材料力学课后习题答案12章

第十二章能量法（一）

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12-2................................................................................................................................................................1 12-3................................................................................................................................................................2 12-4................................................................................................................................................................3 12-5................................................................................................................................................................4 12-6................................................................................................................................................................4 12-8................................................................................................................................................................5 12-9................................................................................................................................................................6 12-10..............................................................................................................................................................7 12-12..............................................................................................................................................................8 12-14..............................................................................................................................................................9 12-15..............................................................................................................................................................9 12-16............................................................................................................................................................10 12-17............................................................................................................................................................11 12-18............................................................................................................................................................13 12-21............................................................................................................................................................15 12-23............................................................................................................................................................16 12-24............................................................................................................................................................16 12-26............................................................................................................................................................17 12-28............................................................................................................................................................18 12-29............................................................................................................................................................19 12-30............................................................................................................................................................20 12-31............................................................................................................................................................21 12-33............................................................................................................................................................23 12-34............................................................................................................................................................24 12-36............................................................................................................................................................25 12-38............................................................................................................................................................26 12-40............................................................................................................................................................27

(也可通过左侧的题号书签直接查找题目与解)

12-2 图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。试计算板件的总伸长。板件的厚度为δ，

长度为l，左、右端的截面宽度分别为

b1与b2，材料的弹性模量为E。

题12-2图

解：由题图可知，

b−b

A(x)=δb1+21

l



x 

σ(x)=

b−b

δb1+21x

l

Vε=∫

σ2(x)

A(x)dx=2E2Eδ

1F2lb2

xln=∫ 021

2Eδb2−b1b1

b1+x

根据W=Vε，得到

F∆l 2

∆l=

bFl

ln2

Eδb2−b1b1

12-3 图示等截面直杆，承受轴向载荷F作用。设杆的横截面面积为A，材料的应力－应

变关系为σ=c，其中c为已知常数。试计算外力所作之功。

题12-3图

解：根据

σ=

及

F∆, ε= Al

σ=c

得

F=cA

由图12-3可知，

∆

图12-3

dW=fdδ=cA

积分得

2cA22F3l

W=∫cAδ=∆=22

0l3cA3l

∆

12-4 图示圆柱形大螺距弹簧，承受轴向拉力F作用。试用能量法证明弹簧的轴向变形为

8FD3n2Gsin2α

cosα+λ= Gd4Ecosα

式中：D为弹簧的平均直径，d为弹簧丝的直径，n为弹簧的圈数，α为螺旋升角，E为弹性模量，G为切变模量。

题12-4图

解：由截面法可得

M(s)=

据能量守恒定律，有

W=Vε

其中，

而

lM(s)T2(s)s+∫s Vε= ∫ 02GI 02EIP

FDFD

sinα, T(s)=cosα （a） 22

（b）

Fλ

（c）

（d）

式中，l为簧丝总长，其值为

πDn

cosα

（e）

将式（a）代入式（d），完成积分，并注意到式（e），得

F2D3nπGIPsin2α

Vε=(cosα+

8GIPEIcosα

最后，将式（c）和（f）代入式（b），化简后，得

（f）

8FD3n2Gsin2α

(cosα+) λ=GdEcosα

12-5 图示等截面直杆，承受一对方向相反、大小均为F的横向力作用。设截面宽度为b、

拉压刚度为EA，材料的泊松比为µ。试利用功的互等定理，证明杆的轴向变形为

∆l=

µbF

题12-5图

解：设该杆两端承受轴向拉力F1作用，依据功的互等定理，有

µFbF1⋅∆l=F⋅1

EA

由此得

∆l=

µbF

12-6 图示纤维增强复合材料，轴1沿纤维方向，轴2垂直于纤维方向。当正应力σ单独

作用时（图a），材料沿1和2方向的正应变分别为

ε1′=

σ1

′=−ε2

µ12σ1

，上述二式中，E1与µ12分别为复合材料的纵向弹性模量与纵向泊松比。当σ2单独作用时（图b）方向的正应变则分别为

ε1′′=−

µ21σ2

′′=ε2

σ2

式中，E2与µ21分别为复合材料的横向弹性模量与横向泊松比。试证明：

µ12

即上述四个弹性常数中，只有三个是独立的。

µ21

题12-6图

解：依据功的互等定理，有

′=σ1⋅ε1′′ σ2⋅ε2

即

σ2⋅(−

由此得

µ12σ1

)=σ1⋅(−

µ21σ2

)

