闷 川 蓄 留 口 。 二 。 盆 切 忿 舟 轰 胃 目 习 封 弓 国
每
蜜
口
中 数学复习方法指导 考
口关英 利
年 中 考 离我 们越 来
,
越近 习方 法
很 多同学 缺少 科 学 的复
,
不知从何 下手
,
整天
,
陷 人 题 海 之 中 难 以 自拔
、
一
到 测 试 或 模 拟 考 试 成绩 总是 不 理想 如 果将 知 识 点
、 、
知识
块 重新 梳理 归纳 分类 从 以 下 几 个方 面进 行 复 习 尝 试 或 许会 收到 较 好 的效 果 一 通 读教 材 重 视 教 材 中 典 型例 题 和 习 题 的功 能 通 读 教 材要 从整 体 上 把 握 教材 中各 知 识 点之 问 的 联 系 与作 用 透 的数 学 思 想 和方 法 习 题 的作 用 与 功 能
,
、 、 ,
、
,
理解 教材 所 渗
准确把 握 概 念
,
,
定理 定义
充 分 领会 教 材 中 的 例题 和 典 型
,
众所周知
课 本 上 的 例题 和 习题 是 经 过 筛 选 的 题 目之 精 华
是 巩 固 训练 所学 知 识 必 不 可 少 的 内容
, ,
是 具有 一 定 的 代表性 和 典 型性
作为 学 生
,
若能 对 课 本典 型 例题 和 习 题 的 作用 充 分 理 解
,
并 能挖 掘 它 们 的 潜 在 功 能
, ,
不仅可
以 拓 宽我们解题 思 路 而且 还 能 有效 地 训 练 我 们 的思 维 能 力 从 而 提 高 复习 效 果
例如 求证
△
△
二
内接 于
,
于
是
口
的 直径
从 例 题 本身讲它 只是 证 明 一个 等 积 式 我们可 以 通 过 连结
,
,
利用 △
…
来 完成 证 明
,
如 果 我 们对 例题 进 一 步研 究 其它 问 题
、
还 会将 它 改 变成
变 式一 △ 的延 长 线交
滩
内接 于
,
,
上
于
于 ‘
土
于
,
交
于
求证
二
思 路分 析 若 结 论 成 立 则
为线 段
‘
的垂
卒第
一
解
学会 求匆的奋诺
属示 价 性的舞 合
甜人 处世的朋友 开姆 视好的 度 口
一
一
一
一卫口
习 方
健二 一
一
一
一 直平 分 线 于 是有
乙
二
,
,
二
‘ 可 证得 乙
,
乙
,
结论 成立
内 接于
,
证略
、
变式二
的延长线交 为
△
,
一
于 交
,
于
土
,
于 于
,
于 ,
的直 径
材 交
求证
,
思 路分析 若结 论 成 立 为 的 中点
,
,
则 口
由于
,
则
‘
一 定为 的中 点
, ,
的 中点
由
,
变式 一知道
‘ 乙
,
为
所以 只需证明
而连 结
,
‘ 由
‘
,
为 结论 成立
口
直径 则 证 明略
‘ 为 直角 所 以
利 用 直 角三 角 形 相 似 基 本 图 形 和 有 关 的 结论进
行如下变式
、
尾 厦 目 冒 层 图 圃 鼎
变式 三
,
△
内接 于
,
土
于 的直
于
土
于
,
为
径
求证 若
思 路分析
△
二
,
…△
二
,
求△
…△
的 面积
,
欲证 △
,
则需 证
二
即 夕
,
,
而 由直角 夕
三角 形 相 似 我 们 知 道
,
,
…
由乙
二
乙
,
△ 以 利用 △
…△
公
△
欲求 △
和△ 内接 于 于
的面积
… △
, ,
,
只需 求 出
的积 即可
,
我 们可
证略
二
、
变式 四
土
四边形
,
对角线
于
‘
口
求证
冬
’
思 路分析
,
欲证
,
。
。
,
音
为
,
可证
,
,
‘二
由垂 径 定 理 得 点
,
的 中点 又 因 为 我 们 可联 想 到
口
圆心
是 任意 一 条直 径 的 中点
三 角 形 的 中位线 于 是 构造 出 以
,
为 中位 线 的
,
人 的 天 才 只 是 火花 要 想使 它 成 为 依 熊 火馅 那 讹 只 有学 习 飞
—
商尔甚
工 二 。 绍 咧 国 吕 曰 曰 目 阮 叫 琶 切 国 封 舅
△ 刀刀
,
,
则
,
所 以证 明
‘ 所以
,
二
即 可 连结
二
,
可知
一
,
于是
滩
所 以孤
等于 弧
‘ 结论 成 立
,
,
上 面 的例题 还 可 以 进行 很 多 变 式练 习 例 如 借 助
例题 的 结构特点 我 们 可 以 求 出三 角 形 外 接 圆 的 直 径 或半径 同 学们 不 妨 自己 去 探索 和 寻 找 像 这样 的例 子 还 有很 多
, ,
另外 教材中
如图
,
,
等边 △
交
内接 于
于 ￡
,
点
是弧
上 任意 一 点
关 于 此 图 有 许 多相 似 三 角 形 和 线段 的 比例 关 系
线 段 的 等积 关 系 等 再 比如 △
以点
利 用 上 面 的 图 形 结构 和 相 关 结
论 可 以 做 一些 变 式 训 练
中
,
,
点
是
上一点
,
为 圆心
,
以
为半 径 的圆 切
,
于
点
交
于点
此 题 可 以 经过 变 式 演
变 成 其 它 数学 问 题
事实 上 教 材 中 能 变 式
,
题 型 还有 很 多 需 要 我们 去发 现 去探 究
二
、
研 究 解题 规 律 和 方 法
使 我 们 的思
