落球半径对测量粘度的影响

42物理实验　第23卷　第9

期

落球半径对测量粘度的影响

郑勇林　杨晓莉　杨　敏

(涪陵师范学院物理系重庆涪陵408003)

　　摘　要:用实验和图解方法研究了落球法测粘度实验中落球半径对粘度测量的影响, 给出了落球速度、运动距离与半径的关系, 讨论了有限边界对速度的影响Λ

关键词:落球法; 落球半径; 粘度; 图解法

中图分类号:O 357　　　文献标识码:A 　　　文章编号:100524642(2003) 0920042203

I nf luence of dropp i m easur i ng G X iao 2li 　YAN G M ing

(D ep of , Fu ling T eachers Co llege , Fu ling , Chongqing , 408003) Abstract :U sing the m ethods of exp eri m en t and grap h ic , the influence of dropp ing 2ball radiu s on m easu ring visco sity of liqu id is studied . T he relati on s betw een sp eed , distance and radiu s are p resen ted , and the influence on sp eed in fin itude boundary is discu ssed .

Key words :dropp ing 2ball m ethod ; dropp ing 2ball radiu s ; visco sity ; grap h ical m ethod

　　在落球法测液体粘度实验中, 落球半径起着关键作用, 本文将讨论球半径与速度、有限边界、粘度的关系, 用实验方法求出有限边界速度的修正因子, 并用图解法求出粘度Ζ1　落球的加速运动

1. 1　不同半径的小球达匀速运动所需的时间

液体质量) 的作用, 其竖直方向运动方程为

(2) m g -m ′g -6Πr Γv =m

d t

设球和液体的密度分别为Θ和Θ′, 把质量用球体积和密度表示, 则(2) 式可以简化为

(3) =-2

d t Θ2Θr 2令Σ=, 注意t =0时, v =0, 积分(3) 式有

9Γ

2Σ

(Θ) (1-e -t ) (4) -Θ′v (t ) =

9Γ

半径为r 的光滑小球在粘度为Γ的均匀无限液体中运动, 若速度v 量级不大(R e ν1) , 则球在液体中的粘性阻力满足斯托克斯公式

(1) F =6Πr Γv 质量为m 的小球在重力作用下从液面开

始下落, 下落速度v 逐渐增加, 同时粘性阻力也随之增加, 小球在运动过程中受粘性阻力F 、重力m g 及液体浮力m ′为小球排开同体积g (m ′

令

v =

(Θ) r 2-Θ′9Γ

(5)

则(4) 式可表示为

-t Σ

(6) v (t ) =v (1-e )

式中Σ为v (t ) 从0增大到v 的63. 2%时所需的

物理实验　第23卷　第9期43

=t 2 Σ2, 或t 1 t 2=Σ1 Σ2=(r 1 r 2) Ζ由此可知, r 越大, v (t ) v 达到同一数值所需时间越长, 且

时间Ζ当t →∞时, 对半径一定的小球, v (t ) =

v (∞) =v 为一定值, 并由(5) 式决定, 这时落球作匀速直线运动, 对应的v 称为终极速度Ζ再由

(6) 式计算和数据(表1) , 作图线

v Σv Σ

(图1) Ζ图1所表征的关系是对任意半

v Σ

径r 的小球都普适的曲线, 即对任一r , 只要t Σ

取值相同, 则一定相同Ζ但对不同r , t Σ取

与r 2成正比Ζ

2同一数值所需时间t 不同(从Σ=可知) Ζ设

9Γ

r 1和r 2分别对应Σ1和Σ2, 使t Σ达到某一数值(比例) 所需时间为t 1和t 2, 根据条件应有t 1 Σ1

表1　

t Σ

v (t ) v

图线数据v Σ

t Σ

v (t ) v

图1　

图线v Σ

在实际应用中, t , 但由表

1可知, t Σ=20(t ) 时, v (20Σ) v 值, 6(20Σ) 的相对误. Ζ因此, 只要当t Σ=20, 可以满足实验要求ΖT =12. 10℃时, 若Γ=2. 0Pa ・s , g =

233

9. 7863m =7. 8g ′=0. 9640g s , Θc m , Θc m (蓖麻油) , 可算出不同半径的落球达到匀速v

0. 0010. 010. 10. 50. 6310. 0. 0. 0. 0. 0. [***********][1**********]20

950212684. 10. 99995460. 999999690. 999999998

所需时间20Σ, 其数值见表2Ζ

表2　不同半径的球达到匀速运动的时间及距离Σ s

0. 1817950. 2227750. 8614742. 359520Σ s 3. 6359094. 45551617. 22948947. 190000

(mm ・s v (20Σ)

