1．如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，以下结论不正确的是（ ）
A ．异面直线A 1D 与AB 1所成的角为60°
B ．直线A 1D 与BC 1垂直
C ．直线A 1D 与BD 1平行
D ．三棱锥A ﹣A 1CD 的体积为a 3
2．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4，CC 1=2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
3．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，已知三角形ABC 和三角形DBC 所
在平面互相垂直，AB=BD，∠CBA=∠CBD=
BCD 所成角的大小是（ ）
A ． B ． C ． D ． ，则直线AD 与平面
4．已知边长为的正方形ABCD 的四个顶点都在球心为O 的球面上，若球O 的体积为36π，则直线OA 与平面ABCD 所成的角的余弦值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
5．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于（ ）
A ．
6．如图，在四面体ABCD 中，AB=1，AD=2
∠ABC=∠
DCB=
A ．
B ． C ． D ． ，BC=3，CD=2，，则二面角A ﹣BC ﹣D 的大小为（ ） C ． D ． B ．
7．如图在一个60°的二面角的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、
BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，且
AB=AC=1，BD=2，则CD 的长为（ ）
A ．2
8．如图，在四面体P ﹣ABC 中，PA 、AB 、BC 两两垂直，且AB=
BC=，则二面角B ﹣AP ﹣C 的大小为（ ） ，
B ． C ． D ．1
A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，平面A 1B 1CD 与平面ABCD 所成二面角为（ ）
A ． B ． C ． D ．
10．如图，设线段DA 和平面ABC 所成角为α（0＜α＜
面角D ﹣AB ﹣C 的平面角为β，则（ ）
A ．α≤β＜π B ．α≤β≤π﹣α
C ．
），二 D ．
答案
1．（2014•西陵区校级模拟）如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，以下结论不正确的是（ ）
A ．异面直线A 1D 与AB 1所成的角为60°
B ．直线A 1D 与BC 1垂直
C ．直线A 1D 与BD 1平行
D ．三棱锥A ﹣A 1CD 的体积为a 3
【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．利用正方体的性质、向量的夹角公式与数量积的关系、三棱锥的体积计算公式即可得出．
【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．
A ．A 1（a ，0，a ），D （0，0，0），A （a ，0，0），B 1（a ，a ，a ）． ∴
∴=（﹣a ，0，﹣a ），==（0，a ，a ）， ==﹣，
∴异面直线A 1D 与AB 1所成的角为60°．
B ．C 1（0，a ，a ），B （a ，a ，0）．
=（﹣a ，0，﹣a ）•（﹣a ，0，a ）=a2﹣a 2=0．
∴直线A 1D 与BC 1垂直．
C ．D 1（0，0，a ）． ∵=（﹣a ，0，﹣a ）•（﹣a ，﹣a ，a ）=a2﹣a 2=0，∴直线A 1D 与BD 1垂直，不平行；
D ．三棱锥A ﹣A 1CD 的体积=综上可知：只有C 不正确．
==．
故选：C ．
【点评】本题考查了正方体的性质、向量的夹角公式与数量积的关系、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（2017•南开区模拟）已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4，CC 1=2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】要求线面角，先寻找斜线在平面上的射影，因此，要寻找平面的垂线，利用已知条件可得．
【解答】解：由题意，连接A 1C 1，交B 1D 1于点O
∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4
∴C 1O ⊥B 1D 1
∴C 1O ⊥平面DBB 1D 1
在Rt △BOC 1
中，
∴直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为
故选C ．
【点评】本题的考点是直线与平面所成的角，主要考查线面角，关键是寻找线面角，通常寻找斜线在平面上的射影．
3．（2017•广安模拟）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，已知三角形ABC 和三角形DBC 所在平面互相垂直，AB=BD，∠CBA=∠CBD=
的大小是（ ）
，则直线AD 与平面BCD 所成角
A ． B ． C ． D ．
【分析】如图所示，过点A 在平面ABC 内作AO ⊥BC ，垂足为点O ，连接OD ．根据三角形ABC 和三角形DBC 所在平面互相垂直，可得AO ⊥平面BCD ，AO ⊥OD ．因此∠ADO 是直线AD 与平面BCD 所成的角．通过证明△OBA ≌△OBD ，即可得出．
【解答】解：如图所示，过点A 在平面ABC 内作AO ⊥BC ，垂足为点O ，连接OD ．
