满足柯西-黎曼条件但 不可导的例子
p.10考察 复变函数f ( z ) = Re( z ) ⋅ Im( z )在z = 0处的可导性。 根据所在象限的不同，f ( z )可化简为以下形式： 第一象限 ⎧0, ⎪ 第二象限 ⎪ xy , 第二象限 ， v ( x, y ) = ⎨ 第三象限 第三象限 ⎪0, ⎪ xy， 第四象限 第四象限 ⎩ 该函数在z = 0处是否满足柯西 − 黎曼条件？是否可导？ 第一象限 ⎧ xy , ⎪ ⎪0, u ( x, y ) = ⎨ ⎪ xy , ⎪0, ⎩
而在x轴和y轴上，f(z)恒为0。所以u=0, v=0，
在原点，显然 ∂u ∂u ∂v ∂v = = = =0 ∂x ∂y ∂x ∂y
2/20/2012
因此，当自变量z沿着x轴或者y轴趋向于0时极限值相 同且均为0。满足C-R条件。 41
满足柯西-黎曼条件但 不可导的例子
但是，如果z沿着其他路径趋向于0，结果 却会有不同。
例如，让z从第一象限模趋向于0而辐角保 持一定。则此时：
f (0) = 0, Δz = Δρ exp(iθ ), f (Δz ) = xy = Δρ cos θ ⋅ Δρ sin θ .
Δz →0
lim
Δρ cos θ ⋅ Δρ sin θ f (0 + Δz ) − f (0) = lim . Δρ → 0 Δz Δρ exp(iθ ) cos θ sin θ exp(iθ )
=
2/20/2012
显然此极限值一般不为0且与辐角有关，因此 在此例中，虽然f(z)在z=0处满足C-R条件， 42 但在z=0处却不可导。前面的推导是无用功吗？
复变函数可导的充要条件
复变函数f(z)可导的充分必要条件是：
函数偏导数 ∂u ∂u ∂v ∂v , , , 均存在且连续，且 ∂x ∂y ∂x ∂y
满足C − R条件. ⎧ ∂u ∂v ⎧ ∂u 1 ∂v = ⎪ ∂x ∂y ⎪ ∂ρ = ρ ∂θ ⎪ ⎪ . 直角坐标： ，极坐标： ⎨ ⎨ ∂v ∂u 1 ∂u ∂v ⎪ =− ⎪ =− ⎪ ρ ∂θ ⎪ ∂y ∂x ∂ρ ⎩ ⎩
也就是说，只需柯西-黎曼条件再加上偏导数的连续性 条件，即可保证复变函数的可导性。
2/20/2012 43
(实)二元函数可微的条件
如果二元函数u ( x, y )在( x, y )点偏导数 且连续，那么u ( x, y )在( x, y )点可微。 如果u ( x, y )可微，则以下关系式可成立： ∂u ∂u Δu ~ Δx + Δy ∂x ∂y
若前面条件满足，显然此时u, v均可微。 而刚才的反例偏导不连续，这个关系式不成立。
∂u ∂u , 存在 ∂x ∂y
2/20/2012
44
可导性证明
Δf Δu + iΔv = lim Δz →0 Δz Δz →0 Δz lim 由于u , v可微，因此有Δu ~ ∂u ∂u ∂v ∂v Δx + Δy, Δv ~ Δx + Δy, ∂x ∂y ∂x ∂y ∂u ∂u ∂v ∂v Δx + Δy + i ( Δx + Δy ) Δf ∂x ∂y ∂x ∂y 所以 lim = lim Δz →0 Δz Δz → 0 Δx + iΔy ∂u ∂v 然后将C − R条件代入，替换 和 ，得： ∂y ∂y ∂u ∂v ∂v ∂u Δx − Δy + i ( Δx + Δy ) Δf ∂x ∂x ∂x lim = lim ∂x Δz →0 Δz Δz →0 Δx + iΔy ∂u ∂v (Δx + iΔy ) + i (Δx + iΔy ) ∂u ∂v ∂x = + i ，与Δz形式无关。 = lim ∂x Δz → 0 Δx + iΔy ∂x ∂x
2/20/2012
45
f’(z)的具体表达式是什么？
由于C − R关系的存在，f ' ( z )可以有许多不同形式： ∂u ∂v f ' ( z) = +i ∂x ∂x ∂u ∂u f ' ( z) = −i ∂x ∂y ∂v ∂u f ' ( z) = −i ∂y ∂y ∂v ∂v f ' ( z) = +i ∂y ∂x
可以只用u或者只有v写出f’(z)的表达式
2/20/2012 46
解析函数
定义 若函数 f(z) 在点z0及其邻域上处处 可导，则称f(z)在z0点解析。又若f(z) 在 区域B上每一点都解析，则称f(z)是区域 B上的解析函数。 之所以区分可导和解析的概念，是因为 存在可导但不解析的反例。即存在只在 一点或一条直线上可导的奇怪函数，这 样的函数仍然不属于解析函数。
2/20/2012
47
可导但不解析的反例
