第一课 集合与集合间的关系 一、.2012高考导航--考纲解读 (1)集合的含义与表示
①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．
②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． (2)集合间的基本关系
①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． ②在具体情境中，了解全集与空集的含义． (3)集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． ③能使用Venn图描述集合间的关系及运算． 二、知识点解读 1．集合与元素
(1)集合中元素的特性：________、________、________． (2)集合与元素的关系
①a属于集合A，用符号语言记作______. ②a不属于集合A，用符号语言记作______.
(4)集合的表示法：_______、________、Venn图法．
注：1.Φ与{0}、{Φ}的关系。
2.给定集合的子集个数
如：集合{0,1}的子集有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、考点解读
1.集合的基本概念
解决集合概念相关问题常用到集合元素的互异性，一可以作为解题的依据和突破口解决问题，二可以检验所求结果是否正确． 例1
(2011年广州质检)设a，b∈R，集合{a，
b22011 ＋b2011的值． a1}＝{a，a＋b,0}，求a
练习：
1．若以正实数x，y，z，w四个元素构成集合A，以A中四个元素为边长构成的四边形可能是( )
A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
2．集合A＝{一条边长为1，一个角为40°的等腰三角形}中有元素( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
2.集合间的基本关系
研究两个集合之间的关系时，应该从分析构成集合的元素入手．因为不同集合之间的关系，可以以元素为桥梁找到它们之间的联系．
处理这类问题时，要注意融汇其他知识，充分借助于Venn图或数轴的直观性来发现它们之间的包含关系，往往是解题的突破口． 例
2
练习：3．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是( ) A．a≥2 B．a≤1 C．a≥1 D．a≤2
3利用集合间的关系求参数
.利用集合相等或者包含关系，可待定集合中的字母参数
例3.(2011年汕尾调研)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1
变式：本例中，若将“B⊆A”改为“A⊆B”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？
四、综合训练
1.设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={ab|aP,bQ}，若P{0,2,5}，Q{1,2,6}，则P+Q中元素的有________个。
2.非空集合S{1,2,3,4,5}，且满足“若aS，则6aS”，这样的S共有_____个
3.．a，a，b，b，a2，b2构成集合M，则M中的元素最多有( ) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
4．设集合A只含一个元素a，则下列各式正确的是( ) A．0∈A B．a∉A C．a∈A D．a＝A 5．如果A＝{x|x>－1}，那么( ) A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A
6．已知集合A＝{x|－1B B．AB C．BA D．A⊆B
7．已知集合P＝{x|2＜x＜a，x∈N}，且集合P中恰有3个元素，则整数a＝________.
y
8．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|＝1}，则A、B间的关系为________．
x
9．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若A中元素至多只有一个，求实数a的取值范围．
10．下列关系式中正确的是( ) A．∅＝{0} C．0∈∅
B．∅∈{0} D．∅{0} |a||b|
11．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则＋的可能取值组成的集合中元素的个数为
ab
________．
12．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且BA，求实数m的值．
附：练习题答案详解 1. 答案：8 2. 答案：7
3.解析：选C.由集合元素的互异性，知集合中的元素最多为a，b，a2，b2，且4个元素互不相等． 4.答案：C
5.解析：选D.A、B、C的关系符号是错误的
6.解析：选C.利用数轴(图略)可看出x∈B⇒x∈A，但x∈A⇒x∈B不成立． 7.解析：x＝3,4,5.∴a＝6.答案：6
8.解析：在A中，(0,0)∈A，而(0,0)∉B，故BA.答案：BA
2
9.解：①a＝0时，原方程为－3x＋2＝0，x＝，符合题意．
3
2
②a≠0时，方程ax－3x＋2＝0为一元二次方程．
9
由Δ＝9－8a≤0，得a.
8
9
∴当a≥时，方程ax2－3x＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根．
8
9
综合①②，知a＝0或a≥.
8
10.解析：选D.∅不含任何元素，由空集性质可得D.
|a||b|
11解析：当a>0，b>0时，＋＝2；
ab
|a||b|
当a·b
ab
|a||b|
当a
ab
所以集合中的元素为2,0，－2.即元素的个数为3. 答案：3
12.解：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}． ∵BA，∴mx＋1＝0的解为－3或2或无解． 当mx＋1＝0的解为－3时，
1
由m·(－3)＋1＝0，得m＝；
3
当mx＋1＝0的解为2时，
1
由m·2＋1＝0，得m
2
当mx＋1＝0无解时，m＝0.
11
综上所述，m＝或m＝－m＝0.