维更开阔
“
如何 才 能 使 我们 从 题海 中解脱 出 来 不 使我们成为解 题 的机
” , , ,
数学 习题 浩 如 烟海
,
器 这 就要 求 同学们在做题时 从 中寻 找解 题 的规 律 和方 法
, ,
在 解题 时 若 能 通 过
,
,
题 的 表象 抓 住其实质 理 清题 的 来 龙 去脉 找 到 题 设 和结 论 之 间 内在 联 系 达 到 解 一 题 得一 法 会 一 类 触类旁通 结论 的积 累和 灵 活运 用
, , , , ,
在 解题 时还 要 注 意 对 一些 基 本 图 形和 一 些 固 定
,
有 些题 目
如 果 我们能把基本 图形 和 固定 结论 从 复杂 的
‘
、 、、 、、、 、 、 、、 、 、、 、 、
背景 材料 中分离 出来 我 们 就会 找到 解 决 问 题的 突破 口
下
,
使 问题 得 到 解 决 中 点
召
二
,
现 举例 如
例
、
正 方形
。
,
、
分别在 求证
注百
一
只
,
上
,
且乙
二
思 路分析 证 明两 条线段 的 和 等 于 一 条
线段
、
,
我 们 可 以 采取 截长 补 短 的 方法
,
,
将
于
艺
二
。
变 成一 条线 段 证 明 所 得线 段 等 于
、
变式 一 如 图
△
,
△ 滩召
中
,
盛
土 召
且
二
,
求
的面 积
侧 卒第 乡
一
百
娜
叫吐 》
学 会求 匆的 参诺 展 示价性的舞台
附人 必 世的 朋 友 开娜视 野的癣口
一 一
—
,
〔
亘 习 方
,
思 路分 析 出 的 长 即可
丑 土
尸
议
欲求 △
,
的面 积
,
,
只需 求 过点
,
由 例 题我 们 可 知
,
作
于 对 可证得
召
根据题
中 给 出 条 件 我 们 构 造 出 例 题 中 的 图 形 即可
求出
,
的 长 从 而求 出 △
、
,
的面 积 中
二,
二
。
, 、
李
变式二
乙
如图
,
,
在梯形 在
,
刀
的延
、
占了
,
点
,
长线 相 交 于 点 长是关于
且
乙 魂
, 一
的
的方程 . 的两 实根
,,:
( l )求
的值 ;
AC E
,
刊
一一 一一 一一 一一 一 一 一 一 一 一 一万
( 2 ) 若将 R t △ 逆 时 针 旋 转 90 后
。
绕 着点 B
、 、
、 、 、 、 、、 、 ‘ ‘ 、
得 到 △ BM N
‘、、 、 、 、 、 、 、 、、 ‘电 、
( 乙 B MN
二 9 0
。 )
,
请你 在 下 图 中补
: AN
月E
二 A ; E 二
,
,
出 相 应 的 图形 并 证 明
( 3 )
,
的条件 下 若 求 作 以 AD 的 长 为 根 的 一元
10
、 C F ,
在 (2 )
二次方程 思 路分 析 BC A刀
、 D C
:
(l )
由方 程 有 实数根
,
.
可 山 判 别式 求 出 m 的 值 ; ( 2 由 )
,
。,
的值 可 知 a
的 关 系 是 相 等 当将 图形 补 全后
,
四 边 形 MBCD 为 正 方形
“
,
,
由例题 可 证得
二
A E
; ( 3 )
由 (2 求 出 正方 形 的边 长 可 设 CE = )
, ,
则 DE
、
A
D
的 长都 可 以 用 含
C F
的 代数 式 表 示 利 用 勾 股 定 理 可 求 a 的 值 进 而 可 作 出 以 AD . 二 次 方程
、 ,
、
的 长为 根 的 一元
变式 三 DF 上
CE
如图
,
正 方 形 ABCD 中
,
,
月C
、
,
B
D
相交 于点 O
_ 点 E 为 B O l犷 点
一
,
于 F 交
乙 F C O
口C
几 于 ‘ 连 结 O户
(I 求 )
的度数 ;
A
、 E f
D
2 若点 “ 为 “‘ 的 ‘’ 的 电忆 且 线 段 c 厂 x X’ 一 2 尹 + 4 + “n 一 ’ 二 o , 长 为关于 的方 程 ( ) 的两 根 求线段 ‘ 在 ) 3
,
\ } }
}
“
凡
“尸
的 长‘
,
a t
n
乙 。c :
) z ( 为 根 的 一 元 二 次 方程 ; 思 路 分 析 ( 川 由 条 件可 知
的 条 件 下 求作 以 t n a
乙 ”
邵
… △ E ) ( C
,
}
,
△ E FD
, E I
丝
o E
丝
C E
,
再 由乙
OEF = 乙 DEC
,
可知 △ OEF o
B
聪 明 才智 是 拨 动 社 会 的 杠 杆
恤
荃茄
—
不之
巴尔 扎 克
网 圆 到 勇 封 圃 剑 目 酬 翻 国
. e .l
△ c百 刀
, ,
, :
乙 O
E F
= 乙 D E
C
二 4 5
“ , ( 2 )
在解决 由线 段 的 长 为 根 的一 元 二 次方 程 的 问
, , ,
题时 除 了使 用根 与系数 的 关系 之外 还 要 找到 这 两 条线 段之 间的关 系 利 用 待定 a a 的 系 数法设线 段 CC = 所 有 的线段的长都 可 以 用 含 代数式来表 示 问 题 可解 . 3) 略 ( : 经过 A 两 变式 四 已 知 如 图 为
