华师大版七下电子课本第6章一元一次方程(新版)

第6章 一元一次方程................................................................................................ 2

........................................................................................ 2 .......................................................................................... 4

4 6 阅读材料............................................................................................................... 10

丢番图的墓志铭与方程............................................................................... 10 ................................................................................................ 10 阅读材料............................................................................................................... 14

2＝3？........................................................................................................... 14 小 结................................................................................................................... 14 复 习 题........................................................................................................... 15

第6章 一元一次方程

一队师生共328人，乘车外出旅游，已有校车可乘64人，如果租用客车，每辆可乘44人，那么还要租多少辆客车？

44×？＋64＝328

§6.1 从实际问题到方程

问题1

某校初中一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可乘坐64人，还 需租用44座的客车多少辆？

回 忆

小学里已经学过列方程的解法，我们不妨回顾一下：

设需租用客车x辆，共可乘坐44x人，加上乘坐校车的64人，就是全体 328人．可得

44x＋64＝328． ① 解这个方程，就能得到所求的结果．

问题2

在课外活动中，张老师发现同学们的年龄基本是13岁．就问同学：“我 今年45岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?”

“三年!”小敏同学很快发现了答案．他是这样算的：

1

1年后，老师的年龄是46岁，同学的年龄是14岁，不是老师年龄的；

3

2年后，老师的年龄是47岁，同学的年龄是15岁，也不是老师年龄的

1； 3

3年后，老师的年龄是48岁，同学的年龄是16岁，恰好是老师年龄的1． 3

也有的同学说，我们可以列出方程来解：

1

设x年后同学的年龄是老师年龄的，而x年后同学的年龄是（13＋x）

3

岁，老师的年龄是（45＋x）岁，可得

1

13＋x＝（45＋x）． ②

3

这个方程不像问题1中的方程①那样容易求出它的解．但小敏同学的方法 启发我们，可以用尝试、检验的方法找出方程②的解，即只要将x＝1，2，3， 4，„代入方程②的左右两边，看哪个数能使两边的值相等．这样得到x＝3是 方程的解．

思 考

如果未知数可能取到的数值较多，或者不一定是整数，该从何试起？如果 试验根本无法入手又该怎么办？

练 习

根据题意设未知数，并列出方程（不必求解）：

1. 某班原分成两个小组活动，第一组26人，第二组22人，根据学校活动器材的数量，要将第一组人数调整为第二组人数的一半，应从第一组调多少人到第二组去？

2. 小明的爸爸三年前为小明存了一份3000元的教育储蓄.今年到期时取出，得到的本息和为3243元.请你帮小明算一算这种储蓄的年利率.

习题6.1

1. 检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解：

（1）

5x13

x1，,3； 82

（2） 2（y－2）－9（1－y）＝3（4y－1）， ｛－10，10｝．

2. 根据班级内男、女同学的人数编一道应用题，和同学交流一下． 3. 小赵去商店买练习本，回来后问同学：“店主告诉我，如果多买一些就给我八折优惠．我就买了20本，结果便宜了1.60元．你猜原来每本价格多少?”你能列出方程吗？

§6.2 解一元一次方程

1. 方程的简单变形

联 想

测量一些物体的质量时，我们经常将它们放在天平的左盘内，在右盘内放 上砝码，使天平处于平衡状态，这时两边的质量相等，我们就可测得该物体的 质量．

如果我们在两边盘内同时添上（或取下）相同质量的物体，可以发现天平 依然平衡；如果我们将两边盘内物体的质量同时扩大到原来相同的倍数（或同 时缩小到原来的几分之一），也会看到天平依然平衡．

图6.2.1～6.2.3反映了由天平联想到的几个方程的变形．

x+2=5  x=5-2

图

6.2.1

3x=2x+2  3x-2x=2

图

6.2.2

2x=6  x=62

图6.2.3

归 纳

我们可以看到，方程能够这样变形：

方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变． 方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变． 通过对方程进行适当的变形，可以求得方程的解． 例1 解下列方程：

（1） x－5＝7； （2） 4x＝3x－4． 解 （1） 由 x－5＝7， 两边都加上5，得 x＝7＋5 ， 即 x＝12． （2） 由 4x＝3x－4， 两边都减去3x，得 4x－3x＝－4，

即 x＝－4．

概 括

像这样，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形 叫做移项（transposition）．

例2 解下列方程：

31

（1） －5x＝2； （2）x＝．

23

解 （1） 方程两边都除以－5，得

2

x＝．

532

（2） 方程两边都除以（或乘以），得

2312

x＝× ，

332

即 x＝．

9

这里的变形通常称作“将未知数的系数化为1”．

概 括

以上例1和例2解方程的过程，都是对方程进行适当的变形，得到x＝a的 形式．

练 习

1．列方程的变形是否正确？为什么？

7

（1） 由3＋x=5,得x=5+3; （2）由7x=-4,得x=-;

4

1

（3） 由y0,得y=2; （4）由3=x-2,得x=-2-3.

