高中数学联赛模拟题三
一试
一、填空题（本题满分64分，每小题8分）
≤x ≤a 1. 已知a ≥-2，且A =x 2
{
}，B ={y y =2x +3, x ∈A }，C ={t t =x , x ∈A }，
2
若C ⊆B ，则a 的取值范围是 。
2. 在∆ABC 中，若AB =2，AC =3，BC =4，O 为∆ABC 的内心，且
AO =λAB +μBC ，则λ+μ= .
-x ⎧⎪2-1, (x ≤0),
3. 已知函数f (x )=⎨若关于x 的方程f (x )=x +a 有且只有两个不相等
⎪⎩f (x -1), (x >0),
的实数根，则实数a 的取值范围是 。
4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是 。
x 2y 2
+=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点作一条直线l 交椭圆5. 已知椭圆43
于点P 、Q ，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是
6. 设{a n }为一个整数数列，并且满足：(n -1)a n +1=(n +1)a n -2(n -1)，n ∈N +．若
2008a 2007，则满足2008a n 且n ≥2的最小正整数n 是． 7. 如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半径是 。
8. 在平面直角坐标系内，将适合x
+的方程(x -y ) t +(3x
334
2
y ) +t
1
=x -y
0有实数根的点没
(x , y ) 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为。
二、解答题（本题满分56分）
9. （本小题满分16分）对正整数n ≥2，记a n =
n -1
n 1
⋅∑n -k 2k -1，求数列{a n }中的最大值．
k =1
x 2y 2
10. （本小题满分20分）已知椭圆 2+2=1 过定点A （1，0），且焦点在x 轴上，椭
a b
圆与曲线y =x 的交点为B 、C 。现有以A 为焦点，过B ，C 且开口向左的抛物线，其顶点
坐标为M （m ，0），当椭圆的离心率满足
2
11. （本小题满分20分）映射f 的定义域是A ={1,2, ,20}的全体真子集，值域包含于
{1,2, ,10}，满足条件：对任意B , C ⊆A ，都有f (B C )=min {f (B ), f (C )}，求这
种映射的个数．
二试
一、（本题满分40分）
B 、C 、D 、E 为直线l 上顺次排列的五点，设A 、
AC BC
，F 在直线l 外的一点，连结=
CE CD
FC 并延长至点G ，恰使∠FAC =∠AGD ，∠FEC =∠EGB 同时成立.
求证：∠FAC =∠FEC 。 二、（本题满分40分）
已知：a , b , c
≥0，a +b +c =2，
bc ca ab
++≤1求证：
1+abc a +b 1+abc b +c 1+abc c +a ．
三、（本题满分50分）
设正整数n 大于1，它的全部正因数为d 1，d 2，…，d k ，满足1=d 1
(i) 证明：D
(ii) 确定所有的n ，使得D 整除n 2。
四、（本题满分50分）
设圆周上有一些红点和蓝点，可以进行如下操作：加上一个红点，并改变其相邻两点的颜色；或去掉一个红点，并改变原先与之相邻的两点颜色．已知开始时只有两个点，均为红点，那么是否有可能经过若干次操作，使得圆周上只有两个点，且均为蓝点．
模拟试题三参考答案
一、填空题（本题满分64分，每小题8分）
1. 答：⎢,3⎥．B =[-1,2a +3]，要使C ⊆B ，只需C 中的最大元素在B 当中，所以
2
2
⎧1⎪(-2)≤2a +3,
，得≤a ≤3。 ⎨2
2⎪⎩a ≤2a +3
⎡1
⎣⎤⎦
2. 答：
3. 答：(-∞,1) 4. 答：
3 2 BD AB 2
