圆锥曲线联立及韦达定理

圆锥曲线联立及韦达定理

1、圆锥曲线与直线的关系

椭圆与双曲线与给定直线的关系通过联立方程所得解的情况来判定： x2y2

椭圆：221(aabb0) x2y2

双曲线：221(a、bab

直线：ykxm 0)

(PS：这里并没有讨论椭圆的焦点在y轴、双曲线的焦点在y轴及直线斜率不存的情况，做题需要补充)

（1）椭圆与双曲线联立：

1k2

22kmm2

(22)x2x210 abbb

(PS：联立时选择不通分，原因？看完就知道了)

类一元二次方程：AxBxC0 2

1k2

A(22)，所以Aab

判别式：B4AC 20，即方程为一元二次方程。

2km21k2m2

(2)4(22)(21) babb

1k2m2

化解得：4(2222) abab

1) 当0，方程无实根，直线与椭圆没有交点；

2) 当0，方程有两个相同的根，直线与椭圆相切；

（相切是因为重根，而不是只有一个根）

3) 当

0，方程有两个不同的实根，直线与椭圆相交.

（2）双曲线与直线联立：

1k2

22kmm2

(22)x2x210 abbb

2km1k2

类一元二次方程中，A(22)，B(2) bab

1k2m2

4(2222) abab

1) 当A0,B0时，方程为10，无解，直线与双曲线相离；（此时为渐近线）

2) 当A0,B0时，方程为一元一次方程，只有一个解，直线与双曲线只有一个交点（此时为渐近线

的平行线）

3) 当A0,0时，一元二次方程无实数解，直线与双曲线相离；

4) 当A0,0时，一元二次方程有两个相同实数解，直线与双曲线相切；

5) 当A0,

PS：注意双曲线与直线联立和椭圆与直线联立的方程及最后判定的异同！

0时，一元二次方程有两个不同实数解，直线与双曲线相交.

2、联立方程与韦达定理

（1）韦达定理：

Ax2BxC0运用韦达定理的前提：A0,0

x1x2

（2）椭圆与直线联立相关的韦达定理： BC， x1x2，

x1x2AAA

1k2

22kmm2

(22)x2x210 abbb

2km

2； x1x21k2

22ab

m2

12；

x1x221ka2b2

x1x2a2b2

由ykxm可得到关于y的韦达定理：

y1y2(kx1m)(kx2m)k(x1x2)2m

2k2m1k2

22m(22) 21ka2b2

2m

2； y1y21k2

a2b2

y1y2(kx1m)(kx2m)k2y1y2km(x1x2)m2

m22kmk221k(21)km(2)m(22) 21ka2b2

m2

k2

2； y1y21k2

22ab2

y1y2(kx1m)(kx2m)kx1

x2

； y1y2a2b2

（3）双曲线与直线联立相关的韦达定理：

1k2

22kmm2

(22)x2x210 abbb

2km

2； x1x221k22ab

m2

21x1x22；

1ka2b2

x1x2a2b2

由ykxm可得到关于y的韦达定理：

y1y2(kx1m)(kx2m)k(x1x2)2m

2k2m1k2

2m(22)2 1k2

a2b2

2m

2； y1y221k22ab

y1y2(kx1m)(kx2m)k2y1y2km(x1x2)m2

m22kmk221k(21)km(2)m(22) 21ka2b2

m2

k2

2； y1y21k2

22ab2

y1y2(kx1m)(kx2m)kx1

x2

； y1y2a2b2

PS：1、所有韦达定理所得的结果分母都一样，之后的处理就不需要通分；2、记住部分结论（联立的一元二次方程和判别式必须记住）会事半功倍；3、双曲线相关的式子与椭圆相关式子的区别，所有带b项变号。 2

x2y2

21a原因：椭圆的双曲线方程化解之后均是22。椭圆中aac2

a2

c2，令b2a2c2；双曲线中c2，令b2a2c2。

圆锥曲线联立及韦达定理

1、圆锥曲线与直线的关系

椭圆与双曲线与给定直线的关系通过联立方程所得解的情况来判定： x2y2

椭圆：221(aabb0) x2y2

双曲线：221(a、bab

直线：ykxm 0)

