机器视觉图像预处理之线性滤波器 图像常被强度随机信号(也称为噪声) 所污染. 一些常见的噪声有椒盐(Salt & Pepper) 噪声、脉冲噪声、高斯噪声等. 椒盐噪声含有随机出现的黑白亮度值. 而脉冲噪声则只含有随机的白强度值(正脉冲噪声) 或黑强度值(负脉冲噪声). 与前两者不同，高斯噪声含有亮度服从高斯或正态分布的噪声(如图5.4所示）. 高斯噪声是许多传感器噪声的很好模型， 例如摄像机的电子干扰噪声。
线性平滑滤波器去除高斯噪声的效果很好，且在大多数情况下，对其它类型的噪声也
有很好的效果. 线性滤波器使用连续窗函数内象素加权和来实现滤波. 特別典型的是，同一模式的权重因子可以作用在每一个窗口内，也就意味着线性滤波器是空间不变的，这样就可以使用卷积模板来实现滤波. 如果图像的不同部分使用不同的滤波权重因子，且仍然可以用滤波器完成加权运算，那么线性滤波器就是空间可变的. 任何不是象素加权运算的滤波器都属于非线性滤波器. 非线性滤波器也可以是空间不变的，也就是说，在图像的任何位置上可以进行相同的运算而不考虑图像位置或空间的变化.5.4节中所提出的中值滤波器就是空间不变的非线性滤波器. 下面主要介绍两种线性滤波器，均值滤波器和高斯滤波器。
5.3.1均值滤波器
最简单的线性滤波器是局部均值运算，即每一个象素值用其局部邻域内所有值的均值置换
其中，M 是邻域N 内的象素点总数. 例如，在象素点[i，j]处取3×3邻域，得到
该方程与方程(5.6)对比，对于卷积模板中的每一点[i，j],有g [i，j]= 1/9,那么方程(5.6) 就退化成方程(5.10)所示的局部均值运算. 这一结果表明，均值滤波器可以通过卷积模板的
等权值卷积运算来实现（见图5.5). 实际上，许多图像处理运算都可以通过卷积来实现，
邻域N 的大小控制着滤波程度，对应大卷积模板的大尺度邻域会加大滤波程度. 作为去除大噪声的代价，大尺度滤波器也会导致图像细节的损失. 不同尺度下均值滤波的结果见图
5.6.
在设计线性平滑滤波器时，选择滤波权值应使得滤波器只有一个峰值，称之为主瓣，
并且在水平和垂直方向上是对称的. 一个典型的3×3平滑滤波器的权值模板如下:
线性平滑滤波器去除了高频成分和图像中的锐化细节，例如：会把阶跃变化平滑成渐近变化，从而牺牲了精确定位的能力。空间可变滤波器能调节权值，使得在相对比较均匀的图像区域上加大平滑量，而在尖锐变化的图像区域上减小平滑量。
5.3.2 高斯平滑滤波器
高斯平滑滤波器是一类根据高斯函数的形状来选择权值的线性平滑滤波器，高斯平滑滤波器对去除服从正态分布的噪声是很有效的，一维零均值高斯函数为
其中，高斯分布参数a 决定了高斯滤波器的宽度，对图像处理来说，常用二维零均值离散高斯函数作平滑滤波器，这种函数的图形如图5.7所示，函数表达式为
高斯函数具有五个重要的性质，这些性质使得它在早期图像处理中特别有用，这些性质表明，高斯平滑滤波器无论在空间域还是在频率域都是十分有效的低通滤波器，且在实际图像处理中得到了工程人员的有效使用。高斯函数具有五个十分重要的性质，它们是： ①二维高斯函数具有旋转对称性，即滤波器在各个方向上的平滑程度是相同的，一般来说，一幅图像的边缘方向是事先不知道的，因此，在滤波前是无法确定一个方向上比另一方向上需要更多的平滑，旋转对称性意味着高斯平滑滤波器在后续边缘检测中不会偏向任一方向。
②髙斯函数是单值函数. 这表明，高斯滤波器用象素邻域的加权均值来代替该点的象素值，而每一邻域象素点权值是随该点与中心点的距离单调增减的. 这一性质是很重要的，因为边缘是一种图像局部特征，如果平滑运算对离算子中心很远的象素点仍然有很大作用，则平滑运算会使图像失真。
③离斯函数的傅里叶变换频谱是单瓣的. 正如下面所示，这一性质是髙斯函数傅里叶变换等于髙斯函数本身这一事实的直接推论. 图像常被不希望的髙频信号所污染(噪声和细纹理）. 而所希望的图像特征(如边缘), 既含有低频分量，又含有高频分量. 髙斯函数傅里叶变换的单瓣意味着平滑图像不会被不需要的高频信号所污染，同时保留了大部分所需信号。
④离斯滤波器宽度(决定着平滑程度）是由参数a 表征的，而且和平滑程度的关系是非常简单的，a 越大，髙斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好. 通过调节平滑程度参数a ；，可在图像特征过分模糊(过平滑）与平滑图像中由于噪声和细纹理所引起的过多的不希望突变量(欠平滑) 之间取得折衷。
⑤由于髙斯函数的可分离性，大离斯滤波器可以得以有效地实现. 二维高斯函数卷积可以分两步来进行，首先将图像与一维离斯函数进行卷积, 然后将卷积结果与方向垂直的相同一维髙斯函数卷积. 因此, 二维高斯滤波的计算量随滤波模板宽度成线性增长而不是成平方增长。 下面详细解释这些性质.
