八年级数学思维训练（五）2014、10、15．
------ 勾股定理的应用1 班级______ 姓名__________
一、选择题
1．△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若∠A ＋∠C ＝90°，则下列等式中成立的是( )
[1**********] A ．a ＋b ＝c B ．b ＋c ＝a C ．a ＋c ＝b D ．c －a ＝b 2
2．如果a 、6、c 是一个直角三角形的三边，则a ：b ：c 等于 ( )
A ．1：2：4 B ．1：3：5 C ．3：4：7 D ．5：12： 13
3．若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足(a－b)(a2＋b 2－c 2)=0，则△ABC 是 （ ）
A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．等腰三角形或直角三角形 D ． 等腰直角三角形
4．如图，如果半圆的直径恰为直角三角形的一条直角边，那么半圆的面积为 ( )
A ．4πcm 2 B ．6πcm 2 C ．12πcm 2 D ．24πcm 2
5．在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，若DC ＝3，BC ＝6，AD ＝5，则AB 为 ( )
A ．9 B ．10 C ．11 D ．12
6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为AC 上一点，且DA ＝DB ＝5，又△DAB 的面积为10，那么DC 的长是 ( )
A ．4 B ．3 C ．5 D ．4.5
7．a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足(a-6)2
+10-c =0，则三角形的形状是（ ）
A ．底与边不相等的等腰三角形 B ．等边三角形
C．钝角三角形 D ．直角三角形
8．聪聪在广场上玩耍，他从某地开始，先向东走10米，又向南走40米，再向西20米，又向南走40米，最后再向东走70米，则聪聪到达的终止点与原出发点间的距离是 ( )
A ．80米 B ．100米 C ．120米 D ．95米
9．在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC= 8，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为 ( )
A ． 24 B ．24π
C ．25 2 D ．25π 2
10．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》
中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图(a)是由边长相等
的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．
图(b)是由图(a)放人长方形内得到的，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，
点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在长方形KLMJ 的边上，
则长方形KLMJ 的面积为 ( )
A ．90 B ．100 C ．110 D ．121
二、填空题
11．如图阴影部分正方形的面积是_______．
12．若直角三角形中，一斜边比一直角边大2，且另一直角边长为6，则斜边为_______．
13．如图，△ABC 为等边三角形，AD 为BC 边上的高，且AB ＝2，则正方形ADEF 的面积为_______．
14．一长方形门框宽为1.5米，高为2米．安装门框时为了增强稳定性，在门框的对角线处钉上一根木条，这根木条至少_______米长．
15．如图是一等腰三角形状的铁皮△ABC ，BC 为底边，尺寸如图，单位：cm ，根据所给的条件，则该铁皮的面积为_______．
16．如图是连江新华都超市一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，小马虎从点A 到点C 共走了12 m，电梯上升的高度h 为6m ，经小马虎测量AB ＝2 m，则BE ＝_______．
17．如图，P 是正△ABC 内一点，且PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10，若将△PAC 绕点A 逆时针旋转后，得到 △P'AB ，则点P 与P' 之间的距离为PP' ＝_______，∠APB ＝_______度．
18．如图，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为25、9、16，△AEH 、△BDC 、△GFI 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1＋S 2＋S 3＝_______．
三、解答题或证明题
1．在△ABC 中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm．求证：△ABC 是等腰三角形．
2．若在△ABC 中，a=m2－n 2，b=2mn，c=m2＋n 2，求证：△ABC 是直角三角形．
3．已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，且a+b=4，ab=1，c 2= 14，试判定△ABC 的形状．
4．在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？
5. 如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为7m ，梯子的顶端B 到地面的距离为24 m，现将梯子的底端A 向外移动到A' ，使梯子的底端A' 到墙根O 的距离等于15 m．同时梯子的顶端B 下降至B' ，求BB' 的长.
6．如图，两点A ，B 都与平面镜相距4米，且A ，B 两点相距6米，一束光由A 点射向平面镜，反射之后恰好经过B 点，求B 点与入射点间的距离．
7．如图，A 、B 两个村子在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC ＝1 km，BD ＝3 km，CD ＝3 km现在河边CD 上建一水厂向A 、B 两村输送自来水，铺设水管的费用为20 000元／千米，请你在河CD 边上选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用？
北
8．探索与研究：
方法1：如图(a)，对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 面积相等，而四边形ABFE 面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和，根据图示写出证明勾股定理的过程；
方法2：如图(b)，是任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？
(a)
9．(1) 如图(1)，在四边形ABCD 中，BC ⊥CD ，∠ACD ＝∠ADC ．求证：AB ＋
(2) 如图(2)，在△ABC 中，AB 上的高为CD ，试判断：(AC＋BC) 2与AB 2＋4CD 2之间的大小关系?
