高数考试习题

空间解析几何与向量代数

1. 设α, β为两个三维向量,则下列等式中正确的是( ).

2

|α|α=αA .

2

α⋅(β⋅β) =-αβ B .

C .α⋅β=β⋅α D .α⨯β=β⨯α

2. α, β为两个三维向量,则下列等式中正确的是( ).

A . |α|α=α2

B. α⋅(β⋅β) =-αβ2C. α⋅β=β⋅αD. α⨯β=β⨯α

3.

|a a =2i +2j +k 已知向量,求|及其方向余弦cos α,cos β

,cos γ .

4.与向量α=(1, 2, 3) 平行的单位向量是

5.设向量α={λ,1,5},β={2,10,50},且α//β,则λ= ;若α⊥β,则λ=____ . 6. 将xoz 坐标平面上的圆x

2

+2z 2=9分别绕x 轴和z 轴旋转一周,所生成的旋转曲面的

方程分别为 7.方程

222

z =x 2+y 2,2x 2+2y 2=1,z =5(x +y ),

x 2y 2x 2y 2z 2

+=z +2-2=1224,a a c ,

x 2y 2z 2

++=1a 2b 2c 2,x +y -z +1=0 在空间分别表示什么面?其中的旋转曲面是怎样形

成的?

222

⎧⎪2x +y +z =6, ⎨2

x -y 2+z 2=0. ⎪⎩8. 求曲线在xoy 平面上的投影曲线方程,并画出投影曲线的图形.

9.过点

(1,

与平面

x +2y +2z -1

0 =

平行的平面为 ;

点(1,2,1) 到平面x +2y +2z -10=0 的距离为________________ . ⎧10. 用对称式方程及参数方程表示直线

x -y +z -1=0,

⎩2x +y +z -4=0.

⎧x +2z =11. 求过点(1,2,4)且与直线⎨

1,⎩y -3z =2. 垂直的平面方程.

12. 求过点(0,2,4)且与两平面x +2z =1和y -3z =2 平行的直线方程.

多元函数微分学

z =ln(y -x ) +

1

.函数

的定义域为( ).

A .

D ={(x , y ) |y -x >0, x 2+y 2

B .

D ={(x , y ) |y -x >0, x ≥0, x 2+y 2

D ={(x , y ) |x ≥0, x 2+y 20, x ≥0}

2.考虑z =

f (x , y ) 的下面四条性质:

(1)f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 连续; (2)f x (x , y ), f y (x , y ) 在点(x 0, y 0) 连续; (3)f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 可微分; (4)f x (x 0, y 0), f y (x 0, y 0) 存在.

若用“P ⇒Q ”表示可由性质P 推出性质Q ,则下列四个选项中正确的是( A .(2)⇒(3)⇒(1) B .(3)⇒(2)⇒(1) C .(3)⇒(4)⇒(1) D .(3)⇒(1)⇒(4)

方程

) .

3.设

f (x , y , z ) =x 3-xy 2-z , p 0(1,1,0), 则f (x , y , z ) 在p 0处增加最快的方向为

( ) .

A .沿向量n =2i +2j +k

C .沿向量n =2i +2j -k

B .沿向量n =2i -2j +k

D .沿向量n =2i -2j -k

4. 设函数z =

f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 具有偏导数,则f x (x 0, y 0) =0, f y (x 0, y 0) =0是

函数在(x 0, y 0) 取得极值的( )

A .充要条件 B .充分条件 C .必要条件 D.既不充分又不必要条件 5.设z =

f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,

又f x (x 0, y 0) =0, ,f y (x 0, y 0) =0, 令 f xx (x 0, y 0) =A , f xy (x 0, y 0) =B ,

f yy (x 0, y 0) =C

,则 ( ) .

B .

AC -B 2>0且A

A .C .

AC -B 2>0且A >0时f (x 0, y 0)是极大值AC -B 2

D .

AC -B 20时f (x 0, y 0)是极大值

6.

函数7. 已知函数

的定义域是

x

f (x , y ) =x 2+y 2-xy tan , 则f (tx , ty ) =

y sin(xy )

=

(x , y ) →(2,0)y lim lim

8.二重极限

1-xy

=

(x , y ) →(0,1)x 2+y 2

lim 1-xy

(x , y ) →(0,1)x 2+y 2lim

(x , y ) → =___________

9.设与l

同方向的单位向量为向导数

∂z

=∂l (1,0)

,那么函数z =xe 2y 在点P (1,0)处沿l 方向的方

.

