难点2 连接体问题分析策略·整体法与隔离法
两个或两个以上物体相互连接参与运动的系统称为连接体. 以平衡态或非平衡态下连接体问题拟题屡次呈现于高考卷面中，是考生备考临考的难点之一.
●难点展台
1. （★★★★）如图2-1，质量为2 m 的物块A 与水平地面的摩擦可忽略不计，质量为m 的物块B 与地面的动摩擦因数为μ，在已知水平推力F 的作用下，A 、B 做加速运动，A 对B 的作用力为____________.
2. （★★★★）A 的质量m 1=4 m , B 的质量m 2=m , 斜面固定在水平地面上. 开始时将B 按在地面上不动，然后放手，让A 沿斜面下滑而B 上升. A 与斜面无摩擦，如图2-2，设当A 沿斜面下滑s 距离后，细线突然断了. 求B 上升的最大高度H .
●案例探究
［例1］（★★★★）如图2-3所示，质量为M 的木箱放在水平面上，木箱中的立杆上套着一个质量为m 的小球，开始时小球在杆的顶端，由静止释放后，小球沿杆下滑的加速度为重力加速度的
图2-1
图2-2
11，即a =g , 则小球在下滑的过程中，木箱对地面的压力为多少？ 22
命题意图：考查对牛顿第二定律的理解运用能力及灵活选取研究对象的能力.B 级要求.
图2-3
错解分析：（1）部分考生习惯于具有相同加速度连接体问题演练，对于“一动一静”连续体问题难以对其隔离，列出正确方程. （2）思维缺乏创新，对整体法列出的方程感到疑惑.
解题方法与技巧： 解法一：（隔离法）
木箱与小球没有共同加速度，所以须用隔离法.
图2—4
取小球m 为研究对象，受重力mg 、摩擦力F f , 如图2-4
，据牛顿第二定律得： mg -F
f =ma
①
取木箱M 为研究对象，受重力Mg 、地面支持力F N 及小球给予的摩擦力F f ′如图2-5. 据物体平衡条件得： F N
-F f ′-Mg =0 且F f =F f ′
② ③
由①②③式得F N =
2M +m
g 2
由牛顿第三定律知，木箱对地面的压力大小为 F N ′=F N =
2M +m
g . 2
解法二：（整体法）
对于“一动一静”连接体，也可选取整体为研究对象，依牛顿第二定律列式： （mg +Mg ）-F N =ma +M ×0
2M +m
g , 由牛顿第三定律知： 22M +m
木箱对地面压力F N ′=F N =g .
2
故木箱所受支持力：F N =
［例2］（★★★★）一个质量为0.2 kg 的小球用细线吊在倾角θ=53°的斜面顶端，如图2-6，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以10 m/s2的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹力.
命题意图：考查对牛顿第二定律的理解应用能力、分析推理能力及临界条件的挖掘能力.B 级要求.
错解分析：对物理过程缺乏清醒认识，无法用极限分析法挖掘题目隐含的临界状态及条件，使问题难以切入.
解题方法与技巧：当加速度a 较小时，小球与斜面体一起运动，此时小球受重力、绳拉力和斜面的支持力作用，绳平行于斜面，当加速度a 足够大时，小球将“飞离”斜面，此时小球受重力
和绳的拉力作用，绳与水平方向的夹角未知，题目中要求a =10 m/s2时绳的拉力及斜面的支持力，必须先求出小球离开斜面的临界加速度a 0. （此时，小球所受斜面支持力恰好为零）
由mg cot θ=ma 0 所以a 0=g cot θ=7.5 m/s2 因为a =10 m/s2＞a 0
所以小球离开斜面N =0，小球受力情况如图2-7，则Tc os α=ma , T sin α=mg
22
所以T =(ma ) +(mg ) =2.83 N,N =0.