设AO 交BC 于点D ，由角平分线定理知==，于是AD =AB +AC ，又
55DC AC 3
AO AB AC AB +AC 5
====， OD BD CD BD +CD 4
5 1 2 1 2 5 2
所以A O ，因此=A B =A +A B +A =AB +C AC
9393999
7
λ+μ=。
9
7 9
()
利用函数图象进行分析易得结果。
1 106
1
。如果计算器上的数在变化过程中除了2011，999，99，9和0以外，还产n
若计算器上显示n 的时候按下按键，因此时共有1~n -1共n 种选择，所以产生给定的数m 的概率是
生了a 1, a 2, , a n ，则概率为
1111111⨯⨯⨯ ⨯⨯⨯⨯，所以所求概率为 2011a 1a 2a n 999999
p =∑
=
1111111
⨯⨯⨯ ⨯⨯⨯⨯ 2011a 1a 2a n 999999
1⎫⎛
1⎪ 20⎭1⎝0
1⎫11⎫⎫⎛⎛
1⨯1 ⎪⎪ 201⎭000999⎭09⎝⎝⎭9981⎫⎛1⎫1⎛1⎫ (⎪1) 1+⎪1 ⨯1+9⎭8⎝1⎭09⎝8⎭
1
1⎛
1+201⎝1
1⎫1⎛⎛
⨯ 1 1+⎪⎝100⎭99⎝注意到
1⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫1=1+1+ 1+⨯1+⨯1+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (1+1)
2011⎝2010⎭⎝2009⎭⎝1000⎭⎝999⎭⎝998⎭
1111⨯⨯=6。 两式相除即得p =
[1**********]
5. 答：
9π 16
因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F 1PQ 的周长是定值8，所以只需求出△F 1PQ 面积的最大值。设直线l 方程为x =my +1，与椭圆方程联立得
(
3m 2+4y 2+6my -9=0，设P (x 1, y 1)，Q (x 2, y 2)，则y 1+y 2=-
93m +4
2
)
6m
，
3m 2+4
y 1y 2=-
，于是
S ∆F 1PQ
1
=F 1F 2⋅y 1-y 221
=
11m +1
=。
因为
m 2+1
(3m
≤
2
+4
)
2
=
9m 2+15+
1m +1
9m 2+9+
1
，所以内切圆半径
+616≤
86. 答：501
r =
2S ∆F 1PQ
93
，因此其面积最大值是π。 416
a n +1a n a n 2
=-，令b n =，则有
n n -1n +1n n n -1n +1n
当n ≥2时，将原式变形为
b n +1=b n -
n (n -1)2⎛11⎫
a 2-(n -1)(n -2)。 ，叠加可得b n =b 2-2 -⎪，于是a n =
22n n +1n ⎝⎭
⎛2007⨯2006⎫
由2008a 2007，得2008 a 2-2006⨯2005⎪，化简得a 2≡6(mod2008)。
2⎝⎭a 2-(n -1)(n -2)≡0m (o d2008)，将上述关于a 2的结果代入得
2
(n +1)(n -1)≡0(mod1004)，于是质数251(n -1)(n +1)且n 是奇数，所以满足条件的最小
由2008a n ，得
的n 是501。 7. 答：16
将题目所得几何体的上半部分与半径为16的半球作比较，将它们的底面置于同一水平面，并考察高度为h 的水平面与两个几何体所截的截面面积。
与第一个几何体形成的截面是圆环，12，所以面积是π202-h 2-122=π162-h 2，这正是与第二个球体形成的截面圆的面积，由祖暅原理知两个几何体的体积是相等的。
n (n -1)
()()
8. 答：
81 5
2
令u =t ，原方程化为(x -y ) u +(3x +y ) u +
332
1
=0. ① x -y
∆=(3x +y ) 2-4(x 3-y 3) ⋅
1x -y
=5x 2+2xy -3y 2=(5x -3y )(x +y ).