0 0 的直 径 点 C 是 0 0 上 一 点
,
、
,
,
,
、
A
B
O
C
B
点
, P
是 O C 上一点
,
,
尸C
、 F
的垂线 垂 足 分别为 E
交O . 点
二
,
口 于 另一 点 D ( AD
,
过 点 尸 分别作 AD
、
B
D
( I 试判定 四 边 形 尸它口F 的形 状 ; ) ( 2 ) 若 0 0 的直 径 AB 且 AE
5
、
的
F B
长 是关 于
x
的方 程
,
x,
。
一
n (
n
+
4
x )
+
n
+
5
=
0
的两 个 实数根
求
的值 及 四 边形
,
尸 D E
F
的
. 面 积 ; (3 在 (2 的条 件下 求 CD 的 长 ) ) 思 路分析
只
以
二 B C
, A B
: 连 结 c A 0 0 的直 径 得 为
、 B c
、
、
,
A P B P
由
,
△ A BC 为等
二
腰 直角 三 角形
乙 CD B
二 二
,
一
乙
二 4
A B
“ ,
C = 乙 A B C = 乙 ‘z M
: D P
乙
,
A
B P
5
为 角 平 分线
,
由条件 可 证 得 四 边 形 P DF 为正 方 形 于 是 有 AB 二 A E + B F 以 下 的解 E . 法 和 前 面 的 相 同 证 明略 像上 面的 图 形 还 可 以 演变 出 很 多试 题 同学 们 可 以 自己 . 去 寻找 变 式 使试题形 成 系列化 便 于 学 习 和 掌握
, , E P
F P
,
,
,
,
另外 多 则
~
,
由 固 定 图 形产 生 固定结 论 的 例 子也 还 有 很
通B /
二 一
,
.
例如
,
D C
,
注B
、
D C
相 交 于点 E
尸J ’
, E F /
注B
.
兴
A B
D c
+
’
兴
D C
兴
E F
、 C D
右 端 通 分 后 可 以 得 到 A” * .
曰
门
“
, n
”
曰
“
’, J
‘
’
D c
~
~
~
一
一
, B
-声- -J
C
C
给 出 E 的 值 或 E 与 AB 的数 量 关 F F . AB 是 某 个一 元 二 次 方 程 的两 个 根 系 可 以使
,
、
A
B
D C
,
再 例如
,
△ AB C
中
, A C
二 B C
,
乙 C = 4 5
二
二 9 0 0
” ,
,
点 E E尸
B F 2 )
、
F
是 AB 上 两 点
,
,
且
乙 E F C
则
+
A
二
A
尸 + B尸
.
配方 后 可 形成 E尸
(
A E
‘~ 清
一 犷一 B .
+
A E
B
F
像这样 的 例子 也有很 多 各位同学 不妨 广泛 搜集 和 挖掘 以 供 大家 学 习和 参 考
三 尝试 改 编 试 题 培养 创 造 性 思 维 在 数学 学 习 中 不 论教师 还 是 学生 法 都 不 陌生
, , , 、 , ,
,
我们对 解题 和 解题 过 程 中 用 到解题的方
,
用 这些 方 法 可 以 寻找解题途 径
,
总 结解题规律 然 而
,
,
,
如果 我 们 只 满
,
足 去 解别 人提 供 的 问 题
却 不 会 自己 编 题
,
自己 去 创新
去 发 现新 的 问 题 我认 为
. 叫 曲
20 6 牢 第 J 0
一
百
解
学 会 求匆 的 参 诺 展 示个性的井台
. . . .
蹭人 处 世肘 朋 友 开 姆翻 好的 度 口
—
一 -
一一 】. . . . . . . . 眨 ‘
一
一
I
一一
习 方 .
一
不 能 说我 们取 得 了 成 功
,
一.
, r
如 果在 考 试 中使 用 陈 题
, ,
就 难 以 准确 地 评 价 同 学 们 的水
平 所 以 我们 可 以 尝 试 自 己 编题 如 何 编 题 呢 2 本人 就 多 次 参 加 中考
命题 提 出 几点 . : . : 不 成 熟 的想 法 编 制 数 学题 要遵 循 三 条 原 则 1 目的性 原 则 数 学 习 题 的表 现 形
式
、
难 度 和 内 容都 以 不 同 的 教 学 目的 而 有 所 不 同
.
,
如 果 为 了 巩 固 知 识 和技 能
,
可
编 制 收 敛性 题 目 ; 为 了加 深 对 知 识 的 理 解 和 培养学 生 的 创造 力 开放 性 题 目等
,
.2
.
、
可 编 制 发散 性 和
,
科学 性 原 则
3 .
:
数学 试 题 应 该表 述 清 晰
:
“ ,
,
要 求 明确
条件 是独 立
的 也是最少的
,
和 谐 美原 则
戴再 平 老 师 说 过 数 学 习 题 应 该使 学 生 得 到 美 的
陶 冶 体现 严 谨 简 洁 和 统 一 的 数 学 美 培 养 学 生 学 习 数学 的 兴 趣
” .
、 、
妙
利 用课 本 上 的 例题 和 习题 的 典 型性
示 范性
迁
移性 和 再 生能 力 强 等特 点
条 件 和结 沦
注召
二
, ,
加 以 延 伸 拓 展 变 换命 题 的 . : △ AB C 则 可 以 演 变 出新 题 例如 中
,
,
c
刀E
A
C
滩D 土 B C
,
于 D
. ‘
,
过 C 作 CE /
AB .
