第49课 简单的超越不等式
●考试目标 主词填空
1. 指数不等式
通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.
a >1时, a f (x ) >a g (x ) ⇔ f (x g (x );
0a g (x ) ⇔f (x g (x ).
2. 对数不等式
通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.
a >1时,lo g a f (x )>log a g (x ⇔f (x g (x 0log a g (x ) ⇔f (x g (x ).
3. 三角不等式
①形如:sinx ≥a ,sin x ≤b 及a ≤sin x ≤b 的不等式, 除了使用单位圆求解之外，还可以用“图像法”求解，两者比较，“图像法”易于操作，操作程序如下：
在同一坐标系中同时作出两个函数y 1=sinx (0≤x ≤2π) 及y 2=a (或b )(0≤x ≤2π) 图，得出满足x ∈［0,2π. ②形如:cosx ≥a ,cos x ≤b 及a ≤cos x ≤b 的不等式，除了使用单位圆求解之外， 还可以用“图像法”求解，两者比较，“图像法”易于掌握，求解程序如下： 在同一坐标系中同时作出两个函y 1=cosx -3⎫⎛π≤x ≤π⎪及y 2=a (或y 3=b ), 2⎭⎝2
3⎫3⎫⎛π⎛π -≤x ≤π⎪ 的图像，先得出满足条件x ∈ -≤x ≤π⎪ 的不等式的解，然后利2⎭2⎭⎝2⎝2
用函数的周期性得出原不等式的解.
③形如:tanx ≥a ,tan x ≤b 及a ≤tan x ≤b 的不等式, 有直接的结论可用:
tan x ≥a 的解集是:⎢k π+arctan a , k π+⎡
⎣π⎫, k ∈Z ⎪ . 2⎭
tan x ≤b 的解集是: k π-⎛
⎝π⎤, k π+arctan a ⎥, k ∈Z . 2⎦
a ≤tan x ≤b 的解集是:
●题型示例 点津归纳
【例1】 解下列对数、指数不等式:
(1)9x -3x -2
(2)(log 23x ) 2+(log 23x )-2≥0;
(3)2x ·lo g 2x +2x -lo g 2x -1
【解前点津】 (1)视3x 为新变量，可因式分解,(2)视lo g 23x 为新变量对象，同样可因式分解，
(3)分组分解因式，讨论求解.
【规范解答】 (1)化原不等式为:(3x +1)·(3x -2)0恒成立, 故原不等式可化为: 3x -2
(2)化原不等式为:(log 23x -1) ·(log 23x +2)≥0⇒lo g 23x ≥1或lo g 23x ≤-2
⇒ log 23x ≥lo g 22或lo g 23x ≤lo g 2
故原不等式的解集为: 0, 11⇒3x ≥2或0
(3)分组得:(2x ·lo g 2x +2x )-(log 2x +1)
⎧x >0⎧x 0⎧2x -1⎩log 2x +10⎪⎪22⎩⎩
故原不等式解集为 0, ⎪.
【解后归纳】视3x 及lo g 23x 为新变量，是整体代换的换元思想，通过“换元”，将超越不等式转化为一元二次不等式，通过因式分解，化简了超越不等式，回归到指数不等式，对数不等式的“原始模型”，最后得出原不等式的解.
【例2】 解下列三角不等式
(1)sin2x >⎛⎝1⎫2⎭1; (2)cosx ≤-; 22
1π2≤sin(3x -) ≤. 262(3)tan2004x ≥-1; (4)-
【解前点津】 利用基本函数y =sint . y =cosx 的图像求解.