所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根，所以，
⎧x
⎧x
x
或 ⎨y
⎪(5x -3y )(x +y ) ≥0, ⎪y
⎪(5x -3y )(x +y )
点集N 所成区域为图中阴影部分，其面积为
S =S ∆ABO +S ∆BCO
124181
=⨯⨯3+⨯6⨯3=. 2525
二、解答题（本题满分56分）
9. （本小题满分16分）
解：经计算知a 2=2，a 3=3，a 4=a 5=
10
，下面用数学归纳法证明：当n ≥5时，有3
a n ≤
10。 3
n +1n +11n +11n +1110
(n ≥5)，则a n +1=n +n -1⨯2+n -2⨯2+ +1⨯n -1
223
n +1n +1⎛n n 1n 1⎫
++⨯+ +⨯n -2⎪ = n 2n ⎝n -1n -2212⎭n +1n +1
=+a n
n 2n
n +1n +110n +186810
≤+⨯=⨯≤⨯
n 2n 3n 3533
10
所以数列{a n }中的最大值是a 4=a 5=。
3
假设a n ≤
10. （本小题满分20分）
解：椭圆过定点A （1，0），则a =1, c =-b 2, e =-b 2,
∵
2
由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线y =x (x ≥0) 的交点，就必过椭圆与射线
y =-x (x ≥0) 的交点。
⎧y =x (x ≥0)
b ⎪
联立方程 ⎨2y 2 ，解得 x =y =。
2
+b ⎪x +2=1
b ⎩
13
，∴0
23
设抛物线方程为：y 2=-2p (x -m ) ，p >0, m >1。
p
=m -1， ∴ y 2=(1-m )(x -m ) ① 又 ∵ 2
11
m >1，0
22
1
令f (x ) =x 2+4(m -1) x -4m (m -1) ，m >1，0
2
⎛1⎫
∵ f (x ) 在 0, ⎪内有根且单调递增，
⎝2⎭
⎧f (0) =-4m (m -1) 1或m
f =+2(m -1) -4m (m -1) >0m 〈⎪ 2⎪4⎪⎝⎭4⎩4⎩
3+2
综上得：1
4
∵0
11. （本小题满分20分）
解：记A i =A /{i }，其中i =1,2, ,20。
首先任意设定f (A , (f A )的值，则对于A 的任意真子集B ，记1), f (A 2), 20
A /B ={a i 1, a i 2, , a in }，则
f (B )=f (A i 1 A i 2 A in )=min {f (A i 1), f (A i 2), , f (A in )}，
因此，映射f 可由f (A 1), f (A 2), , f (A 20)的值完全确定。
下面证明这样的映射满足条件。
⎛⎫
对任意B , C ⊆A ，有f (B )=f A i ⎪=min {f (A i )}，
⎪
⎝i ∈A /B ⎭i ∈A /B ⎛⎫
f (C )=f A i ⎪=min {f (A i )}，
⎪
⎝i ∈A /C ⎭i ∈A /C
⎛⎫
f (B C )=f A i ⎪=min {f (A i )}，
i ∈A /(B C )⎪i ∈A /(B C )⎝⎭由(A /B ) (A /C )=A /(B C )知f (B C )=min f (B ), f (C )。
20
综上所述，由于确定f (A 1), f (A 2), , f (A 20)的值有10种选择，所以这种映射的个
{}
数也为1020。
二试
一、（本题满分40分）
证法一：过B 作BH ∥AF ，交CF 于H ，则
CH CB CB CD CH CD
===，又由，故。 CF CA CA CE CF CE
连结HD ，知HD ∥FE ，延长HB , HD 分别交AG , EG 于I . J ，连结IJ 。 因为∠IBA =∠FAC =∠AGD ，故I 、B 、D 、G 共圆； 因为∠JDE =∠FEC =∠EGB ，故J 、D 、B 、G 共圆，
∴I 、B 、D 、J 、G 五点共圆，故∠HBC =∠DJI 。
GI GH GJ
==，故IJ AE ，∠DJI =∠EDJ ， GA GF GE
∴∠FAC =∠HBC =∠DJI =∠EDJ =∠FEC 。
证法二：作∆EBG 外接圆C 1，交射线CF 于P ，则BC ⋅CE =GC ⋅CP 。
又由BC ⋅CE =AC ⋅CD ，知AC ⋅CD =GC ⋅CP ，所以P 、A 、G 、D 共圆，记该圆为C 2。
下证P 必在CF 内. 用反证法，假设P 不在CF 内。 连结PA 、PE ，则
∠AFE ≥∠APE =∠APG +∠EPG =∠ADG +∠EBG =180 -∠BGD 又∠FAE =∠AGD ，
∴180≥∠AFE +FAE ≥180-∠BGD +∠AGD >180，矛盾！ 于是，F 在GP 延长线上.