‘
F
连 结 BE
乙
交 AD 于 F 交 A C 于
思 路分 析 : 利用 相 似 三 角 形 中 比例 中 项 的基本 图形连结
: 求证 B 尸
二 F
B ~
吃产J C
声
CF
,
则 CF
二
B F
,
我
们 只 需证 明
乙 E
二
乙 F C ‘二
乙 庄刀厂
即可
, B
这是 显 见 的 以 把 AB
二
.
我们 可
改 变成
D 1) (
A C
AB 并 A C
,
但点 D 是
Bc 的 中点 这 一 条件 不变 结 论 也 不 变 如 : 图 ( 1) 读者 可 以 自 己 . 证明 也 可 以 把上 面 的 图形 放 人 圆 中
AB C
, , ,
)E 4
若△
, ,
为等 腰 三 角 形
. 利用 圆 和三 角 形 的 对 称性 可 以 隐去点 D 为 BC 中点 这 一 条件 如 图 ( 2 ) 结 论 也 . 不变 如 果 等 腰 三 角 形 变 为 一 般 三 角 形 只 是 依 然 保持 C / AB 与 AD 召C E
,
, 、 E B
的 交点 变 为 AD : 二 求 证 B尸
、
通C
F C
延 长 线相 交 于 F
. E F
、
. C
如 图 ( 3 证 明 略 ; 其实 上 面 各 题都 是 由 图 形 ( ) 转 变 而 ) 4
,
在 世 界 的 前 进 中起 作 爪 的 不 是我 们 的 才能 而 是 我们 如 何 运 用 才能
—
布霄斯福德
.
罗 伯逊
一 盈 琶 = C 空 。 尘 叫 闰 级 盆 若 司 到 国 曰 目 口 鉴 愉
. 来它们 是 同 源之水 同根之本 的延 长 线 交 C 于 E 如 图 (4 ) 在口 ABc 中 点 F 是对角线 通C 上 一 点 D D . : B尸 二 F G 交 AD 的延 长线 于 点 ‘ 求证 . 上 面 的 问题 ( l ) ) 都 可 以 转化 为 图 (4 来完成 事实 上 好多 问题都 可 以
, , , , B F
. E F 、
建
, , ,
、
2
(
)
(
) 3
改 编 或变换条件 变 成新问题 读者不 妨 自己 去探 究
,
.
,
综合题的编拟往 往是 根 据 所要 考查 的知识 和能 力 的 需要
, ,
选 择若 干 个基本题
,
或基本结论加 以 改造 使之 成 为综 合题
为 了 考察同学们掌 握 几 何知 识 的 情 况 考 察同学们 灵 活运 用 知 识来分析问题 和 解决 问题 的能 力 . 合其它 有 关知识编拟综合题
: 如 图 射线 o 的夹 A 0 角为 120 射线 O C 平分 乙 A O B
、 B O
,
我们 以 几 何 知 识为 主并综
交 AB 于 c
田 空 的姑拾
在 这 幅 图形 中有
,
~~ 一
、 .
, ~
,
以
止
A O , 、
二
’
一L
B O
_
一
上
o
’
C
人 , 二 、 一~ 一 ~ 口通 十 口召 只U禾 价 左腼 遇 万 公 义 议下不下了下干井 .
、
l
二 二 万 万
,
一
i UZ
口O
口七
了
是线 段 的 长 可 以 作 为 某 个 一 元 二 次 方 程
的 两 个根
,
起成 为 综 合 题
图形 之 中
, ,
使 几 何 和 代数有机的结合 在 一 . 也 可 将 此 图 形 融 于 其他 若再进 一 步建 立 线 段 之间 的某
, , ,
种 数量 关 系 则条件更加 隐蔽 难 度 增 加 试题 更加 具 有 区 分度 角形 中
,
例 如将此 图 融 于三
AC B中
,
则将 成为 一 道综 合题
, B D
、 E C
.
如图
、
,
△
分别是
、 C F
乙 人B C
乙 ACB
一
的 平分 线
+ ) 6 x
, B D
、
E C
= 相交 于 点 F 若 BF
,
3
F E
且线段 BF .
的 长 是 方程 尹
m ( Z
+
Z
m
,
二 0
的 两个 根 求线 段 B C
, ,
的长
解 以 线 段 的 长为 根 的 一元 二 次方 程 时 还 要 建 立 这 两 条 线段 之 间 的关 系 出
乙 B FC
, ,
,
我 们 除 了 使 用 根 与 系 数 的关 系 之 外
, ,
利 用 上 图 的结 论 很容易 找 到解题 的方 法 作 . B C 于 H 构造 出上 面 的 图形 结 论 显 而 易见 的 平分线交
, , ,
总 之 在 编拟综合题 时 要 注 意 防止 拼凑 知 识 重复 使 用
, , ,
结构复杂缺乏 美感 在
,
,
编拟 综 合题时 要 使 问题 之 间有 层 次 有梯 度 问 题之间 可 以 各 自独立 也 可 以 相 互 . 联 系 如有 联 系 则前 问 应为后 问起到 提 示 作用 则为更好
, ,
以上 只 是个人 的 几 点体会
,
希 望 同学 们 不 断总 结规律 和 方法 在 中考 中取 得 好
,
成绩
.
20 曰 应 如
石车 第 乡 一
6
翁
学会求匆的参诺 屏示 个 性的舞 台
德睡
如自
.