1. 5592261. 9107077. 38870620. 236992-1

r mm ) y (20Σ) Λm

0. 0. 0. 1. [1**********]05. 3857448. 087524120. 9384907. 23451. 2　不同半径小球达匀速运动所经历的路程

　　测量小球下落达匀速度的时间, 可以根据上述方法进行, 但应用不方便Ζ在实际测量中, 常选择自液面下落的某一距离开始计时, 为此讨论小球的运动路程y (t ) Ζ由(6) 式有

-d y (t ) =v (t ) d t =v (1-e

当t =0时, y (0) =0, ) d t

图2　

图线v ΣΣ

y (t ) =v

ΣΣ

+e --1

或

=v Σ

+e -

-1(7)

作

曲线, 如图2所示Ζv ΣΣ

　　由图2可知, 当t ≥20Σ后有

(8) y (t ) =v t

即y (t ) 与时间t 成正比(达匀速运动) , t 为20Σ后某一时刻开始计时的时间Ζ由(5) 式算出v 的理论值, 并将表2中不同r 对应的20Σ代入(7)

44物理实验　第23卷　第9期

式, 可以算出小球达到匀速运动所经历的路程y (20Σ) , 其数据见表2Ζ

2　不同半径R 的圆管对半径为r 的小球匀速

度v 的影响

　　(1) 式中的v 应是小球在无限广延的液体内匀速运动的速度, 但在实际测量时, 小球总是在有限容器的液体内运动, 受边界面的粘性阻力的作用, 因此必须修正小球在半径为R 的圆管内匀速运动的速度v R Ζ

T =8. 5℃时用半径为r 的同一小球在不

-1

图3　v R 2R 关系

　　将求得的k 代入(9) 式, 并注意k 展开式的一级修正, 故(9) 式可改写为

v =v R (1+2. 362

) R

ν1, 取R

(10)

同容器半径R 的液体中运动, 测相应的匀速度

-1

v R (表3) , 其v R 2R 图线(图3) 为直线Ζ又根据理论要求, 当R →∞时, v R →v , 因此有理由假定v R 与r R 具有如下形式

v R =v (1-k

　　容器中实际测得的速度v R 小于理想条件下的速度v , 但当R 36. 2R =0. 507 01v Ζ因此, 根据一, 应控制

～0. 02为宜Ζr . 1) mm , 取r R =0. 013　小球匀速度v 与球半径r 的关系

)

k k Ζ用拟合法

v 1. 6098, 斜率m =

-vk r =-1. 9280, 因而有k =-m v r =2. 362.

表3　r =0. 507mm 的小球在不同圆管

半径R 液体中运动的匀速度

-1

5. 20

11. 7524. 750. 0. 0. -[1**********]04(・R

1. 1. 1.

[1**********]0-1

)

　　在理论上v 2r 的关系由(5) 式决定, 这里用实验方法求v 2r 的关系ΖT =12. 10℃时, 取不

同半径r 的小球(Θ′=7. 89g c m ) 在圆筒半径

为R =36. 2mm 的蓖麻油(Θ′=0. 9640g c m ) 中下落, 在满足匀速运动的条件下测量相应的匀速度, 用(10) 式对v R 修正, 其v R , v 数据如表4所示Ζv 2r 图线如图4所示Ζ

表4　小球半径与小球运动速度的关系

r mm

(mm ・s v R 1. 535

1. 8657. 11618. 921-1

) v (mm ・s -1)

1. 5963

1. 94747. 790920. 9580ln (r mm ) -0. 7809-0. 6792-0. 00300. 5008

(mm ・s -1) ]ln [v 理

0. 0. 2. 3. [**************]5(mm ・s -1) ]ln [v R

0. 0. 1. 2. [**************]3(mm ・s -1) ]ln [v

0. 0. 2. 3. [**************]50. 0. 0. 1. [1**********]0　　由图4可知v 2r 为曲线, 设

v =cr

(11)

对(11) 式两侧取对数, 得

(12) ln v =n ln r +ln c

计算数据见表4Ζ作ln v 2ln r 图线[图5(a ) ],ln v R 2ln r 图线[图5(b ) ],均为线性关系Ζ

由(10) 式修正v 后按(12)

