量子力学 第二版 第六章__散射 习题答案 周世勋

第六章 散射

1．粒子受到势能为

U(r)

ar

2

的场的散射，求S分波的微分散射截面。

[解] 为了应用分波法，求微分散射截面，首先必须找出相角位移。注意到第l个分波的相角位移l是表示在辏力场中的矢径波函数Rl和在没有散射势时的矢径波函数jl在r时的位相差。因此要找出相角位移，必须从矢径的波动方程出发。

矢径的波动方程是：

1d2dRll(l1)2

r(kV(r))Rl022

rdrdrr

其中Rl是波函数的径向部分，而

V(r)

2

2

U(r),k

2



2

2

E

令

Rl

xl(r)r

，不难把矢径波动方程化为

2l(l1)2xlk22xl02

rr

再作变换 xlrf(r)，得

12

e2

2

2r

2



12

f(r)f(r)k

r





f(r)0

这是一个贝塞尔方程，它的解是

f(r)AJp(kr)BNp(kr)

12

pl2

2 其中

2

2

注意到

Rl

Np(kr)

在r0时发散，因而当r0时波函数

Npr



，不符合波函数的标准条件。所以必须有B0

1rJp(kr)

故

RlA

现在考虑波函数Rl在r处的渐近行为，以便和jl在r时的渐近行为比较，而求

得相角位移l，由于：

R(r)

1r

sin(kr

p2





4

)

1r

sin(kr

l2

l)



212d1

lplll2

242222







当l很小时，即较小时，把上式展开，略去高次项得到



2

l

12l

2



又因 e

2il

12il

f()

12ik



故

(2l1)(e

l0

2il

1)Pl(cos)

221(2l1)i2l1Pl(cos)

2ikl0









k

2



P(cos)

l

l0

1

r12

注意到

1rl

2rPl(cos)当r1r2

r1l011



l22

r1r22r1r2cos1r1

rPl(cos)当r1r2

r2l02

如果取单位半径的球面上的两点来看 则 r1r21，即有

12(1cos)





P(cos)

l

l0

12sin

2

f()



k

2

12si

2

故

微分散射截面为

f()d



k

2

4

222

14sin

2

d



8E

2

22

csc

2



2

d

2

由此可见，粒子能量E愈小，则较小的波对微分散射截面的贡献愈大；势能常数愈大，微分散射截面也愈大。

U0,

U(r)

0,2．慢速粒子受到势能为

当ra当ra

的场的散射，若EU0,U00，求散射截面。

[解] 慢速粒子的德布罗意波长很长，所以只需要考虑S分波。

2l(l1)xlkxl02r在ra处，方程为

其中

k

2



2E

2

2l(l1)

xlkxl02r在ra处，则有

其中

k

2

2(U0E)

Rl

2

xlr

而波函数是

在a的情况下，只故虑S分波，即l0的情况，上面两个方程变为

rara

kx00x0

kx00x0

22

其解分别为

当ra时， x0Bsin(kr0)

当ra时， x0AshkrAchkr

由于在r0时，

R0

x0

r有限，但

coskr当1r0

故 A0

kr即 x0Ash

(ra)

在ra处，波函数R0及其微商必须连续，因此得出

AshkaBsin(ka0) Aa

kchka

Aa

2

shka

Ba

kcot(ka0)

Ba

2

sin(ka0)

用前式除后式可得

kcothkakcot(ka0) tgka

kk

tg(ka0)

即



0tg

1

k



tgkakak

因此S分波的辐射截面是

Q0

4k

2

sin0

2

4k

2

21k

sintgtgkaka

k

当速度较小时，k0，可以近似地认为

kk0

2U0

2

a这时有 tghktg0hk a



0

4k

2

kk0

2

tghk0aka

2

Q00

2tgk0a4a1ka

0

假如U0，相当于在受到球形无限深势阱散射的情况，这时由于

tgk0a(tgk0a)2tgk0a

1121当22k0kakaka000

2



Q04a



r

4

2

3．只考虑S分波，求慢速粒子受到势能

U(r)

的场散射时的散射截面。

[解] 当只考虑l0，即S分波时，令

x

2x

2

4

R



r，则x满足的方程是：

r

0

为了解此方程，作如下代换，令x(r)

x

rf(r)