傲 人 处 世的朋友 开阔视野的 度口
闷 川 蓄 留 口 。 二 。 盆 切 忿 舟 轰 胃 目 习 封 弓 国
每
蜜
口
中 数学复习方法指导 考
口关英 利
年 中 考 离我 们越 来
,
越近 习方 法
很 多同学 缺少 科 学 的复
,
不知从何 下手
,
整天
,
陷 人 题 海 之 中 难 以 自拔
、
一
到 测 试 或 模 拟 考 试 成绩 总是 不 理想 如 果将 知 识 点
、 、
知识
块 重新 梳理 归纳 分类 从 以 下 几 个方 面进 行 复 习 尝 试 或 许会 收到 较 好 的效 果 一 通 读教 材 重 视 教 材 中 典 型例 题 和 习 题 的功 能 通 读 教 材要 从整 体 上 把 握 教材 中各 知 识 点之 问 的 联 系 与作 用 透 的数 学 思 想 和方 法 习 题 的作 用 与 功 能
,
、 、 ,
、
,
理解 教材 所 渗
准确把 握 概 念
,
,
定理 定义
充 分 领会 教 材 中 的 例题 和 典 型
,
众所周知
课 本 上 的 例题 和 习题 是 经 过 筛 选 的 题 目之 精 华
是 巩 固 训练 所学 知 识 必 不 可 少 的 内容
, ,
是 具有 一 定 的 代表性 和 典 型性
作为 学 生
,
若能 对 课 本典 型 例题 和 习 题 的 作用 充 分 理 解
,
并 能挖 掘 它 们 的 潜 在 功 能
, ,
不仅可
以 拓 宽我们解题 思 路 而且 还 能 有效 地 训 练 我 们 的思 维 能 力 从 而 提 高 复习 效 果
例如 求证
△
△
二
内接 于
,
于
是
口
的 直径
从 例 题 本身讲它 只是 证 明 一个 等 积 式 我们可 以 通 过 连结
,
,
利用 △
…
来 完成 证 明
,
如 果 我 们对 例题 进 一 步研 究 其它 问 题
、
还 会将 它 改 变成
变 式一 △ 的延 长 线交
滩
内接 于
,
,
上
于
于 ‘
土
于
,
交
于
求证
二
思 路分 析 若 结 论 成 立 则
为线 段
‘
的垂
卒第
一
解
学会 求匆的奋诺
属示 价 性的舞 合
甜人 处世的朋友 开姆 视好的 度 口
一
一
一
一卫口
习 方
健二 一
一
一
一 直平 分 线 于 是有
乙
二
,
,
二
‘ 可 证得 乙
,
乙
,
结论 成立
内 接于
,
证略
、
变式二
的延长线交 为
△
,
一
于 交
,
于
土
,
于 于
,
于 ,
的直 径
材 交
求证
,
思 路分析 若结 论 成 立 为 的 中点
,
,
则 口
由于
,
则
‘
一 定为 的中 点
, ,
的 中点
由
,
变式 一知道
‘ 乙
,
为
所以 只需证明
而连 结
,
‘ 由
‘
,
为 结论 成立
口
直径 则 证 明略
‘ 为 直角 所 以
利 用 直 角三 角 形 相 似 基 本 图 形 和 有 关 的 结论进
行如下变式
、
尾 厦 目 冒 层 图 圃 鼎
变式 三
,
△
内接 于
,
土
于 的直
于
土
于
,
为
径
求证 若
思 路分析
△
二
,
…△
二
,
求△
…△
的 面积
,
欲证 △
,
则需 证
二
即 夕
,
,
而 由直角 夕
三角 形 相 似 我 们 知 道
,
,
…
由乙
二
乙
,
△ 以 利用 △
…△
公
△
欲求 △
和△ 内接 于 于
的面积
… △
, ,
,
只需 求 出
的积 即可
,
我 们可
证略
二
、
变式 四
土
四边形
,
对角线
于
‘
口
求证
冬
’
思 路分析
,
欲证
,
。
。
,
音
为
,
可证
,
,
‘二
由垂 径 定 理 得 点
,
的 中点 又 因 为 我 们 可联 想 到
口
圆心
是 任意 一 条直 径 的 中点
三 角 形 的 中位线 于 是 构造 出 以
,
为 中位 线 的
,
人 的 天 才 只 是 火花 要 想使 它 成 为 依 熊 火馅 那 讹 只 有学 习 飞
—
商尔甚
工 二 。 绍 咧 国 吕 曰 曰 目 阮 叫 琶 切 国 封 舅
△ 刀刀
,
,
则
,
所 以证 明
‘ 所以
,
二
即 可 连结
二
,
可知
一
,
于是
滩
所 以孤
等于 弧
‘ 结论 成 立
,
,
上 面 的例题 还 可 以 进行 很 多 变 式练 习 例 如 借 助
例题 的 结构特点 我 们 可 以 求 出三 角 形 外 接 圆 的 直 径 或半径 同 学们 不 妨 自己 去 探索 和 寻 找 像 这样 的例 子 还 有很 多
, ,
另外 教材中
如图
,
,
等边 △
交
内接 于
于 ￡
,
点
是弧
上 任意 一 点
关 于 此 图 有 许 多相 似 三 角 形 和 线段 的 比例 关 系
线 段 的 等积 关 系 等 再 比如 △
以点
利 用 上 面 的 图 形 结构 和 相 关 结
论 可 以 做 一些 变 式 训 练
中
,
,
点
是
上一点
,
为 圆心
,
以
为半 径 的圆 切
,
于
点
交
于点
此 题 可 以 经过 变 式 演
变 成 其 它 数学 问 题
事实 上 教 材 中 能 变 式
,
题 型 还有 很 多 需 要 我们 去发 现 去探 究
二
、