图2-6
图2-7
●锦囊妙计
一、高考走势
连接体的拟题在高考命题中由来已久，考查考生综合分析能力，起初是多以平衡态下的连接体的题呈现在卷面上，随着高考对能力要求的不断提高，近几年加强了对非平衡态下连接体的考查力度.
二、处理连接体问题的基本方法
在分析和求解物理连接体命题时，首先遇到的关键之一，就是研究对象的选取问题. 其方法有两种：一是隔离法，二是整体法.
1. 隔离（体）法
（1）含义：所谓隔离（体）法就是将所研究的对象--包括物体、状态和某些过程，从系统或全过程中隔离出来进行研究的方法.
（2）运用隔离法解题的基本步骤：
①明确研究对象或过程、状态，选择隔离对象. 选择原则是：一要包含待求量，二是所选隔离对象和所列方程数尽可能少.
②将研究对象从系统中隔离出来；或将研究的某状态、某过程从运动的全过程中隔离出来.
③对隔离出的研究对象、过程、状态分析研究，画出某状态下的受力图或某阶段的运动过程示意图.
④寻找未知量与已知量之间的关系，选择适当的物理规律列方程求解. 2. 整体法
（1）含义：所谓整体法就是将两个或两个以上物体组成的整个系统或整个过程作为研究对象进行分析研究的方法.
（2）运用整体法解题的基本步骤： ①明确研究的系统或运动的全过程. ②画出系统的受力图和运动全过程的示意图.
③寻找未知量与已知量之间的关系，选择适当的物理规律列方程求解.
隔离法与整体法，不是相互对立的，一般问题的求解中，随着研究对象的转化，往往两种方法交叉运用，相辅相成. 所以，两种方法的取舍，并无绝对的界限，必须具体分析，灵活运用. 无论哪种方法均以尽可能避免或减少非待求量（即中间未知量的出现，如非待求的力，非待求的中间状态或过程等）的出现为原则.
●歼灭难点训练
1. （★★★）如图2-8所示，质量为M 的框架放在水平地面上，一轻弹簧上端固定一个质量为m 的小球，小球上下振动时，框架始终没有跳起. 当框架对地面压力为零瞬间，小球的加速度大小为
A. g C.0
图
2-8
M -m
g m M +m D. g
m
B.
2. （★★★）如图2-9所示，A 、B 两小球分别连在弹簧两端，B 端用细线固定在倾角为30°的光滑斜面上，若不计弹簧质量，在线被剪断瞬间，A 、B 两球的加速度分别为
A. 都等于B. C.
图
2-9
g 2
g
和0 2
M A +M B g
⋅和0
M B 2
M A +M B g
⋅
M B 2
D.0和
3. （★★★★）如图2-10，质量为m 的物体A 放置在质量为M 的物体B 上，B 与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐振动，振动过程中A 、B 之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k ，当物体离开平衡位置的位移为x 时，A 、B 间摩擦力的大小等于
A.0 C. （
B. k ｘ D. （
图
2-10
m
）k ｘ M m
）k ｘ
M +m
4. （★★★★）如图2-11所示，半径为R 的光滑圆柱体，由支架固定于地面上，用一条质量可以忽略的细绳，将质量为m 1和m 2的两个可看作质点的小球连接，放在圆柱体上，两球和圆心O 在同一水平面上，在此位置将两物体由静止开始释放，问在什么条件下m 2能通过圆柱体的最高点且对圆柱体有压力？
5. （★★★★）如图2-12所示，一轻绳两端各系一小球（可
视为质点），质量分别为M 和m （M ＞m ）, 跨放在一个光滑的半圆柱体上.
两球从水平直图2-12 图2—11
径AB 的两端由静止释放开始运动. 当m 刚好达到圆柱体侧面最高点C 处时，恰脱离圆柱体. 则两球质量之比M ∶m =?