µ12

µ21

12-8 图示桁架，在节点B承受载荷F作用。试用卡氏定理计算该节点的铅垂位移Δ。

各杆各截面的拉压刚度均为EA。

题12-8图

解：根据卡氏定理，有

∂FNi15

∆B=Fl∑Nii∂F

EAi=1

各杆编号示如图12-8。

图12-8

求∆B的运算过程示如下表：

由此得

∆B=

(3+2)Fa （↓）

12-9 图示刚架，承受载荷F作用。试用卡氏定理计算截面C的转角。设弯曲刚度EI为

常数。

题12-9图

，由图可得解：在截面C处假想附加一矩为MC的力偶（见图12-9）

M(x1)=(F+

MC∂M(x1)x1

x1 ,= a∂MCa

∂M(x2)

∂MC

M(x2)=Fx2+MC

图12-9

根据卡氏定理，得

ax11 a5Fa2

θC=[∫(Fx1)()dx1+∫(Fx2)(1)dx2]= （4）

0 0EIa6EI

12-10 试用卡氏定理计算图示各梁横截面A的挠度∆与转角θ。设弯曲刚度EI为常数。

题12-10图

（a）解：令Fa=MA，由图12-10a易得

M(x)=MA−Fx，

∂M(x)∂M

(x)=1 =−x， ∂F∂MA

图12-10(a)

注意到左半段梁上M=0，于是得

∆A=

EIFa3

∫ 0(Fa−Fx)(−x)dx=−6EI （↑）

1θA=

EIFa2

∫ 0(Fa−Fx)(1)dx=2EI （4）

（b）解：令qa=F，并在A端附加一顺钟向的力偶矩MA，自A向左取坐标x，有

1∂M(x)∂M(x)

=−1 =−x， M(x)=−MA−Fx−qx2，

∂F∂MA2

根据卡氏定理，得

∆A=

EI1θA=

1211qa4

∫ 0(−qax−2qx)(−x)dx=24EI（↓）

122qa3

∫ 0(−qax−2qx)(−1)dx=3EI（3）

12-12 图示圆截面轴，右半段承受集度为m的均布扭力矩作用。试用卡氏第二定理计算

杆端截面A的扭转角。设扭转刚度GIp

为常数。

题12-12图

解：在A端附加一扭力矩MA，自A向左取坐标x1，自轴中间截面向左取坐标x2，于是有

T(x1)=MA+mx1 , T(x2)=MA+ma

及

∂T(x1)∂T(x2)==1 ∂MA∂MA

依据卡氏定理，得

a1 a3ma2ϕA=(mx1)(1)dx1+∫(ma)(1)dx2=

 0∫ 02GIpGIp

12-14 图示简支梁，承受集度为q(x) 的分布载荷作用，现在，使梁发生横向虚位移

w*(x)，该位移满足位移边界条件与变形连续条件，试证明：

∫

功Wi 。

w*(x)q(x)dx=∫M(x)dθ*

即证明外载荷q (x) 在虚位移上所作之总虚功We ，等于可能内力M(x)在相应虚变形上所作之总虚

题12-14图

解：应用下列微分关系

dFSdMdw∗∗

q(x)=, FS(x)=, θ=

dxdxdx

及分部积分公式，有

dFS

dx=w∗FSWe=∫w(x)q(x)dx=∫w(x)⋅

l 0dx

∗

dw∗

−∫FS⋅dx 0dx

=−

∫

l 0

∗

dx=−θ∗Mdx

∫

l 0

M(x)dθ∗=

∫

M(x)dθ∗=Wi

12-15 图示阶梯形简支梁，承受载荷F作用。试用单位载荷法计算横截面C的挠度Δ

与横截面A的转角θA 。

题12-15图

解：设两种单位状态如下： 1．令F=1；

2．在截面A处假想加一顺钟向力偶矩MA=1，坐标示如图12-15。

图12-15

三种弯矩方程为

11F~

x1 , M(x1)=1−x1 , M(x1)=x1 33a311F~

x2)=x2 , M(x2)=1−x2 , M(x2)=x2

33a3212F~

x3)=x3, M(x3)=x3, M(x3)=x3

33a3

x1)=

依据单位载荷法，有

∆C=

1 a11F

()()d+xxx111

32EIEI∫ 03

13Fa3

=(↓)