【规范解答】 (1)令2x =t , 则sin t >
y 1=sint (0≤t ≤2π) 及y 2=1, 在同一坐标系中作函数 21(0≤t ≤2π) 的图像, 容易算出两函 2
π5数图像交点的横坐标分别是与π. 66
π5故当t ∈［0,2π］时, 有:
π5π5从而当t ∈R 时有2k π+
π5
(2)在同一坐标系中作函数y 1=cosx 在⎢-⎡π3⎤, π⎥ 22⎦⎣
的图像, 及函数y 2=-⎛π3⎫ -≤x ≤π⎪的图像
. 2⎝22⎭
当cos x =-57π3时, x =π及π. , 且-≤x ≤π 66222
故当-1357π≤x ≤π时,cos x ≤-的解为: π≤x ≤π⇒原不等式的解为 22662
57π≤x ≤2k π+π, k ∈Z . 66
11111(3)当tan2004x =-1且-π
k ππk ππ-≤x
1 (4)令t =3x -π, 在同一坐标系中, 作如下三个函数的图像: 62k π+
y 1=sint , y 2=-12, y 3=, 当t ∈［0,2π］时, 可算出交点A 、B 、 22
C 、D 的横坐标依次为: π3711, π, π, π. 4466
因夹在两平行直线间的曲线有如下几段:
⎡π⎤⎡37⎤⎡11⎤ 0, , π, π, π, 2π⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣4⎦⎣46⎦⎣6⎦
711π或π≤t ≤2π 66
11317得在R 上x 满足:2k π≤3x -π≤2k π+π, 或2k π+π≤3x -π≤2k π+π, 64466
111或2k π+π≤3x -π≤2k π+2π. 66故由0≤t ≤π或π≤t ≤
故原不等式解集为: 1434
π25⎤⎡21124⎤⎡22213⎤⎡2k π+, k π+π k π+π, k π+π k π+π, k π+π⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢[**************]8⎣⎦⎣⎦⎣⎦
(k ∈Z ).
【解后归纳】 利用图像法解三角不等式，关键是利用了函数的周期性，先在一个周期内确定不等式的解, 然后得出原不等式的整个解集，这叫做“化难为易”.
【例3】 求下列函数的定义域:
(1)y =-sin 2x -cos 2x ; (2)y =-tan x . 1+tan x
【解前点津】 先列出不等式，再化简不等式，最后求解不等式.
【规范解答】 (1)由1-sin2x -cos2x ≥0得 sin2x +cos2x ≤1⇒π⎫⎛2sin 2x
+⎪≤1⇒ 4⎭⎝
sin(2x +1122π) ≤, 令t =2x +π, 得sin t ≤. 4422
132得, t =π及π. 442
12得:0≤t ≤π 42当t ∈［0,2π］时, 由sin t =故当t ∈［0,2π］时, 由sin t ≤
311π≤t ≤2π⇒2k π≤2x +π≤2k π+π或 444
31:2k π+π≤2x +π≤2k π+2π，解之: 44
117k π-π≤x ≤k π或k π+π≤x ≤k π+π(k ∈Z ). 848或
(2)由1-tan x π⎫⎛π⎫⎛≥0, 得tan -x ⎪≥0, 即tan x -⎪≤0 1+tan x 4⎭⎝4⎭⎝
1111⇒k π-π
【解后归纳】 对结构稍复杂一点的三角不等式，常利用有关公式先进行化简，使之与三角不等式的基本模型对号，最后利用图像法解三角不等式. 对那些更复杂，甚至不能转化为基本不等式者，读者不必去深究!
【例4】 解关于x 的不等式:log 2(4-a x )-lo g 4(a x -1) ≤1 (a >0,a ≠1).
【解前点津】 令t =a x , 先转化为关于t 的不等式，再将底数化为相同，从而去掉对数符号.
【规范解答】 令t =a x , 则t >0,原不等式为:log2(4-t )-log 4(t -1) ≤1, 由对数性质得4-t >0且t -1>0从而:1
又由log 4(4-x ) 2-log 4(t -1) ≤1得:log4(t -4) 2≤log 44(t -1) ⇒t 2-12t +20≤0⇒2≤t ≤10,
故［2,10］∩(1,4)=［2,4］即2≤t
当a >1时, 原不等式解集为:［log a 2,2log a 2);
当0
【解后归纳】 本题综合使用了换元法，同底法，其目的，就是将原不等式转化为指数不等式(或对数不等式) 的基本模型，然后求解.