112

rf(r)rf(r)14

rf(r)，由于

f(r)r

3

2

xrf(r)

可将原方程化为

rf

f

f

2d11f273rr24r2



0

f

即

12d1

f2042r4rr

为了化简方程，再作变换，令

r

i

2

1



注意到

dfdr

2



dfdddr



dfd

i

21

2

r

2

i

dfd



2

2



2

2i



dfd

dfdr

2

ddfi

dd

2

df

2d

di2dr

2

df

2

2d

2ddr

23dfi2d2i



2

2

方程可以化为

dfd

22



1

12

d41df



0

这是2阶的贝塞尔方程，它的解是

f(r)H

(1)

(1)

12

i21r

式中H表示第一类汉克尔函数，按定义为 Hp()

(1)

isinp

e



ip

Jp()Jp()



p

当1时，

JP()

2(p1)

p

为了解此方程，作如下代换，令x(r)

x

rf(r)

112

rf(r)rf(r)14

rf(r)，由于

f(r)r

3

2

xrf(r)

可将原方程化为

rf

f

f

2d11f273rr24r2



0

f

即

12d1

f2042r4rr

为了化简方程，再作变换，令

r

i

2

1



注意到

dfdr

2



dfdddr



dfd

i

21

2

r

2

i

dfd



2

2



2

2i



dfd

dfdr

2

ddfi

dd

2

df

2d

di2dr

2

df

2

2d

2ddr

23dfi2d2i



2

2

方程可以化为

dfd

22



1

12

d41df



0

这是2阶的贝塞尔方程，它的解是

f(r)H

(1)

(1)

12

i21r

式中H表示第一类汉克尔函数，按定义为 Hp()

(1)

isinp

e



ip

Jp()Jp()



p

当1时，

JP()

2(p1)

p

当r,0时

11



i22(1)

iH1()当11r

31222sin22222 

而





1

2

,

3111

2222

2x

r

xrf(r)

(1)

rH1i

2

当r很大时，



2x常数r

2



42

2



1

41



2x(r)R常数

2r



124c2常数C21rr



1

4

1

另一方面

RC1

sin(kr0)

kr

C2

cos(kr0)

r

常数

sin(kr0)

r

当kr1时

C

R常数C12

r 

1

1



C12

其中 

tg0

C2C1

k

2

4

,2

24

C22

 k0

散射截面

Q4

20



282

k4k2

2

上述解的条件是



i21

r1

kr1,即

2

亦即要求



r

1k

4．用玻恩近似法求粒子在势能U(r)U0e

r

22

场中散射时的散射截面。

[解] 按玻恩近似法计算微分散射截面的公式

q()f()f()

2K

22

2

而



0

rsinkre

r

22

dr

[见教材（55-23）式]

其中

K

2

4ksin

2



2，为入射粒子方向和散射粒子方向之间的夹角。

在本题中

U(r)U0e



f()

2U0K

2

r

22

r

2

2



0

rsinKre

2

2

dr

2

2

i

U0

K

2



e



r(e

22

riKr

e

riKr

)dr

K4

22



iU0K



2



K4

2



0

re

iK2

r

22

2

dr

iU0K

2

2

e



0

re

iK2

r

22

2

dr

dr

注意到



0

re

iK

r

22

2

dr



0

iK

er22

x

2

2



iK

r

22

2

dr

iK2

2



0



2

e

iK

r

22



iK

r

22

2



0

xedx

iK2

2

2

2

2



12

2



iK4



3

2





0



2

re

又



iK

drr2

20



e



iKr

22

dr

iK2

2



0



e

iK

r

22

2



dr



iU0K

2

12

2



iK4

3

K4

22

f()

2



K4

22

2

e

iK2

3



U0

2

2

3

e

而



K4Ksin

2



2

q()f()

2



U

4

4

2

206



K2

22

e

5．利用玻恩近似法求粒子在势能

Zes2r

,

U(r)rb

0,

rara

b

场中散射的微分散射截面，式中

a

22

Zes

[解] 由势能U(r)的形状容易看出，计算f()时只需计算由0a的积分即可。 f()