考虑函数f ( z ) = Re( z ) 2 有：u ( x, y ) = x 2，v( x, y ) = 0. ∂u ∂u ∂v ∂v 偏导 = 2 x, = = = 0，显然均存在且连续。 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂u ∂u ∂v ∂v 在z = 0处， = = = = 0. ∂x ∂y ∂x ∂y 因此根据定义在z = 0处f ( z )可导. ∂u ∂v 但是，在 Re( z ) ≠ 0处， = 2 x ≠ 0而 = 0.不满足C − R条件， ∂x ∂y
2/20/2012
因此f ( z )在任何区域上都不是解析函数。
48
调和函数
如果某函数H(x,y)在区域B上具有连续的 二阶偏导，且满足拉普拉斯方程，则称 H(x,y)为区域B上的调和函数。
C-R关系表明u和v 之间不完全独立 。这里看到，u和 v本身也不能是任 意函数！(都必须 是调和函数)
二维拉普拉斯方程： ∂2H ∂2H ∇ H = 2 + 2 =0 ∂ x ∂ y
2
拉普拉斯 方程与静 电场问题 密切相关
若函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B上解析， 为什么突然研究这个函数？ 则u,v均为调和函数。即u(x,y)和v(x,y)均满足以 上拉普拉斯方程。
2/20/2012 49
解析函数与调和函数
不难证明解析函数实部和虚部均为调和函数。
仍然从柯西 − 黎曼方程出发， ∂u ∂v ∂u ∂v = ， =− ， ∂x ∂y ∂y ∂x 两式均凑出 ∂ 2v ∂ 2u ∂ 2u 项并消去，即可得： 2 + 2 = 0, ∂x∂y ∂x ∂y
∂ 2u ∂ 2v ∂ 2v 两式均凑出 项并消去，即可得： 2 + 2 = 0。 ∂x∂y ∂x ∂y
∂ 2u ∂ 2u 注意这里高阶偏导和求导顺序无关： x∂y = ∂y∂x ∂
2/20/2012
u(x,y)和v(x,y)是同一个函数的实部和虚部， 这种情况又被称作u,v互为共轭调和函数。
50
解析函数与调和函数
从前面推导可知，若f(z)=u+iv为解析函数，则u和v 均为调和函数，也就是u和v都满足拉普拉斯方程： 可以看到，解析函数和调和函数间存在密切联系。 一个很自然的问题：如果反过来已知某u, v均满足拉 普拉斯方程，那么f=u+iv是否为解析函数？ 答案显然是否定的。那么正确说法是什么？
u和v不能是两个任意调和函数，而是需要互 为共轭调和函数。 两者正确的关系：如果已知u(x, y)为调和函 数(满足拉普拉斯方程)，则可由之求得一个 确定的v(x, y)，让f=u+iv 解析。因此，每个 调和函数均可确定一个解析函数。
2/20/2012 51
多元函数的全微分
表达式g(x,y)dx + h(x,y)dy是全微分的判据是： ∂g ∂h = 全微分判据： ∂y ∂x 例如d ( xy ) = xdy + ydx是全微分，这里g ( x, y ) = x, h( x, y ) = y，满足以上判据。 任何解析函数的du , dv表达式都是全微分，可以 使用全微分的有关性质。
2/20/2012 52
全微分的证明
以虚部v( x, y )为例，dv的一般形式为： ∂v ∂v dv = dx + dy ∂x ∂y 将C − R条件代入，可得： ∂u ∂u dv = − dx + dy, ∂y ∂x ∂u ∂u ∂g ∂h 令g = − , h = ，对照前面的全微分判据，需要证明 = . ∂y ∂x ∂y ∂x ∂g ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ 2u = ⎜− ⎟ = − 2 , ∂y ∂y ⎜ ∂y ⎟ ∂y ⎝ ⎠ ∂h ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ 2u 而 = ⎜ ⎟ = 2 ,由拉普拉斯方程可知两者相等，因此dv是全微分。 ∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x
2/20/2012
同理，用类似方法可证明du表达式也是全微分。
53
由实部求虚部 (或相反)
由于解析函数的实部和虚部并不独立。通 过C-R条件，只要已知解析函数的实部(或 虚部)，就可以求得其虚部(或实部)。进而 确定整个解析函数。 曲线积分法 利用全微分与路径无关的 性质，选取特殊积分路径积分 凑全微分显式法 如果方程右式容易 写成全微分显式表达式，表达式自然得出 不定积分法 将δv/δx、δv/δy分别 对x、y积分，再比较，可得最后表达式。