●对应训练 分阶提升
一、基础夯实
1. 不等式11+>2的解集是 ( ) 1+lg x 1-lg x
A.(111,1) ∪(1,10) B.(,1) ∪(2,10) C.(, 10) D.(1,+∞) 101010
x 2-2ax ⎛1⎫2. 已知不等式 ⎪⎝2⎭
) 2
A. a >3333 B. a 3. 不等式 ⎪⎛1⎫
⎝3⎭x 2-8>3-2x 解集是 ( )
A.(2,4) B.(-2,4) C.(-4,2) D.(-4,-2)
4. 不等式lg(x 2+2x +2)
A.(2,4) B.(-2,4) C.(-4,2) D.(-4,-2)
π), 则不等式:logsin α(1-x )>2的解集是 ( ) 2
1 A.(-1,sin2α) B.(cos2α, ) C.(-1,cos2α) D.(cos2α,1) 25. 若α∈(0,
6. 设A ={x |5-2x >lg(x -1)},B ={x |-2x ≤lg(x -1)},则A ∪B 等于 ( )
A. R B.(1,+∞) C.(1,
7. 不等式log x 55) D.(1, ) 222
2222 A.(0, ) B.(,+∞) C.( , 1) D.(0, ) ∪(1,+∞) 3333
8. 不等式1
log (x -1) 4-1>0的解集为 ( ) log 5-x 4
1) 范围内恒成立，则实数m 的取值范围是 ( ) 2 A.(3,+∞) B.(1,5) C.(1,4)∪(4,5) D.(3,4)∪(4,5) 9. 若不等式x 2-log m x
A. ⎢⎡1⎫⎛1⎤⎛1⎫⎡1⎫, 1⎪ B. 0, ⎥ C. 0, ⎪ D. ⎢, +∞⎪ ⎣16⎭⎣16⎭⎝16⎦⎝4⎭
二、思维激活
10. 不等式5x -1>5x -3的解集是11. 当0102lg a 的解集为 .
12. 不等式sin x ≤-
13. 不等式tan(x -1的解集为 . 2π) ≥3的解集为. 4
三、能力提高
14. 解下列指数不等式: (1) ⎪⎛1⎫
⎝9⎭5-x 20.
x >3. 15. 解对数不等式:logx 5-2log 5
16. 解关于x 的不等式:4-a x >a x -1(a >0, a ≠1).
17. 解不等式:cos(2x -
第7课 简单的超越不等式习题解答
1.A 换元法, 令y =lgx , 先解出关于y 的分式不等式.
2. A 由原不等式得:3x +a 2>-(x 2-2ax ) 恒成立, 从而知关于x 的不等式x 2+(3-2a ) x +a 2>0恒成立, 由Δ=(3-2a ) 2-4a 2π3) ≤1. 24. 3
3. B 由8-x 2>-2x ⇒x 2-2x -8
4.C 解不等式组0
5.D ∵sin α∈(0,1),∴0
6.D 由5-2x ≥0且x -1>0得1
⎧x >1⎧01或0x ⎪⎩3⎩3
⎧x -1>0⎪⎧log 4(x -1) >log 4(5-x ) ⎪5-x >0⎧35-x
⎪⎩x ≠2且x ≠4
9. A f (x )=x 2在(0,1) 内单调增，欲使x 2
11111∴g (x )=logm x 在(0, ) 内单调减，∴
∴m ≥11, ∴≤m
10. 由原不等式解:(5x -1≥0且5x -3(5x -3) 2) x ∈［0,1］.
11. ∵102lg a =a 2, ∴化原不等式为:x 2+x -88
1711及x ∈［0,2π］得:x =π, π. 266
1711故由x ∈［0,2π］及sin x ≤-得, π≤x ≤π, 从而知原不等式解集为 266
711[2k π+π,2k π+π],k ∈Z. 66
111111713. 由x -π∈(-π, π) 及tan(x -π)=3得:x -π=π, 即x =π. 42244312
73故原不等式的解集为[k π+π, k π+π],k ∈Z. 12412. 由sin x =-
14. (1)原不等式 ⇔ ⎪
式解集为(-1,4).