2

2. (口答)求下列方程的解：

（1）x-6=6; （2）7x=6x-4;

11

（3）-5x=60; （4）y.

42

3.用方程的变形解§6.1中问题1所列出的方程.

做一做

利用方程的变形，求方程2x＋3＝1的解，并和同学讨论与交流. 例3 解下列方程：

（1） 8x＝2x－7； （2） 6＝8＋2x；

11

（3） 2yy3

22

解 （1） 8x＝2x－7， 8x－2x＝－7， 6x＝－7，

x=

7. 6

（2） 6＝8＋2x， 8＋2x＝6， 2x＝－2， x＝－1．

11

2yy3， （3）

22112yy3

2235y， 22

5y=

3

练 习

解下列方程：

1. 3x＋4＝0 . 2. 7y＋6＝－6y

3. 5x＋2＝7x＋8 4. 3y－2＝y＋1＋6y.

21115. x80.2x. 6. 1－x＝x＋

5423

习题6.2.1

1. 解下列方程：

31

（1）18＝5－x; （2）x23x;

44

（3）3x－7＋4x＝6x－2; （4）10y＋5＝11y－5－2y;

（5）a－1＝5＋2a; （6）0.3x＋1.2－2x＝1.2－2.7x. 2. 解下列方程：

（1）2y＋3＝11－6y （2）2x－1＝5x＋7

111（3）x－1－2x＝－1; （4）x－3＝5x＋

324

3. 已知y1＝3x＋2,y2＝4－x.

(1)当x取何值时，y1=y2? (2)当x取何值时，y1比y2大4？

2. 解一元一次方程

前面我们遇到的一些方程，例如

44x＋64＝328，

1

13＋x＝（45＋x）

3

等等，有一个共同特点，它们都只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程（linear equation with one unknown）．

我们再一起来解几个一元一次方程．

例4 解方程： 3（x－2）＋1＝x－（2x－1）． 解 原方程的两边分别去括号，得

3x－6＋1＝x－2x＋1，

3x－5＝－x＋1， 3x＋x＝1＋5， 4x＝6，

3

x＝．

2

练 习

1．解下列方程：

（1）5（x＋2）＝2(5x－1); （2）(x＋1)－2(x－1)=1－3x; （3）2(x－2)－(4x－1)=3(1－x). 2．列方程求解：

（1）当x取何值时，代数式3（2－x）和2（3+x）的值相等？ （2）当y取何值时，2（3y+4）的值比5（2y-7）的值3？ 3．解§6.1中问题2所列出的方程.

例5 解方程： 解 由原方程得

3（x－3）－2（2x＋1）＝6， 3x－9－4x－2＝6， 3x－4x＝6＋9＋2， －x＝17， x＝－17．

在上述解方程的过程中，第一步是方程的两边都乘以同一个数6，使方程中的系数不出现分数．这样的变形通常称为“去分母”．

讨 论

在以上各例解一元一次方程时，主要进行了哪些变形？如何灵活运用这些变形合理、简洁地解一元一次方程？ 练 习

1．指出下列方程求解过程中的错误，并给予纠正：

3x14x2x1x24x

1 （2）解方程：（1）解方程： 25362

解： 15x-5=8x+4-1, 解： 2x-2-x+2=12-3x

15x-8x=4-1+5, 2x-x+3x=12+2+2

7x=8 4x=16

7

x x=4.

