平面向量与空间向量知识点及理科高考试题 一、考试内容要求： (一)、平面向量：
（1）平面向量的实际背景及基本概念： ①了解向量的实际背景。 ②理解平面向量的概念，理解两个向量的相等含义。 ③理解向量的几何表示.
（2）向量的线性运算： ①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. ②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. ③了解向量线性运算的性质及其几何意义.
（3）平面向量的基本定理及坐标表示： ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
（4）平面向量的数量积： ①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
（5）向量的应用： ①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
(二)、(1)空间向量及其运算：①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用：①理解直线的方向向量与平面的法向量。②能用向量
语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。 二、知识要点归纳： (一)、平面向量
§2.1.1、向量的物理背景与概念
1、 了解四种常见向量：. 2、 既有大小又有方向
的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示
1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 2、 向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB；长度为零的向
量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与
任意向量平行.
§2.1.3、相等向量与共线向量
1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.
2
+
.
§2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、 与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量. 2、 三角形减法法则和
平行四边形减法法则.
§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、 规定：实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：λ，
它的长度和方向规定如下：
⑴=⑵当λ>0时, λ的方向与的方向相同；当λ
=λ.
)
§2.3.1、平面向量基本定理
1、 平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这
一平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 =x+y=(x,y).
§2.3.3、平面向量的坐标运算
1、 设=(x1,y1),=(x2,y2)，则： ⑴+=(x1+x2,y1+y2)， ⑵
a-b=(x1-x2,y1-y2)，
⑶λ=(λx1,λy1)，⑷//⇔x1y2=x2y1.
2、 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则： AB=(x2-x1,y2-y1).
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则
xy+y
⑴线段AB中点坐标为x+， ⑵△ABC的重心坐标为x+x3+x,y+y3+y). 2,2)
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义
1、
⋅=θ. 2、 在
θ. 3、
=. 4、
=. 5、 ⊥⇔⋅=0. §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设=(x1,y1),=(x2,y2)，则：
⑴⋅=x1x2+y1y2
=x12+y12
⑶a⊥b⇔a⋅b=0⇔x1x2+y1y2=0 ⑷a//b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0 2、 设A
(x1,y1),B(x2,y2)=x2-x12+y2-y12. 3、
两向量的夹角公式
a⋅bab
=
2
cosθ=
4、点的平移公式
平移前的点为P(x,y)（原坐标），平移后的对应点为P'(x',y')（新坐标），平移向量为PP'=(h,k)， 则⎨
⎧x'=x+h
⎩y'=y+k.
函数y=f(x)的图像按向量a=(h,k)平移后的图像的解析式为y-k=f(x-h). §2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例
空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.
高考试题(2010―2014) 一、选择题（共 39 题）
uuruur
VABC中，1、（2010全国2）点D在AB上，CD平方∠ACB．若CB=a，CA=ba=1，uuur
b=2，则CD=
（A）a+b （B）a+b （C）a+b （D）a+b 答案：B 2．（2011全国）设向量a，b，c满足a=b =1，ab=-，a-c,b-c=600，则c
2最大值等于
A．2 B
C
D．1 答案：A
3．（2011全国新课标）已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
⎡2π
P:a+b>1⇔θ∈0,1⎢⎣3
⎫⎛2π⎤
P:a+b>1⇔θ∈,π⎥ 2⎪ ⎭⎝3⎦
1
1
[**************]
⎡π⎫⎛π⎤
P3:a-b>1⇔θ∈⎢0,⎪ P4:a-b>1⇔θ∈ ,π⎥
⎣3⎭⎝3⎦
其中的真命题是 A．P1,P4
B．P1,P3 C．P2,P3 D．P2,P4 答案：A
4、（2012全国）∆ABC中，AB边的高为CD，若CB=a，CA=b，a⋅b=0，|a|=1，
|b|=2，则AD=
（A）a-b （B）a-b （C）a-b （D）a-b 答案：D