并证明你的结论．
八年级数学思维训练（五）2014、10、15．
------ 勾股定理的应用1 班级______ 姓名__________
一、选择题
1．△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若∠A ＋∠C ＝90°，则下列等式中成立的是( )
[1**********] A ．a ＋b ＝c B ．b ＋c ＝a C ．a ＋c ＝b D ．c －a ＝b 2
2．如果a 、6、c 是一个直角三角形的三边，则a ：b ：c 等于 ( )
A ．1：2：4 B ．1：3：5 C ．3：4：7 D ．5：12： 13
3．若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足(a－b)(a2＋b 2－c 2)=0，则△ABC 是 （ ）
A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．等腰三角形或直角三角形 D ． 等腰直角三角形
4．如图，如果半圆的直径恰为直角三角形的一条直角边，那么半圆的面积为 ( )
A ．4πcm 2 B ．6πcm 2 C ．12πcm 2 D ．24πcm 2
5．在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，若DC ＝3，BC ＝6，AD ＝5，则AB 为 ( )
A ．9 B ．10 C ．11 D ．12
6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为AC 上一点，且DA ＝DB ＝5，又△DAB 的面积为10，那么DC 的长是 ( )
A ．4 B ．3 C ．5 D ．4.5
7．a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足(a-6)2
+10-c =0，则三角形的形状是（ ）
A ．底与边不相等的等腰三角形 B ．等边三角形
C．钝角三角形 D ．直角三角形
8．聪聪在广场上玩耍，他从某地开始，先向东走10米，又向南走40米，再向西20米，又向南走40米，最后再向东走70米，则聪聪到达的终止点与原出发点间的距离是 ( )
A ．80米 B ．100米 C ．120米 D ．95米
9．在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC= 8，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为 ( )
A ． 24 B ．24π
C ．25 2 D ．25π 2
10．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》
中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图(a)是由边长相等
的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．
图(b)是由图(a)放人长方形内得到的，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，
点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在长方形KLMJ 的边上，
则长方形KLMJ 的面积为 ( )
A ．90 B ．100 C ．110 D ．121
二、填空题
11．如图阴影部分正方形的面积是_______．
12．若直角三角形中，一斜边比一直角边大2，且另一直角边长为6，则斜边为_______．
13．如图，△ABC 为等边三角形，AD 为BC 边上的高，且AB ＝2，则正方形ADEF 的面积为_______．
14．一长方形门框宽为1.5米，高为2米．安装门框时为了增强稳定性，在门框的对角线处钉上一根木条，这根木条至少_______米长．
15．如图是一等腰三角形状的铁皮△ABC ，BC 为底边，尺寸如图，单位：cm ，根据所给的条件，则该铁皮的面积为_______．
16．如图是连江新华都超市一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，小马虎从点A 到点C 共走了12 m，电梯上升的高度h 为6m ，经小马虎测量AB ＝2 m，则BE ＝_______．
17．如图，P 是正△ABC 内一点，且PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10，若将△PAC 绕点A 逆时针旋转后，得到 △P'AB ，则点P 与P' 之间的距离为PP' ＝_______，∠APB ＝_______度．
18．如图，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为25、9、16，△AEH 、△BDC 、△GFI 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1＋S 2＋S 3＝_______．
三、解答题或证明题
1．在△ABC 中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm．求证：△ABC 是等腰三角形．
2．若在△ABC 中，a=m2－n 2，b=2mn，c=m2＋n 2，求证：△ABC 是直角三角形．
3．已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，且a+b=4，ab=1，c 2= 14，试判定△ABC 的形状．
4．在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？
5. 如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为7m ，梯子的顶端B 到地面的距离为24 m，现将梯子的底端A 向外移动到A' ，使梯子的底端A' 到墙根O 的距离等于15 m．同时梯子的顶端B 下降至B' ，求BB' 的长.
6．如图，两点A ，B 都与平面镜相距4米，且A ，B 两点相距6米，一束光由A 点射向平面镜，反射之后恰好经过B 点，求B 点与入射点间的距离．
7．如图，A 、B 两个村子在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC ＝1 km，BD ＝3 km，CD ＝3 km现在河边CD 上建一水厂向A 、B 两村输送自来水，铺设水管的费用为20 000元／千米，请你在河CD 边上选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用？
北
8．探索与研究：
方法1：如图(a)，对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 面积相等，而四边形ABFE 面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和，根据图示写出证明勾股定理的过程；
方法2：如图(b)，是任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？
(a)
9．(1) 如图(1)，在四边形ABCD 中，BC ⊥CD ，∠ACD ＝∠ADC ．求证：AB ＋
(2) 如图(2)，在△ABC 中，AB 上的高为CD ，试判断：(AC＋BC) 2与AB 2＋4CD 2之间的大小关系?
并证明你的结论．