54EI

1x1F

(1)()d−+xx∫ 03a3112EI

∫

(

1x2F

)(x2)dx2+332EI22F

()(x∫ 0333x3)dx3

及

θA=

∫

1xF

(1−2)(x2)dx2+

3a32EI

∫

(

x32F

)(x3)dx3 3a3

31Fa2=（3） 108EI

12-16 图示含梁间铰的组合梁，外伸段承受均布载荷q作用。试用单位载荷法计算该铰

链两侧横截面间的相对转角。二梁各截面的弯曲刚度均为EI。

题12-16图

解：求的单位状态及坐标取法示如图12-16。

图12-16

两种弯矩方程为

x1)=0, M(x1)=−

x2)=1−Mx3)=1+

由此得到

q2x1 2

x2qa, M(x2)=−x2 a2x3qa, M(x3)=x3 a2

EIx2qa1−−+(1)(x)dx∫ 0a222EI

ax3qaqa3

∫ 0(1+a)(2x3)dx3=3EI （43）

12-17 图示桁架，在节点B处承受载荷F作用。试用单位载荷法计算该节点的水平位移

ΔB与杆AB的转角。各杆各截面的拉压刚度均为EA。

题12-17图

(a) 解：求∆B和θAB的单位状态分别示如图12-17a（1）和a（2）。

图12-17a

求ΔB的运算过程列表如下：

故有

∆B=∑

i=1

NiFNili3Fa

=−（←）

EA12EA

求θAB的运算过程列表如下：

故有

θAB

NiFNili5=∑=

EA6EAi=1

（3）

。 (b) 解：求ΔB和θAB的单位状态分别示如图12-17b（1）和b（2）

图12-17b

求ΔB的运算过程列表如下：

故有

∆B=∑

i=1

FNiFNili(2+22)Fa

= （→）

EAEA

求θAB的运算过程列表如下：

故有

θAB=∑

i=1

FNiFNili(2+4)F

=（3）

EAEA

12-18 图示刚架，弯曲刚度EI为常数。试用单位载荷法计算截面A的转角及截面D的

水平或铅垂位移。

题12-18图

。

(a)解：求θA及ΔD的单位状态分别示如图12-18a（1）和（2）

图12-18a

弯矩方程依次为

(x1)=1, M(x1)=x1, M(x1)=qax1−x12

1qa~

x2)=x2, M(x2)=a, M(x2)=x2

x3)=0, M(x3)=x3, M(x3)=0

依据单位载荷法，有

ax1 aq2qax2qa2

(1)(qax1−x1)dx1+∫()()dx2=θA=（3） ∫ 0 0EI2a22EI

及

a1 aq2qa11qa

（→） ∆D=(x1)(qax1−x1)dx1+∫(a)(x2)dx2=∫ 0 0EI2224EI

(b)解：求θA及∆D的单位状态如图12-18b（1）和b（2）所示。

图12-18b

弯矩方程为

Mx)=~

M1~1

x, M(x)=x, M(x)=ex a2a

注意到BC段的和M均为0，AB段的M为0，于是得到

1θA=

1∆D=

∫

MaxM

(ex)dx=e （3） aa3EI

∫

xMeMea2()(x)dx= （↓） 02a6EI

12-21 图示圆截面刚架，横截面的直径为d，且a =10d 。试按下述原则计算节点A的

铅垂位移ΔA，并进行比较。

（1）同时考虑弯矩与轴力的作用；（2）只考虑弯矩的作用。

题12-21图

解：令F=1即为求ΔA的单位状态，坐标x自下顺轴线向上取。（1）考虑M与FN同时作用

Mx)=

x, M(x)=Fx 44

利用对称性，可得

22, FN=F 44

∆A=

∫

2Fa3Fa16030F

（↓） +=(x)(Fx)dx+()(F)a=

044EA4412EI4EA3πEd

（2）只考虑M作用

此时，有

Fa316000F

=（↓） ∆A=

12EI3πEd

比较可知，后者只比前者小0.2%。

12-23 图示变截面梁，自由端承受集中载荷F = 1kN作用，材料的弹性模量E =200GPa。

试用单位载荷法计算截面A的挠度。

题12-23图

解：令F=1即为求∆A的单位状态，自A向左取坐标x，则有

M(x)=−x, M(x)=−Fx

梁截面之惯性矩为

b(x)h30.0103x1.000×10−7

Iz(x)==×(0.020+)=×(0.100+x)