1. 旋转对称性
把高斯函数从直角坐标变换到极坐标，则可以清楚地看到高斯函数的旋转对称特性. 二维高斯函数为
它不依赖于极角θ自然也就旋转对称了. 如果要求在某一特定的方向上加大平滑量，则 应用旋转非对称高斯函数也是可能的. 旋转非对称髙斯函数的表达式[Wozencraft 1965], 它们被用于通讯频道的概率统计分析中。
2. 傅里叶变换性质
高斯函数有一个十分有趣的性质，即它的傅里叶变换也是一个髙斯函数. 由于髙斯函 数的傅里叶变换是一个实函数，所以其傅里叶变换前后的幅值不一样，髙斯函数的傅里叶变换通过下式计算
高斯函数是偶函数，而正弦函数是奇函数，因此第二个积分式的值必然等于零，从而
整个傅里叶变换可简化为
空间域频率参数为ω，髙斯函数在频率域内的散布由v 控制,v 是空间域散布参数a 的倒数. 这表明，髙斯函数在空间域越窄，则在频率域里的频谱越宽，反之亦然. 这一性质和髙斯滤
波器的抑制噪声能力有关. 窄带空间域髙斯函数的平滑能力较低，因为在频率域内其频带较宽，能通过更多的高频噪声和细纹理信号. 随着高斯函数在空间域的宽度增加，高斯函数的平滑能力也增强了. 也就是说，在频率域内，高斯函数越窄，通过高频噪声和细纹理信号就越少. 图5.8所示的是不同散布参数a 对图像噪声的抑制程度和平滑程度，高斯函数在空间域的宽度与在频率域的频谱宽度之间的简单关系有利于高斯滤波器在实际设计中的应用. 高斯函数傅里叶变换的对偶性也解释了为什么空间域单瓣特性在频率域内也成立。
3. 高斯函数的可分离性
髙斯函数的可分离性很容易表示为
花括弧里的和式是输人图像f[i，j]与一维水平高斯函数的卷积. 这一和式的结果是一个二维图像，该图像在水平方向上被模糊化. 将该图像作为输人与相同的一维垂直髙斯函数进行卷积，使得图像在垂直方向上也被模糊化. 由于卷积是服从结合律和交换律的，因此卷积次序可以颠倒，即可以先进行垂直卷积, 将其结果作为输人再进行水平卷积. 图
5.9
是高斯函数卷积可分离性示意图。
这一方法可采用两个水平卷积模板来组合完成. 首先将输入f[i，j]与一个水平髙斯 函数进行卷积，并将其结果进行转置存人一个临时数组，然后将临时数组作为输入，与相同的高斯函数进行卷积，以实现由水平卷积代替垂直卷积的目的. 第二次卷积后的输出信息再一次进行转置，就得到了最终的平滑输出图像. 分离卷积的结果如图5.10所示.