2/20/2012 54
已知u求v的例子
P.14例1 已知解析函数f(z)的实部 u(x, y) =x2 - y2，求虚部和这个解析函数。
我们用几种不同方法进行求解。
2/20/2012
55
曲线积分法
∂u ∂u = −2 y, = 2 x, ∂y ∂x ∂v ∂u ∂v ∂u = ，替换得： 由C − R条件 = − , ∂x ∂y ∂y ∂x ∂v ∂v = 2 y, = 2 x, 因此dv = 2 ydx + 2 xdy ∂x ∂y 由u ( x, y ) = x 2 − y 2可得 全微分积分值与路径无关，所以：
( x,0)
v( x, y ) = v(0,0) +
( x,0)
( 0,0)
∫ (2 ydx + 2 xdy ) + ∫ (2 ydx + 2 xdy )
( x,0) ( x,0) ( x, y ) ( x, y ) ( 0, 0 ) ( x,0) ( x,0)
( x, y )
( 0,0)
, (因 ∫ 2 ydx = 0（因y = 0），∫ 2 xdy = 0, (因dy = 0)，∫ 2 ydx = 0， dx = 0)，∫ 2 xdy = 2 xy
所以v( x, y ) = 2 xy + C，其中C为任意实常数(因为v是实函数)。
2/20/2012
下面需要将f(z)具体形式写出。
56
求出f(z)的具体形式
由于u ( x, y ) = x 2 − y 2，而v( x, y ) = 2 xy + C 因此所求解析函数f ( z )可写作： f ( z ) = x 2 − y 2 + 2ixy + iC 下面需要将其凑成z的形式。 由于z = x + iy，z 2 = ( x + iy ) 2 = x 2 − y 2 + 2ixy 因此 : f ( z ) = ( x + iy ) 2 + iC = z 2 + iC为所求。 其中C为实常数。
2/20/2012
最后需要写成z的表达式，常数需说明。
57
凑全微分显式法
由dv = 2 ydx + 2 xdy，而我们知道d ( xy ) = ydx + xdy， 所以： dv = d (2 xy ) 由此得： v = 2 xy + C 其中C为实常数，下面求f ( z )过程与前面相同。
这个方法需要靠观察，但对某些简单函数很有效。
2/20/2012
58
不定积分法
前面步骤和方法1相同，求出偏导表达式后， 由 ∂v = 2 x, ∂y ∂v = 2 y，将两式分别对x, y积分， ∂x
可得： ∂v v = ∫ dy = ∫ 2 xdy = 2 xy + C1 ( x) ∂y ∂v v = ∫ dx = ∫ 2 ydx = 2 xy + C2 ( y ) ∂x 两者对比即可知v = 2 xy + C，其中C为实常数, 然后同样求出f ( z )。
2/20/2012 59
另一种解法
前面几种方法都是已知u(或v)后先求出 v(或u)，然后再求f(z). 实际上，我们也可 以先写出f’(z)，然后积分直接得到f(z)， 再给出v(或u)，这样往往会更简单。 这是不难做到的，我们前面给出了几种 f’(z)的表达式，的确可以只含有u或者只 含有v。如：
∂u ∂u −i ∂y ∂x ∂v ∂v f ' ( z) = +i ∂y ∂x f ' ( z) =
2/20/2012 60
满足柯西-黎曼条件但 不可导的例子
p.10考察 复变函数f ( z ) = Re( z ) ⋅ Im( z )在z = 0处的可导性。 根据所在象限的不同，f ( z )可化简为以下形式： 第一象限 ⎧0, ⎪ 第二象限 ⎪ xy , 第二象限 ， v ( x, y ) = ⎨ 第三象限 第三象限 ⎪0, ⎪ xy， 第四象限 第四象限 ⎩ 该函数在z = 0处是否满足柯西 − 黎曼条件？是否可导？ 第一象限 ⎧ xy , ⎪ ⎪0, u ( x, y ) = ⎨ ⎪ xy , ⎪0, ⎩
而在x轴和y轴上，f(z)恒为0。所以u=0, v=0，
在原点，显然 ∂u ∂u ∂v ∂v = = = =0 ∂x ∂y ∂x ∂y
2/20/2012
因此，当自变量z沿着x轴或者y轴趋向于0时极限值相 同且均为0。满足C-R条件。 41
满足柯西-黎曼条件但 不可导的例子
但是，如果z沿着其他路径趋向于0，结果 却会有不同。
例如，让z从第一象限模趋向于0而辐角保 持一定。则此时：
f (0) = 0, Δz = Δρ exp(iθ ), f (Δz ) = xy = Δρ cos θ ⋅ Δρ sin θ .
