB2，而AO·BC=AO·（AC-AB）
=AO·AC-AO·AB，则AO·AC-AO·AB=12AC2-12AB2，于是从结构形式上希望有AO·AB=12AB2，AO·AC=12AC2发生，从而猜想性质：已知O是△ABC外心，则
AO·AB=12AB2；AO·AC=12AC2；同理BO·BA=12BA2，BO·BC=12BC2；CO·CA=12CA2，CO·CB=12CB2.
二、性质证明
证明：如图，过O作OD⊥AB于点D，则AD=12AB且AB·DO=0，过O作OE⊥AC于点E，则AE=12AC且AC·EO=0，
AO·AB=（AD-OD）·AB=AD·AB+DO·AB=12AB·AB=12AB2，
同理AO·AC=12AC2；BO·BA=12BA2，BO·BC=12BC2；CO·CA=12CA2，CO·CB=12CB2. 该性质结构对称，记忆方便，而且看到这种结构能立刻条件反射，联想到用该性质，从而启发解题手段，例如引例可联想用性质解法如下：AO·BC=AO·（AC-AB）=AO·AC-AO·AB=12AC2-12AB2=12（52-32）=8，显然方便快捷.
三、应用举例
例1如图，在圆O中，若△ABC是圆O的内接三角形，且AB=4，M是BC边BC的中点，AO·AM=5，则AC=.
解：联想性质AO·AM=AO·12（AB+AC）=12AB·AO+12AC·AO
=14AB2+14AC2，则14×42+14AC2=5，解得AC=2.
评注：原答案提供的解法为：过O作OD⊥AB于点D，则AD=12AB且AB·DO=0，过O作OE⊥AC于点E，则AE=12AC且AC·EO=0，AO·AM=AO·12（AB+AC）
=12AB·AO+12AC·AO
=14AB2+14AC2，即14×42+14AC2=5，故AC=2.显然用性质解题方向明确，过程简捷，运算迅速.
例2已知O是△ABC外心，AB=AC，若AO=3mAB-nAC，且9m-3n=4，则cosA=. 解：因为O是△ABC外心，AB=AC，由对称性可知3m=-n又9m-3n=4，
则m=29，从AO=23AB+23AC，联想性质得AO·AB=23AB2+23AC·AB
即12AB2=23AB2+23AC·AB，即12c2=23c2+23c2cosA，故cosA=-14.
评注：原答案采用的是性质证明过程中所用方法，比较繁琐，显然先用对称性求出m，n，再联想性质构造数量积，得到方程，容易达到解题目的.
例3已知O是△ABC外心，AB=2a，AC=2a，∠BAC=120°，若AO=xAB+yAC，则x+y的最小值为.
解：由AO=xAB+yAC，联想性质得
AO·AB=xAB2+yAB·ACAO·AC=xAB·AC+yAC2，
得方程组4a2x-2y=2a2-2x+4ya2=2a2解方程组得x=2a2+13a2y=a2+23，所以
x+y=2a2+13a2+a2+23=43+13（a2+1a2）≥43+23a2·1a2=2即当a=1时，x+y取得最小值2.
评注：本题亦可以A为原点，以AC边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，则C（2a，0），B（-a，3a），O（1a，33（2a+1a））.由AO=xAB+yAC，得（1a，33（2a+1a））=（-ax，3ax）+（2ay，0）解得x=23+13a2，y=23+13a2，再利用基本不等式求出答案.而此法先用性质构造构造数量积，得到方程组，解出x，y后再利用基本不等式求解，显然该法解题方向明确，方法固化，容易入手.
四、类题演练
演练1设点O是△ABC三边的垂直平分线的交点，且AC2-2AC+AB2=0，则BC·AO的取值范围是.
解析：由AC2-2AC+AB2=0得AB2=2AC-AC2，则0
演练2已知O是△ABC外心，AB=1，AC=2，且AO=xAB+4-x8AC（x∈R且x≠0），则三角形ABC的边BC长为.
解析：联想性质，将等式AO=xAB+4-x8AC两边同时与AC数量积，得
12AC2=xAB·AC+4-x8AC2，即x8AC2=xAB·AC，即x8×22=x·1×2cosA解得cosA=14，再由余弦定理得BC=2，故答案为2.
演练3已知O是锐角△ABC的外心，且∠A=θ，若cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO，则m=（用θ表示）.
解析：联想性质，将等式cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO两边同时与AB数量积，得cosBsinCAB2+cosCsinBAC·AB=2mAO·AB，即cosBsinCc2+cosCsinBbccosA=mc2，即m=cosBsinC+cosCsinB·bccosA=cosBsinC+cosCsinB·sinBsinCcosA=cosB+cosAcosCsinC=-cos（A+C）+cosAcosCsinC=sinAsinCsinC=sinA=sinθ，故答案为sinθ.
由以上几例可知，用三角形外心的这个向量性质解题的本质是构造数量积，将向量等式转化为数量等式，将问题转化到三角形的边.同时题目条件本身就能预示解题方向，启发解题手段，在以后的解题中同学们应多加尝试.
（作者：刘正祥，江苏省阜宁中学）