两角和与差的正弦公式的有趣证明
江苏省泰州市朱庄中学 曹开清 225300
一、勾股定理的一个证明与两角和的正弦公式
如图1(a)，在一个边长为a ＋b 的大正方形中，放置了4个两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c 的直角三角形，显然图中小正方形的面积等于c 2．现在我们将图1(a)中的 4 个直角三角形移位，拼成图1(b)，显然图1(b)中两个较小的正方形的面积之和等于a 2＋b 2．因为图1(a)与图1(b)中空白部分的面积相等，所以有 a 2＋
b 2＝c 2，亦即证明了勾股定理．
我觉得这是勾股定理众多证明方法之中，最简单的一个证明了．不仅如此，它其实还有着另外一个用途，并不是每一个人都能发现的．现在将上面两个图“压扁”，成为图2：
如图2(a)，原来的正方形变成了一个平行四边形，它的面积是mnsin(α＋β) ，其中m 、n 分别是相邻两个直角三角形斜边的长度．如图2(b)，原来的两个正方形变成了两个矩形，其
面积之和是msin α·ncos β＋mcos α·nsin β．与上面一样，图2(a)与图2(b)中空白部分的面积相等，所以有mnsin(α＋β) ＝msin α·ncos β＋mcos α·nsin β，化简得sin(α＋β) ＝sin αcos β＋sin αcos β，这就是三角学中最重要的两角和的正弦公式．在这里，勾股定理和两角和的正弦公式竟来自相同的证明方法！
二、无意中导出两角差的正弦公式
邻居有个小孩，一次拿了他的作业本来问我．题目是这样的：如图，AD ⊥BD ，∠ACD ＝α，∠ABD ＝β，BC ＝a ，则AD ＝___________．
a sin α⋅sin β
他的答案是sin(α-β) ，但他的老师给他打了个“×”．我问他是怎么做的？他马上写了起来：
在ΔABC中，BC ＝a ，∠ABC ＝β，∠BAC ＝α―β，根据正弦定理，得
AC a a sin β=即AC =．sin βsin(α-β) ， sin(α-β)
在RtΔACD中，AD =AC ⋅sin α=a sin αsin β ． sin(α-β)
a ．解题过程如下： cot β-cot α我说对啊！他却说老师的正确答案是：AD =
在RtΔABD中，BD =AD ⋅cot β；在RtΔACD中，CD =AD ⋅cot α，
所以(cotβ-cot α) AD =BD -CD =a ，
即AD =a ． cot β-cot α
我看了一下，完全正确．那他的老师为什么说他错呢？我动了一下笔，既然两个答案都正确，那么应该有
a sin αsin βa ， =sin(α-β) cot β-cot α
化简，得
sin(α-β) =sin αcos β-cos αsin β．
我告诉他，他的答案与老师的答案，本质上是一致的，但老师没有发现两者的关系，应该和老师沟通一下．同时，他在不经意中给出了两角差的正弦公式的一个很好的证明，这个公式到高中后会用到．
两角和与差的正弦公式的有趣证明
江苏省泰州市朱庄中学 曹开清 225300
一、勾股定理的一个证明与两角和的正弦公式
如图1(a)，在一个边长为a ＋b 的大正方形中，放置了4个两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c 的直角三角形，显然图中小正方形的面积等于c 2．现在我们将图1(a)中的 4 个直角三角形移位，拼成图1(b)，显然图1(b)中两个较小的正方形的面积之和等于a 2＋b 2．因为图1(a)与图1(b)中空白部分的面积相等，所以有 a 2＋
b 2＝c 2，亦即证明了勾股定理．
我觉得这是勾股定理众多证明方法之中，最简单的一个证明了．不仅如此，它其实还有着另外一个用途，并不是每一个人都能发现的．现在将上面两个图“压扁”，成为图2：
如图2(a)，原来的正方形变成了一个平行四边形，它的面积是mnsin(α＋β) ，其中m 、n 分别是相邻两个直角三角形斜边的长度．如图2(b)，原来的两个正方形变成了两个矩形，其
面积之和是msin α·ncos β＋mcos α·nsin β．与上面一样，图2(a)与图2(b)中空白部分的面积相等，所以有mnsin(α＋β) ＝msin α·ncos β＋mcos α·nsin β，化简得sin(α＋β) ＝sin αcos β＋sin αcos β，这就是三角学中最重要的两角和的正弦公式．在这里，勾股定理和两角和的正弦公式竟来自相同的证明方法！
二、无意中导出两角差的正弦公式
邻居有个小孩，一次拿了他的作业本来问我．题目是这样的：如图，AD ⊥BD ，∠ACD ＝α，∠ABD ＝β，BC ＝a ，则AD ＝___________．
a sin α⋅sin β
他的答案是sin(α-β) ，但他的老师给他打了个“×”．我问他是怎么做的？他马上写了起来：
在ΔABC中，BC ＝a ，∠ABC ＝β，∠BAC ＝α―β，根据正弦定理，得
AC a a sin β=即AC =．sin βsin(α-β) ， sin(α-β)
在RtΔACD中，AD =AC ⋅sin α=a sin αsin β ． sin(α-β)
a ．解题过程如下： cot β-cot α我说对啊！他却说老师的正确答案是：AD =
在RtΔABD中，BD =AD ⋅cot β；在RtΔACD中，CD =AD ⋅cot α，
所以(cotβ-cot α) AD =BD -CD =a ，
即AD =a ． cot β-cot α
我看了一下，完全正确．那他的老师为什么说他错呢？我动了一下笔，既然两个答案都正确，那么应该有
a sin αsin βa ， =sin(α-β) cot β-cot α
化简，得
sin(α-β) =sin αcos β-cos αsin β．
我告诉他，他的答案与老师的答案，本质上是一致的，但老师没有发现两者的关系，应该和老师沟通一下．同时，他在不经意中给出了两角差的正弦公式的一个很好的证明，这个公式到高中后会用到．