∵∠FAC =∠AGD , ∠FEC =∠EGB ，∴FE 为C 1切线，FA 为C 2切线，
∵IH AF ，JH EF ，∴
∴FA 2=FP ⋅FG =FE 2⇒AF =EF ，故∠FAC =∠FEC 。 二、（本题满分40分） 证明：1+abc ∵a , b , c ∴c
(a +b )-(ab +bc +ca )=⎡⎣1-c (a +b )⎤⨯⎦(1-ab )，
≥0，a +b +c =2，
(a +b )≤1, ab ≤1。
∴1+abc (a +b )≥ab +bc +ca ， 同理1+abc (b +c )≥ab +bc +ca ，
+)a ≥a +b b +c 。 c a (c 1+a b c
那么将不等式左式的三个分母均放缩为其中最小的那个即可。
三、（本题满分50分）
解：(i) 若d 1，d 2，…，d k 是n 的全部正因数，则n /d 1，n /d 2，…，n /d k 也是n 的全部正因数，且当1=d 1
n 2/d 2=n 2/(d 1d 2) ≤D = d 1d 2＋d 2d 3＋…＋d k －1d k =n 2｛1/(d k －1d k ) ＋1/(d k －2d k －1) ＋…＋1/(d 1d 2) ｝
≤n 2{(1/d k －1－1/d k ) ＋(1/d k －2－1/d k －1) ＋…＋(1/d 1－1/d 2)}
=n 2(1/d 1－1/d k )=n 2(1－1/n )=n 2－n 。 (*)
(ii) 在(i)的证明中已指出n 2/d 2≤D ≤n 2－n 。若D 整除n 2，由上式知
n 2=qD ，1
因为d 2是n 的最小的大于1的除数，所以，d 2是素数。d 2当然也是n 2的素除数，并且n 2没有比d 2更小的大于1的除数。那么由式(**)就推出q =d 2。因此，k =2，n 的全部正因数是1和n 本身，即n 是素数。
四、（本题满分50分）
解：对于圆周上任意一种状态，按下列方式定义该状态的特征值：
考察圆周上的n 个蓝点将圆周分成的n 段圆弧，将这n 段圆弧依次赋值+1，-1，+1，-1，……并在每个红点处标上所在弧的数值，再将所有红点上的数值相加即得S 值。
下面考察各种加点的操作：
(1) 若在两个相邻红点（原本标有+1）间增加一个红点，则标有+1的这两个红点变为蓝点，
新增加的红点应标-1，且其他红点不受影响，所以S 值减少3。若两个红点原本标有-1，
则类似可知S 值增加3；
(2) 若在两个相邻蓝点间增加一个红点，则这三个红点都将标上相同的数值，且其他红点不
受影响，所以S 的变化量仍然是3的倍数；
(3) 若在两个相邻的异色点间增加一个红点，则两个端点红蓝交换，因此端点处的红色点标
数变为原来的相反数，而且新增的红点与它的标数相同，所以S 的变化量仍然是3的倍数；
对于各种减点的操作，因为都是加点操作的逆向操作，所以S 值的变化量始终是3的倍数，因此S 值除以3的余数应该是不变的。
在初始状态中，只有两个红点，S =±2；而在只有两个蓝点的状态中，S =0，这说明不可能经过若干次操作，使圆周上只有两个点，且均为蓝点。
高中数学联赛模拟题三
一试
一、填空题（本题满分64分，每小题8分）
≤x ≤a 1. 已知a ≥-2，且A =x 2
{
}，B ={y y =2x +3, x ∈A }，C ={t t =x , x ∈A }，
2
若C ⊆B ，则a 的取值范围是 。
2. 在∆ABC 中，若AB =2，AC =3，BC =4，O 为∆ABC 的内心，且
AO =λAB +μBC ，则λ+μ= .