121256

由此得

∆A=

∫

x)M(x)6F

dx=−EIz(x)10E

∫

0.400

x26×1×103×0.0560943

m dx=−10×200×100.100+x

=0.01683m=16.83mm（↓）

12-24 图示结构，在截面C处承受载荷F作用。试用单位载荷法计算该截面的铅垂位移

ΔC与转角θC。梁BC各截面的弯曲刚度均为EI，杆DG各截面的拉压刚度均为EA。

题12-24图

解：令F=1作为求ΔC的单位状态；求θC的单位状态如图12-24所示，坐标取法亦示于图中。

图12-24

梁的弯矩方程为

Mx1)=−x1, M(x1)=−1, M(x1)=−Fx1 x~

x2)=−x2, M(x2)=−2, M(x2)=−Fx2

杆的轴力为

N=−2, FN=−, FN=−2

依据单位载荷法，得

2Δ=C

及

∫

12Fa38Fa

(−x1)(−Fx1)dx1+(−2)(−2)()=+（↓） 0EAEA3EI

θC=[(−1)(−Fx1)dx1+

EI 0

∫∫

(−

x21)(−Fx2)dx2]+(−)(−22F)(2a) aEAa

5Fa24 （3） =+

6EIEA

12-26 图示结构，在铰链A处承受载荷F作用。试用单位载荷法计算该铰链两侧横截面

间的相对转角。各曲杆各截面的弯曲刚度均为EI。

题12-26图

解：求的单位状态如图12-26所示。

图12-26

ϕ自A处量起，弯矩方程为

ϕ)=cosϕ, M(ϕ)=

注意到左右对称，可得

(sinϕ+cosϕ−1) 2

2 π/2FR

(cosϕ)[(sinϕ+cosϕ−1)]Rdϕ 0EI2FR2 π/2(π−2)FR22=(sinϕcosϕ+cosϕ−cosϕ)dϕ=

0EI4EI

∫

（34）

∫

12-28 图示圆弧形小曲率杆，横截面A与B间存在一夹角为∆θ的微小缝隙。试问在横

截面A与B上需加何种外力，才能使该二截面恰好密合。设弯曲刚度EI为常数。

题12-28图

解：设在A、B面上需加一对力偶矩Me及一对力F后可使二截面恰好密合，现确定Me及F。之值。载荷状态及求θA/B、∆A/B的单位状态分别示如图11-28（a）,（b）和（c）

图12-28

弯矩方程依次为

M(ϕ)=Me+FR(1−cosϕ), M(ϕ)=1, M(ϕ)=R(1−cosϕ)

根据单位载荷法，有

θA/B

∆A/B

2=EI

∫

(1)[Me+FR(1−cosϕ)]Rdϕ=

2πR

(Me+FR) EI

∫

2πR23

[R(1−cosϕ)][Me+FR(1−cosϕ)]Rdϕ=(Me+FR) 0EI2

根据题意要求，应有

θA/B=∆θ, ∆A/B=R⋅∆θ

由此得

F=0, Me=

∆θ 2πR

结论：加一对矩为Me=EI∆θ(2πR)的力偶，可使缝隙处该二截面恰好密合。

12-29 图示开口平面刚架，在截面A与B处作用一对与刚架平面垂直的集中力F。试用

单位载荷法计算该二截面沿载荷作用方向的相对线位移Δ弯曲刚度EIy与EIz以及扭转刚度GItA/B。均为常数，且Iy=Iz= I 。

题12-29图

解：求ΔA/B的单位状态及路径分段坐标示如图12-29。

图12-29

载荷状态及单位状态的弯矩方程依次为

M(x1)=−Fx1, M(x1)=−x1 M(x2)=Fx2, Mx2)=x2

M(x3)=Fx3, M(x3)=x3

两种状态的扭矩方程依次为

T(x2)=−

Fll, x2)=− 22

T(x3)=−Fl, Tx3)=−l

根据单位载荷法，并据Iy=Iz=I，可得

∆A/B

=2[

∫

l/2

Fxdx1+

∫

Fxdx2+ 0GIt

∫

Fl21x2+ 04EI

∫

l/2

Fxdx3+

GIt

∫

l/2

Fl2dx3]