6. （★★★★★）如图2-13所示，金属杆a 在离地h 高处从静止开始沿弧形轨道下滑，导轨平行的水平部分有竖直向上的匀强磁场B ，水平部分导轨上原来放有一金属杆b , 已知a 杆的质量与b 杆的质量为m a ∶m b =3∶4, 水平导轨足够长，不计摩擦，求：
（1）a 和b 的最终速度分别是多大？ （2）整个过程中回路释放的电能是多少？
（3）若已知a 、b 杆的电阻之比R a ∶R b =3∶4, 其余电阻不计，整个过程中a 、b 上产生的热量分别是多少？
图2-13
参考答案
［难点展台］ 1. T =
1
（F +2μmg ） 2. H =1.2 s 3
［歼灭难点训练］ 1.D 2.D 3.D
4. 选系统为研究对象，据机械能守恒定律得：
m 1g
2πR 1
=m 2gR +（m 1+m 2）v 2
24
①
选m 2为研究对象，在最高点据牛顿第二定律得：
v 2
m 2g -N =m 2（N 为m 2所受支持力）
R
②
欲使m 2通过圆柱体最高点，则：N ＞0
③
联列①②③得：
3m 2
＞m 1, 且应m 1＞m 2. π-1
故条件为：
3m 2
＞m 1＞m 2. π-1
5. 选系统为研究对象，由机械能守恒定律得： Mg ·
2πR 1
=mgR +（M +m ）v 2
24
①
因m 到达最高点时恰离开圆柱体，据牛顿第二定律得：
v 2
mg =m
R
②
联立①②式得：
M 3= m π-1
6. 提示：本题实质亦属连接体问题，金属杆a 和b 的连结是靠它们间所受安培力的作用实现的. 在解题过程中，由于各自所受安培力为变力，若用隔离法不便列式求解，而采用整体法对系统列方程便非常易解.
4
2gh （2）E =m a gh
7
3312416
m a gh （3）Q a /Q b =R a /R b =; Q a =E =m a gh Q b =E =
7749749
（1）v a =v b =
37
难点2 连接体问题分析策略·整体法与隔离法
两个或两个以上物体相互连接参与运动的系统称为连接体. 以平衡态或非平衡态下连接体问题拟题屡次呈现于高考卷面中，是考生备考临考的难点之一.
●难点展台
1. （★★★★）如图2-1，质量为2 m 的物块A 与水平地面的摩擦可忽略不计，质量为m 的物块B 与地面的动摩擦因数为μ，在已知水平推力F 的作用下，A 、B 做加速运动，A 对B 的作用力为____________.
2. （★★★★）A 的质量m 1=4 m , B 的质量m 2=m , 斜面固定在水平地面上. 开始时将B 按在地面上不动，然后放手，让A 沿斜面下滑而B 上升. A 与斜面无摩擦，如图2-2，设当A 沿斜面下滑s 距离后，细线突然断了. 求B 上升的最大高度H .
●案例探究
［例1］（★★★★）如图2-3所示，质量为M 的木箱放在水平面上，木箱中的立杆上套着一个质量为m 的小球，开始时小球在杆的顶端，由静止释放后，小球沿杆下滑的加速度为重力加速度的
图2-1
图2-2
11，即a =g , 则小球在下滑的过程中，木箱对地面的压力为多少？ 22
命题意图：考查对牛顿第二定律的理解运用能力及灵活选取研究对象的能力.B 级要求.
图2-3
错解分析：（1）部分考生习惯于具有相同加速度连接体问题演练，对于“一动一静”连续体问题难以对其隔离，列出正确方程. （2）思维缺乏创新，对整体法列出的方程感到疑惑.
解题方法与技巧： 解法一：（隔离法）
木箱与小球没有共同加速度，所以须用隔离法.