4. 级联高斯函数
与高斯函数有关的一个性质是高斯函数与其自身的卷积会产生一个与a 成比例的高斯函数，该性质在一维情况下很容易地表达出来具有散布参数为a 的两个髙斯函数的
5. 离斯滤波器设计
高斯函数的最佳逼近由二项式展开的系数决定：
换句话说, 用杨辉三角形（也称Pascal 三角形）的第n 行作为髙斯滤波器的一个具有n 个点的一维逼近，例如，五点通近为
它们对应于杨辉三角形的第5行. 这一摸板被用来在水平方向上平滑图像. 在高斯函数可分离性性质中曾指出，二维髙斯滤波器能用两个一维高斯滤波器逐次卷积来实现，一个沿水平方向，一个沿垂直方向. 实际中, 这种运算可以通过使用单个一维高斯模板，对两次卷积之间的图像和最后卷积的结果图像进行转置来完成。
这一技术在摸板尺寸n 约为10时的滤波效果极好. 对较大的滤波器，二项式展开系数对大多数计算机来说都太多. 但是，任意大的高斯滤波器都能通过重复使用小髙斯滤波器来实现. 高斯滤波器的二项式逼近的可用髙斯函数拟合二项式系数的最小方差来计算。
设计高斯滤波器的另一途径是直接从离散高斯分布中计算模板权值
[Kohl 1992]
为了计算方便，一般希望滤波器权值是整数值. 在阵列的一个角点处取一个值，并选择k 使得该角点处的值为1. 运用上面的例子，我们得到
现在，用k 乘余下的权值，有
这是髙斯滤波器卷积模板的最后结果. 但是，这一模板的权值之和并不等于1. 所以， 在进行卷积的时候，象素点的输出值必须用模板的权值来规范化，以确保图像的均匀灰度区域不受影响. 从上面的例中，有
其中，g[i，j]的权值为所有的整数值. 其它普通滤波器的模板见图5.11.
6. 离散离斯波鼉
髙斯滤波器的采样值或者高斯滤波器的二项式展开系数可以形成离散髙斯滤波器. 当用离散高斯滤波器进行卷积时，其结果是一个更大的髙斯离散滤波器. 若一幅图像用 n ×n 离散高斯滤波器进行平滑，接着再用m X m 离散髙斯滤波器平滑的话，那么平滑结果就和用（n+m-1)×(n +m-1)离散高斯滤波器平滑的结果一样. 换言之，在杨辉三角形中用第n 行和第m 行卷积形成了第n + m-1行。
机器视觉图像预处理之线性滤波器 图像常被强度随机信号(也称为噪声) 所污染. 一些常见的噪声有椒盐(Salt & Pepper) 噪声、脉冲噪声、高斯噪声等. 椒盐噪声含有随机出现的黑白亮度值. 而脉冲噪声则只含有随机的白强度值(正脉冲噪声) 或黑强度值(负脉冲噪声). 与前两者不同，高斯噪声含有亮度服从高斯或正态分布的噪声(如图5.4所示）. 高斯噪声是许多传感器噪声的很好模型， 例如摄像机的电子干扰噪声。
线性平滑滤波器去除高斯噪声的效果很好，且在大多数情况下，对其它类型的噪声也
有很好的效果. 线性滤波器使用连续窗函数内象素加权和来实现滤波. 特別典型的是，同一模式的权重因子可以作用在每一个窗口内，也就意味着线性滤波器是空间不变的，这样就可以使用卷积模板来实现滤波. 如果图像的不同部分使用不同的滤波权重因子，且仍然可以用滤波器完成加权运算，那么线性滤波器就是空间可变的. 任何不是象素加权运算的滤波器都属于非线性滤波器. 非线性滤波器也可以是空间不变的，也就是说，在图像的任何位置上可以进行相同的运算而不考虑图像位置或空间的变化.5.4节中所提出的中值滤波器就是空间不变的非线性滤波器. 下面主要介绍两种线性滤波器，均值滤波器和高斯滤波器。
5.3.1均值滤波器
最简单的线性滤波器是局部均值运算，即每一个象素值用其局部邻域内所有值的均值置换
其中，M 是邻域N 内的象素点总数. 例如，在象素点[i，j]处取3×3邻域，得到
该方程与方程(5.6)对比，对于卷积模板中的每一点[i，j],有g [i，j]= 1/9,那么方程(5.6) 就退化成方程(5.10)所示的局部均值运算. 这一结果表明，均值滤波器可以通过卷积模板的
等权值卷积运算来实现（见图5.5). 实际上，许多图像处理运算都可以通过卷积来实现，
邻域N 的大小控制着滤波程度，对应大卷积模板的大尺度邻域会加大滤波程度. 作为去除大噪声的代价，大尺度滤波器也会导致图像细节的损失. 不同尺度下均值滤波的结果见图
5.6.