式求拟合

图4　v 2r 图线

(下转48页)

48物理实验　第23卷　第9期

机不转……, 如此反复地进行跟踪小灯Λ当手电筒光的运动速度不大于5c m s 时, 经过20次的反复运行, 系统的跟踪误差不超过1°, 累积定位误差较小; 当手电筒光的运动速度大于5c m s 而小于15c m s 时, 经过20次的反复运行, 系统的跟踪误差为2°～3°; 当手电筒光的运动速度大于15c m s 时, 经过20次的反复运行, 系统的跟踪误差大于3°Λ4　结　论

1) 从小灯自动跟踪系统的试验结果可以看

系统可从电池板直接获取电能, 而无需另外输

入能量Λ本系统可用于其它太阳能利用装置Λ参考文献:

[1]　浜川圭弘, 等Λ太阳光发电[M ]. 田小平, 等译Λ北

京:新时代出版社, 1979.

[2]　冷长庚Λ太阳能及其利用[M ]Λ北京:科学出版

社, 1975Λ

[3]　陆利生Λ单轴太阳能自动跟踪器液压传动系统的

设计[J ]. 新能源, 1994, 16(10) Λ

[4]　王志峰Λ抛物跟踪式太阳高温集热器的研究[J ]Λ

太阳能学报, 2000, 21(1) Λ

[5]　林珊, 等Λ太阳能发电系统的最大功率跟踪控制

[J ]Λ新能源, 1999, 21(2) Λ

[6]I . 出, 整个跟踪过程无需人工干预, 就可精确地定

位、跟踪;

2) 由于太阳自动跟踪系统中应用了太阳辐射与环境亮度的比较, 使得该自动跟踪系统的准确性高、可靠性强, 杂的情况下, 3) 的利用率Λ, 则该跟踪　参量见表5, 拟合方程为ln v =

1. 9657ln r +2. 0057Ζ由此可知n =1. 9657, ln c =2. 0057, c =7. 4313Ζ所以(11) 式可表示

(上接44页)

[]. 张汝航, :, 等Λ敏感器件及其应用[M ]. 北京:中国

铁道出版社, 1987.

(2002211220收稿, 2003204209收修改稿)

c =

为

v =7. 4313r

1. 9657

(Θ) =7. 4313, 即-Θ′9Γ

) (Θ-Θ′Γ=

(14)

(13)

　　将前面给定的Θ, Θ′, g 值和c 值代入(14) 式可计算得Γ=2. 0005Pa ・s , 这与粘度的公认值非常接近, 这说明用实验方法得到的v 2r 关系是正确的Ζ利用(5) 式计算Γ相当于用多个小球测量Γi 取平均, 因此其准确性更高Ζv R 的拟合结果也列在表5中[直线(b ) ]Ζ从图5两直线比较可知, r 愈大, 直线(a ) , (b ) 偏离越远Ζ参考文献:

[1]　杨述武, 马葭生, 贾玉民, 等. 普通物理实验(—、

图5　ln v 2ln r 图表5　直线拟合结果

拟合参量斜率截距相关系数

理论值2. 00002. 00601

直线() 1. 89731. 92940. 9993

直线() 1. 96572. 00570. 9996

力学及热学部分) [M ]Λ北京:高等教育出版社,

2000Λ205Λ

[2]　张兆钧Λ用落球法测量Γ实验中小球下落速度的

辨析[J ]Λ物理实验, 1995, 15(5) :199～200Λ

[3]　王文周Λ落球加速运动的路程[J ]Λ物理实验,

1998, 18(5) :37～38.

(2003201227收稿, 2003

205228收修改稿)

　　(5) 式与(13) 式比较应有:n =1. 9657≈2,

42物理实验　第23卷　第9

期

落球半径对测量粘度的影响

郑勇林　杨晓莉　杨　敏

(涪陵师范学院物理系重庆涪陵408003)

关键词:落球法; 落球半径; 粘度; 图解法

中图分类号:O 357　　　文献标识码:A 　　　文章编号:100524642(2003) 0920042203

I nf luence of dropp i m easur i ng G X iao 2li 　YAN G M ing

Key words :dropp ing 2ball m ethod ; dropp ing 2ball radiu s ; visco sity ; grap h ical m ethod