8

2．解下列方程：

5a174xx3

; （2）1 （1）8435

例6 如图6.2.4，天平的两个盘内分别盛有51 g、45 g盐，问应该从盘A

内拿出多少盐放到盘B内，才能使两者所盛盐的质量相等？

图6.2.4

分析 设应从盘A内拿出盐x g，可列出表6.2.1．

表

6.2.1

解 设应从盘A内拿出盐x g放到盘B内，则根据题意，得

51－x＝45＋x．

解这个方程，得

x＝3．

经检验，符合题意．

答： 应从盘A内拿出3 g盐放到盘B内． 例7 学校团委组织65名新团员为学校建 花坛搬砖．女同学每人搬6块，男同学每人搬8块，每人搬了4次，共搬了1800块．问这些新团员中有多少名男同学？

分析 设新团员中有x名男同学，可列出表6.2.2．

解 设新团员中有x名男同学，则根据题意，得

32x＋24（65－x）＝1800．

解这个方程，得

x＝30．

经检验，符合题意．

答： 新团员中有30名男同学． 练 习

1. 学校田径队的小刚在400米跑测试时,先以6米/秒的速度跑完了大部分路程,最后以8米/秒的速度冲刺到达终点,成绩为1分零5秒,

问小刚在冲刺阶段花了

多少时间?

2. 将上题的分析和列得的方程与例7相比较，看看是否相似.将你的想法和同学交流一下.

3．练习第1题中，若问“小刚在离终点多远时开始冲刺”，你该如何求解？

归 纳

用一元一次方程解答实际问题，关键在于抓住问题中有关数量的相等关 系，列出方程.求得方程的解后，经过检验，就可得到实际问题的解答.

这一过程也可以简单地表述为：

其中分析和抽象的过程通常包括：

（1）弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数； （2）找出能表示问题含义的一个主要的等量关系；

（3）对这个等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系，得 到方程.

在设未知数和解答时，应注意量的单位.

习题6.2.2

1．解下列方程：

（1）312(4x); （2）3(2x5)2(4x3)1

2．解下列方程：

53x35x11

（1）； （2）1x3x； 2326y22y1

1. （3）46

n(ab)

3．（1）在等式S=中，已知S=279，b=7，n=18，求a的值.

2

（2）已知梯形上底a=3，高h=5，面积S=20,根据梯形的面积公式

1

S=(ab)h，求下底b的长. 2

4．球的表面是由一些呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，共计有32块，已知黑色块数比白色块数的一半多2，问两种皮块各有多少？

5．学校大扫除，某班原分成两个小组，第一组26人打扫教室，第二组22人打扫包干区.这次根据工作需要，要使第二组人数是第一组人数的2倍，那么应从第一组调多少人到第二组去？

6．学校所在地的出租车计价规则如下：行程不超过3千米，收起步价8元，超过部分每千米路程收费1.20元.某天李老师和三位学生去探望一位病假的学生,坐出租车付了17.60元,他们共乘坐了多少路程?

阅读材料

丢番图的墓志铭与方程

古希腊数学家丢番图（Diophantus），是以研究一类方程（不定方程）著称于世的数学家.在他的墓碑上，刻写着这样一段墓志铭：

坟中安葬着丢番图， 多么令人惊讶，

它忠实地记录了所经历的道路. 上帝给予的童年占六分之一， 又过十二分之一，两颊长胡，

再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛. 五年之后天赐贵子， 可怜迟到的宁馨儿，

享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓. 悲伤只有用数论的研究去弥补， 又过四年，他也走完了人生的旅途. 请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄.

你知道吗?现存世界上最古老的方程出现在英国考古学家兰德1858年找到的一份古埃及人的“纸草书”上，经破译，上面都是一些方程，共85个问题.

1211

如“啊哈，它的全部，它的，是19”；“一堆，它的,,，居然是33”.译

73271211

得更明白一点就是：xx19;xxxx33.

7327

在我国，“方程”一词最早出现于东汉初年（公元前后）的数学经典著作《九章算术》的第八章“方程”，到唐、宋时期，对方程的研究达到我国古代的鼎盛阶段.这时所创立的用“天元术”解题，从设未知数到列方程都和现代数学十分相似.也就是在这段时期，方程的知识从中国传入日本.

§6.3 实践与探索

问题1

用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形．

2

（1） 使长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽．

3

（2） 使长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积． （3） 比较（1）、（2）所得两个长方形面积的大小．还能围出面积更大的 长方形吗？

讨 论

每小题中如何设未知数？在小题（2）中，能不能直接设面积为x平方

厘米？如不能，该怎么办？

探 索

将题（2）中的宽比长少4厘米改为3厘米、2厘米、1厘米、0厘米（即 长与宽相等），长方形的面积有什么变化？

练 习

1．一块长、宽、高分别为4厘米、3厘米、2厘米的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5厘米的圆柱,它的高是多少?(精确到0.1厘米,π取3.14)

2．在一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离.