-x ⎧⎪2-1, (x ≤0),
3. 已知函数f (x )=⎨若关于x 的方程f (x )=x +a 有且只有两个不相等
⎪⎩f (x -1), (x >0),
的实数根，则实数a 的取值范围是 。
4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是 。
x 2y 2
+=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点作一条直线l 交椭圆5. 已知椭圆43
于点P 、Q ，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是
6. 设{a n }为一个整数数列，并且满足：(n -1)a n +1=(n +1)a n -2(n -1)，n ∈N +．若
2008a 2007，则满足2008a n 且n ≥2的最小正整数n 是． 7. 如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半径是 。
8. 在平面直角坐标系内，将适合x
+的方程(x -y ) t +(3x
334
2
y ) +t
1
=x -y
0有实数根的点没
(x , y ) 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为。
二、解答题（本题满分56分）
9. （本小题满分16分）对正整数n ≥2，记a n =
n -1
n 1
⋅∑n -k 2k -1，求数列{a n }中的最大值．
k =1
x 2y 2
10. （本小题满分20分）已知椭圆 2+2=1 过定点A （1，0），且焦点在x 轴上，椭
a b
圆与曲线y =x 的交点为B 、C 。现有以A 为焦点，过B ，C 且开口向左的抛物线，其顶点
坐标为M （m ，0），当椭圆的离心率满足
2
11. （本小题满分20分）映射f 的定义域是A ={1,2, ,20}的全体真子集，值域包含于
{1,2, ,10}，满足条件：对任意B , C ⊆A ，都有f (B C )=min {f (B ), f (C )}，求这
种映射的个数．
二试
一、（本题满分40分）
B 、C 、D 、E 为直线l 上顺次排列的五点，设A 、
AC BC
，F 在直线l 外的一点，连结=
CE CD
FC 并延长至点G ，恰使∠FAC =∠AGD ，∠FEC =∠EGB 同时成立.
求证：∠FAC =∠FEC 。 二、（本题满分40分）
已知：a , b , c
≥0，a +b +c =2，
bc ca ab
++≤1求证：
1+abc a +b 1+abc b +c 1+abc c +a ．
三、（本题满分50分）
设正整数n 大于1，它的全部正因数为d 1，d 2，…，d k ，满足1=d 1
(i) 证明：D
(ii) 确定所有的n ，使得D 整除n 2。
四、（本题满分50分）
设圆周上有一些红点和蓝点，可以进行如下操作：加上一个红点，并改变其相邻两点的颜色；或去掉一个红点，并改变原先与之相邻的两点颜色．已知开始时只有两个点，均为红点，那么是否有可能经过若干次操作，使得圆周上只有两个点，且均为蓝点．
模拟试题三参考答案
一、填空题（本题满分64分，每小题8分）
1. 答：⎢,3⎥．B =[-1,2a +3]，要使C ⊆B ，只需C 中的最大元素在B 当中，所以
2
2
⎧1⎪(-2)≤2a +3,
，得≤a ≤3。 ⎨2
2⎪⎩a ≤2a +3
⎡1
⎣⎤⎦
2. 答：
3. 答：(-∞,1) 4. 答：
3 2 BD AB 2
设AO 交BC 于点D ，由角平分线定理知==，于是AD =AB +AC ，又
55DC AC 3
AO AB AC AB +AC 5
====， OD BD CD BD +CD 4