在设计线性平滑滤波器时，选择滤波权值应使得滤波器只有一个峰值，称之为主瓣，
并且在水平和垂直方向上是对称的. 一个典型的3×3平滑滤波器的权值模板如下:
线性平滑滤波器去除了高频成分和图像中的锐化细节，例如：会把阶跃变化平滑成渐近变化，从而牺牲了精确定位的能力。空间可变滤波器能调节权值，使得在相对比较均匀的图像区域上加大平滑量，而在尖锐变化的图像区域上减小平滑量。
5.3.2 高斯平滑滤波器
高斯平滑滤波器是一类根据高斯函数的形状来选择权值的线性平滑滤波器，高斯平滑滤波器对去除服从正态分布的噪声是很有效的，一维零均值高斯函数为
其中，高斯分布参数a 决定了高斯滤波器的宽度，对图像处理来说，常用二维零均值离散高斯函数作平滑滤波器，这种函数的图形如图5.7所示，函数表达式为
高斯函数具有五个重要的性质，这些性质使得它在早期图像处理中特别有用，这些性质表明，高斯平滑滤波器无论在空间域还是在频率域都是十分有效的低通滤波器，且在实际图像处理中得到了工程人员的有效使用。高斯函数具有五个十分重要的性质，它们是： ①二维高斯函数具有旋转对称性，即滤波器在各个方向上的平滑程度是相同的，一般来说，一幅图像的边缘方向是事先不知道的，因此，在滤波前是无法确定一个方向上比另一方向上需要更多的平滑，旋转对称性意味着高斯平滑滤波器在后续边缘检测中不会偏向任一方向。
②髙斯函数是单值函数. 这表明，高斯滤波器用象素邻域的加权均值来代替该点的象素值，而每一邻域象素点权值是随该点与中心点的距离单调增减的. 这一性质是很重要的，因为边缘是一种图像局部特征，如果平滑运算对离算子中心很远的象素点仍然有很大作用，则平滑运算会使图像失真。
③离斯函数的傅里叶变换频谱是单瓣的. 正如下面所示，这一性质是髙斯函数傅里叶变换等于髙斯函数本身这一事实的直接推论. 图像常被不希望的髙频信号所污染(噪声和细纹理）. 而所希望的图像特征(如边缘), 既含有低频分量，又含有高频分量. 髙斯函数傅里叶变换的单瓣意味着平滑图像不会被不需要的高频信号所污染，同时保留了大部分所需信号。
④离斯滤波器宽度(决定着平滑程度）是由参数a 表征的，而且和平滑程度的关系是非常简单的，a 越大，髙斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好. 通过调节平滑程度参数a ；，可在图像特征过分模糊(过平滑）与平滑图像中由于噪声和细纹理所引起的过多的不希望突变量(欠平滑) 之间取得折衷。
⑤由于髙斯函数的可分离性，大离斯滤波器可以得以有效地实现. 二维高斯函数卷积可以分两步来进行，首先将图像与一维离斯函数进行卷积, 然后将卷积结果与方向垂直的相同一维髙斯函数卷积. 因此, 二维高斯滤波的计算量随滤波模板宽度成线性增长而不是成平方增长。 下面详细解释这些性质.