研 究 解题 规 律 和 方 法
使 我 们 的思
维更开阔
“
如何 才 能 使 我们 从 题海 中解脱 出 来 不 使我们成为解 题 的机
” , , ,
数学 习题 浩 如 烟海
,
器 这 就要 求 同学们在做题时 从 中寻 找解 题 的规 律 和方 法
, ,
在 解题 时 若 能 通 过
,
,
题 的 表象 抓 住其实质 理 清题 的 来 龙 去脉 找 到 题 设 和结 论 之 间 内在 联 系 达 到 解 一 题 得一 法 会 一 类 触类旁通 结论 的积 累和 灵 活运 用
, , , , ,
在 解题 时还 要 注 意 对 一些 基 本 图 形和 一 些 固 定
,
有 些题 目
如 果 我们能把基本 图形 和 固定 结论 从 复杂 的
‘
、 、、 、、、 、 、 、、 、 、、 、 、
背景 材料 中分离 出来 我 们 就会 找到 解 决 问 题的 突破 口
下
,
使 问题 得 到 解 决 中 点
召
二
,
现 举例 如
例
、
正 方形
。
,
、
分别在 求证
注百
一
只
,
上
,
且乙
二
思 路分析 证 明两 条线段 的 和 等 于 一 条
线段
、
,
我 们 可 以 采取 截长 补 短 的 方法
,
,
将
于
艺
二
。
变 成一 条线 段 证 明 所 得线 段 等 于
、
变式 一 如 图
△
,
△ 滩召
中
,
盛
土 召
且
二
,
求
的面 积
侧 卒第 乡
一
百
娜
叫吐 》
学 会求 匆的 参诺 展 示价性的舞台
附人 必 世的 朋 友 开娜视 野的癣口
一 一
—
,
〔
亘 习 方
,
思 路分 析 出 的 长 即可
丑 土
尸
议
欲求 △
,
的面 积
,
,
只需 求 过点
,
由 例 题我 们 可 知
,
作
于 对 可证得
召
根据题
中 给 出 条 件 我 们 构 造 出 例 题 中 的 图 形 即可
求出
,
的 长 从 而求 出 △
、
,
的面 积 中
二,
二
。
, 、
李
变式二
乙
如图
,
,
在梯形 在
,
刀
的延
、
占了
,
点
,
长线 相 交 于 点 长是关于
且
乙 魂
, 一
的
的方程 . 的两 实根
,,:
( l )求
的值 ;
AC E
,
刊
一一 一一 一一 一一 一 一 一 一 一 一 一万
( 2 ) 若将 R t △ 逆 时 针 旋 转 90 后
。
绕 着点 B
、 、
、 、 、 、 、、 、 ‘ ‘ 、
得 到 △ BM N
‘、、 、 、 、 、 、 、 、、 ‘电 、
( 乙 B MN
二 9 0
。 )
,
请你 在 下 图 中补
: AN
月E
二 A ; E 二
,
,
出 相 应 的 图形 并 证 明
( 3 )
,
的条件 下 若 求 作 以 AD 的 长 为 根 的 一元
10
、 C F ,
在 (2 )
二次方程 思 路分 析 BC A刀
、 D C
:
(l )
由方 程 有 实数根
,
.
可 山 判 别式 求 出 m 的 值 ; ( 2 由 )
,
。,
的值 可 知 a
的 关 系 是 相 等 当将 图形 补 全后
,
四 边 形 MBCD 为 正 方形
“
,
,
由例题 可 证得
二
A E
; ( 3 )
由 (2 求 出 正方 形 的边 长 可 设 CE = )
, ,
则 DE
、
A
D
的 长都 可 以 用 含
C F
的 代数 式 表 示 利 用 勾 股 定 理 可 求 a 的 值 进 而 可 作 出 以 AD . 二 次 方程
、 ,
、
的 长为 根 的 一元
变式 三 DF 上
CE
如图
,
正 方 形 ABCD 中
,
,
月C
、
,
B
D
相交 于点 O
_ 点 E 为 B O l犷 点
一
,
于 F 交
乙 F C O
口C
几 于 ‘ 连 结 O户
(I 求 )
的度数 ;
A
、 E f
D
2 若点 “ 为 “‘ 的 ‘’ 的 电忆 且 线 段 c 厂 x X’ 一 2 尹 + 4 + “n 一 ’ 二 o , 长 为关于 的方 程 ( ) 的两 根 求线段 ‘ 在 ) 3
,
\ } }
}
“
凡
“尸
的 长‘
,
a t
n
乙 。c :
) z ( 为 根 的 一 元 二 次 方程 ; 思 路 分 析 ( 川 由 条 件可 知
的 条 件 下 求作 以 t n a
乙 ”
邵
… △ E ) ( C
,
}
,
△ E FD
, E I
丝
o E
丝
C E
,
再 由乙
OEF = 乙 DEC
,
可知 △ OEF o
B
聪 明 才智 是 拨 动 社 会 的 杠 杆
恤
荃茄
—
不之
巴尔 扎 克
网 圆 到 勇 封 圃 剑 目 酬 翻 国
. e .l
△ c百 刀
, ,
, :
乙 O
E F
= 乙 D E
C
二 4 5
“ , ( 2 )
在解决 由线 段 的 长 为 根 的一 元 二 次方 程 的 问
, , ,
题时 除 了使 用根 与系数 的 关系 之外 还 要 找到 这 两 条线 段之 间的关 系 利 用 待定 a a 的 系 数法设线 段 CC = 所 有 的线段的长都 可 以 用 含 代数式来表 示 问 题 可解 . 3) 略 ( : 经过 A 两 变式 四 已 知 如 图 为