Δz →0
lim
Δρ cos θ ⋅ Δρ sin θ f (0 + Δz ) − f (0) = lim . Δρ → 0 Δz Δρ exp(iθ ) cos θ sin θ exp(iθ )
=
2/20/2012
显然此极限值一般不为0且与辐角有关，因此 在此例中，虽然f(z)在z=0处满足C-R条件， 42 但在z=0处却不可导。前面的推导是无用功吗？
复变函数可导的充要条件
复变函数f(z)可导的充分必要条件是：
函数偏导数 ∂u ∂u ∂v ∂v , , , 均存在且连续，且 ∂x ∂y ∂x ∂y
满足C − R条件. ⎧ ∂u ∂v ⎧ ∂u 1 ∂v = ⎪ ∂x ∂y ⎪ ∂ρ = ρ ∂θ ⎪ ⎪ . 直角坐标： ，极坐标： ⎨ ⎨ ∂v ∂u 1 ∂u ∂v ⎪ =− ⎪ =− ⎪ ρ ∂θ ⎪ ∂y ∂x ∂ρ ⎩ ⎩
也就是说，只需柯西-黎曼条件再加上偏导数的连续性 条件，即可保证复变函数的可导性。
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(实)二元函数可微的条件
如果二元函数u ( x, y )在( x, y )点偏导数 且连续，那么u ( x, y )在( x, y )点可微。 如果u ( x, y )可微，则以下关系式可成立： ∂u ∂u Δu ~ Δx + Δy ∂x ∂y
若前面条件满足，显然此时u, v均可微。 而刚才的反例偏导不连续，这个关系式不成立。
∂u ∂u , 存在 ∂x ∂y
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可导性证明
Δf Δu + iΔv = lim Δz →0 Δz Δz →0 Δz lim 由于u , v可微，因此有Δu ~ ∂u ∂u ∂v ∂v Δx + Δy, Δv ~ Δx + Δy, ∂x ∂y ∂x ∂y ∂u ∂u ∂v ∂v Δx + Δy + i ( Δx + Δy ) Δf ∂x ∂y ∂x ∂y 所以 lim = lim Δz →0 Δz Δz → 0 Δx + iΔy ∂u ∂v 然后将C − R条件代入，替换 和 ，得： ∂y ∂y ∂u ∂v ∂v ∂u Δx − Δy + i ( Δx + Δy ) Δf ∂x ∂x ∂x lim = lim ∂x Δz →0 Δz Δz →0 Δx + iΔy ∂u ∂v (Δx + iΔy ) + i (Δx + iΔy ) ∂u ∂v ∂x = + i ，与Δz形式无关。 = lim ∂x Δz → 0 Δx + iΔy ∂x ∂x
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f’(z)的具体表达式是什么？
由于C − R关系的存在，f ' ( z )可以有许多不同形式： ∂u ∂v f ' ( z) = +i ∂x ∂x ∂u ∂u f ' ( z) = −i ∂x ∂y ∂v ∂u f ' ( z) = −i ∂y ∂y ∂v ∂v f ' ( z) = +i ∂y ∂x
可以只用u或者只有v写出f’(z)的表达式
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解析函数
定义 若函数 f(z) 在点z0及其邻域上处处 可导，则称f(z)在z0点解析。又若f(z) 在 区域B上每一点都解析，则称f(z)是区域 B上的解析函数。 之所以区分可导和解析的概念，是因为 存在可导但不解析的反例。即存在只在 一点或一条直线上可导的奇怪函数，这 样的函数仍然不属于解析函数。
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可导但不解析的反例
考虑函数f ( z ) = Re( z ) 2 有：u ( x, y ) = x 2，v( x, y ) = 0. ∂u ∂u ∂v ∂v 偏导 = 2 x, = = = 0，显然均存在且连续。 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂u ∂u ∂v ∂v 在z = 0处， = = = = 0. ∂x ∂y ∂x ∂y 因此根据定义在z = 0处f ( z )可导. ∂u ∂v 但是，在 Re( z ) ≠ 0处， = 2 x ≠ 0而 = 0.不满足C − R条件， ∂x ∂y
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因此f ( z )在任何区域上都不是解析函数。