5 1 2 1 2 5 2
所以A O ，因此=A B =A +A B +A =AB +C AC
9393999
7
λ+μ=。
9
7 9
()
利用函数图象进行分析易得结果。
1 106
1
。如果计算器上的数在变化过程中除了2011，999，99，9和0以外，还产n
若计算器上显示n 的时候按下按键，因此时共有1~n -1共n 种选择，所以产生给定的数m 的概率是
生了a 1, a 2, , a n ，则概率为
1111111⨯⨯⨯ ⨯⨯⨯⨯，所以所求概率为 2011a 1a 2a n 999999
p =∑
=
1111111
⨯⨯⨯ ⨯⨯⨯⨯ 2011a 1a 2a n 999999
1⎫⎛
1⎪ 20⎭1⎝0
1⎫11⎫⎫⎛⎛
1⨯1 ⎪⎪ 201⎭000999⎭09⎝⎝⎭9981⎫⎛1⎫1⎛1⎫ (⎪1) 1+⎪1 ⨯1+9⎭8⎝1⎭09⎝8⎭
1
1⎛
1+201⎝1
1⎫1⎛⎛
⨯ 1 1+⎪⎝100⎭99⎝注意到
1⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫1=1+1+ 1+⨯1+⨯1+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (1+1)
2011⎝2010⎭⎝2009⎭⎝1000⎭⎝999⎭⎝998⎭
1111⨯⨯=6。 两式相除即得p =
[1**********]
5. 答：
9π 16
因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F 1PQ 的周长是定值8，所以只需求出△F 1PQ 面积的最大值。设直线l 方程为x =my +1，与椭圆方程联立得
(
3m 2+4y 2+6my -9=0，设P (x 1, y 1)，Q (x 2, y 2)，则y 1+y 2=-
93m +4
2
)
6m
，
3m 2+4
y 1y 2=-
，于是
S ∆F 1PQ
1
=F 1F 2⋅y 1-y 221
=
11m +1
=。
因为
m 2+1
(3m
≤
2
+4
)
2
=
9m 2+15+
1m +1
9m 2+9+
1
，所以内切圆半径
+616≤
86. 答：501
r =
2S ∆F 1PQ
93
，因此其面积最大值是π。 416
a n +1a n a n 2
=-，令b n =，则有
n n -1n +1n n n -1n +1n
当n ≥2时，将原式变形为
b n +1=b n -
n (n -1)2⎛11⎫
a 2-(n -1)(n -2)。 ，叠加可得b n =b 2-2 -⎪，于是a n =
22n n +1n ⎝⎭
⎛2007⨯2006⎫
由2008a 2007，得2008 a 2-2006⨯2005⎪，化简得a 2≡6(mod2008)。
2⎝⎭a 2-(n -1)(n -2)≡0m (o d2008)，将上述关于a 2的结果代入得
2
(n +1)(n -1)≡0(mod1004)，于是质数251(n -1)(n +1)且n 是奇数，所以满足条件的最小
由2008a n ，得
的n 是501。 7. 答：16
将题目所得几何体的上半部分与半径为16的半球作比较，将它们的底面置于同一水平面，并考察高度为h 的水平面与两个几何体所截的截面面积。
与第一个几何体形成的截面是圆环，12，所以面积是π202-h 2-122=π162-h 2，这正是与第二个球体形成的截面圆的面积，由祖暅原理知两个几何体的体积是相等的。
n (n -1)
()()
8. 答：
81 5
2
令u =t ，原方程化为(x -y ) u +(3x +y ) u +
332
1
=0. ① x -y
∆=(3x +y ) 2-4(x 3-y 3) ⋅
1x -y
=5x 2+2xy -3y 2=(5x -3y )(x +y ).