∂z ∂z

,

z =f (x , y ) (x , y ) ∂x 10.函数在点偏导数∂y

都存在是函数在点(x , y ) 可微的________条

件.

22r =f (t ) =(t +1,4t -3,2t -6t ) , t ∈R , 则Γ在与t 0=2相应的点Γ11.设空间曲线的向量方程为

处的单位切向量为__________________ 12.函数

f (x , y ) =4(x -y ) -x 2-y 2的驻点为________________

13. 14.

⎧x 2+y 2

⎪z =

4⎨

⎪y =4曲线⎩

在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角α=22

z =x y +y , 则它的全微分dz =设二元函数

15. 设

z =x y (x >0, x ≠1), 则

∂z

=∂x

16. 二元函数 17. 设

z =arctan

⎧xy

,(x , y ) ≠0⎪

f (x , y ) =⎨x 2+y 2

⎪0,(x , y ) =0⎩在(0,0)点处是否连续?偏导数是否存?

u

v

,而u =x +y , v =x -y ,求dz .

22

z =u +v , 而 u =x +y , v =x -y ,求dz . 18. 设

dz

x -2y 3

z =e , x =sin t , y =t 19. 设,求dt .

x z ∂z =ln

y 确定的隐函数,求∂x 20. 设z =z (x , y ) 是由方程z

∂z

及∂y

.

21. 22. 设

y

z =f (u , x , y ), u =xe 23. 设,其中

⎧x 2+y 2+z 2=3x dy dz

⎨, 2x -3y +5z -4=0y =y (x ), z =z (x ) 设由 ⎩确定隐函数,求dx dx

z =f (xy , 2x +y 2)

,其中

∂2z ∂2z

,

f 具有二阶连续偏导数,求∂x 2∂x ∂y .

∂2z ∂2z

,

f 具有连续的二阶偏导数,求∂x 2∂x ∂y .

4. 设z =xy +xF (u ) , 而

222x +y +z =14在点(1,2,3)处的切平面及法线方程. 25. 求球面

u =

∂z ∂z y x +y =z +xy . , F (u )

x 为可导函数,证明 ∂x ∂y

26. 求螺旋线 x =a cos θ, y =a sin θ, z =b θ在点(a ,0,0) 处的切线及法平面方程.

z e 27. 求曲面 -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程.

28. 求表面积为a 而体积为最大的长方体体积(利用拉格朗日乘数法).

29. 要建造一个容积为定数A 的长方体无盖水池,已知底面的单位面积造价是侧面单

位面积造价的两倍,问应如何设计水池的尺寸,方可使它的造价最小.

30. 设函数u (x , y , z ), v (x , y , z )的各个偏导数都存在,证明梯度的运算法则:

grad (u ±v )=gradu ±gradv

2

, g r a (d )u =v

v g +r a d u

. u g r a d v

二重积分 1.设有界闭区域( ) .

A .

D =

{(x , y )0≤x ≤1,1≤y ≤2},则二重积分I =⎰⎰(x +y +1) d σ的取值范围是

D

2≤I ≤6 B . 1≤I ≤2 C .2≤I ≤4 D .2≤I ≤8

2. 比较二重积分的大小:

I 1=⎰⎰ln(x +y ) d σ, I 2=⎰⎰(ln(x +y )) 2d σ

D

D

,其中

D ={(x , y ) |3≤x ≤5,0≤y ≤1},下列说法正确的是( )

A. I 1≥I 2 B. I 1≤I 2 C. I 1=I 2 D. 无法确定 3. 设

I 1=⎰⎰(x +y ) 2d σ

D

I 2=⎰⎰(x +y ) 3d σ

D

, 其中D 是三角形闭区域,三顶点分

别为(1,0),(1,1),(2,0) ,则I 1____I 2 (比较大小).

4. 设有平面区域D ={(x , y ) -a ≤x ≤a , x ≤y ≤a },D 1={(x , y ) 0≤x ≤a , x ≤y ≤a },

则有D A .

D 1

⎰⎰(xy +cos x sin y ) dxdy

为 ( )

2⎰⎰xydxdy

D 1

2⎰⎰cos x sin ydxdy

1

x

B . C .

4⎰⎰(xy +cos x sin y ) dxdy

D 1

D . 0

5.二次积分⎰0

dx ⎰2f (x , y )dx

x

改换次序后为 .