m-n)，则λ= 5．（2012全国新课标）已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2)，若(m+n)⊥(
1
[**************]
（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1 答案：B． 6.（2014全国）若向量a,b满足：|a|=1，(a+b)⊥a，(2a+b)⊥b，则|b|=（ ）
A．2 B
C．1 D
答案：B． 7、（2014全国新课标2）设向量a,b满足|a+b
|a-b
a⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 答案：A
8、（2010安徽）设向量a=(1,0),b=(,)，则下列结论中正确的是 （A）|a|=|b| （B）a⋅b=
2
（C）a-b与b垂直 （D）a//b 答案： C 2
3π4
1122
9、（2012安徽）在平面直角坐标系中，O(0,0),P(6,8)，将向量OP按逆时针旋转后，得向量OQ则点Q的坐标是（ ）
(A)
(- (B
) (- (C
) (--2) (D)
(- 答案：A 10、（2013安徽）在平面直角坐标系中，o是坐标原点，两定点A,B满足
OA=OB=OAOB=2,则点集P=OP=λOA+μOB,λ+μ≤1,λ
,μ∈R|所表示的区域的
面积是
（A）
（B）
（C） （D） 答案：D
x
2
11.（2010福建）若点O和点F（-2，0）分别为双曲线2-y2=1（a>0）的中心
a
和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则op
fp的取值范围为
A. [3- +∞）B. [3+ +∞） C. [-, +∞） D. [, +∞）答案：B．
⎧x+y≥2
⎪
12．（2011福建）已知O是坐标原点，点A(－1，1)，若点M(x，y)为平面区域⎨x≤1
⎪y≤2⎩
74
74
上的一个动点，则OA⋅OM的取值范围是( )
A．[－1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[－1，2] 答案： C 13．（2010湖北）已知∆ABC和点M满足MA+MB+MC=0.若存在实数m使得
AB+AC=mAM成立，则m=
--→
--→
--→
--→
--→
--→
A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B． 14．（2011湖北）已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且a⊥ b．若x,y满足不等
式x+y≤1，则z的取值范围为
A．[-2，2] B．[-2，3] C．[-3，2] D．[-3，3] 答案：D 15、（2013湖北）已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为（ ）
A.
C.
D. 答案：A 16．（2010湖南在Rt∆ABC中，∠C=90，AC=4，则ABAC等于
A．-16 B．-8 C．8 D．16 答案：D
17.（2012湖南） 在△ABC中，AB=2，AC=3，ABBC= 1则BC=___.
C.
答案：A 18. （2013湖南）已知a,b是单位向量，ab=0.若向量c满足
c-a-b=1,则c的取值范围是
⎡⎤ D
．⎡1⎤A
．⎤⎤⎦ B
．⎦ C
．⎣1⎦⎣⎦ 答案：A
19．（2011辽宁）若a，b，c均为单位向量，且a⋅b=0，(a-c)⋅(b-c)≤0，则|a+b-c|的最大值为 A．
2-1
B．1 C．2 D．2 答案：B．
20、（2013辽宁）已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB同方向的单位向量为
34⎫3⎫⎛4⎛34⎫⎛43⎫
（A）⎛ （B） （C） （D），-，-- ⎪ ⎪ ⎪ -⎪ 答案：A
⎝5
5⎭
⎝5
5⎭
⎝55⎭
⎝55⎭
21、（2014辽宁）设a,b,c是非零向量，学科 网已知命题P：若a∙b=0，b∙c=0，则a∙c=0；命题q：若a//b,b//c，则a//c，则下列命题中真命题是（ ）
A．p∨q B．p∧q C．(⌝p)∧(⌝q) D．p∨(⌝q) 答案： C
22、（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的
a=(m,v),b=(p⋅q)。令a⊙ b=mq-np.下面说法错误的是
（A）若a与b共线，则a⊙b=0 （B）a⊙b=b⊙a （C）对任意的λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b) （D）(a⊙b)2+(a⋅b)2=|a|2|b|2 答案：B． 23．（2011山东）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若
R），AA1A3=λA1A2 （λ∈AAAμ14=12
（μ∈R），且+
λ
1
1
μ
=2,则称A3，A4调和分割
A1，A2 ,已知平面上的点C，D调和分割点A，B则下面说法正确的是
（A）．C可能是线段AB的中点 （B）．D可能是线段AB的中点 （C）．C，D可能同时在线段AB上 （D）．C，D不可能同时在线段AB的
延长线上 答案：D
24．（2011陕西）设a,b是向量，命题“若a=-b，则∣a∣= ∣b∣”的逆命题是 A．若a≠-b，则∣a∣≠∣b∣ B．若a=-b，则∣a∣≠∣b∣ C．若∣a∣≠∣b∣，则a≠-b D．若∣a∣=∣b∣，则a= -b 答案：D
b|=|a||b|”是“a//b”的 25.（2013陕西） 设a, b为向量, 则“|a·
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 答案：C 26、（2011上海）设A1,A2,A3,A4,A5是空间中给定的5个不同的点，则使（ ） MA1+MA2+MA3+MA4+MA5=0成立的点M的个数为〖答〗
A 0 B 1 C 5 D 10 答案：B． 27．（2013上海）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a1,a2,a3,a4,a5；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别
为d1,d2,d3,d4,d5.若m,M分别为(ai+aj+ak)⋅(dr+ds+dt)的最小值、最大值，其中
{i,j,k}⊆{1,2,3,4,5},{r,s,t}⊆{1,2,3,4,5},则m,M
满足（ ）.