5Fl33Fl3

=（

第十二章能量法（一）

题号页码

(也可通过左侧的题号书签直接查找题目与解)

12-2 图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。试计算板件的总伸长。板件的厚度为δ，

长度为l，左、右端的截面宽度分别为

b1与b2，材料的弹性模量为E。

题12-2图

解：由题图可知，

b−b

A(x)=δb1+21

l



x 

σ(x)=

b−b

δb1+21x

l

Vε=∫

σ2(x)

A(x)dx=2E2Eδ

1F2lb2

xln=∫ 021

2Eδb2−b1b1

b1+x

根据W=Vε，得到

F∆l 2

∆l=

bFl

ln2

Eδb2−b1b1

12-3 图示等截面直杆，承受轴向载荷F作用。设杆的横截面面积为A，材料的应力－应

变关系为σ=c，其中c为已知常数。试计算外力所作之功。

题12-3图

解：根据

σ=

及

F∆, ε= Al

σ=c

得

F=cA

由图12-3可知，

∆

图12-3

dW=fdδ=cA

积分得

2cA22F3l

W=∫cAδ=∆=22

0l3cA3l

∆

12-4 图示圆柱形大螺距弹簧，承受轴向拉力F作用。试用能量法证明弹簧的轴向变形为

8FD3n2Gsin2α

cosα+λ= Gd4Ecosα

式中：D为弹簧的平均直径，d为弹簧丝的直径，n为弹簧的圈数，α为螺旋升角，E为弹性模量，G为切变模量。

题12-4图

解：由截面法可得

M(s)=

据能量守恒定律，有

W=Vε

其中，

而

lM(s)T2(s)s+∫s Vε= ∫ 02GI 02EIP

FDFD

sinα, T(s)=cosα （a） 22

（b）

Fλ

（c）

（d）

式中，l为簧丝总长，其值为

πDn

cosα

（e）

将式（a）代入式（d），完成积分，并注意到式（e），得

F2D3nπGIPsin2α

Vε=(cosα+

8GIPEIcosα

最后，将式（c）和（f）代入式（b），化简后，得

（f）

8FD3n2Gsin2α

(cosα+) λ=GdEcosα

12-5 图示等截面直杆，承受一对方向相反、大小均为F的横向力作用。设截面宽度为b、

拉压刚度为EA，材料的泊松比为µ。试利用功的互等定理，证明杆的轴向变形为

∆l=

µbF

题12-5图

解：设该杆两端承受轴向拉力F1作用，依据功的互等定理，有

µFbF1⋅∆l=F⋅1

EA

由此得

∆l=

µbF

12-6 图示纤维增强复合材料，轴1沿纤维方向，轴2垂直于纤维方向。当正应力σ单独

作用时（图a），材料沿1和2方向的正应变分别为

ε1′=

σ1

′=−ε2

µ12σ1

，上述二式中，E1与µ12分别为复合材料的纵向弹性模量与纵向泊松比。当σ2单独作用时（图b）方向的正应变则分别为

ε1′′=−

µ21σ2

′′=ε2

σ2

式中，E2与µ21分别为复合材料的横向弹性模量与横向泊松比。试证明：

µ12

即上述四个弹性常数中，只有三个是独立的。

µ21

题12-6图

解：依据功的互等定理，有

′=σ1⋅ε1′′ σ2⋅ε2

即

σ2⋅(−

由此得

µ12σ1

)=σ1⋅(−

µ21σ2

)