1

6

.将二次积分

I =⎰dy ⎰

-1

y +10

f (x , y ) dx +⎰dy ⎰

f (x , y ) dx

交换积分次序,得__________

7.设平面区域D

x =1, y =0, y =

x 由直线围成,则二重积分D

在极坐标系中

化成的二次积分是 ( ) .

π

A .⎰ 8.

4

d θ⎰

sec θ

π

r dr

2

B .⎰

40

d θ⎰r dr

1

π

2

C .⎰

40

d θ⎰

sec θ

π

rdr

D . ⎰

40

d θ⎰

sec θ

rdr

I =⎰dy ⎰

a

x 2+y 2) dx

化为极坐标形式的二次积分,得_____ _____ .

9.二重积分D

⎰⎰2dxdy =____,

其中积分区域D 是由x 轴,y 轴与直线x +y =1所围成.

2d σ=

10.设平面区域D

⎰⎰x =0, y =0, y =x -2由直线围成,则二重积分D

.

11.设区域12. 设

D =(x , y ) x ≤1, y ≤1

{

},则二重积分

D

22x ⎰⎰y dxdy =D

.

D =(x , y ) x ≤1, y ≤1

{

},计算二重积分

2

2xy ⎰⎰dxdy =

13. 计算二重积分D

⎰⎰(3xy

+2x 2y )d σ

,其中D 由直线y =0, y =1+x , y =1-x 围成 .

14. 利用极坐标计算二重积分域.

15. 利用极坐标计算D

x

⎰⎰e D

2

+y 2

d σ

22

,其中D 是由圆周x +y =4 所围成的闭区

⎰⎰arctan

y d σ, 2222x x +y =4x +y =1 D 其中是由圆周,

及直线y =0, y =x

所围成的在第一象限内的闭区域.

16. 利用二重积分计算由平面x =0, y =0, x +y =1所围成的柱体被平面z =0和抛物

x 2+y 2=6-z 截得的立体的体积.

17. 计算由平面x =0, y =0, x +y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体的体积.

18.

计算二重积分区域。 19、计算

20、画出积分区域,求D 闭区域.

⎰⎰D

σ

,其中D

2

y =x y =是由两条抛物线

所围成的平面闭

⎰⎰xydxdy

D

2

y D ,其中是由抛物线=x 及直线y =x -2所围成的闭区域.

⎰⎰(x 2+y 2-x ) d σ

, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的

空间解析几何与向量代数

1. 设α, β为两个三维向量,则下列等式中正确的是( ).

2

|α|α=αA .

2

α⋅(β⋅β) =-αβ B .

C .α⋅β=β⋅α D .α⨯β=β⨯α

2. α, β为两个三维向量,则下列等式中正确的是( ).

A . |α|α=α2

B. α⋅(β⋅β) =-αβ2C. α⋅β=β⋅αD. α⨯β=β⨯α

3.

|a a =2i +2j +k 已知向量,求|及其方向余弦cos α,cos β

,cos γ .

4.与向量α=(1, 2, 3) 平行的单位向量是

5.设向量α={λ,1,5},β={2,10,50},且α//β,则λ= ;若α⊥β,则λ=____ . 6. 将xoz 坐标平面上的圆x

2

+2z 2=9分别绕x 轴和z 轴旋转一周,所生成的旋转曲面的

方程分别为 7.方程

222

z =x 2+y 2,2x 2+2y 2=1,z =5(x +y ),

x 2y 2x 2y 2z 2

+=z +2-2=1224,a a c ,

x 2y 2z 2

++=1a 2b 2c 2,x +y -z +1=0 在空间分别表示什么面?其中的旋转曲面是怎样形

成的?

222

⎧⎪2x +y +z =6, ⎨2

x -y 2+z 2=0. ⎪⎩8. 求曲线在xoy 平面上的投影曲线方程,并画出投影曲线的图形.

9.过点

(1,

与平面

x +2y +2z -1

0 =

平行的平面为 ;

点(1,2,1) 到平面x +2y +2z -10=0 的距离为________________ . ⎧10. 用对称式方程及参数方程表示直线

x -y +z -1=0,

⎩2x +y +z -4=0.

⎧x +2z =11. 求过点(1,2,4)且与直线⎨

1,⎩y -3z =2. 垂直的平面方程.

12. 求过点(0,2,4)且与两平面x +2z =1和y -3z =2 平行的直线方程.

多元函数微分学

z =ln(y -x ) +

1

.函数

的定义域为( ).

A .

D ={(x , y ) |y -x >0, x 2+y 2

B .

