第二章 测度与可测函数
本章内容提要：
1. 引进Lebesgue 测度与抽象测度的概念，给出测度的主要性质 2. 引进可测函数的概念，讨论可测函数的性质
3. 讨论可测函数与连续函数之间的关系，给出可测函数的结构 4. 讨论可测函数列的几种不同类型的收敛性概念及其相互关系 本章重点难点提示：
1.Lebesgue 测度与抽象测度的概念及其性质
2. 判定一个集合是否可测的方法 3. 可测函数的几种等价定义
4. 可测函数与连续函数之间的关系
5. 可测函数列的几种收敛性之间的关系
第一节 Lebesgue 测度
2.1.1定理
存在集族L
若 若 若
与集函数
L
，使它们具有以下两组性质
L . L
，L ，则
L .
L .
则
L .
是开集，则. -可加性 若
L
，
互不相交，则
完备性 若 测度单位
平移不变性 若
.
则
L .
L
，
则
L ，且
逼近性质 任给
L
，
且
，存在闭集与开集.
，使
证明见§2.5.
定义Th2.1.1中的
称为一维Lebesgue 测度， L 中的集称为一维Lebesgue 可测
则表示测度
的特征.
集.Th2.1.1中性质刻画了可测集族L 的构成，而
由Th2.1.1可得下列关于可测集与测度的性质
2.1.2命题 若
证明
L
，
，则
L
；若L ，则L .
L
，L .
与命题2.1.2得出结论，可测集经过差运算及可数次并或交运算后仍为
综合性质可测集. 由性质
进一步推出:开集经差运算及可数次并或交运算后仍为可测集(这种可测集
型集与
型集是可测集.
叫Borel 集，见§2.5) ，特别地:
2.1.3命题 测度
有以下性质
L
，则，
.
. 则
则
. .
则
.
①单调性:若 ②可减性:若 ③次可加性:若 ④下连续性:若 ⑤上连续性:若
L
，L
，L
，
L 是一升列，则L 是一降列，且
.
证明: ①
由性质
及时，由
.
得
且
.
② 当
③ 令
，于是
④ 令
则
L
且互不相交，且
.
，则
显然成立). 于是由性质
. 可设及可减性得：
(
否则结论
⑤ 由可减性及下连续性得：
2.1.4命题
① 若
② 若
是可数集，则是区间
.
中任何一个，其中
则
.
③ 若 则
证明
① 由性质集，
是
中开集，.
是的构成区间，
可加性，只需证明单点集是可测集且测度为
0.
:平移不变性，
，否则
矛盾.
，则由①可数集的测度为0，知
.
有
，
.
有
.
，取一列正有理数
.
时，由性质，则
得
由下连续性知
.
则
，由下连续性可得 .
则
，由下连续性可得
.
再设
，使
，则
与无关，即
是闭
可测，由性质
用反证法证明
与性质
② 首先设
由性质
从而
对任何正有理数
对任给正实数是由下连续性有
当
，于
若
若
③ 由性质
例1 设
可加性直接得到
是Cantor 集，
.
.
则由命题2.1.4③知
于是由命题2.1.3. ②可减性有
2.1.5命题
① 若L
， 则
.
②
证明
① 由定义显然闭集
与开集
，使得
L
.
存在型集，使存在型集
使
. 下面只需证明，使
，于是
，由性质:逼近性质有
令
续性知
是任意的
② 由对偶律只需证明 若
令
从而 若有
型集
则
是
型集，则
是紧集(有界闭集) 的升列，且
，
. 使使
.
，从而
于是由下连
L
存在型集
L ，则由性质
:逼近性质有闭集
，且
. 使
，则
是可测集，
从而
L .
综合命题2.1.4和2.1.5得出结论:区间的测度就是其长度；
中开集的测度是其构成区
型集与
间的长度之和；可测集的测度是包含该集的开集测度的下确界；每个可测集是一一零测度集之并，或者是一
和
对于，有完全类似的结果:
2.1.6定理(类似Th2.1.1)
存在惟一的集族L
若
与集函数
的集族L
型集与一零测度集之差. 这些结论表明:具有Th2.1.1
中性质与集函数
L
是惟一确定的.
L
，使得它们具有以下两组性质:
L . L
，
则
L .
若 若
. 可加性：若
L ，则L .
L .
为开集，则
L
，
.
，则.
互不相交，则
完备性:
若 测度单位
: 平移不变性: 若
L .
L
，
，则.
L ，且
逼近性质: 任给
L
，
且
，存在闭集
.
与开集，使
定义Th2.1.6中的
称为维Lebesgue 测度， L 中的集称为维Lebesgue 可测集.