∵三角形ABC 和三角形DBC 所在平面互相垂直，∴AO ⊥平面BCD ，∴AO ⊥OD ． ∴∠ADO 是直线AD 与平面BCD 所成的角．
∵AB=BD，∠CBA=∠CBD=，
∴∠ABO=∠DBO ，又OB 公用，
∴△OBA ≌△OBD ，
∴∠BOD=∠
AOB=
∴∠
故选：B ．
． ．OA=OD．
【点评】本题考查了空间线面面面垂直的判定与性质定理、空间角、三角形全等判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．（2017•临沂三模）已知边长为的正方形ABCD 的四个顶点都在球心为O 的球面上，若球O 的体积为36π，则直线OA 与平面ABCD 所成的角的余弦值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】设ABCD 的中心为M ，则∠OAM 为所求角，求出球的半径和正方形的对角线长，在Rt △OAM 中求出cos ∠OAM ．
【解答】解：设正方形ABCD 的中心为M ，连结OM ，OA ，则OM ⊥平面ABCD ， ∴∠OAM 为OA 与平面ABCD 所成的角．
设球的半径为r ，则
∵正方形ABCD 边长为2
∴cos ∠
OAM=
故选：B ．
． =36π，解得r=3，即OA=3， ，∴AM=2，
【点评】本题考查了直线与平面所成角的计算，属于中档题．
5．（2017春•双峰县校级期中）已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】取A 1C 1中点E ，连结B 1E ，则B 1E ⊥A 1C 1，B 1E ⊥AA 1，从而B 1E ⊥平面ACC 1A 1，进而∠B 1AE 是AB 1与侧面ACC 1A 1所成角，由此能出AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值．
【解答】解：取A 1C 1中点E ，连结B 1E ，
∵正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，
∴B 1E ⊥A 1C 1，B 1E ⊥AA 1，
又A 1C 1∩AA 1=A1，∴B 1E ⊥平面ACC 1A 1，
∴∠B 1AE 是AB 1与侧面ACC 1A 1所成角，
设正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长为2，
则BE 1
=
∴sin ∠B 1AE=
，AE====． ，
∴AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值为
故选：A ．
．
【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
6．（2017春•岳阳县校级期末）如图，在四面体ABCD 中，AB=1，AD=2
CD=2，∠ABC=∠
DCB=，则二面角A ﹣BC ﹣D 的大小为（ ）
，BC=3，
A ． B ． C ．
与 D．
【分析】
（的夹角是θ二面角A ﹣BC ﹣D 的平面角=π﹣θ
，由=）2，能求出二面角A ﹣BC ﹣D 的平面角．
与的夹角是θ 【解答】解：设二面角A ﹣BC ﹣D 的平面角=π﹣θ，
∵在四面体ABCD 中，AB=1，AD=2
=∴
，BC=3，CD=2，∠ABC=∠DCB=，
+=（+， ）2
=2+2+2+2||•||•cos∠ABC +2||•||•cosθ+2||•||•cos（180°﹣∠BCD ）
∴12=1+9+4+0+2×1×2×cosθ+0
解得cosθ=﹣，∴
θ=°
=． ∴二面角A ﹣BC ﹣D 的平面角为π﹣故选：B ．
【点评】本题考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
7．（2017春•温江区校级期中）如图在一个60°的二面角的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，且AB=AC=1，BD=2，则CD 的长为（ ）
A ．2 B ． C ． D ．1
，两边平方后展开整理，即可求得，则CD 的长可【分析】由
求．
【解答】解：∵
∴
∵∴⊥，
，⊥+2， ， ， +2+2，
cos120°=﹣×1×2=﹣1． ∴
∴||=2， ﹣2×1=4，
故选：A ．
【点评】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（2016春•滨州期末）如图，在四面体P ﹣ABC 中，PA 、AB 、BC 两两垂直，且
AB=，
BC=，则二面角B ﹣AP ﹣C 的大小为（ ）
A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
【分析】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，过B 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B ﹣AP ﹣C 的大小．
【解答】解：∵在四面体P ﹣ABC 中，PA 、AB 、BC 两两垂直，且
AB=，
BC=， ∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，过B 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，
A （，0，0），P （，0，t ），C （0，
=（﹣，，0），
=（0，0，﹣t ），，﹣t ），
设平面PAC 的法向量=（x ，y ，z ）， 则，取x=1，得=（1，
，0），
平面PAB 的法向量=（0，1，0），
设二面角B ﹣AP ﹣C 的平面角为θ，
则cosθ=
∴θ=30°．
∴二面角B ﹣AP ﹣C 的大小为30°．
故选：A ．