2K

2



a0

ze2r

rsinKrrbdr



zesinKrdr

2



2K

2



2

a0

2Kb

2



a0

rsinKrdr

2







zeK

2



2

1K

cosKr

a0



aa

2

cosKrrcosKadr2200Kb22



zeK

2

2

(coska1)

22

2a22acosKasinKa22

Kbkk

2



a0



sinKrdr







zeK

2

2

(1cosKa)

2a22

acosKasinKa(1cosKa)222KbKK

q()f()

2

2122a2

44ze(1cosKa)acosKasinKa2(1cosKa)KbKK

K2ksi4

2



2

其中

6．用玻恩近似法求在势能U(r)U0e



ra

(a0)场中散射时的微分散射截面，并讨

论在什么条件下，可以应用玻恩近似法。 [解] （1）求微分散射截面

f()

2k

2



0

r



a

rsinkrU0e



dr

ra



2U0k

2



0

r2i

(e

ikr

e

ikr

)edr



U0

2

reik0





1

ikr

a

dr



0

re

1

ikr

a

dr



U011222

ik11

ikik

aa 

222

aU0(1ika)(1ika)2222

ik(1ak)



4aU0(1ak)

2

3

2222

q()f()

16U0a

4

2

2264

(1ak)

2



4

16U0a

2

2

226

(14aksin

2



2

)

4

u()1

2

（2）讨论玻恩近似法可以应用的条件。显然，这个条件是和（55-26）式

u(0)

12k

。由教材（55-25）式



2



V(r)(e

2

2ikr

1)dr



k

2





V(r)(e

2ikr

1)dr



U0

k

24

2ak4ak



22

2

u(0)

2



2



2

k



4

U0e

22



ra

(e

2ikr

1)dr

4

2

1

2

U0

即 k

22

4

2



4ak

14ak

2

2

4

1

4



4aU0



4

2

14ak

22

k

4U0a

4ak2

2

2

2

4

2

22

E

U0a2





22

或

8a

这就是玻恩近似法的适用条件。

6．用玻恩近似法求在势能U(r)U0e

ra

(a0)场中散射时的微分散射截面，并讨

论在什么条件下，可以应用玻恩近似法。 [解] （1）求微分散射截面

第六章 散射

1．粒子受到势能为

U(r)

ar

2

的场的散射，求S分波的微分散射截面。

[解] 为了应用分波法，求微分散射截面，首先必须找出相角位移。注意到第l个分波的相角位移l是表示在辏力场中的矢径波函数Rl和在没有散射势时的矢径波函数jl在r时的位相差。因此要找出相角位移，必须从矢径的波动方程出发。

矢径的波动方程是：

1d2dRll(l1)2

r(kV(r))Rl022

rdrdrr

其中Rl是波函数的径向部分，而

V(r)

2

2

U(r),k

2



2

2

E

令

Rl

xl(r)r

，不难把矢径波动方程化为

2l(l1)2xlk22xl02

rr

再作变换 xlrf(r)，得

12

e2

2

2r

2



12

f(r)f(r)k

r





f(r)0

这是一个贝塞尔方程，它的解是

f(r)AJp(kr)BNp(kr)

12

pl2

2 其中

2

2

注意到

Rl

Np(kr)

在r0时发散，因而当r0时波函数

Npr



，不符合波函数的标准条件。所以必须有B0

1rJp(kr)

故

RlA

现在考虑波函数Rl在r处的渐近行为，以便和jl在r时的渐近行为比较，而求

得相角位移l，由于：

R(r)

1r

sin(kr

p2





4

)

1r

sin(kr

l2

l)



212d1

lplll2

242222







当l很小时，即较小时，把上式展开，略去高次项得到



2

l

12l

2



又因 e

2il

12il

f()

12ik



故

(2l1)(e

l0

2il

1)Pl(cos)

221(2l1)i2l1Pl(cos)

2ikl0









k

2



P(cos)

l

l0

1

r12

注意到

1rl

2rPl(cos)当r1r2

r1l011



l22

r1r22r1r2cos1r1

rPl(cos)当r1r2

r2l02

如果取单位半径的球面上的两点来看 则 r1r21，即有

12(1cos)