1. 1　不同半径的小球达匀速运动所需的时间

液体质量) 的作用, 其竖直方向运动方程为

(2) m g -m ′g -6Πr Γv =m

d t

设球和液体的密度分别为Θ和Θ′, 把质量用球体积和密度表示, 则(2) 式可以简化为

(3) =-2

d t Θ2Θr 2令Σ=, 注意t =0时, v =0, 积分(3) 式有

9Γ

2Σ

(Θ) (1-e -t ) (4) -Θ′v (t ) =

9Γ

半径为r 的光滑小球在粘度为Γ的均匀无限液体中运动, 若速度v 量级不大(R e ν1) , 则球在液体中的粘性阻力满足斯托克斯公式

(1) F =6Πr Γv 质量为m 的小球在重力作用下从液面开

始下落, 下落速度v 逐渐增加, 同时粘性阻力也随之增加, 小球在运动过程中受粘性阻力F 、重力m g 及液体浮力m ′为小球排开同体积g (m ′

令

v =

(Θ) r 2-Θ′9Γ

(5)

则(4) 式可表示为

-t Σ

(6) v (t ) =v (1-e )

式中Σ为v (t ) 从0增大到v 的63. 2%时所需的

物理实验　第23卷　第9期43

=t 2 Σ2, 或t 1 t 2=Σ1 Σ2=(r 1 r 2) Ζ由此可知, r 越大, v (t ) v 达到同一数值所需时间越长, 且

时间Ζ当t →∞时, 对半径一定的小球, v (t ) =

v (∞) =v 为一定值, 并由(5) 式决定, 这时落球作匀速直线运动, 对应的v 称为终极速度Ζ再由

(6) 式计算和数据(表1) , 作图线

v Σv Σ

(图1) Ζ图1所表征的关系是对任意半

v Σ

径r 的小球都普适的曲线, 即对任一r , 只要t Σ

取值相同, 则一定相同Ζ但对不同r , t Σ取

与r 2成正比Ζ

2同一数值所需时间t 不同(从Σ=可知) Ζ设

9Γ

r 1和r 2分别对应Σ1和Σ2, 使t Σ达到某一数值(比例) 所需时间为t 1和t 2, 根据条件应有t 1 Σ1

表1　

t Σ

v (t ) v

图线数据v Σ

t Σ

v (t ) v

图1　

图线v Σ

在实际应用中, t , 但由表

1可知, t Σ=20(t ) 时, v (20Σ) v 值, 6(20Σ) 的相对误. Ζ因此, 只要当t Σ=20, 可以满足实验要求ΖT =12. 10℃时, 若Γ=2. 0Pa ・s , g =

233

9. 7863m =7. 8g ′=0. 9640g s , Θc m , Θc m (蓖麻油) , 可算出不同半径的落球达到匀速v

0. 0010. 010. 10. 50. 6310. 0. 0. 0. 0. 0. [***********][1**********]20

950212684. 10. 99995460. 999999690. 999999998

所需时间20Σ, 其数值见表2Ζ

表2　不同半径的球达到匀速运动的时间及距离Σ s

0. 1817950. 2227750. 8614742. 359520Σ s 3. 6359094. 45551617. 22948947. 190000

(mm ・s v (20Σ)

1. 5592261. 9107077. 38870620. 236992-1

r mm ) y (20Σ) Λm

0. 0. 0. 1. [1**********]05. 3857448. 087524120. 9384907. 23451. 2　不同半径小球达匀速运动所经历的路程

-d y (t ) =v (t ) d t =v (1-e

当t =0时, y (0) =0, ) d t

图2　

图线v ΣΣ

y (t ) =v

ΣΣ

+e --1

或

=v Σ

+e -

-1(7)

作

曲线, 如图2所示Ζv ΣΣ

　　由图2可知, 当t ≥20Σ后有

(8) y (t ) =v t

即y (t ) 与时间t 成正比(达匀速运动) , t 为20Σ后某一时刻开始计时的时间Ζ由(5) 式算出v 的理论值, 并将表2中不同r 对应的20Σ代入(7)

44物理实验　第23卷　第9期

式, 可以算出小球达到匀速运动所经历的路程y (20Σ) , 其数据见表2Ζ

2　不同半径R 的圆管对半径为r 的小球匀速

度v 的影响

T =8. 5℃时用半径为r 的同一小球在不

-1

图3　v R 2R 关系

　　将求得的k 代入(9) 式, 并注意k 展开式的一级修正, 故(9) 式可改写为

v =v R (1+2. 362

) R

ν1, 取R

(10)

同容器半径R 的液体中运动, 测相应的匀速度

-1

v R (表3) , 其v R 2R 图线(图3) 为直线Ζ又根据理论要求, 当R →∞时, v R →v , 因此有理由假定v R 与r R 具有如下形式

v R =v (1-k

　　容器中实际测得的速度v R 小于理想条件下的速度v , 但当R 36. 2R =0. 507 01v Ζ因此, 根据一, 应控制

～0. 02为宜Ζr . 1) mm , 取r R =0. 013　小球匀速度v 与球半径r 的关系

)

k k Ζ用拟合法

v 1. 6098, 斜率m =

-vk r =-1. 9280, 因而有k =-m v r =2. 362.

