因为:::::::::::::::::::::::::
我来证一个:
首先分割的概念:假设有理数分为A,B两类,每类非空,且每一个有理数必属且仅属于一类。属于下类A的每一个数小于属于上类B的每一个数,这样的分类法称分割。
若A类有最大数,或B类有最小数,则分割A/B确定一个有理数。否则确定一个无理数。
有了这个概念,我们看:
做出确定1的分割:一切有理数b>1归入B类,一切有理数a
我们有两个1,所以分割后将另一个的分割记作A'/B'
根据加法定义:满足a+a'
(对任意a属于A,b属于B....)
的唯一实数c就是1+1
因此我们须证恒有 (a+a')^2 4
若a+a' > 0 (小于则显然成立)
则a与a'至少一个为正,从而a^2a'^2
知aa'
从而 (a+a')^2 = a^2 +a'^2+2aa'
同理可得 (b+b')^2 > 4
于是 a+a'
这个唯一的数就是2
于是可知1+1=2
还有一种方法
证明:(1+1/k)^(k+1)是单调递减的数列,而显然它的极限也是e.假设存在l>0使得(1+1/l)^(l+1)l都有(1+1/k)^(k+1)
或
皮亚诺公理,也称皮亚诺公设,是数学家皮亚诺(皮阿罗)提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统,也称皮亚诺算术系统。
皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下:
①1是自然数;
②每一个确定的自然数 a,都有一个确定的后继数a' ,a' 也是自然数(一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数,例如,1的后继数是2,2的后继数是3等等);
③如果b、c都是自然数a的后继数,那么b = c;
④1不是任何自然数的后继数;
⑤任意关于自然数的命题,如果证明了它对自然数1是对的,又假定它对自然数n为真时,可以证明它对n' 也真,那么,命题对所有自然数都真。(这条公理也叫归纳公设,保证了数学归纳法的正确性)
若将0也视作自然数,则公理中的1要换成0。
更正式的定义如下:
一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f):
X是一个集合,x为X中一个元素,f是X到自身的映射
x不在f的值域内.
f为一个单射.
若 并满足:
x∈A 且
若 a∈A, 则f(a)∈A
则A=X.
该公理与由皮阿罗公理引出的关于自然数集合的基本假设:
1.N(自然数集)不是空集
2.N到N内存在a→a直接后继元素的一一映射
3.后继元素映射像的集合
是N的真子集
4.若P任意子集既含有非后继元素的元素,又有含有子集中每个元素的后继元素,则此子集与N重合.
能用来论证许多平时常见又不知其来源的定理!
例如:其中第四个假设即为应用极其广泛的归纳法第一原理(数学归纳法)的理论依据.
证明:
1+1的后继数是1的后继数的后继数,即3
2的后继数是3
根据皮亚诺公理④
可得:1+1=2
因为:::::::::::::::::::::::::
我来证一个:
首先分割的概念:假设有理数分为A,B两类,每类非空,且每一个有理数必属且仅属于一类。属于下类A的每一个数小于属于上类B的每一个数,这样的分类法称分割。
若A类有最大数,或B类有最小数,则分割A/B确定一个有理数。否则确定一个无理数。
有了这个概念,我们看:
做出确定1的分割:一切有理数b>1归入B类,一切有理数a
我们有两个1,所以分割后将另一个的分割记作A'/B'
根据加法定义:满足a+a'
(对任意a属于A,b属于B....)
的唯一实数c就是1+1
因此我们须证恒有 (a+a')^2 4
若a+a' > 0 (小于则显然成立)
则a与a'至少一个为正,从而a^2a'^2
知aa'
从而 (a+a')^2 = a^2 +a'^2+2aa'
同理可得 (b+b')^2 > 4
于是 a+a'
这个唯一的数就是2
于是可知1+1=2
还有一种方法
证明:(1+1/k)^(k+1)是单调递减的数列,而显然它的极限也是e.假设存在l>0使得(1+1/l)^(l+1)l都有(1+1/k)^(k+1)
或
皮亚诺公理,也称皮亚诺公设,是数学家皮亚诺(皮阿罗)提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统,也称皮亚诺算术系统。
皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下:
①1是自然数;
②每一个确定的自然数 a,都有一个确定的后继数a' ,a' 也是自然数(一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数,例如,1的后继数是2,2的后继数是3等等);
③如果b、c都是自然数a的后继数,那么b = c;
④1不是任何自然数的后继数;
⑤任意关于自然数的命题,如果证明了它对自然数1是对的,又假定它对自然数n为真时,可以证明它对n' 也真,那么,命题对所有自然数都真。(这条公理也叫归纳公设,保证了数学归纳法的正确性)
若将0也视作自然数,则公理中的1要换成0。
更正式的定义如下:
一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f):
X是一个集合,x为X中一个元素,f是X到自身的映射
x不在f的值域内.
f为一个单射.
若 并满足:
x∈A 且
若 a∈A, 则f(a)∈A
则A=X.
该公理与由皮阿罗公理引出的关于自然数集合的基本假设:
1.N(自然数集)不是空集
2.N到N内存在a→a直接后继元素的一一映射
3.后继元素映射像的集合
是N的真子集
4.若P任意子集既含有非后继元素的元素,又有含有子集中每个元素的后继元素,则此子集与N重合.
能用来论证许多平时常见又不知其来源的定理!
例如:其中第四个假设即为应用极其广泛的归纳法第一原理(数学归纳法)的理论依据.
证明:
1+1的后继数是1的后继数的后继数,即3
2的后继数是3
根据皮亚诺公理④
可得:1+1=2