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调和函数
如果某函数H(x,y)在区域B上具有连续的 二阶偏导，且满足拉普拉斯方程，则称 H(x,y)为区域B上的调和函数。
C-R关系表明u和v 之间不完全独立 。这里看到，u和 v本身也不能是任 意函数！(都必须 是调和函数)
二维拉普拉斯方程： ∂2H ∂2H ∇ H = 2 + 2 =0 ∂ x ∂ y
2
拉普拉斯 方程与静 电场问题 密切相关
若函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B上解析， 为什么突然研究这个函数？ 则u,v均为调和函数。即u(x,y)和v(x,y)均满足以 上拉普拉斯方程。
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解析函数与调和函数
不难证明解析函数实部和虚部均为调和函数。
仍然从柯西 − 黎曼方程出发， ∂u ∂v ∂u ∂v = ， =− ， ∂x ∂y ∂y ∂x 两式均凑出 ∂ 2v ∂ 2u ∂ 2u 项并消去，即可得： 2 + 2 = 0, ∂x∂y ∂x ∂y
∂ 2u ∂ 2v ∂ 2v 两式均凑出 项并消去，即可得： 2 + 2 = 0。 ∂x∂y ∂x ∂y
∂ 2u ∂ 2u 注意这里高阶偏导和求导顺序无关： x∂y = ∂y∂x ∂
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u(x,y)和v(x,y)是同一个函数的实部和虚部， 这种情况又被称作u,v互为共轭调和函数。
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解析函数与调和函数
从前面推导可知，若f(z)=u+iv为解析函数，则u和v 均为调和函数，也就是u和v都满足拉普拉斯方程： 可以看到，解析函数和调和函数间存在密切联系。 一个很自然的问题：如果反过来已知某u, v均满足拉 普拉斯方程，那么f=u+iv是否为解析函数？ 答案显然是否定的。那么正确说法是什么？
u和v不能是两个任意调和函数，而是需要互 为共轭调和函数。 两者正确的关系：如果已知u(x, y)为调和函 数(满足拉普拉斯方程)，则可由之求得一个 确定的v(x, y)，让f=u+iv 解析。因此，每个 调和函数均可确定一个解析函数。
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多元函数的全微分
表达式g(x,y)dx + h(x,y)dy是全微分的判据是： ∂g ∂h = 全微分判据： ∂y ∂x 例如d ( xy ) = xdy + ydx是全微分，这里g ( x, y ) = x, h( x, y ) = y，满足以上判据。 任何解析函数的du , dv表达式都是全微分，可以 使用全微分的有关性质。
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全微分的证明
以虚部v( x, y )为例，dv的一般形式为： ∂v ∂v dv = dx + dy ∂x ∂y 将C − R条件代入，可得： ∂u ∂u dv = − dx + dy, ∂y ∂x ∂u ∂u ∂g ∂h 令g = − , h = ，对照前面的全微分判据，需要证明 = . ∂y ∂x ∂y ∂x ∂g ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ 2u = ⎜− ⎟ = − 2 , ∂y ∂y ⎜ ∂y ⎟ ∂y ⎝ ⎠ ∂h ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ 2u 而 = ⎜ ⎟ = 2 ,由拉普拉斯方程可知两者相等，因此dv是全微分。 ∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x
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同理，用类似方法可证明du表达式也是全微分。
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由实部求虚部 (或相反)