=，
【点评】本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时认真审题，注意向量法的合理运用．
9．（2016春•雅安期末）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，平面A 1B 1CD 与平面ABCD 所成二面角为（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】由BC ⊥CD ，CB 1⊥CD ，得到平面A 1B 1CD 与平面ABCD 所成二面角的平面角为∠BCB 1，由此能求出平面A 1B 1CD 与平面ABCD 所成二面角的大小．
【解答】解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，
∵CD ⊥平面BCC 1B 1，
∴BC ⊥CD ，CB 1⊥CD ，
∴平面A 1B 1CD 与平面ABCD 所成二面角的平面角为∠BCB 1，
∵BC=BB1，BC ⊥BB 1，
∴∠BCB 1
=．
． ∴平面A 1B 1CD 与平面ABCD 所成二面角为
故选：C ．
【点评】本题考查二面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
10．（2016秋•温州期中）如图，设线段DA 和平面ABC 所成角为α（0＜α＜二面角D ﹣AB ﹣C 的平面角为β，则（ ）
），
A ．α≤β＜π B ．α≤β≤π﹣α C． D．
【分析】如图所示，图一：过点D 作DO ⊥平面ABC ，垂足为O 点，
连接OA ，过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E 点，连接DE ．则∠OAD 是线段DA 和平面ABC 所成角α（0＜α＜），
∠OED 是二面角D ﹣AB ﹣C 的平面角β，利用直角三角形边角关系即可得出．α＜β＜π﹣α．同理图二中：可得α＜π﹣β，α
【解答】解：如图所示，
图一：过点D 作DO ⊥平面ABC ，垂足为O 点，
连接OA ，过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E 点，连接DE ．
则∠OAD 是线段DA 和平面ABC 所成角α（0＜α＜
第11页（共12页）
），
∠OED 是二面角D ﹣AB ﹣C 的平面角β，
则tanα=，tanβ=，OA ＞OE ，
∴tanα＜tanβ，可得α＜β，α+β＜π，因此α＜β＜π﹣α．
同理图二中：tanα=，tan （π﹣β）=，
可得α＜π﹣β，α＜β，因此α＜β＜π﹣α．
综上可得：α＜β＜π﹣α．
故选：B ．
【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
第12页（共12页）
1．如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，以下结论不正确的是（ ）
A ．异面直线A 1D 与AB 1所成的角为60°
B ．直线A 1D 与BC 1垂直
C ．直线A 1D 与BD 1平行
D ．三棱锥A ﹣A 1CD 的体积为a 3
2．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4，CC 1=2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
3．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，已知三角形ABC 和三角形DBC 所
在平面互相垂直，AB=BD，∠CBA=∠CBD=
BCD 所成角的大小是（ ）
A ． B ． C ． D ． ，则直线AD 与平面
4．已知边长为的正方形ABCD 的四个顶点都在球心为O 的球面上，若球O 的体积为36π，则直线OA 与平面ABCD 所成的角的余弦值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
5．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于（ ）
A ．
6．如图，在四面体ABCD 中，AB=1，AD=2
∠ABC=∠
DCB=
A ．
B ． C ． D ． ，BC=3，CD=2，，则二面角A ﹣BC ﹣D 的大小为（ ） C ． D ． B ．
7．如图在一个60°的二面角的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、
BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，且
AB=AC=1，BD=2，则CD 的长为（ ）
A ．2
8．如图，在四面体P ﹣ABC 中，PA 、AB 、BC 两两垂直，且AB=
BC=，则二面角B ﹣AP ﹣C 的大小为（ ） ，
B ． C ． D ．1
A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，平面A 1B 1CD 与平面ABCD 所成二面角为（ ）
A ． B ． C ． D ．
10．如图，设线段DA 和平面ABC 所成角为α（0＜α＜
面角D ﹣AB ﹣C 的平面角为β，则（ ）
A ．α≤β＜π B ．α≤β≤π﹣α
C ．
），二 D ．
答案
1．（2014•西陵区校级模拟）如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，以下结论不正确的是（ ）
A ．异面直线A 1D 与AB 1所成的角为60°
B ．直线A 1D 与BC 1垂直
C ．直线A 1D 与BD 1平行
D ．三棱锥A ﹣A 1CD 的体积为a 3