µ12

µ21

12-8 图示桁架，在节点B承受载荷F作用。试用卡氏定理计算该节点的铅垂位移Δ。

各杆各截面的拉压刚度均为EA。

题12-8图

解：根据卡氏定理，有

∂FNi15

∆B=Fl∑Nii∂F

EAi=1

各杆编号示如图12-8。

图12-8

求∆B的运算过程示如下表：

由此得

∆B=

(3+2)Fa （↓）

12-9 图示刚架，承受载荷F作用。试用卡氏定理计算截面C的转角。设弯曲刚度EI为

常数。

题12-9图

，由图可得解：在截面C处假想附加一矩为MC的力偶（见图12-9）

M(x1)=(F+

MC∂M(x1)x1

x1 ,= a∂MCa

∂M(x2)

∂MC

M(x2)=Fx2+MC

图12-9

根据卡氏定理，得

ax11 a5Fa2

θC=[∫(Fx1)()dx1+∫(Fx2)(1)dx2]= （4）

0 0EIa6EI

12-10 试用卡氏定理计算图示各梁横截面A的挠度∆与转角θ。设弯曲刚度EI为常数。

题12-10图

（a）解：令Fa=MA，由图12-10a易得

M(x)=MA−Fx，

∂M(x)∂M

(x)=1 =−x， ∂F∂MA

图12-10(a)

注意到左半段梁上M=0，于是得

∆A=

EIFa3

∫ 0(Fa−Fx)(−x)dx=−6EI （↑）

1θA=

EIFa2

∫ 0(Fa−Fx)(1)dx=2EI （4）

（b）解：令qa=F，并在A端附加一顺钟向的力偶矩MA，自A向左取坐标x，有

1∂M(x)∂M(x)

=−1 =−x， M(x)=−MA−Fx−qx2，

∂F∂MA2

根据卡氏定理，得

∆A=

EI1θA=

1211qa4

∫ 0(−qax−2qx)(−x)dx=24EI（↓）

122qa3

∫ 0(−qax−2qx)(−1)dx=3EI（3）

12-12 图示圆截面轴，右半段承受集度为m的均布扭力矩作用。试用卡氏第二定理计算

杆端截面A的扭转角。设扭转刚度GIp

为常数。

题12-12图

解：在A端附加一扭力矩MA，自A向左取坐标x1，自轴中间截面向左取坐标x2，于是有

T(x1)=MA+mx1 , T(x2)=MA+ma

及

∂T(x1)∂T(x2)==1 ∂MA∂MA

依据卡氏定理，得

a1 a3ma2ϕA=(mx1)(1)dx1+∫(ma)(1)dx2=

 0∫ 02GIpGIp

12-14 图示简支梁，承受集度为q(x) 的分布载荷作用，现在，使梁发生横向虚位移

w*(x)，该位移满足位移边界条件与变形连续条件，试证明：

∫

功Wi 。

w*(x)q(x)dx=∫M(x)dθ*

即证明外载荷q (x) 在虚位移上所作之总虚功We ，等于可能内力M(x)在相应虚变形上所作之总虚

题12-14图

解：应用下列微分关系

dFSdMdw∗∗

q(x)=, FS(x)=, θ=

dxdxdx

及分部积分公式，有

dFS

dx=w∗FSWe=∫w(x)q(x)dx=∫w(x)⋅

l 0dx

∗

dw∗

−∫FS⋅dx 0dx

=−

∫

l 0

∗

dx=−θ∗Mdx

∫

l 0

M(x)dθ∗=

∫

M(x)dθ∗=Wi

12-15 图示阶梯形简支梁，承受载荷F作用。试用单位载荷法计算横截面C的挠度Δ

与横截面A的转角θA 。

题12-15图

解：设两种单位状态如下： 1．令F=1；

2．在截面A处假想加一顺钟向力偶矩MA=1，坐标示如图12-15。

图12-15

三种弯矩方程为

11F~

x1 , M(x1)=1−x1 , M(x1)=x1 33a311F~

x2)=x2 , M(x2)=1−x2 , M(x2)=x2

33a3212F~

x3)=x3, M(x3)=x3, M(x3)=x3

33a3

x1)=

依据单位载荷法，有

∆C=

1 a11F

()()d+xxx111

32EIEI∫ 03

13Fa3

=(↓)