(A) m=0,M>0 (B) m0 (C) m
则BC=16,∣AB+AC∣=∣AB-AC∣,∣AM∣=
（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1 答案：C 29、（2011四川）如图，正六边形ABCDEF中，BA+CD+EF=
30、(A)0 (B)BE (C)AD (D)CF 答案：D 30 （2012四川）、设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使分条件是（ ）
A、a=-b B、a//b C、a=2b D、a//b且|a|=|b| 答案：C 31．（2014四川）平面向量a=(1,2)，b=(4,2)，c=ma+b（m∈R），且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m=
A．-2 B．-1 C．1 D．2 答案：D
32、（2012天津）已知△ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足AP=λAB，
3
AQ=(1-λ)AC，λ∈R，若BQ⋅CP=-，则λ=
2
2
ab
成立的充=
|a||b|
（A）
（Ｂ）
121
-3± （Ｄ） 答案：A 22
33、（2014天津）已知菱形ABCD的边长为2，?BAD120，点E,F分别在边BC,DC上，BE=lBC，DF=mDC.若AE?AF1，CE?CF（A） （B） （C） （D）
1
2
23
56
-
2
，则l+m=（ ） 3
7
答案：C 12
34．（2012浙江）设a，b是两个非零向量．
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb
D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b| 答案：C
35．（2013浙江）设∆ABC,P0是边AB上一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任
一点P，恒有∙≥P0B∙P0C。则
A. ∠ABC=900 B. ∠BAC=900 C. AB=AC D.AC=BC 答案：D 36、（2010重庆）已知向量,满足⋅=0,||=1,||=2，则|2-|=（ ） A、0 B、22 C、4 D、8 答案：B．
37、（2012重庆）设x,y∈R，向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4)且a⊥c,bc，则a+b= （A
（B
（C
） （D）10 答案：B． 38、（2013重庆）在平面上，AB1⊥AB2，OB1=OB2=1,AP=AB1+AB2.若OP
） A、 0,
⎝⎛
B、
2⎦
⎛ 22
C、
⎝⎦
⎛⎛
D
、 答案：D 2 2⎝⎝1
2
14
39、（2014重庆）.已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1)，且(2a-3b)⊥c，则实数k=
A.-
9
2
15
B.0 C.3 D. 答案：B．
2
二、填空题（共 题）
a-b；
1、（2012全国新课标）已知向量a,b夹角为45︒ ，
且a=1则b=_____
答案：2、（2013全国新课标1）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c=ta+(1-t)b.若
b⋅c=0，则 t=____________.答案：2
3、（2013全国新课标2）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则
AE⋅BD=_______。答案：2
4、（2014全国新课标1） 已知A，B，C是圆O上的三点，若AO=(AB+AC)，
则AB与AC的夹角为 答案.
5、（2011安徽）已知向量a,b满足(a+2b)²(a-b)=-6，且|a|=1,|b|=2，则a与b的夹角为 答案：
6、（2014安徽）已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1`y1+x2`y2+x3`y3+x4`y4+x5`y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.