所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根，所以，
⎧x
⎧x
x
或 ⎨y
⎪(5x -3y )(x +y ) ≥0, ⎪y
⎪(5x -3y )(x +y )
点集N 所成区域为图中阴影部分，其面积为
S =S ∆ABO +S ∆BCO
124181
=⨯⨯3+⨯6⨯3=. 2525
二、解答题（本题满分56分）
9. （本小题满分16分）
解：经计算知a 2=2，a 3=3，a 4=a 5=
10
，下面用数学归纳法证明：当n ≥5时，有3
a n ≤
10。 3
n +1n +11n +11n +1110
(n ≥5)，则a n +1=n +n -1⨯2+n -2⨯2+ +1⨯n -1
223
n +1n +1⎛n n 1n 1⎫
++⨯+ +⨯n -2⎪ = n 2n ⎝n -1n -2212⎭n +1n +1
=+a n
n 2n
n +1n +110n +186810
≤+⨯=⨯≤⨯
n 2n 3n 3533
10
所以数列{a n }中的最大值是a 4=a 5=。
3
假设a n ≤
10. （本小题满分20分）
解：椭圆过定点A （1，0），则a =1, c =-b 2, e =-b 2,
∵
2
由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线y =x (x ≥0) 的交点，就必过椭圆与射线
y =-x (x ≥0) 的交点。
⎧y =x (x ≥0)
b ⎪
联立方程 ⎨2y 2 ，解得 x =y =。
2
+b ⎪x +2=1
b ⎩
13
，∴0
23
设抛物线方程为：y 2=-2p (x -m ) ，p >0, m >1。
p
=m -1， ∴ y 2=(1-m )(x -m ) ① 又 ∵ 2
11
m >1，0
22
1
令f (x ) =x 2+4(m -1) x -4m (m -1) ，m >1，0
2
⎛1⎫
∵ f (x ) 在 0, ⎪内有根且单调递增，
⎝2⎭
⎧f (0) =-4m (m -1) 1或m
f =+2(m -1) -4m (m -1) >0m 〈⎪ 2⎪4⎪⎝⎭4⎩4⎩
3+2
综上得：1
4
∵0
11. （本小题满分20分）
解：记A i =A /{i }，其中i =1,2, ,20。
首先任意设定f (A , (f A )的值，则对于A 的任意真子集B ，记1), f (A 2), 20
A /B ={a i 1, a i 2, , a in }，则
f (B )=f (A i 1 A i 2 A in )=min {f (A i 1), f (A i 2), , f (A in )}，
因此，映射f 可由f (A 1), f (A 2), , f (A 20)的值完全确定。
下面证明这样的映射满足条件。
⎛⎫
对任意B , C ⊆A ，有f (B )=f A i ⎪=min {f (A i )}，
⎪
⎝i ∈A /B ⎭i ∈A /B ⎛⎫
f (C )=f A i ⎪=min {f (A i )}，
⎪
⎝i ∈A /C ⎭i ∈A /C
⎛⎫
f (B C )=f A i ⎪=min {f (A i )}，
i ∈A /(B C )⎪i ∈A /(B C )⎝⎭由(A /B ) (A /C )=A /(B C )知f (B C )=min f (B ), f (C )。
20
综上所述，由于确定f (A 1), f (A 2), , f (A 20)的值有10种选择，所以这种映射的个
{}
数也为1020。
二试
一、（本题满分40分）
证法一：过B 作BH ∥AF ，交CF 于H ，则
CH CB CB CD CH CD
===，又由，故。 CF CA CA CE CF CE
连结HD ，知HD ∥FE ，延长HB , HD 分别交AG , EG 于I . J ，连结IJ 。 因为∠IBA =∠FAC =∠AGD ，故I 、B 、D 、G 共圆； 因为∠JDE =∠FEC =∠EGB ，故J 、D 、B 、G 共圆，
∴I 、B 、D 、J 、G 五点共圆，故∠HBC =∠DJI 。
GI GH GJ
==，故IJ AE ，∠DJI =∠EDJ ， GA GF GE
∴∠FAC =∠HBC =∠DJI =∠EDJ =∠FEC 。
证法二：作∆EBG 外接圆C 1，交射线CF 于P ，则BC ⋅CE =GC ⋅CP 。
又由BC ⋅CE =AC ⋅CD ，知AC ⋅CD =GC ⋅CP ，所以P 、A 、G 、D 共圆，记该圆为C 2。
下证P 必在CF 内. 用反证法，假设P 不在CF 内。 连结PA 、PE ，则
∠AFE ≥∠APE =∠APG +∠EPG =∠ADG +∠EBG =180 -∠BGD 又∠FAE =∠AGD ，
∴180≥∠AFE +FAE ≥180-∠BGD +∠AGD >180，矛盾！ 于是，F 在GP 延长线上.