32
第一课 集合与集合间的关系 一、.2012高考导航--考纲解读 (1)集合的含义与表示
①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．
②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． (2)集合间的基本关系
①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． ②在具体情境中，了解全集与空集的含义． (3)集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． ③能使用Venn图描述集合间的关系及运算． 二、知识点解读 1．集合与元素
(1)集合中元素的特性：________、________、________． (2)集合与元素的关系
①a属于集合A，用符号语言记作______. ②a不属于集合A，用符号语言记作______.
(4)集合的表示法：_______、________、Venn图法．
注：1.Φ与{0}、{Φ}的关系。
2.给定集合的子集个数
如：集合{0,1}的子集有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、考点解读
1.集合的基本概念
解决集合概念相关问题常用到集合元素的互异性，一可以作为解题的依据和突破口解决问题，二可以检验所求结果是否正确． 例1
(2011年广州质检)设a，b∈R，集合{a，
b22011 ＋b2011的值． a1}＝{a，a＋b,0}，求a
练习：
1．若以正实数x，y，z，w四个元素构成集合A，以A中四个元素为边长构成的四边形可能是( )
A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
2．集合A＝{一条边长为1，一个角为40°的等腰三角形}中有元素( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
2.集合间的基本关系
研究两个集合之间的关系时，应该从分析构成集合的元素入手．因为不同集合之间的关系，可以以元素为桥梁找到它们之间的联系．
处理这类问题时，要注意融汇其他知识，充分借助于Venn图或数轴的直观性来发现它们之间的包含关系，往往是解题的突破口． 例
2
练习：3．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是( ) A．a≥2 B．a≤1 C．a≥1 D．a≤2
3利用集合间的关系求参数
.利用集合相等或者包含关系，可待定集合中的字母参数
例3.(2011年汕尾调研)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1
变式：本例中，若将“B⊆A”改为“A⊆B”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？
四、综合训练
1.设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={ab|aP,bQ}，若P{0,2,5}，Q{1,2,6}，则P+Q中元素的有________个。
2.非空集合S{1,2,3,4,5}，且满足“若aS，则6aS”，这样的S共有_____个
3.．a，a，b，b，a2，b2构成集合M，则M中的元素最多有( ) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
4．设集合A只含一个元素a，则下列各式正确的是( ) A．0∈A B．a∉A C．a∈A D．a＝A 5．如果A＝{x|x>－1}，那么( ) A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A
6．已知集合A＝{x|－1B B．AB C．BA D．A⊆B
7．已知集合P＝{x|2＜x＜a，x∈N}，且集合P中恰有3个元素，则整数a＝________.
y
8．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|＝1}，则A、B间的关系为________．
x
9．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若A中元素至多只有一个，求实数a的取值范围．
10．下列关系式中正确的是( ) A．∅＝{0} C．0∈∅
B．∅∈{0} D．∅{0} |a||b|
11．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则＋的可能取值组成的集合中元素的个数为
ab
________．
12．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且BA，求实数m的值．
附：练习题答案详解 1. 答案：8 2. 答案：7
3.解析：选C.由集合元素的互异性，知集合中的元素最多为a，b，a2，b2，且4个元素互不相等． 4.答案：C
5.解析：选D.A、B、C的关系符号是错误的
6.解析：选C.利用数轴(图略)可看出x∈B⇒x∈A，但x∈A⇒x∈B不成立． 7.解析：x＝3,4,5.∴a＝6.答案：6
8.解析：在A中，(0,0)∈A，而(0,0)∉B，故BA.答案：BA
2
9.解：①a＝0时，原方程为－3x＋2＝0，x＝，符合题意．
3
2
②a≠0时，方程ax－3x＋2＝0为一元二次方程．
9
由Δ＝9－8a≤0，得a.
8
9
∴当a≥时，方程ax2－3x＋2＝0无实数根或有两个相等的实数根．
8
9
综合①②，知a＝0或a≥.
8
10.解析：选D.∅不含任何元素，由空集性质可得D.
|a||b|
11解析：当a>0，b>0时，＋＝2；
ab
|a||b|
当a·b
ab
|a||b|
当a
ab
所以集合中的元素为2,0，－2.即元素的个数为3. 答案：3
12.解：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}． ∵BA，∴mx＋1＝0的解为－3或2或无解． 当mx＋1＝0的解为－3时，
1
由m·(－3)＋1＝0，得m＝；
3
当mx＋1＝0的解为2时，
1
由m·2＋1＝0，得m
2
当mx＋1＝0无解时，m＝0.
11
综上所述，m＝或m＝－m＝0.
32