54EI

1x1F

(1)()d−+xx∫ 03a3112EI

∫

(

1x2F

)(x2)dx2+332EI22F

()(x∫ 0333x3)dx3

及

θA=

∫

1xF

(1−2)(x2)dx2+

3a32EI

∫

(

x32F

)(x3)dx3 3a3

31Fa2=（3） 108EI

12-16 图示含梁间铰的组合梁，外伸段承受均布载荷q作用。试用单位载荷法计算该铰

链两侧横截面间的相对转角。二梁各截面的弯曲刚度均为EI。

题12-16图

解：求的单位状态及坐标取法示如图12-16。

图12-16

两种弯矩方程为

x1)=0, M(x1)=−

x2)=1−Mx3)=1+

由此得到

q2x1 2

x2qa, M(x2)=−x2 a2x3qa, M(x3)=x3 a2

EIx2qa1−−+(1)(x)dx∫ 0a222EI

ax3qaqa3

∫ 0(1+a)(2x3)dx3=3EI （43）

12-17 图示桁架，在节点B处承受载荷F作用。试用单位载荷法计算该节点的水平位移

ΔB与杆AB的转角。各杆各截面的拉压刚度均为EA。

题12-17图

(a) 解：求∆B和θAB的单位状态分别示如图12-17a（1）和a（2）。

图12-17a

求ΔB的运算过程列表如下：

故有

∆B=∑

i=1

NiFNili3Fa

=−（←）

EA12EA

求θAB的运算过程列表如下：

故有

θAB

NiFNili5=∑=

EA6EAi=1

（3）

。 (b) 解：求ΔB和θAB的单位状态分别示如图12-17b（1）和b（2）

图12-17b

求ΔB的运算过程列表如下：

故有

∆B=∑

i=1

FNiFNili(2+22)Fa

= （→）

EAEA

求θAB的运算过程列表如下：

故有

θAB=∑

i=1

FNiFNili(2+4)F

=（3）

EAEA

12-18 图示刚架，弯曲刚度EI为常数。试用单位载荷法计算截面A的转角及截面D的

水平或铅垂位移。

题12-18图

。

(a)解：求θA及ΔD的单位状态分别示如图12-18a（1）和（2）

图12-18a

弯矩方程依次为

(x1)=1, M(x1)=x1, M(x1)=qax1−x12

1qa~

x2)=x2, M(x2)=a, M(x2)=x2

x3)=0, M(x3)=x3, M(x3)=0

依据单位载荷法，有

ax1 aq2qax2qa2

(1)(qax1−x1)dx1+∫()()dx2=θA=（3） ∫ 0 0EI2a22EI

及

a1 aq2qa11qa

（→） ∆D=(x1)(qax1−x1)dx1+∫(a)(x2)dx2=∫ 0 0EI2224EI

(b)解：求θA及∆D的单位状态如图12-18b（1）和b（2）所示。

图12-18b

弯矩方程为

Mx)=~

M1~1

x, M(x)=x, M(x)=ex a2a

注意到BC段的和M均为0，AB段的M为0，于是得到

1θA=

1∆D=

∫

MaxM

(ex)dx=e （3） aa3EI

∫

xMeMea2()(x)dx= （↓） 02a6EI

12-21 图示圆截面刚架，横截面的直径为d，且a =10d 。试按下述原则计算节点A的

铅垂位移ΔA，并进行比较。

（1）同时考虑弯矩与轴力的作用；（2）只考虑弯矩的作用。

题12-21图

解：令F=1即为求ΔA的单位状态，坐标x自下顺轴线向上取。（1）考虑M与FN同时作用

Mx)=

x, M(x)=Fx 44

利用对称性，可得

22, FN=F 44

∆A=

∫

2Fa3Fa16030F

（↓） +=(x)(Fx)dx+()(F)a=

044EA4412EI4EA3πEd

（2）只考虑M作用

此时，有

Fa316000F

=（↓） ∆A=

12EI3πEd

比较可知，后者只比前者小0.2%。

12-23 图示变截面梁，自由端承受集中载荷F = 1kN作用，材料的弹性模量E =200GPa。

试用单位载荷法计算截面A的挠度。

题12-23图

解：令F=1即为求∆A的单位状态，自A向左取坐标x，则有

M(x)=−x, M(x)=−Fx

梁截面之惯性矩为

b(x)h30.0103x1.000×10−7

Iz(x)==×(0.020+)=×(0.100+x)