①S有5个不同的值 ②若a⊥b，则Smin与a无关 ③若a∥b，则Smin与b无关 ④若b>4a，则Smin>0 ⑤若b=2a，Smin=8a，则a与b的夹角为 答案；②④
7．（2011北京）已知向量a=
1），b=（0，-1），c=（k
。若a-2b与
c共线，则k=___________________。答案：1
8．（2012北京）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE⋅CB的值为________，DE⋅DC的最大值为______。答案：1，1
9、（2013北京）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa＋μb(λ，μ∈R)，则=
λ
μ
2
12
π2
π3
π4
答案：4
10、（2014北京）已知向量a、b满足a=1，b=(2,1)，且λa+b=0(λ∈R)，则
λ=________.答案：
11．（2011福建）设V是全体平面向量构成的集合．若映射f：V→R满足：
对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，则称映射f具有性质P.
现给出如下映射：
①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V； ②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V； ③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.
其中，具有性质P的映射的序号为________．(写出所有具有性质P的映射的序号 答案：①③
b)⊥a(b-λ)，12.（2014湖北）设向量a=(3,3)，若(a+λ则实数λ=________. b=(1,-1)，
答案：±3
13、（2011湖南）在边长为1的正三角形ABC中，设BC=2BD,CA=3CE，则
1
AD⋅BE=________。答案：-
4
14．（2014湖南）在平面直角坐标系中，O为原点
A(-1C(3 0)动点D
满足 CD=1，则 OA+OB+OD的最大值是__________
。答案：15.（2010江西）已知向量a，b满足a=1b=2， a与b的夹角为60°，则a-b= 答案：
（a-b）16．（2011江西）已知a=b=2,(a+2b)²=-2，则a与b的夹角为
答案：
π
3
π3
17、（2013江西）.设e1，e2为单位向量。且e1，e2的夹角为，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b方向上的射影为 答案：5／2
18、（2014江西）.已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα=，向量a=3e1-2e2与
b=3e1-e2的夹角为β，则cosβ
1
3
19、（2013山东）已知向量AB与AC的夹角为120，且|AB|=3,|AC|=2,若
AP=λAB+AC,且AP⊥BC,则实数λ的值为 答案：
7
12
20、（2014山东）在∆ABC中，已知AB⋅AC=tanA，当A=答案：1／6
π
6
∆ABC的面积为时，
21.（2010陕西）已知向量a=（2，-1），b=（-1，m），c=（-1,2），若（a+b）∥c，则 答案： m=-1 22。（2010上海）如图所示，直线x=2与双曲线Γ:
λ2
4-y2=1
的渐近线交于E1,E2两点，记OE1=e1,OE2=e2，任取双曲 线Γ上的点P，若OP=ae1,+be2(a、b∈R)，则a、b满足的 一个等式是 答案： 4ab=1
23．（2012上海）若=(-2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。 24．（2012上海）在平行四边形ABCD中，∠A=若M、N分别是边BC、CDπ
3
，边AB、AD的长分别为2、1，
=，则AM⋅AN的取值范围
是 （2，5） 。 25、（2013四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB+AD=λAO，则λ=____________。答案：2
26、（2010天津）如图，在ABC中，
AD⊥
AB,BC=,
AD=1,则ACAD=
27、（2013天津）在平行四边形ABCD中, AD = 1,
AD·BE=1,
∠BAD=60︒, E为CD的中点. 若
则AB的长为1／2
28、（2010浙江）已知平面向量a,β(a≠0,a≠β)满足β=1,且a与β-a的夹角为120°
则a的取值范围是
。答案：(0,
3
29．（2011浙江）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边
的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是 。答案：
1
2
π5π[,] 66
30．（2013浙江）设e1,e2为单位向量，非零向量=xe1+ye2,x,y∈R，若e1,e2的夹角
为π
6
的最大值等于________。答案：2
31．（2011重庆）已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则2e1-e2=__________ 答
→→→→→→→→232、（2011江苏）已知e1,e2是夹角为π的两个单位向量，a=e1-2e2,b=ke1+e2, 若a⋅b=0，则k
3
→→
的值为 答案：5／4 33．（2012江苏）如图，在矩形ABCD中，
AB=BC=2，点E为BC的中点，
点F在边CD上，若ABAFAEBF的值是 ▲
34、（2014江苏） 如图，在平行四边形ABCD中， 35、已知AB=8，AD=5，=3，⋅=2，
36、则AB⋅AD的值是. 答案：22
三、解答题
1、（2010江苏）（本小题满分14分）
（第12题）
在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。 (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足(AB-tOC)²OC=0，求t的值。
2．（201江苏本小题满分14分）已知a＝ (cosα,sinα)，b=(cosβ,sinβ)，0
平面向量与空间向量知识点及理科高考试题 一、考试内容要求： (一)、平面向量：
（1）平面向量的实际背景及基本概念： ①了解向量的实际背景。 ②理解平面向量的概念，理解两个向量的相等含义。 ③理解向量的几何表示.