读一读

本节问题1中，通过探索我们发现，长方形的周长一定的情况下，它的长 和宽越接近，面积就越大.当长和宽相等，即成为正方形时，面积最大，通过 以后的学习，我们就会知道其中的道理.

有趣的是：若把这根铁丝围成任何封闭的平面图形（包括随意七凹八凸的 不规则图形），面积最大的是圆.这里面的道理需要较为高深的学问.将来你有兴趣去认识它吗？

问题2

小明爸爸前年存了年利率为2.43%的二年期定期储蓄．今年到期后，扣除利息税，所得利息正好为小明买了一只价值48.60元的计算器．问小明爸爸前年存了多少元？

讨 论

扣除利息的20%，那么实际得到利息的多少？你能否列出较简单的方程？

练 习

填 空：

1. (1)学校图书馆原有图书a册,最近增加了20%,则现在有图书_______册;

(2)某煤矿预计今年比去年增产15%,达到年产煤60万吨,设去年产煤x万吨,则可列方程__________________;

(3)某商品按定价的八折出售,售价14.80元,则原定价是_________元.

2. 肖青的妈妈前年买了某公司的二年期债4500元,今年到期,扣除利息税后,共得本利和约4700元.问这种债券的年利率是多少 (精确到0.01%)?

习题6.3.1

1. 一个角的余角比这个角的补角的一半小40°，求这个角的度数．

2. 某市去年年底人均居住面积为11平方米，计划在今年年底增加到人均13.5

平方米．求今年的住房年增长率（精确到0.1%）．

3. 某银行设立大学生助学贷款，分3～4年期，5～7年期两种．贷款年利率分

别为6.03%、6.21%，贷款利息的50%由国家财政贴补．某大学生预计6年 后能一次性偿还2万元，问他现在大约可以贷款多少（精确到0.1万元）？

4. 解答下列问题，并比较它们的区别：

（1）师徒两人检修一条长180米的自来水管道，师傅每小时检修15米，徒弟每小时检修10米．现两人合作，多少时间可以完成整条管道的检修？

（2）师徒两人检修一条煤气管道，师傅单独完成要10小时，徒弟单独完成要15小时．现两人合作，需多少小时完成？

5. 学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多

购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的 利润．求每套课桌椅的成本．

问题3

课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只

写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工

人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6

天”，就因校长叫他听一个电话而离开教室．

调皮的小刘说：“让我试一试．”上去添了“两人

合作需几天完成?”

有同学反对：“这太简单了!”但也引起了大家的

兴趣，于是各自试了起来：有添上一人先做几天再让另一人做的，有两人先合作再一人离开的，有考虑两人合作完成后的报酬问题的„„

李老师回教室后选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出： 现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到报酬450元．如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？

试解答这一问题，并与同学们一起交流各自的做法．

习题6.3.2

1. 试将下题内容改为与我们日常生活、学习有关的问题，使所列得的方程相同或相似：食堂存煤若干吨，原来每天烧煤3吨，用去15吨后，改进设备，耗煤量改为原来的一半，结果多烧了10天，求原存煤量．

2. 中国民航规定： 乘坐飞机普通舱旅客一人最多可免费携带20千克行李，超过部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票．一名旅客带了35千克行李乘机，机票连同行李费共付1 323元，求该旅客的机票价．

3. 为庆祝学校运动会开幕，初一（2）班学生接受了制作小旗的任务，原计划一半同学参加制作，每天制作40面。完成了三分之一以后，全班同学一起参加，结果比原计划提前一天半完成任务。假设每人制作的效率相同，问共制作小旗多少面？

阅读材料

2＝3吗

小红和小兵一起讨论方程2x33x2的解法.

小红说，移项求解：

2

2

2

x=1

2

2x2(x1)3(x1)

2＝3

小红一看，怎么，2＝3？！

你能帮助他们解开这个谜吗？

小 结

一、知识结构

二、注意事项

1．对一元一次方程的认识，要联系生活实际，在学习中体会：方程是反映 现实世界中数量相等关系的一个有效的数学模型.

2．解一元一次方程时，既要注意合理地进行方程的变形，也要注意根据方程

的特点灵活运用.

3．在应用一元一次方程解实际问题时，要学会分析问题的本领.能根据题 意，将实际问题转化为数学问题，特别是寻求主要的数量相等关系，列出方程.求得方程的解后，要注意检验所得结果是否符合实际问题的要求.