第二章 测度与可测函数
本章内容提要：
1. 引进Lebesgue 测度与抽象测度的概念，给出测度的主要性质 2. 引进可测函数的概念，讨论可测函数的性质
3. 讨论可测函数与连续函数之间的关系，给出可测函数的结构 4. 讨论可测函数列的几种不同类型的收敛性概念及其相互关系 本章重点难点提示：
1.Lebesgue 测度与抽象测度的概念及其性质
2. 判定一个集合是否可测的方法 3. 可测函数的几种等价定义
4. 可测函数与连续函数之间的关系
5. 可测函数列的几种收敛性之间的关系
第一节 Lebesgue 测度
2.1.1定理
存在集族L
若 若 若
与集函数
L
，使它们具有以下两组性质
L . L
，L ，则
L .
L .
则
L .
是开集，则. -可加性 若
L
，
互不相交，则
完备性 若 测度单位
平移不变性 若
.
则
L .
L
，
则
L ，且
逼近性质 任给
L
，
且
，存在闭集与开集.
，使
证明见§2.5.
定义Th2.1.1中的
称为一维Lebesgue 测度， L 中的集称为一维Lebesgue 可测
则表示测度
的特征.
集.Th2.1.1中性质刻画了可测集族L 的构成，而
由Th2.1.1可得下列关于可测集与测度的性质
2.1.2命题 若
证明
L
，
，则
L
；若L ，则L .
L
，L .
与命题2.1.2得出结论，可测集经过差运算及可数次并或交运算后仍为
综合性质可测集. 由性质
进一步推出:开集经差运算及可数次并或交运算后仍为可测集(这种可测集
型集与
型集是可测集.
叫Borel 集，见§2.5) ，特别地:
2.1.3命题 测度
有以下性质
L
，则，
.
. 则
则
. .
则
.
①单调性:若 ②可减性:若 ③次可加性:若 ④下连续性:若 ⑤上连续性:若
L
，L
，L
，
L 是一升列，则L 是一降列，且
.
证明: ①
由性质
及时，由
.
得
且
.
② 当
③ 令
，于是
④ 令
则
L
且互不相交，且
.
，则
显然成立). 于是由性质
. 可设及可减性得：
(
否则结论
⑤ 由可减性及下连续性得：
2.1.4命题
① 若
② 若
是可数集，则是区间
.
中任何一个，其中
则
.
③ 若 则
证明
① 由性质集，
是
中开集，.
是的构成区间，
可加性，只需证明单点集是可测集且测度为
0.
:平移不变性，
，否则
矛盾.
，则由①可数集的测度为0，知
.
有
，
.
有
.
，取一列正有理数
.
时，由性质，则
得
由下连续性知
.
则
，由下连续性可得 .
则
，由下连续性可得
.
再设
，使
，则
与无关，即
是闭
可测，由性质
用反证法证明
与性质
② 首先设
由性质
从而
对任何正有理数
对任给正实数是由下连续性有
当
，于
若
若
③ 由性质
例1 设
可加性直接得到
是Cantor 集，
.
.
则由命题2.1.4③知
于是由命题2.1.3. ②可减性有
2.1.5命题
① 若L
， 则
.
②
证明
① 由定义显然闭集
与开集
，使得
L
.
存在型集，使存在型集
使
. 下面只需证明，使
，于是
，由性质:逼近性质有
令
续性知
是任意的
② 由对偶律只需证明 若
令
从而 若有
型集
则
是
型集，则
是紧集(有界闭集) 的升列，且
，
. 使使
.
，从而
于是由下连
L
存在型集
L ，则由性质
:逼近性质有闭集
，且
. 使
，则
是可测集，
从而
L .
综合命题2.1.4和2.1.5得出结论:区间的测度就是其长度；
中开集的测度是其构成区
型集与
间的长度之和；可测集的测度是包含该集的开集测度的下确界；每个可测集是一一零测度集之并，或者是一
和
对于，有完全类似的结果:
2.1.6定理(类似Th2.1.1)
存在惟一的集族L
若
与集函数
的集族L
型集与一零测度集之差. 这些结论表明:具有Th2.1.1
中性质与集函数
L
是惟一确定的.
L
，使得它们具有以下两组性质:
L . L
，
则
L .
若 若
. 可加性：若
L ，则L .
L .
为开集，则
L
，
.
，则.
互不相交，则
完备性:
若 测度单位
: 平移不变性: 若
L .
L
，
，则.
L ，且
逼近性质: 任给
L
，
且
，存在闭集
.
与开集，使
定义Th2.1.6中的
称为维Lebesgue 测度， L 中的集称为维Lebesgue 可测集.