(2)化原不等式为: ⎛1⎫⎝9⎭5-x 22
⎧x 0⎩2-3+4-3>0⎩2∙(2-1) >0⎩2+2-6>0⇔ 0
15. 由换底公式，得:1-4log 5x -3>0 ① log 5x
11x +3log5x -1
12(1)当x >1时, log 5x >0,①可化为4log 5式的解集为A =(1,+∞) ∩(1, 5)=(1, 55).
11⇒00,解之:log5x
x >5, 此时不等式的解集为B =(0, 1). 5
1) ∪(1,). 5综上所述知原不等式的解集为A ∪B =(0,
16. 令t =a x , 则化原不等式为:4-t >t -1.
⎧4-t ≥0⎧4-t ≥01+⎪或⎨⇒1≤t ≤其等价不等式为:⎨t -1≥0或t (t -1) 2⎩⎩
⇒01+1+; 当0loga . 22
1111≤cos(2x -π) ≤, 令t =2x -π, 解得: 2323当a >1时, x
－11≤cos t ≤在同一坐标系中作下列三个函数的图像: 22
11y 1=cost , y 2=, y 3=-, 它们的交点A 、B 、C 、D 的横坐标 22
ππ2411依次是-, , π, π, 故由2k π-π≤t ≤2k π-π
333323
或2k π+1243π≤t ≤2k π+π或2k π+π≤t ≤2k π+π 3332
111112⇒2k π-π≤2x -π≤2k π-π或2k π+π≤2x -π≤2k π+π或 233333
413⇒2k π+π≤2x -π≤2k π+π. 332
⇒原不等式的解集为: πππ⎤⎡511⎤⎡⎤⎡⇒⎢k π-, k π⎥ ⎢k π+, k π+⎥ ⎢k π+π, k π+π⎥, k ∈Z. ⎣12⎦⎣32⎦⎣612⎦
第49课 简单的超越不等式
●考试目标 主词填空
1. 指数不等式
通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.
a >1时, a f (x ) >a g (x ) ⇔ f (x g (x );
0a g (x ) ⇔f (x g (x ).
2. 对数不等式
通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.
a >1时,lo g a f (x )>log a g (x ⇔f (x g (x 0log a g (x ) ⇔f (x g (x ).
3. 三角不等式
①形如:sinx ≥a ,sin x ≤b 及a ≤sin x ≤b 的不等式, 除了使用单位圆求解之外，还可以用“图像法”求解，两者比较，“图像法”易于操作，操作程序如下：
在同一坐标系中同时作出两个函数y 1=sinx (0≤x ≤2π) 及y 2=a (或b )(0≤x ≤2π) 图，得出满足x ∈［0,2π. ②形如:cosx ≥a ,cos x ≤b 及a ≤cos x ≤b 的不等式，除了使用单位圆求解之外， 还可以用“图像法”求解，两者比较，“图像法”易于掌握，求解程序如下： 在同一坐标系中同时作出两个函y 1=cosx -3⎫⎛π≤x ≤π⎪及y 2=a (或y 3=b ), 2⎭⎝2
3⎫3⎫⎛π⎛π -≤x ≤π⎪ 的图像，先得出满足条件x ∈ -≤x ≤π⎪ 的不等式的解，然后利2⎭2⎭⎝2⎝2
用函数的周期性得出原不等式的解.
③形如:tanx ≥a ,tan x ≤b 及a ≤tan x ≤b 的不等式, 有直接的结论可用:
tan x ≥a 的解集是:⎢k π+arctan a , k π+⎡
⎣π⎫, k ∈Z ⎪ . 2⎭
tan x ≤b 的解集是: k π-⎛
⎝π⎤, k π+arctan a ⎥, k ∈Z . 2⎦
a ≤tan x ≤b 的解集是:
●题型示例 点津归纳
【例1】 解下列对数、指数不等式:
(1)9x -3x -2
(2)(log 23x ) 2+(log 23x )-2≥0;
(3)2x ·lo g 2x +2x -lo g 2x -1
【解前点津】 (1)视3x 为新变量，可因式分解,(2)视lo g 23x 为新变量对象，同样可因式分解，
(3)分组分解因式，讨论求解.