【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．利用正方体的性质、向量的夹角公式与数量积的关系、三棱锥的体积计算公式即可得出．
【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．
A ．A 1（a ，0，a ），D （0，0，0），A （a ，0，0），B 1（a ，a ，a ）． ∴
∴=（﹣a ，0，﹣a ），==（0，a ，a ）， ==﹣，
∴异面直线A 1D 与AB 1所成的角为60°．
B ．C 1（0，a ，a ），B （a ，a ，0）．
=（﹣a ，0，﹣a ）•（﹣a ，0，a ）=a2﹣a 2=0．
∴直线A 1D 与BC 1垂直．
C ．D 1（0，0，a ）． ∵=（﹣a ，0，﹣a ）•（﹣a ，﹣a ，a ）=a2﹣a 2=0，∴直线A 1D 与BD 1垂直，不平行；
D ．三棱锥A ﹣A 1CD 的体积=综上可知：只有C 不正确．
==．
故选：C ．
【点评】本题考查了正方体的性质、向量的夹角公式与数量积的关系、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（2017•南开区模拟）已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4，CC 1=2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】要求线面角，先寻找斜线在平面上的射影，因此，要寻找平面的垂线，利用已知条件可得．
【解答】解：由题意，连接A 1C 1，交B 1D 1于点O
∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4
∴C 1O ⊥B 1D 1
∴C 1O ⊥平面DBB 1D 1
在Rt △BOC 1
中，
∴直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为
故选C ．
【点评】本题的考点是直线与平面所成的角，主要考查线面角，关键是寻找线面角，通常寻找斜线在平面上的射影．
3．（2017•广安模拟）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，已知三角形ABC 和三角形DBC 所在平面互相垂直，AB=BD，∠CBA=∠CBD=
的大小是（ ）
，则直线AD 与平面BCD 所成角
A ． B ． C ． D ．
【分析】如图所示，过点A 在平面ABC 内作AO ⊥BC ，垂足为点O ，连接OD ．根据三角形ABC 和三角形DBC 所在平面互相垂直，可得AO ⊥平面BCD ，AO ⊥OD ．因此∠ADO 是直线AD 与平面BCD 所成的角．通过证明△OBA ≌△OBD ，即可得出．
【解答】解：如图所示，过点A 在平面ABC 内作AO ⊥BC ，垂足为点O ，连接OD ．
∵三角形ABC 和三角形DBC 所在平面互相垂直，∴AO ⊥平面BCD ，∴AO ⊥OD ． ∴∠ADO 是直线AD 与平面BCD 所成的角．
∵AB=BD，∠CBA=∠CBD=，
∴∠ABO=∠DBO ，又OB 公用，
∴△OBA ≌△OBD ，
∴∠BOD=∠
AOB=
∴∠
故选：B ．
． ．OA=OD．
【点评】本题考查了空间线面面面垂直的判定与性质定理、空间角、三角形全等判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．（2017•临沂三模）已知边长为的正方形ABCD 的四个顶点都在球心为O 的球面上，若球O 的体积为36π，则直线OA 与平面ABCD 所成的角的余弦值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】设ABCD 的中心为M ，则∠OAM 为所求角，求出球的半径和正方形的对角线长，在Rt △OAM 中求出cos ∠OAM ．
【解答】解：设正方形ABCD 的中心为M ，连结OM ，OA ，则OM ⊥平面ABCD ， ∴∠OAM 为OA 与平面ABCD 所成的角．
设球的半径为r ，则
∵正方形ABCD 边长为2
∴cos ∠
OAM=
故选：B ．
． =36π，解得r=3，即OA=3， ，∴AM=2，
【点评】本题考查了直线与平面所成角的计算，属于中档题．
5．（2017春•双峰县校级期中）已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】取A 1C 1中点E ，连结B 1E ，则B 1E ⊥A 1C 1，B 1E ⊥AA 1，从而B 1E ⊥平面ACC 1A 1，进而∠B 1AE 是AB 1与侧面ACC 1A 1所成角，由此能出AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值．
【解答】解：取A 1C 1中点E ，连结B 1E ，
∵正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，
∴B 1E ⊥A 1C 1，B 1E ⊥AA 1，
又A 1C 1∩AA 1=A1，∴B 1E ⊥平面ACC 1A 1，
∴∠B 1AE 是AB 1与侧面ACC 1A 1所成角，
设正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长为2，
则BE 1
=
∴sin ∠B 1AE=
，AE====． ，
∴AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值为
故选：A ．
．
【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
6．（2017春•岳阳县校级期末）如图，在四面体ABCD 中，AB=1，AD=2
CD=2，∠ABC=∠
DCB=，则二面角A ﹣BC ﹣D 的大小为（ ）
，BC=3，