∵∠FAC =∠AGD , ∠FEC =∠EGB ，∴FE 为C 1切线，FA 为C 2切线，
∵IH AF ，JH EF ，∴
∴FA 2=FP ⋅FG =FE 2⇒AF =EF ，故∠FAC =∠FEC 。 二、（本题满分40分） 证明：1+abc ∵a , b , c ∴c
(a +b )-(ab +bc +ca )=⎡⎣1-c (a +b )⎤⨯⎦(1-ab )，
≥0，a +b +c =2，
(a +b )≤1, ab ≤1。
∴1+abc (a +b )≥ab +bc +ca ， 同理1+abc (b +c )≥ab +bc +ca ，
+)a ≥a +b b +c 。 c a (c 1+a b c
那么将不等式左式的三个分母均放缩为其中最小的那个即可。
三、（本题满分50分）
解：(i) 若d 1，d 2，…，d k 是n 的全部正因数，则n /d 1，n /d 2，…，n /d k 也是n 的全部正因数，且当1=d 1
n 2/d 2=n 2/(d 1d 2) ≤D = d 1d 2＋d 2d 3＋…＋d k －1d k =n 2｛1/(d k －1d k ) ＋1/(d k －2d k －1) ＋…＋1/(d 1d 2) ｝
≤n 2{(1/d k －1－1/d k ) ＋(1/d k －2－1/d k －1) ＋…＋(1/d 1－1/d 2)}
=n 2(1/d 1－1/d k )=n 2(1－1/n )=n 2－n 。 (*)
(ii) 在(i)的证明中已指出n 2/d 2≤D ≤n 2－n 。若D 整除n 2，由上式知
n 2=qD ，1
因为d 2是n 的最小的大于1的除数，所以，d 2是素数。d 2当然也是n 2的素除数，并且n 2没有比d 2更小的大于1的除数。那么由式(**)就推出q =d 2。因此，k =2，n 的全部正因数是1和n 本身，即n 是素数。
四、（本题满分50分）
解：对于圆周上任意一种状态，按下列方式定义该状态的特征值：
考察圆周上的n 个蓝点将圆周分成的n 段圆弧，将这n 段圆弧依次赋值+1，-1，+1，-1，……并在每个红点处标上所在弧的数值，再将所有红点上的数值相加即得S 值。
下面考察各种加点的操作：
(1) 若在两个相邻红点（原本标有+1）间增加一个红点，则标有+1的这两个红点变为蓝点，
新增加的红点应标-1，且其他红点不受影响，所以S 值减少3。若两个红点原本标有-1，
则类似可知S 值增加3；
(2) 若在两个相邻蓝点间增加一个红点，则这三个红点都将标上相同的数值，且其他红点不
受影响，所以S 的变化量仍然是3的倍数；
(3) 若在两个相邻的异色点间增加一个红点，则两个端点红蓝交换，因此端点处的红色点标
数变为原来的相反数，而且新增的红点与它的标数相同，所以S 的变化量仍然是3的倍数；
对于各种减点的操作，因为都是加点操作的逆向操作，所以S 值的变化量始终是3的倍数，因此S 值除以3的余数应该是不变的。
在初始状态中，只有两个红点，S =±2；而在只有两个蓝点的状态中，S =0，这说明不可能经过若干次操作，使圆周上只有两个点，且均为蓝点。