（2）向量的线性运算： ①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. ②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. ③了解向量线性运算的性质及其几何意义.
（3）平面向量的基本定理及坐标表示： ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
（4）平面向量的数量积： ①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
（5）向量的应用： ①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
(二)、(1)空间向量及其运算：①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用：①理解直线的方向向量与平面的法向量。②能用向量
语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。 二、知识要点归纳： (一)、平面向量
§2.1.1、向量的物理背景与概念
1、 了解四种常见向量：. 2、 既有大小又有方向
的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示
1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 2、 向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB；长度为零的向
量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与
任意向量平行.
§2.1.3、相等向量与共线向量
1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.
2
+
.
§2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、 与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量. 2、 三角形减法法则和
平行四边形减法法则.
§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、 规定：实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：λ，
它的长度和方向规定如下：
⑴=⑵当λ>0时, λ的方向与的方向相同；当λ
=λ.
)
§2.3.1、平面向量基本定理
1、 平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这
一平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 =x+y=(x,y).
§2.3.3、平面向量的坐标运算
1、 设=(x1,y1),=(x2,y2)，则： ⑴+=(x1+x2,y1+y2)， ⑵
a-b=(x1-x2,y1-y2)，
⑶λ=(λx1,λy1)，⑷//⇔x1y2=x2y1.
2、 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则： AB=(x2-x1,y2-y1).
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则
xy+y
⑴线段AB中点坐标为x+， ⑵△ABC的重心坐标为x+x3+x,y+y3+y). 2,2)
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义
1、
⋅=θ. 2、 在
θ. 3、
=. 4、
=. 5、 ⊥⇔⋅=0. §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设=(x1,y1),=(x2,y2)，则：
⑴⋅=x1x2+y1y2
=x12+y12
⑶a⊥b⇔a⋅b=0⇔x1x2+y1y2=0 ⑷a//b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0 2、 设A
(x1,y1),B(x2,y2)=x2-x12+y2-y12. 3、
两向量的夹角公式
a⋅bab
=
2
cosθ=
4、点的平移公式
平移前的点为P(x,y)（原坐标），平移后的对应点为P'(x',y')（新坐标），平移向量为PP'=(h,k)， 则⎨
⎧x'=x+h
⎩y'=y+k.
函数y=f(x)的图像按向量a=(h,k)平移后的图像的解析式为y-k=f(x-h). §2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例
空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.
高考试题(2010―2014) 一、选择题（共 39 题）
uuruur
VABC中，1、（2010全国2）点D在AB上，CD平方∠ACB．若CB=a，CA=ba=1，uuur
b=2，则CD=
（A）a+b （B）a+b （C）a+b （D）a+b 答案：B 2．（2011全国）设向量a，b，c满足a=b =1，ab=-，a-c,b-c=600，则c
2最大值等于
A．2 B
C
D．1 答案：A
3．（2011全国新课标）已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
⎡2π
P:a+b>1⇔θ∈0,1⎢⎣3
⎫⎛2π⎤
P:a+b>1⇔θ∈,π⎥ 2⎪ ⎭⎝3⎦
1
1
[**************]
⎡π⎫⎛π⎤
P3:a-b>1⇔θ∈⎢0,⎪ P4:a-b>1⇔θ∈ ,π⎥
⎣3⎭⎝3⎦
其中的真命题是 A．P1,P4
B．P1,P3 C．P2,P3 D．P2,P4 答案：A
4、（2012全国）∆ABC中，AB边的高为CD，若CB=a，CA=b，a⋅b=0，|a|=1，
|b|=2，则AD=
（A）a-b （B）a-b （C）a-b （D）a-b 答案：D
m-n)，则λ= 5．（2012全国新课标）已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2)，若(m+n)⊥(
1