0 0 的直 径 点 C 是 0 0 上 一 点
,
、
,
,
,
、
A
B
O
C
B
点
, P
是 O C 上一点
,
,
尸C
、 F
的垂线 垂 足 分别为 E
交O . 点
二
,
口 于 另一 点 D ( AD
,
过 点 尸 分别作 AD
、
B
D
( I 试判定 四 边 形 尸它口F 的形 状 ; ) ( 2 ) 若 0 0 的直 径 AB 且 AE
5
、
的
F B
长 是关 于
x
的方 程
,
x,
。
一
n (
n
+
4
x )
+
n
+
5
=
0
的两 个 实数根
求
的值 及 四 边形
,
尸 D E
F
的
. 面 积 ; (3 在 (2 的条 件下 求 CD 的 长 ) ) 思 路分析
只
以
二 B C
, A B
: 连 结 c A 0 0 的直 径 得 为
、 B c
、
、
,
A P B P
由
,
△ A BC 为等
二
腰 直角 三 角形
乙 CD B
二 二
,
一
乙
二 4
A B
“ ,
C = 乙 A B C = 乙 ‘z M
: D P
乙
,
A
B P
5
为 角 平 分线
,
由条件 可 证 得 四 边 形 P DF 为正 方 形 于 是 有 AB 二 A E + B F 以 下 的解 E . 法 和 前 面 的 相 同 证 明略 像上 面的 图 形 还 可 以 演变 出 很 多试 题 同学 们 可 以 自己 . 去 寻找 变 式 使试题形 成 系列化 便 于 学 习 和 掌握
, , E P
F P
,
,
,
,
另外 多 则
~
,
由 固 定 图 形产 生 固定结 论 的 例 子也 还 有 很
通B /
二 一
,
.
例如
,
D C
,
注B
、
D C
相 交 于点 E
尸J ’
, E F /
注B
.
兴
A B
D c
+
’
兴
D C
兴
E F
、 C D
右 端 通 分 后 可 以 得 到 A” * .
曰
门
“
, n
”
曰
“
’, J
‘
’
D c
~
~
~
一
一
, B
-声- -J
C
C
给 出 E 的 值 或 E 与 AB 的数 量 关 F F . AB 是 某 个一 元 二 次 方 程 的两 个 根 系 可 以使
,
、
A
B
D C
,
再 例如
,
△ AB C
中
, A C
二 B C
,
乙 C = 4 5
二
二 9 0 0
” ,
,
点 E E尸
B F 2 )
、
F
是 AB 上 两 点
,
,
且
乙 E F C
则
+
A
二
A
尸 + B尸
.
配方 后 可 形成 E尸
(
A E
‘~ 清
一 犷一 B .
+
A E
B
F
像这样 的 例子 也有很 多 各位同学 不妨 广泛 搜集 和 挖掘 以 供 大家 学 习和 参 考
三 尝试 改 编 试 题 培养 创 造 性 思 维 在 数学 学 习 中 不 论教师 还 是 学生 法 都 不 陌生
, , , 、 , ,
,
我们对 解题 和 解题 过 程 中 用 到解题的方
,
用 这些 方 法 可 以 寻找解题途 径
,
总 结解题规律 然 而
,
,
,
如果 我 们 只 满
,
足 去 解别 人提 供 的 问 题
却 不 会 自己 编 题
,
自己 去 创新
去 发 现新 的 问 题 我认 为
. 叫 曲
20 6 牢 第 J 0
一
百
解
学 会 求匆 的 参 诺 展 示个性的井台
. . . .
蹭人 处 世肘 朋 友 开 姆翻 好的 度 口
—
一 -
一一 】. . . . . . . . 眨 ‘
一
一
I
一一
习 方 .
一
不 能 说我 们取 得 了 成 功
,
一.
, r
如 果在 考 试 中使 用 陈 题
, ,
就 难 以 准确 地 评 价 同 学 们 的水
平 所 以 我们 可 以 尝 试 自 己 编题 如 何 编 题 呢 2 本人 就 多 次 参 加 中考
命题 提 出 几点 . : . : 不 成 熟 的想 法 编 制 数 学题 要遵 循 三 条 原 则 1 目的性 原 则 数 学 习 题 的表 现 形
式
、
难 度 和 内 容都 以 不 同 的 教 学 目的 而 有 所 不 同
.
,
如 果 为 了 巩 固 知 识 和技 能
,
可
编 制 收 敛性 题 目 ; 为 了加 深 对 知 识 的 理 解 和 培养学 生 的 创造 力 开放 性 题 目等
,
.2
.
、
可 编 制 发散 性 和
,
科学 性 原 则
3 .
:
数学 试 题 应 该表 述 清 晰
:
“ ,
,
要 求 明确
条件 是独 立
的 也是最少的
,
和 谐 美原 则
戴再 平 老 师 说 过 数 学 习 题 应 该使 学 生 得 到 美 的
陶 冶 体现 严 谨 简 洁 和 统 一 的 数 学 美 培 养 学 生 学 习 数学 的 兴 趣
” .
、 、
妙
利 用课 本 上 的 例题 和 习题 的 典 型性
示 范性
迁
移性 和 再 生能 力 强 等特 点
条 件 和结 沦
注召
二
, ,
加 以 延 伸 拓 展 变 换命 题 的 . : △ AB C 则 可 以 演 变 出新 题 例如 中
,
,
c
刀E
A
C
滩D 土 B C
,
于 D
. ‘
,
过 C 作 CE /
AB .