【规范解答】 (1)化原不等式为:(3x +1)·(3x -2)0恒成立, 故原不等式可化为: 3x -2
(2)化原不等式为:(log 23x -1) ·(log 23x +2)≥0⇒lo g 23x ≥1或lo g 23x ≤-2
⇒ log 23x ≥lo g 22或lo g 23x ≤lo g 2
故原不等式的解集为: 0, 11⇒3x ≥2或0
(3)分组得:(2x ·lo g 2x +2x )-(log 2x +1)
⎧x >0⎧x 0⎧2x -1⎩log 2x +10⎪⎪22⎩⎩
故原不等式解集为 0, ⎪.
【解后归纳】视3x 及lo g 23x 为新变量，是整体代换的换元思想，通过“换元”，将超越不等式转化为一元二次不等式，通过因式分解，化简了超越不等式，回归到指数不等式，对数不等式的“原始模型”，最后得出原不等式的解.
【例2】 解下列三角不等式
(1)sin2x >⎛⎝1⎫2⎭1; (2)cosx ≤-; 22
1π2≤sin(3x -) ≤. 262(3)tan2004x ≥-1; (4)-
【解前点津】 利用基本函数y =sint . y =cosx 的图像求解.
【规范解答】 (1)令2x =t , 则sin t >
y 1=sint (0≤t ≤2π) 及y 2=1, 在同一坐标系中作函数 21(0≤t ≤2π) 的图像, 容易算出两函 2
π5数图像交点的横坐标分别是与π. 66
π5故当t ∈［0,2π］时, 有:
π5π5从而当t ∈R 时有2k π+
π5
(2)在同一坐标系中作函数y 1=cosx 在⎢-⎡π3⎤, π⎥ 22⎦⎣
的图像, 及函数y 2=-⎛π3⎫ -≤x ≤π⎪的图像
. 2⎝22⎭
当cos x =-57π3时, x =π及π. , 且-≤x ≤π 66222
故当-1357π≤x ≤π时,cos x ≤-的解为: π≤x ≤π⇒原不等式的解为 22662
57π≤x ≤2k π+π, k ∈Z . 66
11111(3)当tan2004x =-1且-π
k ππk ππ-≤x
1 (4)令t =3x -π, 在同一坐标系中, 作如下三个函数的图像: 62k π+
y 1=sint , y 2=-12, y 3=, 当t ∈［0,2π］时, 可算出交点A 、B 、 22
C 、D 的横坐标依次为: π3711, π, π, π. 4466
因夹在两平行直线间的曲线有如下几段:
⎡π⎤⎡37⎤⎡11⎤ 0, , π, π, π, 2π⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣4⎦⎣46⎦⎣6⎦
711π或π≤t ≤2π 66
11317得在R 上x 满足:2k π≤3x -π≤2k π+π, 或2k π+π≤3x -π≤2k π+π, 64466
111或2k π+π≤3x -π≤2k π+2π. 66故由0≤t ≤π或π≤t ≤
故原不等式解集为: 1434
π25⎤⎡21124⎤⎡22213⎤⎡2k π+, k π+π k π+π, k π+π k π+π, k π+π⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢[**************]8⎣⎦⎣⎦⎣⎦
(k ∈Z ).
【解后归纳】 利用图像法解三角不等式，关键是利用了函数的周期性，先在一个周期内确定不等式的解, 然后得出原不等式的整个解集，这叫做“化难为易”.
【例3】 求下列函数的定义域:
(1)y =-sin 2x -cos 2x ; (2)y =-tan x . 1+tan x
【解前点津】 先列出不等式，再化简不等式，最后求解不等式.