由于解析函数的实部和虚部并不独立。通 过C-R条件，只要已知解析函数的实部(或 虚部)，就可以求得其虚部(或实部)。进而 确定整个解析函数。 曲线积分法 利用全微分与路径无关的 性质，选取特殊积分路径积分 凑全微分显式法 如果方程右式容易 写成全微分显式表达式，表达式自然得出 不定积分法 将δv/δx、δv/δy分别 对x、y积分，再比较，可得最后表达式。
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已知u求v的例子
P.14例1 已知解析函数f(z)的实部 u(x, y) =x2 - y2，求虚部和这个解析函数。
我们用几种不同方法进行求解。
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曲线积分法
∂u ∂u = −2 y, = 2 x, ∂y ∂x ∂v ∂u ∂v ∂u = ，替换得： 由C − R条件 = − , ∂x ∂y ∂y ∂x ∂v ∂v = 2 y, = 2 x, 因此dv = 2 ydx + 2 xdy ∂x ∂y 由u ( x, y ) = x 2 − y 2可得 全微分积分值与路径无关，所以：
( x,0)
v( x, y ) = v(0,0) +
( x,0)
( 0,0)
∫ (2 ydx + 2 xdy ) + ∫ (2 ydx + 2 xdy )
( x,0) ( x,0) ( x, y ) ( x, y ) ( 0, 0 ) ( x,0) ( x,0)
( x, y )
( 0,0)
, (因 ∫ 2 ydx = 0（因y = 0），∫ 2 xdy = 0, (因dy = 0)，∫ 2 ydx = 0， dx = 0)，∫ 2 xdy = 2 xy
所以v( x, y ) = 2 xy + C，其中C为任意实常数(因为v是实函数)。
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下面需要将f(z)具体形式写出。
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求出f(z)的具体形式
由于u ( x, y ) = x 2 − y 2，而v( x, y ) = 2 xy + C 因此所求解析函数f ( z )可写作： f ( z ) = x 2 − y 2 + 2ixy + iC 下面需要将其凑成z的形式。 由于z = x + iy，z 2 = ( x + iy ) 2 = x 2 − y 2 + 2ixy 因此 : f ( z ) = ( x + iy ) 2 + iC = z 2 + iC为所求。 其中C为实常数。
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最后需要写成z的表达式，常数需说明。
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凑全微分显式法
由dv = 2 ydx + 2 xdy，而我们知道d ( xy ) = ydx + xdy， 所以： dv = d (2 xy ) 由此得： v = 2 xy + C 其中C为实常数，下面求f ( z )过程与前面相同。
这个方法需要靠观察，但对某些简单函数很有效。
2/20/2012
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不定积分法
前面步骤和方法1相同，求出偏导表达式后， 由 ∂v = 2 x, ∂y ∂v = 2 y，将两式分别对x, y积分， ∂x
可得： ∂v v = ∫ dy = ∫ 2 xdy = 2 xy + C1 ( x) ∂y ∂v v = ∫ dx = ∫ 2 ydx = 2 xy + C2 ( y ) ∂x 两者对比即可知v = 2 xy + C，其中C为实常数, 然后同样求出f ( z )。
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另一种解法
前面几种方法都是已知u(或v)后先求出 v(或u)，然后再求f(z). 实际上，我们也可 以先写出f’(z)，然后积分直接得到f(z)， 再给出v(或u)，这样往往会更简单。 这是不难做到的，我们前面给出了几种 f’(z)的表达式，的确可以只含有u或者只 含有v。如：
∂u ∂u −i ∂y ∂x ∂v ∂v f ' ( z) = +i ∂y ∂x f ' ( z) =
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