复 习 题

A组

1．解下列方程：

21（1）x1x3; （2）5(x5)2(x12)0; 32

12y；（3）4x＋3＝2(x－1)＋1； （4）y 23

232x53x21. （5）(3x7)2x; （6）7268

2．（1）x取何值时，代数式4x－5与3x－6的值互为相反数？

k13k1（2）k取何值时，代数式的值比的值小1？ 32

3．课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组12人，这样比原来减少2组．问这些学生共有多少人？

4．一种药品现在售价每盒56.10元，比原来降低了15%，问原售价多少元？

5．用一根直径12厘米的圆柱形铅柱，铸造10只直径12厘米的铅球，问应截4取多长的铅柱（球的体积为R3）？ 3

6．一个三位数，百位上的数字比十位上的数字大1，个位上的数字比十位上数字的3倍少2.若将三个数字顺序颠倒后，所得的三位数与原三位数的和是1 171，求这个三位数．

7．一年级三个班为希望小学捐赠图书．1班捐了152册，2班捐书数是三个班级的平均数，3班捐书数是年级总数的40%，三个班共捐了多少册？

B组

3x7x17312; 8．（1）2(x)5x; （2）245223

x4341x; （4）(x1)2x2. 2.5534

2339．已知x＝是方程3(mx)x5x的解，求m的值． 342

10．当k取何值时，方程2（2x－3）＝1－2x 和 8－k＝2（x＋1）的解相同？

11.学校在植树活动中种了杨树和杉树两类树种，已知种植杨树的棵数比总数的一半多56棵，杉树的棵数比总数的三分之一少14棵．两类树各种了多少棵？

12．一家商店将某型号彩电先按原售价提高40%，然后在广告中写上“大酬

宾，八折优惠”．经顾客投诉后，执法部门按已得非法收入的10倍处以每台2 700元的罚款．求每台彩电的原售价. （3）2.4

13. 从甲地到乙地公共汽车原需行驶7个小时，开通高速公路后，路程近了30

千米，而车速平均每小时增加了30千米，只需4个小时即可到达。求甲乙两地之间高速公路的路程。

14．小王每天去体育场晨练，都见到一位田径队的叔叔也在锻炼．两人沿400

米跑道跑步，每次总是小王跑2圈的时间，叔叔跑3圈．一天，两人在同地反向而跑，小明看了一下记时表，发现隔了32秒钟两人第一次相遇．求两人的速度．第二天小王打算和叔叔在同地同向而跑，看叔叔隔多少时间再次与他相遇．你能先给小王预测一下吗？

C组

215．当x＝2时，代数式2x＋（3－c）x＋c的值是10，求当x＝－3时这个代

数式的值．

16.解下列方程：

（1）︱x－3︱＝2 （2）︱2 x＋1︱＝5

117．一批树苗按下列方法依次由各班领取：第一班取100棵和余下的，第二10

11班取200棵和余下的，第三班取300棵和余下的，„„最后树苗全1010

部被取完，且各班的树苗数都相等．求树苗总数和班级数．

18．小赵为班级购买笔记本作晚会上的奖品．回来时向生活委员小陈交账说：

“一共买了36本，有两种规格，单价分别为1.80元和2.60元．去时我领了100元，现在找回27.60元．”小陈算了一下，说：“你肯定搞错了．”小赵一想，发觉的确不对，因为他把自己口袋里原有的2元钱一起当作找回的钱款给了小陈．请你算一算两种笔记本各买了多少？想一想有没有可能找回27.60元，试应用方程的知识给予解释．

19．初一（5）班有46名学生，安排值日生时要考虑： 周一至周五每天除打扫

教室外，还要打扫学校包干区；包干区面积不大，平时人数可少些，周五大扫除要和打扫教室人数差不多；周一早晨需安排1至2名同学整理教室；每位同学每周轮到一次值日．请你代理劳动委员，安排值日人数．

第6章 一元一次方程................................................................................................ 2

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丢番图的墓志铭与方程............................................................................... 10 ................................................................................................ 10 阅读材料............................................................................................................... 14

2＝3？........................................................................................................... 14 小 结................................................................................................................... 14 复 习 题........................................................................................................... 15

第6章 一元一次方程

一队师生共328人，乘车外出旅游，已有校车可乘64人，如果租用客车，每辆可乘44人，那么还要租多少辆客车？

44×？＋64＝328

§6.1 从实际问题到方程

问题1

某校初中一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可乘坐64人，还 需租用44座的客车多少辆？

回 忆

小学里已经学过列方程的解法，我们不妨回顾一下：

设需租用客车x辆，共可乘坐44x人，加上乘坐校车的64人，就是全体 328人．可得

44x＋64＝328． ① 解这个方程，就能得到所求的结果．

问题2

在课外活动中，张老师发现同学们的年龄基本是13岁．就问同学：“我 今年45岁，几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?”