(PS：这里并没有讨论椭圆的焦点在y轴、双曲线的焦点在y轴及直线斜率不存的情况，做题需要补充)

（1）椭圆与双曲线联立：

1k2

22kmm2

(22)x2x210 abbb

(PS：联立时选择不通分，原因？看完就知道了)

类一元二次方程：AxBxC0 2

1k2

A(22)，所以Aab

判别式：B4AC 20，即方程为一元二次方程。

2km21k2m2

(2)4(22)(21) babb

1k2m2

化解得：4(2222) abab

1) 当0，方程无实根，直线与椭圆没有交点；

2) 当0，方程有两个相同的根，直线与椭圆相切；

（相切是因为重根，而不是只有一个根）

3) 当

0，方程有两个不同的实根，直线与椭圆相交.

（2）双曲线与直线联立：

1k2

22kmm2

(22)x2x210 abbb

2km1k2

类一元二次方程中，A(22)，B(2) bab

1k2m2

4(2222) abab

1) 当A0,B0时，方程为10，无解，直线与双曲线相离；（此时为渐近线）

2) 当A0,B0时，方程为一元一次方程，只有一个解，直线与双曲线只有一个交点（此时为渐近线

的平行线）

3) 当A0,0时，一元二次方程无实数解，直线与双曲线相离；

4) 当A0,0时，一元二次方程有两个相同实数解，直线与双曲线相切；

5) 当A0,

PS：注意双曲线与直线联立和椭圆与直线联立的方程及最后判定的异同！

0时，一元二次方程有两个不同实数解，直线与双曲线相交.

2、联立方程与韦达定理

（1）韦达定理：

Ax2BxC0运用韦达定理的前提：A0,0

x1x2

（2）椭圆与直线联立相关的韦达定理： BC， x1x2，

x1x2AAA

1k2

22kmm2

(22)x2x210 abbb

2km

2； x1x21k2

22ab

m2

12；

x1x221ka2b2

x1x2a2b2

由ykxm可得到关于y的韦达定理：

y1y2(kx1m)(kx2m)k(x1x2)2m

2k2m1k2

22m(22) 21ka2b2

2m

2； y1y21k2

a2b2

y1y2(kx1m)(kx2m)k2y1y2km(x1x2)m2

m22kmk221k(21)km(2)m(22) 21ka2b2

m2

k2

2； y1y21k2

22ab2

y1y2(kx1m)(kx2m)kx1

x2

； y1y2a2b2

（3）双曲线与直线联立相关的韦达定理：

1k2

22kmm2

(22)x2x210 abbb

2km

2； x1x221k22ab

m2

21x1x22；

1ka2b2

x1x2a2b2

由ykxm可得到关于y的韦达定理：

y1y2(kx1m)(kx2m)k(x1x2)2m

2k2m1k2

2m(22)2 1k2

a2b2

2m

2； y1y221k22ab

y1y2(kx1m)(kx2m)k2y1y2km(x1x2)m2

m22kmk221k(21)km(2)m(22) 21ka2b2

m2

k2

2； y1y21k2

22ab2

y1y2(kx1m)(kx2m)kx1

x2

； y1y2a2b2

PS：1、所有韦达定理所得的结果分母都一样，之后的处理就不需要通分；2、记住部分结论（联立的一元二次方程和判别式必须记住）会事半功倍；3、双曲线相关的式子与椭圆相关式子的区别，所有带b项变号。 2

x2y2

21a原因：椭圆的双曲线方程化解之后均是22。椭圆中aac2

a2

c2，令b2a2c2；双曲线中c2，令b2a2c2。