[**************]
（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1 答案：B． 6.（2014全国）若向量a,b满足：|a|=1，(a+b)⊥a，(2a+b)⊥b，则|b|=（ ）
A．2 B
C．1 D
答案：B． 7、（2014全国新课标2）设向量a,b满足|a+b
|a-b
a⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 答案：A
8、（2010安徽）设向量a=(1,0),b=(,)，则下列结论中正确的是 （A）|a|=|b| （B）a⋅b=
2
（C）a-b与b垂直 （D）a//b 答案： C 2
3π4
1122
9、（2012安徽）在平面直角坐标系中，O(0,0),P(6,8)，将向量OP按逆时针旋转后，得向量OQ则点Q的坐标是（ ）
(A)
(- (B
) (- (C
) (--2) (D)
(- 答案：A 10、（2013安徽）在平面直角坐标系中，o是坐标原点，两定点A,B满足
OA=OB=OAOB=2,则点集P=OP=λOA+μOB,λ+μ≤1,λ
,μ∈R|所表示的区域的
面积是
（A）
（B）
（C） （D） 答案：D
x
2
11.（2010福建）若点O和点F（-2，0）分别为双曲线2-y2=1（a>0）的中心
a
和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则op
fp的取值范围为
A. [3- +∞）B. [3+ +∞） C. [-, +∞） D. [, +∞）答案：B．
⎧x+y≥2
⎪
12．（2011福建）已知O是坐标原点，点A(－1，1)，若点M(x，y)为平面区域⎨x≤1
⎪y≤2⎩
74
74
上的一个动点，则OA⋅OM的取值范围是( )
A．[－1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[－1，2] 答案： C 13．（2010湖北）已知∆ABC和点M满足MA+MB+MC=0.若存在实数m使得
AB+AC=mAM成立，则m=
--→
--→
--→
--→
--→
--→
A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B． 14．（2011湖北）已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且a⊥ b．若x,y满足不等
式x+y≤1，则z的取值范围为
A．[-2，2] B．[-2，3] C．[-3，2] D．[-3，3] 答案：D 15、（2013湖北）已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为（ ）
A.
C.
D. 答案：A 16．（2010湖南在Rt∆ABC中，∠C=90，AC=4，则ABAC等于
A．-16 B．-8 C．8 D．16 答案：D
17.（2012湖南） 在△ABC中，AB=2，AC=3，ABBC= 1则BC=___.
C.
答案：A 18. （2013湖南）已知a,b是单位向量，ab=0.若向量c满足
c-a-b=1,则c的取值范围是
⎡⎤ D
．⎡1⎤A
．⎤⎤⎦ B
．⎦ C
．⎣1⎦⎣⎦ 答案：A
19．（2011辽宁）若a，b，c均为单位向量，且a⋅b=0，(a-c)⋅(b-c)≤0，则|a+b-c|的最大值为 A．
2-1
B．1 C．2 D．2 答案：B．
20、（2013辽宁）已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB同方向的单位向量为
34⎫3⎫⎛4⎛34⎫⎛43⎫
（A）⎛ （B） （C） （D），-，-- ⎪ ⎪ ⎪ -⎪ 答案：A
⎝5
5⎭
⎝5
5⎭
⎝55⎭
⎝55⎭
21、（2014辽宁）设a,b,c是非零向量，学科 网已知命题P：若a∙b=0，b∙c=0，则a∙c=0；命题q：若a//b,b//c，则a//c，则下列命题中真命题是（ ）
A．p∨q B．p∧q C．(⌝p)∧(⌝q) D．p∨(⌝q) 答案： C
22、（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的
a=(m,v),b=(p⋅q)。令a⊙ b=mq-np.下面说法错误的是
（A）若a与b共线，则a⊙b=0 （B）a⊙b=b⊙a （C）对任意的λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b) （D）(a⊙b)2+(a⋅b)2=|a|2|b|2 答案：B． 23．（2011山东）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若
R），AA1A3=λA1A2 （λ∈AAAμ14=12
（μ∈R），且+
λ
1
1
μ
=2,则称A3，A4调和分割
A1，A2 ,已知平面上的点C，D调和分割点A，B则下面说法正确的是
（A）．C可能是线段AB的中点 （B）．D可能是线段AB的中点 （C）．C，D可能同时在线段AB上 （D）．C，D不可能同时在线段AB的
延长线上 答案：D
24．（2011陕西）设a,b是向量，命题“若a=-b，则∣a∣= ∣b∣”的逆命题是 A．若a≠-b，则∣a∣≠∣b∣ B．若a=-b，则∣a∣≠∣b∣ C．若∣a∣≠∣b∣，则a≠-b D．若∣a∣=∣b∣，则a= -b 答案：D
b|=|a||b|”是“a//b”的 25.（2013陕西） 设a, b为向量, 则“|a·
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 答案：C 26、（2011上海）设A1,A2,A3,A4,A5是空间中给定的5个不同的点，则使（ ） MA1+MA2+MA3+MA4+MA5=0成立的点M的个数为〖答〗
A 0 B 1 C 5 D 10 答案：B． 27．（2013上海）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a1,a2,a3,a4,a5；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别
为d1,d2,d3,d4,d5.若m,M分别为(ai+aj+ak)⋅(dr+ds+dt)的最小值、最大值，其中
{i,j,k}⊆{1,2,3,4,5},{r,s,t}⊆{1,2,3,4,5},则m,M
满足（ ）.