1. 旋转对称性
把高斯函数从直角坐标变换到极坐标，则可以清楚地看到高斯函数的旋转对称特性. 二维高斯函数为
它不依赖于极角θ自然也就旋转对称了. 如果要求在某一特定的方向上加大平滑量，则 应用旋转非对称高斯函数也是可能的. 旋转非对称髙斯函数的表达式[Wozencraft 1965], 它们被用于通讯频道的概率统计分析中。
2. 傅里叶变换性质
高斯函数有一个十分有趣的性质，即它的傅里叶变换也是一个髙斯函数. 由于髙斯函 数的傅里叶变换是一个实函数，所以其傅里叶变换前后的幅值不一样，髙斯函数的傅里叶变换通过下式计算
高斯函数是偶函数，而正弦函数是奇函数，因此第二个积分式的值必然等于零，从而
整个傅里叶变换可简化为
空间域频率参数为ω，髙斯函数在频率域内的散布由v 控制,v 是空间域散布参数a 的倒数. 这表明，髙斯函数在空间域越窄，则在频率域里的频谱越宽，反之亦然. 这一性质和髙斯滤
波器的抑制噪声能力有关. 窄带空间域髙斯函数的平滑能力较低，因为在频率域内其频带较宽，能通过更多的高频噪声和细纹理信号. 随着高斯函数在空间域的宽度增加，高斯函数的平滑能力也增强了. 也就是说，在频率域内，高斯函数越窄，通过高频噪声和细纹理信号就越少. 图5.8所示的是不同散布参数a 对图像噪声的抑制程度和平滑程度，高斯函数在空间域的宽度与在频率域的频谱宽度之间的简单关系有利于高斯滤波器在实际设计中的应用. 高斯函数傅里叶变换的对偶性也解释了为什么空间域单瓣特性在频率域内也成立。
3. 高斯函数的可分离性
髙斯函数的可分离性很容易表示为
花括弧里的和式是输人图像f[i，j]与一维水平高斯函数的卷积. 这一和式的结果是一个二维图像，该图像在水平方向上被模糊化. 将该图像作为输人与相同的一维垂直髙斯函数进行卷积，使得图像在垂直方向上也被模糊化. 由于卷积是服从结合律和交换律的，因此卷积次序可以颠倒，即可以先进行垂直卷积, 将其结果作为输人再进行水平卷积. 图
5.9
是高斯函数卷积可分离性示意图。
这一方法可采用两个水平卷积模板来组合完成. 首先将输入f[i，j]与一个水平髙斯 函数进行卷积，并将其结果进行转置存人一个临时数组，然后将临时数组作为输入，与相同的高斯函数进行卷积，以实现由水平卷积代替垂直卷积的目的. 第二次卷积后的输出信息再一次进行转置，就得到了最终的平滑输出图像. 分离卷积的结果如图5.10所示.
4. 级联高斯函数
与高斯函数有关的一个性质是高斯函数与其自身的卷积会产生一个与a 成比例的高斯函数，该性质在一维情况下很容易地表达出来具有散布参数为a 的两个髙斯函数的
5. 离斯滤波器设计
高斯函数的最佳逼近由二项式展开的系数决定：
换句话说, 用杨辉三角形（也称Pascal 三角形）的第n 行作为髙斯滤波器的一个具有n 个点的一维逼近，例如，五点通近为
它们对应于杨辉三角形的第5行. 这一摸板被用来在水平方向上平滑图像. 在高斯函数可分离性性质中曾指出，二维髙斯滤波器能用两个一维高斯滤波器逐次卷积来实现，一个沿水平方向，一个沿垂直方向. 实际中, 这种运算可以通过使用单个一维高斯模板，对两次卷积之间的图像和最后卷积的结果图像进行转置来完成。
这一技术在摸板尺寸n 约为10时的滤波效果极好. 对较大的滤波器，二项式展开系数对大多数计算机来说都太多. 但是，任意大的高斯滤波器都能通过重复使用小髙斯滤波器来实现. 高斯滤波器的二项式逼近的可用髙斯函数拟合二项式系数的最小方差来计算。
设计高斯滤波器的另一途径是直接从离散高斯分布中计算模板权值
[Kohl 1992]
为了计算方便，一般希望滤波器权值是整数值. 在阵列的一个角点处取一个值，并选择k 使得该角点处的值为1. 运用上面的例子，我们得到
现在，用k 乘余下的权值，有
这是髙斯滤波器卷积模板的最后结果. 但是，这一模板的权值之和并不等于1. 所以， 在进行卷积的时候，象素点的输出值必须用模板的权值来规范化，以确保图像的均匀灰度区域不受影响. 从上面的例中，有
其中，g[i，j]的权值为所有的整数值. 其它普通滤波器的模板见图5.11.
6. 离散离斯波鼉
髙斯滤波器的采样值或者高斯滤波器的二项式展开系数可以形成离散髙斯滤波器. 当用离散高斯滤波器进行卷积时，其结果是一个更大的髙斯离散滤波器. 若一幅图像用 n ×n 离散高斯滤波器进行平滑，接着再用m X m 离散髙斯滤波器平滑的话，那么平滑结果就和用（n+m-1)×(n +m-1)离散高斯滤波器平滑的结果一样. 换言之，在杨辉三角形中用第n 行和第m 行卷积形成了第n + m-1行。