【规范解答】 (1)由1-sin2x -cos2x ≥0得 sin2x +cos2x ≤1⇒π⎫⎛2sin 2x
+⎪≤1⇒ 4⎭⎝
sin(2x +1122π) ≤, 令t =2x +π, 得sin t ≤. 4422
132得, t =π及π. 442
12得:0≤t ≤π 42当t ∈［0,2π］时, 由sin t =故当t ∈［0,2π］时, 由sin t ≤
311π≤t ≤2π⇒2k π≤2x +π≤2k π+π或 444
31:2k π+π≤2x +π≤2k π+2π，解之: 44
117k π-π≤x ≤k π或k π+π≤x ≤k π+π(k ∈Z ). 848或
(2)由1-tan x π⎫⎛π⎫⎛≥0, 得tan -x ⎪≥0, 即tan x -⎪≤0 1+tan x 4⎭⎝4⎭⎝
1111⇒k π-π
【解后归纳】 对结构稍复杂一点的三角不等式，常利用有关公式先进行化简，使之与三角不等式的基本模型对号，最后利用图像法解三角不等式. 对那些更复杂，甚至不能转化为基本不等式者，读者不必去深究!
【例4】 解关于x 的不等式:log 2(4-a x )-lo g 4(a x -1) ≤1 (a >0,a ≠1).
【解前点津】 令t =a x , 先转化为关于t 的不等式，再将底数化为相同，从而去掉对数符号.
【规范解答】 令t =a x , 则t >0,原不等式为:log2(4-t )-log 4(t -1) ≤1, 由对数性质得4-t >0且t -1>0从而:1
又由log 4(4-x ) 2-log 4(t -1) ≤1得:log4(t -4) 2≤log 44(t -1) ⇒t 2-12t +20≤0⇒2≤t ≤10,
故［2,10］∩(1,4)=［2,4］即2≤t
当a >1时, 原不等式解集为:［log a 2,2log a 2);
当0
【解后归纳】 本题综合使用了换元法，同底法，其目的，就是将原不等式转化为指数不等式(或对数不等式) 的基本模型，然后求解.
●对应训练 分阶提升
一、基础夯实
1. 不等式11+>2的解集是 ( ) 1+lg x 1-lg x
A.(111,1) ∪(1,10) B.(,1) ∪(2,10) C.(, 10) D.(1,+∞) 101010
x 2-2ax ⎛1⎫2. 已知不等式 ⎪⎝2⎭
) 2
A. a >3333 B. a 3. 不等式 ⎪⎛1⎫
⎝3⎭x 2-8>3-2x 解集是 ( )
A.(2,4) B.(-2,4) C.(-4,2) D.(-4,-2)
4. 不等式lg(x 2+2x +2)
A.(2,4) B.(-2,4) C.(-4,2) D.(-4,-2)
π), 则不等式:logsin α(1-x )>2的解集是 ( ) 2
1 A.(-1,sin2α) B.(cos2α, ) C.(-1,cos2α) D.(cos2α,1) 25. 若α∈(0,
6. 设A ={x |5-2x >lg(x -1)},B ={x |-2x ≤lg(x -1)},则A ∪B 等于 ( )
A. R B.(1,+∞) C.(1,
7. 不等式log x 55) D.(1, ) 222
2222 A.(0, ) B.(,+∞) C.( , 1) D.(0, ) ∪(1,+∞) 3333
8. 不等式1
log (x -1) 4-1>0的解集为 ( ) log 5-x 4
1) 范围内恒成立，则实数m 的取值范围是 ( ) 2 A.(3,+∞) B.(1,5) C.(1,4)∪(4,5) D.(3,4)∪(4,5) 9. 若不等式x 2-log m x
A. ⎢⎡1⎫⎛1⎤⎛1⎫⎡1⎫, 1⎪ B. 0, ⎥ C. 0, ⎪ D. ⎢, +∞⎪ ⎣16⎭⎣16⎭⎝16⎦⎝4⎭
二、思维激活
10. 不等式5x -1>5x -3的解集是11. 当0102lg a 的解集为 .