(A) m=0,M>0 (B) m0 (C) m
则BC=16,∣AB+AC∣=∣AB-AC∣,∣AM∣=
（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1 答案：C 29、（2011四川）如图，正六边形ABCDEF中，BA+CD+EF=
30、(A)0 (B)BE (C)AD (D)CF 答案：D 30 （2012四川）、设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使分条件是（ ）
A、a=-b B、a//b C、a=2b D、a//b且|a|=|b| 答案：C 31．（2014四川）平面向量a=(1,2)，b=(4,2)，c=ma+b（m∈R），且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m=
A．-2 B．-1 C．1 D．2 答案：D
32、（2012天津）已知△ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足AP=λAB，
3
AQ=(1-λ)AC，λ∈R，若BQ⋅CP=-，则λ=
2
2
ab
成立的充=
|a||b|
（A）
（Ｂ）
121
-3± （Ｄ） 答案：A 22
33、（2014天津）已知菱形ABCD的边长为2，?BAD120，点E,F分别在边BC,DC上，BE=lBC，DF=mDC.若AE?AF1，CE?CF（A） （B） （C） （D）
1
2
23
56
-
2
，则l+m=（ ） 3
7
答案：C 12
34．（2012浙江）设a，b是两个非零向量．
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb
D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b| 答案：C
35．（2013浙江）设∆ABC,P0是边AB上一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任
一点P，恒有∙≥P0B∙P0C。则
A. ∠ABC=900 B. ∠BAC=900 C. AB=AC D.AC=BC 答案：D 36、（2010重庆）已知向量,满足⋅=0,||=1,||=2，则|2-|=（ ） A、0 B、22 C、4 D、8 答案：B．
37、（2012重庆）设x,y∈R，向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4)且a⊥c,bc，则a+b= （A
（B
（C
） （D）10 答案：B． 38、（2013重庆）在平面上，AB1⊥AB2，OB1=OB2=1,AP=AB1+AB2.若OP
） A、 0,
⎝⎛
B、
2⎦
⎛ 22
C、
⎝⎦
⎛⎛
D
、 答案：D 2 2⎝⎝1
2
14
39、（2014重庆）.已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1)，且(2a-3b)⊥c，则实数k=
A.-
9
2
15
B.0 C.3 D. 答案：B．
2
二、填空题（共 题）
a-b；
1、（2012全国新课标）已知向量a,b夹角为45︒ ，
且a=1则b=_____
答案：2、（2013全国新课标1）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c=ta+(1-t)b.若
b⋅c=0，则 t=____________.答案：2
3、（2013全国新课标2）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则
AE⋅BD=_______。答案：2
4、（2014全国新课标1） 已知A，B，C是圆O上的三点，若AO=(AB+AC)，
则AB与AC的夹角为 答案.
5、（2011安徽）已知向量a,b满足(a+2b)²(a-b)=-6，且|a|=1,|b|=2，则a与b的夹角为 答案：
6、（2014安徽）已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1`y1+x2`y2+x3`y3+x4`y4+x5`y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.