P(cos)

l

l0

12sin

2

f()



k

2

12si

2

故

微分散射截面为

f()d



k

2

4

222

14sin

2

d



8E

2

22

csc

2



2

d

2

由此可见，粒子能量E愈小，则较小的波对微分散射截面的贡献愈大；势能常数愈大，微分散射截面也愈大。

U0,

U(r)

0,2．慢速粒子受到势能为

当ra当ra

的场的散射，若EU0,U00，求散射截面。

[解] 慢速粒子的德布罗意波长很长，所以只需要考虑S分波。

2l(l1)xlkxl02r在ra处，方程为

其中

k

2



2E

2

2l(l1)

xlkxl02r在ra处，则有

其中

k

2

2(U0E)

Rl

2

xlr

而波函数是

在a的情况下，只故虑S分波，即l0的情况，上面两个方程变为

rara

kx00x0

kx00x0

22

其解分别为

当ra时， x0Bsin(kr0)

当ra时， x0AshkrAchkr

由于在r0时，

R0

x0

r有限，但

coskr当1r0

故 A0

kr即 x0Ash

(ra)

在ra处，波函数R0及其微商必须连续，因此得出

AshkaBsin(ka0) Aa

kchka

Aa

2

shka

Ba

kcot(ka0)

Ba

2

sin(ka0)

用前式除后式可得

kcothkakcot(ka0) tgka

kk

tg(ka0)

即



0tg

1

k



tgkakak

因此S分波的辐射截面是

Q0

4k

2

sin0

2

4k

2

21k

sintgtgkaka

k

当速度较小时，k0，可以近似地认为

kk0

2U0

2

a这时有 tghktg0hk a



0

4k

2

kk0

2

tghk0aka

2

Q00

2tgk0a4a1ka

0

假如U0，相当于在受到球形无限深势阱散射的情况，这时由于

tgk0a(tgk0a)2tgk0a

1121当22k0kakaka000

2



Q04a



r

4

2

3．只考虑S分波，求慢速粒子受到势能

U(r)

的场散射时的散射截面。

[解] 当只考虑l0，即S分波时，令

x

2x

2

4

R



r，则x满足的方程是：

r

0

为了解此方程，作如下代换，令x(r)

x

rf(r)

112

rf(r)rf(r)14

rf(r)，由于

f(r)r

3

2

xrf(r)

可将原方程化为

rf

f

f

2d11f273rr24r2



0

f

即

12d1

f2042r4rr

为了化简方程，再作变换，令

r

i

2

1



注意到

dfdr

2



dfdddr



dfd

i

21

2

r

2

i

dfd



2

2



2

2i



dfd

dfdr

2

ddfi

dd

2

df

2d

di2dr

2

df

2

2d

2ddr

23dfi2d2i



2

2

方程可以化为

dfd

22



1

12

d41df



0

这是2阶的贝塞尔方程，它的解是

f(r)H

(1)

(1)

12

i21r

式中H表示第一类汉克尔函数，按定义为 Hp()

(1)

isinp

e



ip

Jp()Jp()



p

当1时，

JP()

2(p1)

p

为了解此方程，作如下代换，令x(r)

x

rf(r)

112

rf(r)rf(r)14

rf(r)，由于

f(r)r

3

2

xrf(r)

可将原方程化为

rf

f

f

2d11f273rr24r2



0

f

即

12d1

f2042r4rr

为了化简方程，再作变换，令

r

i

2

1



注意到

dfdr

2



dfdddr



dfd

i

21

2

r

2

i

dfd



2

2



2

2i



dfd

dfdr

2

ddfi

dd

2

df

2d

di2dr

2

df

2

2d

2ddr

23dfi2d2i



2

2

方程可以化为

dfd

22



1

12

d41df



0

这是2阶的贝塞尔方程，它的解是

f(r)H

(1)

(1)

12

i21r

式中H表示第一类汉克尔函数，按定义为 Hp()

(1)

isinp

e



ip

Jp()Jp()



p

当1时，

JP()

2(p1)

p

当r,0时

11



i22(1)

iH1()当11r

31222sin22222 

而





1

2

,

3111

2222

2x

r

xrf(r)