12. 不等式sin x ≤-
13. 不等式tan(x -1的解集为 . 2π) ≥3的解集为. 4
三、能力提高
14. 解下列指数不等式: (1) ⎪⎛1⎫
⎝9⎭5-x 20.
x >3. 15. 解对数不等式:logx 5-2log 5
16. 解关于x 的不等式:4-a x >a x -1(a >0, a ≠1).
17. 解不等式:cos(2x -
第7课 简单的超越不等式习题解答
1.A 换元法, 令y =lgx , 先解出关于y 的分式不等式.
2. A 由原不等式得:3x +a 2>-(x 2-2ax ) 恒成立, 从而知关于x 的不等式x 2+(3-2a ) x +a 2>0恒成立, 由Δ=(3-2a ) 2-4a 2π3) ≤1. 24. 3
3. B 由8-x 2>-2x ⇒x 2-2x -8
4.C 解不等式组0
5.D ∵sin α∈(0,1),∴0
6.D 由5-2x ≥0且x -1>0得1
⎧x >1⎧01或0x ⎪⎩3⎩3
⎧x -1>0⎪⎧log 4(x -1) >log 4(5-x ) ⎪5-x >0⎧35-x
⎪⎩x ≠2且x ≠4
9. A f (x )=x 2在(0,1) 内单调增，欲使x 2
11111∴g (x )=logm x 在(0, ) 内单调减，∴
∴m ≥11, ∴≤m
10. 由原不等式解:(5x -1≥0且5x -3(5x -3) 2) x ∈［0,1］.
11. ∵102lg a =a 2, ∴化原不等式为:x 2+x -88
1711及x ∈［0,2π］得:x =π, π. 266
1711故由x ∈［0,2π］及sin x ≤-得, π≤x ≤π, 从而知原不等式解集为 266
711[2k π+π,2k π+π],k ∈Z. 66
111111713. 由x -π∈(-π, π) 及tan(x -π)=3得:x -π=π, 即x =π. 42244312
73故原不等式的解集为[k π+π, k π+π],k ∈Z. 12412. 由sin x =-
14. (1)原不等式 ⇔ ⎪
式解集为(-1,4).
(2)化原不等式为: ⎛1⎫⎝9⎭5-x 22
⎧x 0⎩2-3+4-3>0⎩2∙(2-1) >0⎩2+2-6>0⇔ 0
15. 由换底公式，得:1-4log 5x -3>0 ① log 5x
11x +3log5x -1
12(1)当x >1时, log 5x >0,①可化为4log 5式的解集为A =(1,+∞) ∩(1, 5)=(1, 55).
11⇒00,解之:log5x
x >5, 此时不等式的解集为B =(0, 1). 5
1) ∪(1,). 5综上所述知原不等式的解集为A ∪B =(0,
16. 令t =a x , 则化原不等式为:4-t >t -1.
⎧4-t ≥0⎧4-t ≥01+⎪或⎨⇒1≤t ≤其等价不等式为:⎨t -1≥0或t (t -1) 2⎩⎩
⇒01+1+; 当0loga . 22
1111≤cos(2x -π) ≤, 令t =2x -π, 解得: 2323当a >1时, x
－11≤cos t ≤在同一坐标系中作下列三个函数的图像: 22
11y 1=cost , y 2=, y 3=-, 它们的交点A 、B 、C 、D 的横坐标 22
ππ2411依次是-, , π, π, 故由2k π-π≤t ≤2k π-π
333323
或2k π+1243π≤t ≤2k π+π或2k π+π≤t ≤2k π+π 3332
111112⇒2k π-π≤2x -π≤2k π-π或2k π+π≤2x -π≤2k π+π或 233333
413⇒2k π+π≤2x -π≤2k π+π. 332
⇒原不等式的解集为: πππ⎤⎡511⎤⎡⎤⎡⇒⎢k π-, k π⎥ ⎢k π+, k π+⎥ ⎢k π+π, k π+π⎥, k ∈Z. ⎣12⎦⎣32⎦⎣612⎦