D ={(x , y ) |y -x >0, x ≥0, x 2+y 2

D ={(x , y ) |x ≥0, x 2+y 20, x ≥0}

2.考虑z =

f (x , y ) 的下面四条性质:

(1)f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 连续; (2)f x (x , y ), f y (x , y ) 在点(x 0, y 0) 连续; (3)f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 可微分; (4)f x (x 0, y 0), f y (x 0, y 0) 存在.

若用“P ⇒Q ”表示可由性质P 推出性质Q ,则下列四个选项中正确的是( A .(2)⇒(3)⇒(1) B .(3)⇒(2)⇒(1) C .(3)⇒(4)⇒(1) D .(3)⇒(1)⇒(4)

方程

) .

3.设

f (x , y , z ) =x 3-xy 2-z , p 0(1,1,0), 则f (x , y , z ) 在p 0处增加最快的方向为

( ) .

A .沿向量n =2i +2j +k

C .沿向量n =2i +2j -k

B .沿向量n =2i -2j +k

D .沿向量n =2i -2j -k

4. 设函数z =

f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 具有偏导数,则f x (x 0, y 0) =0, f y (x 0, y 0) =0是

函数在(x 0, y 0) 取得极值的( )

A .充要条件 B .充分条件 C .必要条件 D.既不充分又不必要条件 5.设z =

f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,

又f x (x 0, y 0) =0, ,f y (x 0, y 0) =0, 令 f xx (x 0, y 0) =A , f xy (x 0, y 0) =B ,

f yy (x 0, y 0) =C

,则 ( ) .

B .

AC -B 2>0且A

A .C .

AC -B 2>0且A >0时f (x 0, y 0)是极大值AC -B 2

D .

AC -B 20时f (x 0, y 0)是极大值

6.

函数7. 已知函数

的定义域是

x

f (x , y ) =x 2+y 2-xy tan , 则f (tx , ty ) =

y sin(xy )

=

(x , y ) →(2,0)y lim lim

8.二重极限

1-xy

=

(x , y ) →(0,1)x 2+y 2

lim 1-xy

(x , y ) →(0,1)x 2+y 2lim

(x , y ) → =___________

9.设与l

同方向的单位向量为向导数

∂z

=∂l (1,0)

,那么函数z =xe 2y 在点P (1,0)处沿l 方向的方

.

∂z ∂z

,

z =f (x , y ) (x , y ) ∂x 10.函数在点偏导数∂y

都存在是函数在点(x , y ) 可微的________条

件.

22r =f (t ) =(t +1,4t -3,2t -6t ) , t ∈R , 则Γ在与t 0=2相应的点Γ11.设空间曲线的向量方程为

处的单位切向量为__________________ 12.函数

f (x , y ) =4(x -y ) -x 2-y 2的驻点为________________

13. 14.

⎧x 2+y 2

⎪z =

4⎨

⎪y =4曲线⎩

在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角α=22

z =x y +y , 则它的全微分dz =设二元函数

15. 设

z =x y (x >0, x ≠1), 则

∂z

=∂x

16. 二元函数 17. 设

z =arctan

⎧xy

,(x , y ) ≠0⎪

f (x , y ) =⎨x 2+y 2

⎪0,(x , y ) =0⎩在(0,0)点处是否连续?偏导数是否存?

u

v

,而u =x +y , v =x -y ,求dz .

22

z =u +v , 而 u =x +y , v =x -y ,求dz . 18. 设

dz

x -2y 3

z =e , x =sin t , y =t 19. 设,求dt .

x z ∂z =ln

y 确定的隐函数,求∂x 20. 设z =z (x , y ) 是由方程z

∂z

及∂y

.

21. 22. 设

y

z =f (u , x , y ), u =xe 23. 设,其中

⎧x 2+y 2+z 2=3x dy dz

⎨, 2x -3y +5z -4=0y =y (x ), z =z (x ) 设由 ⎩确定隐函数,求dx dx

z =f (xy , 2x +y 2)

,其中

∂2z ∂2z

,

f 具有二阶连续偏导数,求∂x 2∂x ∂y .

∂2z ∂2z

,

f 具有连续的二阶偏导数,求∂x 2∂x ∂y .

4. 设z =xy +xF (u ) , 而

222x +y +z =14在点(1,2,3)处的切平面及法线方程. 25. 求球面

u =

∂z ∂z y x +y =z +xy . , F (u )

x 为可导函数,证明 ∂x ∂y

26. 求螺旋线 x =a cos θ, y =a sin θ, z =b θ在点(a ,0,0) 处的切线及法平面方程.

z e 27. 求曲面 -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程.