表3　r =0. 507mm 的小球在不同圆管

半径R 液体中运动的匀速度

-1

5. 20

11. 7524. 750. 0. 0. -[1**********]04(・R

1. 1. 1.

[1**********]0-1

)

　　在理论上v 2r 的关系由(5) 式决定, 这里用实验方法求v 2r 的关系ΖT =12. 10℃时, 取不

同半径r 的小球(Θ′=7. 89g c m ) 在圆筒半径

表4　小球半径与小球运动速度的关系

r mm

(mm ・s v R 1. 535

1. 8657. 11618. 921-1

) v (mm ・s -1)

1. 5963

1. 94747. 790920. 9580ln (r mm ) -0. 7809-0. 6792-0. 00300. 5008

(mm ・s -1) ]ln [v 理

0. 0. 2. 3. [**************]5(mm ・s -1) ]ln [v R

0. 0. 1. 2. [**************]3(mm ・s -1) ]ln [v

0. 0. 2. 3. [**************]50. 0. 0. 1. [1**********]0　　由图4可知v 2r 为曲线, 设

v =cr

(11)

对(11) 式两侧取对数, 得

(12) ln v =n ln r +ln c

计算数据见表4Ζ作ln v 2ln r 图线[图5(a ) ],ln v R 2ln r 图线[图5(b ) ],均为线性关系Ζ

由(10) 式修正v 后按(12)

式求拟合

图4　v 2r 图线

(下转48页)

48物理实验　第23卷　第9期

1) 从小灯自动跟踪系统的试验结果可以看

系统可从电池板直接获取电能, 而无需另外输

入能量Λ本系统可用于其它太阳能利用装置Λ参考文献:

[1]　浜川圭弘, 等Λ太阳光发电[M ]. 田小平, 等译Λ北

京:新时代出版社, 1979.

[2]　冷长庚Λ太阳能及其利用[M ]Λ北京:科学出版

社, 1975Λ

[3]　陆利生Λ单轴太阳能自动跟踪器液压传动系统的

设计[J ]. 新能源, 1994, 16(10) Λ

[4]　王志峰Λ抛物跟踪式太阳高温集热器的研究[J ]Λ

太阳能学报, 2000, 21(1) Λ

[5]　林珊, 等Λ太阳能发电系统的最大功率跟踪控制

[J ]Λ新能源, 1999, 21(2) Λ

[6]I . 出, 整个跟踪过程无需人工干预, 就可精确地定

位、跟踪;

1. 9657ln r +2. 0057Ζ由此可知n =1. 9657, ln c =2. 0057, c =7. 4313Ζ所以(11) 式可表示

(上接44页)

[]. 张汝航, :, 等Λ敏感器件及其应用[M ]. 北京:中国

铁道出版社, 1987.

(2002211220收稿, 2003204209收修改稿)

c =

为

v =7. 4313r

1. 9657

(Θ) =7. 4313, 即-Θ′9Γ

) (Θ-Θ′Γ=

(14)

(13)

[1]　杨述武, 马葭生, 贾玉民, 等. 普通物理实验(—、

图5　ln v 2ln r 图表5　直线拟合结果

拟合参量斜率截距相关系数

理论值2. 00002. 00601

直线() 1. 89731. 92940. 9993

直线() 1. 96572. 00570. 9996

力学及热学部分) [M ]Λ北京:高等教育出版社,

2000Λ205Λ

[2]　张兆钧Λ用落球法测量Γ实验中小球下落速度的

辨析[J ]Λ物理实验, 1995, 15(5) :199～200Λ

[3]　王文周Λ落球加速运动的路程[J ]Λ物理实验,

1998, 18(5) :37～38.

(2003201227收稿, 2003

205228收修改稿)

　　(5) 式与(13) 式比较应有:n =1. 9657≈2,

落球半径对测量粘度的影响

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