“三年!”小敏同学很快发现了答案．他是这样算的：

1

1年后，老师的年龄是46岁，同学的年龄是14岁，不是老师年龄的；

3

2年后，老师的年龄是47岁，同学的年龄是15岁，也不是老师年龄的

1； 3

3年后，老师的年龄是48岁，同学的年龄是16岁，恰好是老师年龄的1． 3

也有的同学说，我们可以列出方程来解：

1

设x年后同学的年龄是老师年龄的，而x年后同学的年龄是（13＋x）

3

岁，老师的年龄是（45＋x）岁，可得

1

13＋x＝（45＋x）． ②

3

这个方程不像问题1中的方程①那样容易求出它的解．但小敏同学的方法 启发我们，可以用尝试、检验的方法找出方程②的解，即只要将x＝1，2，3， 4，„代入方程②的左右两边，看哪个数能使两边的值相等．这样得到x＝3是 方程的解．

思 考

如果未知数可能取到的数值较多，或者不一定是整数，该从何试起？如果 试验根本无法入手又该怎么办？

练 习

根据题意设未知数，并列出方程（不必求解）：

1. 某班原分成两个小组活动，第一组26人，第二组22人，根据学校活动器材的数量，要将第一组人数调整为第二组人数的一半，应从第一组调多少人到第二组去？

2. 小明的爸爸三年前为小明存了一份3000元的教育储蓄.今年到期时取出，得到的本息和为3243元.请你帮小明算一算这种储蓄的年利率.

习题6.1

1. 检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解：

（1）

5x13

x1，,3； 82

（2） 2（y－2）－9（1－y）＝3（4y－1）， ｛－10，10｝．

2. 根据班级内男、女同学的人数编一道应用题，和同学交流一下． 3. 小赵去商店买练习本，回来后问同学：“店主告诉我，如果多买一些就给我八折优惠．我就买了20本，结果便宜了1.60元．你猜原来每本价格多少?”你能列出方程吗？

§6.2 解一元一次方程

1. 方程的简单变形

联 想

测量一些物体的质量时，我们经常将它们放在天平的左盘内，在右盘内放 上砝码，使天平处于平衡状态，这时两边的质量相等，我们就可测得该物体的 质量．

如果我们在两边盘内同时添上（或取下）相同质量的物体，可以发现天平 依然平衡；如果我们将两边盘内物体的质量同时扩大到原来相同的倍数（或同 时缩小到原来的几分之一），也会看到天平依然平衡．

图6.2.1～6.2.3反映了由天平联想到的几个方程的变形．

x+2=5  x=5-2

图

6.2.1

3x=2x+2  3x-2x=2

图

6.2.2

2x=6  x=62

图6.2.3

归 纳

我们可以看到，方程能够这样变形：

方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变． 方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变． 通过对方程进行适当的变形，可以求得方程的解． 例1 解下列方程：

（1） x－5＝7； （2） 4x＝3x－4． 解 （1） 由 x－5＝7， 两边都加上5，得 x＝7＋5 ， 即 x＝12． （2） 由 4x＝3x－4， 两边都减去3x，得 4x－3x＝－4，

即 x＝－4．

概 括

像这样，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形 叫做移项（transposition）．

例2 解下列方程：

31

（1） －5x＝2； （2）x＝．

23

解 （1） 方程两边都除以－5，得

2

x＝．

532

（2） 方程两边都除以（或乘以），得

2312

x＝× ，

332

即 x＝．

9

这里的变形通常称作“将未知数的系数化为1”．

概 括

以上例1和例2解方程的过程，都是对方程进行适当的变形，得到x＝a的 形式．

练 习

1．列方程的变形是否正确？为什么？

7

（1） 由3＋x=5,得x=5+3; （2）由7x=-4,得x=-;

4

1

（3） 由y0,得y=2; （4）由3=x-2,得x=-2-3.

2

2. (口答)求下列方程的解：

（1）x-6=6; （2）7x=6x-4;

11

（3）-5x=60; （4）y.

42

3.用方程的变形解§6.1中问题1所列出的方程.