28. 求表面积为a 而体积为最大的长方体体积(利用拉格朗日乘数法).

29. 要建造一个容积为定数A 的长方体无盖水池,已知底面的单位面积造价是侧面单

位面积造价的两倍,问应如何设计水池的尺寸,方可使它的造价最小.

30. 设函数u (x , y , z ), v (x , y , z )的各个偏导数都存在,证明梯度的运算法则:

grad (u ±v )=gradu ±gradv

2

, g r a (d )u =v

v g +r a d u

. u g r a d v

二重积分 1.设有界闭区域( ) .

A .

D =

{(x , y )0≤x ≤1,1≤y ≤2},则二重积分I =⎰⎰(x +y +1) d σ的取值范围是

D

2≤I ≤6 B . 1≤I ≤2 C .2≤I ≤4 D .2≤I ≤8

2. 比较二重积分的大小:

I 1=⎰⎰ln(x +y ) d σ, I 2=⎰⎰(ln(x +y )) 2d σ

D

D

,其中

D ={(x , y ) |3≤x ≤5,0≤y ≤1},下列说法正确的是( )

A. I 1≥I 2 B. I 1≤I 2 C. I 1=I 2 D. 无法确定 3. 设

I 1=⎰⎰(x +y ) 2d σ

D

I 2=⎰⎰(x +y ) 3d σ

D

, 其中D 是三角形闭区域,三顶点分

别为(1,0),(1,1),(2,0) ,则I 1____I 2 (比较大小).

4. 设有平面区域D ={(x , y ) -a ≤x ≤a , x ≤y ≤a },D 1={(x , y ) 0≤x ≤a , x ≤y ≤a },

则有D A .

D 1

⎰⎰(xy +cos x sin y ) dxdy

为 ( )

2⎰⎰xydxdy

D 1

2⎰⎰cos x sin ydxdy

1

x

B . C .

4⎰⎰(xy +cos x sin y ) dxdy

D 1

D . 0

5.二次积分⎰0

dx ⎰2f (x , y )dx

x

改换次序后为 .

1

6

.将二次积分

I =⎰dy ⎰

-1

y +10

f (x , y ) dx +⎰dy ⎰

f (x , y ) dx

交换积分次序,得__________

7.设平面区域D

x =1, y =0, y =

x 由直线围成,则二重积分D

在极坐标系中

化成的二次积分是 ( ) .

π

A .⎰ 8.

4

d θ⎰

sec θ

π

r dr

2

B .⎰

40

d θ⎰r dr

1

π

2

C .⎰

40

d θ⎰

sec θ

π

rdr

D . ⎰

40

d θ⎰

sec θ

rdr

I =⎰dy ⎰

a

x 2+y 2) dx

化为极坐标形式的二次积分,得_____ _____ .

9.二重积分D

⎰⎰2dxdy =____,

其中积分区域D 是由x 轴,y 轴与直线x +y =1所围成.

2d σ=

10.设平面区域D

⎰⎰x =0, y =0, y =x -2由直线围成,则二重积分D

.

11.设区域12. 设

D =(x , y ) x ≤1, y ≤1

{

},则二重积分

D

22x ⎰⎰y dxdy =D

.

D =(x , y ) x ≤1, y ≤1

{

},计算二重积分

2

2xy ⎰⎰dxdy =

13. 计算二重积分D

⎰⎰(3xy

+2x 2y )d σ

,其中D 由直线y =0, y =1+x , y =1-x 围成 .

14. 利用极坐标计算二重积分域.

15. 利用极坐标计算D

x

⎰⎰e D

2

+y 2

d σ

22

,其中D 是由圆周x +y =4 所围成的闭区

⎰⎰arctan

y d σ, 2222x x +y =4x +y =1 D 其中是由圆周,

及直线y =0, y =x

所围成的在第一象限内的闭区域.

16. 利用二重积分计算由平面x =0, y =0, x +y =1所围成的柱体被平面z =0和抛物

x 2+y 2=6-z 截得的立体的体积.

17. 计算由平面x =0, y =0, x +y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体的体积.

18.

计算二重积分区域。 19、计算

20、画出积分区域,求D 闭区域.

⎰⎰D

σ

,其中D

2

y =x y =是由两条抛物线

所围成的平面闭

⎰⎰xydxdy

D

2

y D ,其中是由抛物线=x 及直线y =x -2所围成的闭区域.

⎰⎰(x 2+y 2-x ) d σ

, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的


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