①S有5个不同的值 ②若a⊥b，则Smin与a无关 ③若a∥b，则Smin与b无关 ④若b>4a，则Smin>0 ⑤若b=2a，Smin=8a，则a与b的夹角为 答案；②④
7．（2011北京）已知向量a=
1），b=（0，-1），c=（k
。若a-2b与
c共线，则k=___________________。答案：1
8．（2012北京）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE⋅CB的值为________，DE⋅DC的最大值为______。答案：1，1
9、（2013北京）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa＋μb(λ，μ∈R)，则=
λ
μ
2
12
π2
π3
π4
答案：4
10、（2014北京）已知向量a、b满足a=1，b=(2,1)，且λa+b=0(λ∈R)，则
λ=________.答案：
11．（2011福建）设V是全体平面向量构成的集合．若映射f：V→R满足：
对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，则称映射f具有性质P.
现给出如下映射：
①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V； ②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V； ③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.
其中，具有性质P的映射的序号为________．(写出所有具有性质P的映射的序号 答案：①③
b)⊥a(b-λ)，12.（2014湖北）设向量a=(3,3)，若(a+λ则实数λ=________. b=(1,-1)，
答案：±3
13、（2011湖南）在边长为1的正三角形ABC中，设BC=2BD,CA=3CE，则
1
AD⋅BE=________。答案：-
4
14．（2014湖南）在平面直角坐标系中，O为原点
A(-1C(3 0)动点D
满足 CD=1，则 OA+OB+OD的最大值是__________
。答案：15.（2010江西）已知向量a，b满足a=1b=2， a与b的夹角为60°，则a-b= 答案：
（a-b）16．（2011江西）已知a=b=2,(a+2b)²=-2，则a与b的夹角为
答案：
π
3
π3
17、（2013江西）.设e1，e2为单位向量。且e1，e2的夹角为，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b方向上的射影为 答案：5／2
18、（2014江西）.已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα=，向量a=3e1-2e2与
b=3e1-e2的夹角为β，则cosβ
1
3
19、（2013山东）已知向量AB与AC的夹角为120，且|AB|=3,|AC|=2,若
AP=λAB+AC,且AP⊥BC,则实数λ的值为 答案：
7
12
20、（2014山东）在∆ABC中，已知AB⋅AC=tanA，当A=答案：1／6
π
6
∆ABC的面积为时，
21.（2010陕西）已知向量a=（2，-1），b=（-1，m），c=（-1,2），若（a+b）∥c，则 答案： m=-1 22。（2010上海）如图所示，直线x=2与双曲线Γ:
λ2
4-y2=1
的渐近线交于E1,E2两点，记OE1=e1,OE2=e2，任取双曲 线Γ上的点P，若OP=ae1,+be2(a、b∈R)，则a、b满足的 一个等式是 答案： 4ab=1
23．（2012上海）若=(-2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。 24．（2012上海）在平行四边形ABCD中，∠A=若M、N分别是边BC、CDπ
3
，边AB、AD的长分别为2、1，
=，则AM⋅AN的取值范围
是 （2，5） 。 25、（2013四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB+AD=λAO，则λ=____________。答案：2
26、（2010天津）如图，在ABC中，
AD⊥
AB,BC=,
AD=1,则ACAD=
27、（2013天津）在平行四边形ABCD中, AD = 1,
AD·BE=1,
∠BAD=60︒, E为CD的中点. 若
则AB的长为1／2
28、（2010浙江）已知平面向量a,β(a≠0,a≠β)满足β=1,且a与β-a的夹角为120°
则a的取值范围是
。答案：(0,
3
29．（2011浙江）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边
的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是 。答案：
1
2
π5π[,] 66
30．（2013浙江）设e1,e2为单位向量，非零向量=xe1+ye2,x,y∈R，若e1,e2的夹角
为π
6
的最大值等于________。答案：2
31．（2011重庆）已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则2e1-e2=__________ 答
→→→→→→→→232、（2011江苏）已知e1,e2是夹角为π的两个单位向量，a=e1-2e2,b=ke1+e2, 若a⋅b=0，则k
3
→→
的值为 答案：5／4 33．（2012江苏）如图，在矩形ABCD中，
AB=BC=2，点E为BC的中点，
点F在边CD上，若ABAFAEBF的值是 ▲
34、（2014江苏） 如图，在平行四边形ABCD中， 35、已知AB=8，AD=5，=3，⋅=2，
36、则AB⋅AD的值是. 答案：22
三、解答题
1、（2010江苏）（本小题满分14分）
（第12题）
在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。 (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足(AB-tOC)²OC=0，求t的值。
2．（201江苏本小题满分14分）已知a＝ (cosα,sinα)，b=(cosβ,sinβ)，0