图2—4
取小球m 为研究对象，受重力mg 、摩擦力F f , 如图2-4
，据牛顿第二定律得： mg -F
f =ma
①
取木箱M 为研究对象，受重力Mg 、地面支持力F N 及小球给予的摩擦力F f ′如图2-5. 据物体平衡条件得： F N
-F f ′-Mg =0 且F f =F f ′
② ③
由①②③式得F N =
2M +m
g 2
由牛顿第三定律知，木箱对地面的压力大小为 F N ′=F N =
2M +m
g . 2
解法二：（整体法）
对于“一动一静”连接体，也可选取整体为研究对象，依牛顿第二定律列式： （mg +Mg ）-F N =ma +M ×0
2M +m
g , 由牛顿第三定律知： 22M +m
木箱对地面压力F N ′=F N =g .
2
故木箱所受支持力：F N =
［例2］（★★★★）一个质量为0.2 kg 的小球用细线吊在倾角θ=53°的斜面顶端，如图2-6，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以10 m/s2的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹力.
命题意图：考查对牛顿第二定律的理解应用能力、分析推理能力及临界条件的挖掘能力.B 级要求.
错解分析：对物理过程缺乏清醒认识，无法用极限分析法挖掘题目隐含的临界状态及条件，使问题难以切入.
解题方法与技巧：当加速度a 较小时，小球与斜面体一起运动，此时小球受重力、绳拉力和斜面的支持力作用，绳平行于斜面，当加速度a 足够大时，小球将“飞离”斜面，此时小球受重力
和绳的拉力作用，绳与水平方向的夹角未知，题目中要求a =10 m/s2时绳的拉力及斜面的支持力，必须先求出小球离开斜面的临界加速度a 0. （此时，小球所受斜面支持力恰好为零）
由mg cot θ=ma 0 所以a 0=g cot θ=7.5 m/s2 因为a =10 m/s2＞a 0
所以小球离开斜面N =0，小球受力情况如图2-7，则Tc os α=ma , T sin α=mg
22
所以T =(ma ) +(mg ) =2.83 N,N =0.
图2-6
图2-7
●锦囊妙计
一、高考走势
连接体的拟题在高考命题中由来已久，考查考生综合分析能力，起初是多以平衡态下的连接体的题呈现在卷面上，随着高考对能力要求的不断提高，近几年加强了对非平衡态下连接体的考查力度.
二、处理连接体问题的基本方法
在分析和求解物理连接体命题时，首先遇到的关键之一，就是研究对象的选取问题. 其方法有两种：一是隔离法，二是整体法.
1. 隔离（体）法
（1）含义：所谓隔离（体）法就是将所研究的对象--包括物体、状态和某些过程，从系统或全过程中隔离出来进行研究的方法.
（2）运用隔离法解题的基本步骤：
①明确研究对象或过程、状态，选择隔离对象. 选择原则是：一要包含待求量，二是所选隔离对象和所列方程数尽可能少.
②将研究对象从系统中隔离出来；或将研究的某状态、某过程从运动的全过程中隔离出来.
③对隔离出的研究对象、过程、状态分析研究，画出某状态下的受力图或某阶段的运动过程示意图.
④寻找未知量与已知量之间的关系，选择适当的物理规律列方程求解. 2. 整体法
（1）含义：所谓整体法就是将两个或两个以上物体组成的整个系统或整个过程作为研究对象进行分析研究的方法.
（2）运用整体法解题的基本步骤： ①明确研究的系统或运动的全过程. ②画出系统的受力图和运动全过程的示意图.
③寻找未知量与已知量之间的关系，选择适当的物理规律列方程求解.
隔离法与整体法，不是相互对立的，一般问题的求解中，随着研究对象的转化，往往两种方法交叉运用，相辅相成. 所以，两种方法的取舍，并无绝对的界限，必须具体分析，灵活运用. 无论哪种方法均以尽可能避免或减少非待求量（即中间未知量的出现，如非待求的力，非待求的中间状态或过程等）的出现为原则.