‘
F
连 结 BE
乙
交 AD 于 F 交 A C 于
思 路分 析 : 利用 相 似 三 角 形 中 比例 中 项 的基本 图形连结
: 求证 B 尸
二 F
B ~
吃产J C
声
CF
,
则 CF
二
B F
,
我
们 只 需证 明
乙 E
二
乙 F C ‘二
乙 庄刀厂
即可
, B
这是 显 见 的 以 把 AB
二
.
我们 可
改 变成
D 1) (
A C
AB 并 A C
,
但点 D 是
Bc 的 中点 这 一 条件 不变 结 论 也 不 变 如 : 图 ( 1) 读者 可 以 自 己 . 证明 也 可 以 把上 面 的 图形 放 人 圆 中
AB C
, , ,
)E 4
若△
, ,
为等 腰 三 角 形
. 利用 圆 和三 角 形 的 对 称性 可 以 隐去点 D 为 BC 中点 这 一 条件 如 图 ( 2 ) 结 论 也 . 不变 如 果 等 腰 三 角 形 变 为 一 般 三 角 形 只 是 依 然 保持 C / AB 与 AD 召C E
,
, 、 E B
的 交点 变 为 AD : 二 求 证 B尸
、
通C
F C
延 长 线相 交 于 F
. E F
、
. C
如 图 ( 3 证 明 略 ; 其实 上 面 各 题都 是 由 图 形 ( ) 转 变 而 ) 4
,
在 世 界 的 前 进 中起 作 爪 的 不 是我 们 的 才能 而 是 我们 如 何 运 用 才能
—
布霄斯福德
.
罗 伯逊
一 盈 琶 = C 空 。 尘 叫 闰 级 盆 若 司 到 国 曰 目 口 鉴 愉
. 来它们 是 同 源之水 同根之本 的延 长 线 交 C 于 E 如 图 (4 ) 在口 ABc 中 点 F 是对角线 通C 上 一 点 D D . : B尸 二 F G 交 AD 的延 长线 于 点 ‘ 求证 . 上 面 的 问题 ( l ) ) 都 可 以 转化 为 图 (4 来完成 事实 上 好多 问题都 可 以
, , , , B F
. E F 、
建
, , ,
、
2
(
)
(
) 3
改 编 或变换条件 变 成新问题 读者不 妨 自己 去探 究
,
.
,
综合题的编拟往 往是 根 据 所要 考查 的知识 和能 力 的 需要
, ,
选 择若 干 个基本题
,
或基本结论加 以 改造 使之 成 为综 合题
为 了 考察同学们掌 握 几 何知 识 的 情 况 考 察同学们 灵 活运 用 知 识来分析问题 和 解决 问题 的能 力 . 合其它 有 关知识编拟综合题
: 如 图 射线 o 的夹 A 0 角为 120 射线 O C 平分 乙 A O B
、 B O
,
我们 以 几 何 知 识为 主并综
交 AB 于 c
田 空 的姑拾
在 这 幅 图形 中有
,
~~ 一
、 .
, ~
,
以
止
A O , 、
二
’
一L
B O
_
一
上
o
’
C
人 , 二 、 一~ 一 ~ 口通 十 口召 只U禾 价 左腼 遇 万 公 义 议下不下了下干井 .
、
l
二 二 万 万
,
一
i UZ
口O
口七
了
是线 段 的 长 可 以 作 为 某 个 一 元 二 次 方 程
的 两 个根
,
起成 为 综 合 题
图形 之 中
, ,
使 几 何 和 代数有机的结合 在 一 . 也 可 将 此 图 形 融 于 其他 若再进 一 步建 立 线 段 之间 的某
, , ,
种 数量 关 系 则条件更加 隐蔽 难 度 增 加 试题 更加 具 有 区 分度 角形 中
,
例 如将此 图 融 于三
AC B中
,
则将 成为 一 道综 合题
, B D
、 E C
.
如图
、
,
△
分别是
、 C F
乙 人B C
乙 ACB
一
的 平分 线
+ ) 6 x
, B D
、
E C
= 相交 于 点 F 若 BF
,
3
F E
且线段 BF .
的 长 是 方程 尹
m ( Z
+
Z
m
,
二 0
的 两个 根 求线 段 B C
, ,
的长
解 以 线 段 的 长为 根 的 一元 二 次方 程 时 还 要 建 立 这 两 条 线段 之 间 的关 系 出
乙 B FC
, ,
,
我 们 除 了 使 用 根 与 系 数 的关 系 之 外
, ,
利 用 上 图 的结 论 很容易 找 到解题 的方 法 作 . B C 于 H 构造 出上 面 的 图形 结 论 显 而 易见 的 平分线交
, , ,
总 之 在 编拟综合题 时 要 注 意 防止 拼凑 知 识 重复 使 用
, , ,
结构复杂缺乏 美感 在
,
,
编拟 综 合题时 要 使 问题 之 间有 层 次 有梯 度 问 题之间 可 以 各 自独立 也 可 以 相 互 . 联 系 如有 联 系 则前 问 应为后 问起到 提 示 作用 则为更好
, ,
以上 只 是个人 的 几 点体会
,
希 望 同学 们 不 断总 结规律 和 方法 在 中考 中取 得 好
,
成绩
.
20 曰 应 如
石车 第 乡 一
6
翁
学会求匆的参诺 屏示 个 性的舞 台
德睡
如自
.
傲 人 处 世的朋友 开阔视野的 度口