(1)

rH1i

2

当r很大时，



2x常数r

2



42

2



1

41



2x(r)R常数

2r



124c2常数C21rr



1

4

1

另一方面

RC1

sin(kr0)

kr

C2

cos(kr0)

r

常数

sin(kr0)

r

当kr1时

C

R常数C12

r 

1

1



C12

其中 

tg0

C2C1

k

2

4

,2

24

C22

 k0

散射截面

Q4

20



282

k4k2

2

上述解的条件是



i21

r1

kr1,即

2

亦即要求



r

1k

4．用玻恩近似法求粒子在势能U(r)U0e

r

22

场中散射时的散射截面。

[解] 按玻恩近似法计算微分散射截面的公式

q()f()f()

2K

22

2

而



0

rsinkre

r

22

dr

[见教材（55-23）式]

其中

K

2

4ksin

2



2，为入射粒子方向和散射粒子方向之间的夹角。

在本题中

U(r)U0e



f()

2U0K

2

r

22

r

2

2



0

rsinKre

2

2

dr

2

2

i

U0

K

2



e



r(e

22

riKr

e

riKr

)dr

K4

22



iU0K



2



K4

2



0

re

iK2

r

22

2

dr

iU0K

2

2

e



0

re

iK2

r

22

2

dr

dr

注意到



0

re

iK

r

22

2

dr



0

iK

er22

x

2

2



iK

r

22

2

dr

iK2

2



0



2

e

iK

r

22



iK

r

22

2



0

xedx

iK2

2

2

2

2



12

2



iK4



3

2





0



2

re

又



iK

drr2

20



e



iKr

22

dr

iK2

2



0



e

iK

r

22

2



dr



iU0K

2

12

2



iK4

3

K4

22

f()

2



K4

22

2

e

iK2

3



U0

2

2

3

e

而



K4Ksin

2



2

q()f()

2



U

4

4

2

206



K2

22

e

5．利用玻恩近似法求粒子在势能

Zes2r

,

U(r)rb

0,

rara

b

场中散射的微分散射截面，式中

a

22

Zes

[解] 由势能U(r)的形状容易看出，计算f()时只需计算由0a的积分即可。 f()

2K

2



a0

ze2r

rsinKrrbdr



zesinKrdr

2



2K

2



2

a0

2Kb

2



a0

rsinKrdr

2







zeK

2



2

1K

cosKr

a0



aa

2

cosKrrcosKadr2200Kb22



zeK

2

2

(coska1)

22

2a22acosKasinKa22

Kbkk

2



a0



sinKrdr







zeK

2

2

(1cosKa)

2a22

acosKasinKa(1cosKa)222KbKK

q()f()

2

2122a2

44ze(1cosKa)acosKasinKa2(1cosKa)KbKK

K2ksi4

2



2

其中

6．用玻恩近似法求在势能U(r)U0e



ra

(a0)场中散射时的微分散射截面，并讨

论在什么条件下，可以应用玻恩近似法。 [解] （1）求微分散射截面

f()

2k

2



0

r



a

rsinkrU0e



dr

ra



2U0k

2



0

r2i

(e

ikr

e

ikr

)edr



U0

2

reik0





1

ikr

a

dr



0

re

1

ikr

a

dr



U011222

ik11

ikik

aa 

222

aU0(1ika)(1ika)2222

ik(1ak)



4aU0(1ak)

2

3

2222

q()f()

16U0a

4

2

2264

(1ak)

2



4

16U0a

2

2

226

(14aksin

2



2

)

4

u()1

2

（2）讨论玻恩近似法可以应用的条件。显然，这个条件是和（55-26）式

u(0)

12k

。由教材（55-25）式



2



V(r)(e

2

2ikr

1)dr



k

2





V(r)(e

2ikr

1)dr



U0

k

24

2ak4ak



22

2

u(0)

2



2



2

k



4

U0e

22



ra

(e

2ikr

1)dr

4

2

1

2

U0

即 k

22

4

2



4ak

14ak

2

2

4

1

4



4aU0



4

2

14ak

22

k

4U0a

4ak2

2

2

2

4

2

22

E

U0a2





22

或

8a

这就是玻恩近似法的适用条件。

6．用玻恩近似法求在势能U(r)U0e

ra

(a0)场中散射时的微分散射截面，并讨

论在什么条件下，可以应用玻恩近似法。 [解] （1）求微分散射截面