121256

由此得

∆A=

∫

x)M(x)6F

dx=−EIz(x)10E

∫

0.400

x26×1×103×0.0560943

m dx=−10×200×100.100+x

=0.01683m=16.83mm（↓）

12-24 图示结构，在截面C处承受载荷F作用。试用单位载荷法计算该截面的铅垂位移

ΔC与转角θC。梁BC各截面的弯曲刚度均为EI，杆DG各截面的拉压刚度均为EA。

题12-24图

解：令F=1作为求ΔC的单位状态；求θC的单位状态如图12-24所示，坐标取法亦示于图中。

图12-24

梁的弯矩方程为

Mx1)=−x1, M(x1)=−1, M(x1)=−Fx1 x~

x2)=−x2, M(x2)=−2, M(x2)=−Fx2

杆的轴力为

N=−2, FN=−, FN=−2

依据单位载荷法，得

2Δ=C

及

∫

12Fa38Fa

(−x1)(−Fx1)dx1+(−2)(−2)()=+（↓） 0EAEA3EI

θC=[(−1)(−Fx1)dx1+

EI 0

∫∫

(−

x21)(−Fx2)dx2]+(−)(−22F)(2a) aEAa

5Fa24 （3） =+

6EIEA

12-26 图示结构，在铰链A处承受载荷F作用。试用单位载荷法计算该铰链两侧横截面

间的相对转角。各曲杆各截面的弯曲刚度均为EI。

题12-26图

解：求的单位状态如图12-26所示。

图12-26

ϕ自A处量起，弯矩方程为

ϕ)=cosϕ, M(ϕ)=

注意到左右对称，可得

(sinϕ+cosϕ−1) 2

2 π/2FR

(cosϕ)[(sinϕ+cosϕ−1)]Rdϕ 0EI2FR2 π/2(π−2)FR22=(sinϕcosϕ+cosϕ−cosϕ)dϕ=

0EI4EI

∫

（34）

∫

12-28 图示圆弧形小曲率杆，横截面A与B间存在一夹角为∆θ的微小缝隙。试问在横

截面A与B上需加何种外力，才能使该二截面恰好密合。设弯曲刚度EI为常数。

题12-28图

图12-28

弯矩方程依次为

M(ϕ)=Me+FR(1−cosϕ), M(ϕ)=1, M(ϕ)=R(1−cosϕ)

根据单位载荷法，有

θA/B

∆A/B

2=EI

∫

(1)[Me+FR(1−cosϕ)]Rdϕ=

2πR

(Me+FR) EI

∫

2πR23

[R(1−cosϕ)][Me+FR(1−cosϕ)]Rdϕ=(Me+FR) 0EI2

根据题意要求，应有

θA/B=∆θ, ∆A/B=R⋅∆θ

由此得

F=0, Me=

∆θ 2πR

结论：加一对矩为Me=EI∆θ(2πR)的力偶，可使缝隙处该二截面恰好密合。

12-29 图示开口平面刚架，在截面A与B处作用一对与刚架平面垂直的集中力F。试用

单位载荷法计算该二截面沿载荷作用方向的相对线位移Δ弯曲刚度EIy与EIz以及扭转刚度GItA/B。均为常数，且Iy=Iz= I 。

题12-29图

解：求ΔA/B的单位状态及路径分段坐标示如图12-29。

图12-29

载荷状态及单位状态的弯矩方程依次为

M(x1)=−Fx1, M(x1)=−x1 M(x2)=Fx2, Mx2)=x2

M(x3)=Fx3, M(x3)=x3

两种状态的扭矩方程依次为

T(x2)=−

Fll, x2)=− 22

T(x3)=−Fl, Tx3)=−l

根据单位载荷法，并据Iy=Iz=I，可得

∆A/B

=2[

∫

l/2

Fxdx1+

∫

Fxdx2+ 0GIt

∫

Fl21x2+ 04EI

∫

l/2

Fxdx3+

GIt

∫

l/2

Fl2dx3]

5Fl33Fl3

=（

材料力学课后习题答案12章

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