做一做

利用方程的变形，求方程2x＋3＝1的解，并和同学讨论与交流. 例3 解下列方程：

（1） 8x＝2x－7； （2） 6＝8＋2x；

11

（3） 2yy3

22

解 （1） 8x＝2x－7， 8x－2x＝－7， 6x＝－7，

x=

7. 6

（2） 6＝8＋2x， 8＋2x＝6， 2x＝－2， x＝－1．

11

2yy3， （3）

22112yy3

2235y， 22

5y=

3

练 习

解下列方程：

1. 3x＋4＝0 . 2. 7y＋6＝－6y

3. 5x＋2＝7x＋8 4. 3y－2＝y＋1＋6y.

21115. x80.2x. 6. 1－x＝x＋

5423

习题6.2.1

1. 解下列方程：

31

（1）18＝5－x; （2）x23x;

44

（3）3x－7＋4x＝6x－2; （4）10y＋5＝11y－5－2y;

（5）a－1＝5＋2a; （6）0.3x＋1.2－2x＝1.2－2.7x. 2. 解下列方程：

（1）2y＋3＝11－6y （2）2x－1＝5x＋7

111（3）x－1－2x＝－1; （4）x－3＝5x＋

324

3. 已知y1＝3x＋2,y2＝4－x.

(1)当x取何值时，y1=y2? (2)当x取何值时，y1比y2大4？

2. 解一元一次方程

前面我们遇到的一些方程，例如

44x＋64＝328，

1

13＋x＝（45＋x）

3

等等，有一个共同特点，它们都只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程（linear equation with one unknown）．

我们再一起来解几个一元一次方程．

例4 解方程： 3（x－2）＋1＝x－（2x－1）． 解 原方程的两边分别去括号，得

3x－6＋1＝x－2x＋1，

3x－5＝－x＋1， 3x＋x＝1＋5， 4x＝6，

3

x＝．

2

练 习

1．解下列方程：

（1）5（x＋2）＝2(5x－1); （2）(x＋1)－2(x－1)=1－3x; （3）2(x－2)－(4x－1)=3(1－x). 2．列方程求解：

（1）当x取何值时，代数式3（2－x）和2（3+x）的值相等？ （2）当y取何值时，2（3y+4）的值比5（2y-7）的值3？ 3．解§6.1中问题2所列出的方程.

例5 解方程： 解 由原方程得

3（x－3）－2（2x＋1）＝6， 3x－9－4x－2＝6， 3x－4x＝6＋9＋2， －x＝17， x＝－17．

在上述解方程的过程中，第一步是方程的两边都乘以同一个数6，使方程中的系数不出现分数．这样的变形通常称为“去分母”．

讨 论

在以上各例解一元一次方程时，主要进行了哪些变形？如何灵活运用这些变形合理、简洁地解一元一次方程？ 练 习

1．指出下列方程求解过程中的错误，并给予纠正：

3x14x2x1x24x

1 （2）解方程：（1）解方程： 25362

解： 15x-5=8x+4-1, 解： 2x-2-x+2=12-3x

15x-8x=4-1+5, 2x-x+3x=12+2+2

7x=8 4x=16

7

x x=4.

8

2．解下列方程：

5a174xx3

; （2）1 （1）8435

例6 如图6.2.4，天平的两个盘内分别盛有51 g、45 g盐，问应该从盘A

内拿出多少盐放到盘B内，才能使两者所盛盐的质量相等？

图6.2.4

分析 设应从盘A内拿出盐x g，可列出表6.2.1．

表

6.2.1

解 设应从盘A内拿出盐x g放到盘B内，则根据题意，得

51－x＝45＋x．

解这个方程，得

x＝3．

经检验，符合题意．

答： 应从盘A内拿出3 g盐放到盘B内． 例7 学校团委组织65名新团员为学校建 花坛搬砖．女同学每人搬6块，男同学每人搬8块，每人搬了4次，共搬了1800块．问这些新团员中有多少名男同学？

分析 设新团员中有x名男同学，可列出表6.2.2．

解 设新团员中有x名男同学，则根据题意，得

32x＋24（65－x）＝1800．

解这个方程，得

x＝30．

经检验，符合题意．

答： 新团员中有30名男同学． 练 习

1. 学校田径队的小刚在400米跑测试时,先以6米/秒的速度跑完了大部分路程,最后以8米/秒的速度冲刺到达终点,成绩为1分零5秒,

问小刚在冲刺阶段花了

多少时间?

2. 将上题的分析和列得的方程与例7相比较，看看是否相似.将你的想法和同学交流一下.