A ． B ． C ．
与 D．
【分析】
（的夹角是θ二面角A ﹣BC ﹣D 的平面角=π﹣θ
，由=）2，能求出二面角A ﹣BC ﹣D 的平面角．
与的夹角是θ 【解答】解：设二面角A ﹣BC ﹣D 的平面角=π﹣θ，
∵在四面体ABCD 中，AB=1，AD=2
=∴
，BC=3，CD=2，∠ABC=∠DCB=，
+=（+， ）2
=2+2+2+2||•||•cos∠ABC +2||•||•cosθ+2||•||•cos（180°﹣∠BCD ）
∴12=1+9+4+0+2×1×2×cosθ+0
解得cosθ=﹣，∴
θ=°
=． ∴二面角A ﹣BC ﹣D 的平面角为π﹣故选：B ．
【点评】本题考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
7．（2017春•温江区校级期中）如图在一个60°的二面角的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，且AB=AC=1，BD=2，则CD 的长为（ ）
A ．2 B ． C ． D ．1
，两边平方后展开整理，即可求得，则CD 的长可【分析】由
求．
【解答】解：∵
∴
∵∴⊥，
，⊥+2， ， ， +2+2，
cos120°=﹣×1×2=﹣1． ∴
∴||=2， ﹣2×1=4，
故选：A ．
【点评】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（2016春•滨州期末）如图，在四面体P ﹣ABC 中，PA 、AB 、BC 两两垂直，且
AB=，
BC=，则二面角B ﹣AP ﹣C 的大小为（ ）
A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
【分析】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，过B 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B ﹣AP ﹣C 的大小．
【解答】解：∵在四面体P ﹣ABC 中，PA 、AB 、BC 两两垂直，且
AB=，
BC=， ∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，过B 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，
A （，0，0），P （，0，t ），C （0，
=（﹣，，0），
=（0，0，﹣t ），，﹣t ），
设平面PAC 的法向量=（x ，y ，z ）， 则，取x=1，得=（1，
，0），
平面PAB 的法向量=（0，1，0），
设二面角B ﹣AP ﹣C 的平面角为θ，
则cosθ=
∴θ=30°．
∴二面角B ﹣AP ﹣C 的大小为30°．
故选：A ．
=，
【点评】本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时认真审题，注意向量法的合理运用．
9．（2016春•雅安期末）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，平面A 1B 1CD 与平面ABCD 所成二面角为（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】由BC ⊥CD ，CB 1⊥CD ，得到平面A 1B 1CD 与平面ABCD 所成二面角的平面角为∠BCB 1，由此能求出平面A 1B 1CD 与平面ABCD 所成二面角的大小．
【解答】解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，
∵CD ⊥平面BCC 1B 1，
∴BC ⊥CD ，CB 1⊥CD ，
∴平面A 1B 1CD 与平面ABCD 所成二面角的平面角为∠BCB 1，
∵BC=BB1，BC ⊥BB 1，
∴∠BCB 1
=．
． ∴平面A 1B 1CD 与平面ABCD 所成二面角为
故选：C ．
【点评】本题考查二面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
10．（2016秋•温州期中）如图，设线段DA 和平面ABC 所成角为α（0＜α＜二面角D ﹣AB ﹣C 的平面角为β，则（ ）
），
A ．α≤β＜π B ．α≤β≤π﹣α C． D．
【分析】如图所示，图一：过点D 作DO ⊥平面ABC ，垂足为O 点，
连接OA ，过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E 点，连接DE ．则∠OAD 是线段DA 和平面ABC 所成角α（0＜α＜），
∠OED 是二面角D ﹣AB ﹣C 的平面角β，利用直角三角形边角关系即可得出．α＜β＜π﹣α．同理图二中：可得α＜π﹣β，α
【解答】解：如图所示，
图一：过点D 作DO ⊥平面ABC ，垂足为O 点，
连接OA ，过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E 点，连接DE ．
则∠OAD 是线段DA 和平面ABC 所成角α（0＜α＜
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），
∠OED 是二面角D ﹣AB ﹣C 的平面角β，
则tanα=，tanβ=，OA ＞OE ，
∴tanα＜tanβ，可得α＜β，α+β＜π，因此α＜β＜π﹣α．
同理图二中：tanα=，tan （π﹣β）=，
可得α＜π﹣β，α＜β，因此α＜β＜π﹣α．
综上可得：α＜β＜π﹣α．
故选：B ．
【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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