●歼灭难点训练
1. （★★★）如图2-8所示，质量为M 的框架放在水平地面上，一轻弹簧上端固定一个质量为m 的小球，小球上下振动时，框架始终没有跳起. 当框架对地面压力为零瞬间，小球的加速度大小为
A. g C.0
图
2-8
M -m
g m M +m D. g
m
B.
2. （★★★）如图2-9所示，A 、B 两小球分别连在弹簧两端，B 端用细线固定在倾角为30°的光滑斜面上，若不计弹簧质量，在线被剪断瞬间，A 、B 两球的加速度分别为
A. 都等于B. C.
图
2-9
g 2
g
和0 2
M A +M B g
⋅和0
M B 2
M A +M B g
⋅
M B 2
D.0和
3. （★★★★）如图2-10，质量为m 的物体A 放置在质量为M 的物体B 上，B 与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐振动，振动过程中A 、B 之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k ，当物体离开平衡位置的位移为x 时，A 、B 间摩擦力的大小等于
A.0 C. （
B. k ｘ D. （
图
2-10
m
）k ｘ M m
）k ｘ
M +m
4. （★★★★）如图2-11所示，半径为R 的光滑圆柱体，由支架固定于地面上，用一条质量可以忽略的细绳，将质量为m 1和m 2的两个可看作质点的小球连接，放在圆柱体上，两球和圆心O 在同一水平面上，在此位置将两物体由静止开始释放，问在什么条件下m 2能通过圆柱体的最高点且对圆柱体有压力？
5. （★★★★）如图2-12所示，一轻绳两端各系一小球（可
视为质点），质量分别为M 和m （M ＞m ）, 跨放在一个光滑的半圆柱体上.
两球从水平直图2-12 图2—11
径AB 的两端由静止释放开始运动. 当m 刚好达到圆柱体侧面最高点C 处时，恰脱离圆柱体. 则两球质量之比M ∶m =?
6. （★★★★★）如图2-13所示，金属杆a 在离地h 高处从静止开始沿弧形轨道下滑，导轨平行的水平部分有竖直向上的匀强磁场B ，水平部分导轨上原来放有一金属杆b , 已知a 杆的质量与b 杆的质量为m a ∶m b =3∶4, 水平导轨足够长，不计摩擦，求：
（1）a 和b 的最终速度分别是多大？ （2）整个过程中回路释放的电能是多少？
（3）若已知a 、b 杆的电阻之比R a ∶R b =3∶4, 其余电阻不计，整个过程中a 、b 上产生的热量分别是多少？
图2-13
参考答案
［难点展台］ 1. T =
1
（F +2μmg ） 2. H =1.2 s 3
［歼灭难点训练］ 1.D 2.D 3.D
4. 选系统为研究对象，据机械能守恒定律得：
m 1g
2πR 1
=m 2gR +（m 1+m 2）v 2
24
①
选m 2为研究对象，在最高点据牛顿第二定律得：
v 2
m 2g -N =m 2（N 为m 2所受支持力）
R
②
欲使m 2通过圆柱体最高点，则：N ＞0
③
联列①②③得：
3m 2
＞m 1, 且应m 1＞m 2. π-1
故条件为：
3m 2
＞m 1＞m 2. π-1
5. 选系统为研究对象，由机械能守恒定律得： Mg ·
2πR 1
=mgR +（M +m ）v 2
24
①
因m 到达最高点时恰离开圆柱体，据牛顿第二定律得：
v 2
mg =m
R
②
联立①②式得：
M 3= m π-1
6. 提示：本题实质亦属连接体问题，金属杆a 和b 的连结是靠它们间所受安培力的作用实现的. 在解题过程中，由于各自所受安培力为变力，若用隔离法不便列式求解，而采用整体法对系统列方程便非常易解.
4
2gh （2）E =m a gh
7
3312416
m a gh （3）Q a /Q b =R a /R b =; Q a =E =m a gh Q b =E =
7749749
（1）v a =v b =
37