3．练习第1题中，若问“小刚在离终点多远时开始冲刺”，你该如何求解？

归 纳

用一元一次方程解答实际问题，关键在于抓住问题中有关数量的相等关 系，列出方程.求得方程的解后，经过检验，就可得到实际问题的解答.

这一过程也可以简单地表述为：

其中分析和抽象的过程通常包括：

（1）弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数； （2）找出能表示问题含义的一个主要的等量关系；

（3）对这个等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系，得 到方程.

在设未知数和解答时，应注意量的单位.

习题6.2.2

1．解下列方程：

（1）312(4x); （2）3(2x5)2(4x3)1

2．解下列方程：

53x35x11

（1）； （2）1x3x； 2326y22y1

1. （3）46

n(ab)

3．（1）在等式S=中，已知S=279，b=7，n=18，求a的值.

2

（2）已知梯形上底a=3，高h=5，面积S=20,根据梯形的面积公式

1

S=(ab)h，求下底b的长. 2

4．球的表面是由一些呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，共计有32块，已知黑色块数比白色块数的一半多2，问两种皮块各有多少？

5．学校大扫除，某班原分成两个小组，第一组26人打扫教室，第二组22人打扫包干区.这次根据工作需要，要使第二组人数是第一组人数的2倍，那么应从第一组调多少人到第二组去？

6．学校所在地的出租车计价规则如下：行程不超过3千米，收起步价8元，超过部分每千米路程收费1.20元.某天李老师和三位学生去探望一位病假的学生,坐出租车付了17.60元,他们共乘坐了多少路程?

阅读材料

丢番图的墓志铭与方程

古希腊数学家丢番图（Diophantus），是以研究一类方程（不定方程）著称于世的数学家.在他的墓碑上，刻写着这样一段墓志铭：

坟中安葬着丢番图， 多么令人惊讶，

它忠实地记录了所经历的道路. 上帝给予的童年占六分之一， 又过十二分之一，两颊长胡，

再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛. 五年之后天赐贵子， 可怜迟到的宁馨儿，

享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓. 悲伤只有用数论的研究去弥补， 又过四年，他也走完了人生的旅途. 请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄.

你知道吗?现存世界上最古老的方程出现在英国考古学家兰德1858年找到的一份古埃及人的“纸草书”上，经破译，上面都是一些方程，共85个问题.

1211

如“啊哈，它的全部，它的，是19”；“一堆，它的,,，居然是33”.译

73271211

得更明白一点就是：xx19;xxxx33.

7327

在我国，“方程”一词最早出现于东汉初年（公元前后）的数学经典著作《九章算术》的第八章“方程”，到唐、宋时期，对方程的研究达到我国古代的鼎盛阶段.这时所创立的用“天元术”解题，从设未知数到列方程都和现代数学十分相似.也就是在这段时期，方程的知识从中国传入日本.

§6.3 实践与探索

问题1

用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形．

2

（1） 使长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽．

3

（2） 使长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积． （3） 比较（1）、（2）所得两个长方形面积的大小．还能围出面积更大的 长方形吗？

讨 论

每小题中如何设未知数？在小题（2）中，能不能直接设面积为x平方

厘米？如不能，该怎么办？

探 索

将题（2）中的宽比长少4厘米改为3厘米、2厘米、1厘米、0厘米（即 长与宽相等），长方形的面积有什么变化？

练 习

1．一块长、宽、高分别为4厘米、3厘米、2厘米的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5厘米的圆柱,它的高是多少?(精确到0.1厘米,π取3.14)

2．在一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离.

读一读

本节问题1中，通过探索我们发现，长方形的周长一定的情况下，它的长 和宽越接近，面积就越大.当长和宽相等，即成为正方形时，面积最大，通过 以后的学习，我们就会知道其中的道理.

有趣的是：若把这根铁丝围成任何封闭的平面图形（包括随意七凹八凸的 不规则图形），面积最大的是圆.这里面的道理需要较为高深的学问.将来你有兴趣去认识它吗？

问题2

小明爸爸前年存了年利率为2.43%的二年期定期储蓄．今年到期后，扣除利息税，所得利息正好为小明买了一只价值48.60元的计算器．问小明爸爸前年存了多少元？

讨 论

扣除利息的20%，那么实际得到利息的多少？你能否列出较简单的方程？

练 习

填 空：

1. (1)学校图书馆原有图书a册,最近增加了20%,则现在有图书_______册;

(2)某煤矿预计今年比去年增产15%,达到年产煤60万吨,设去年产煤x万吨,则可列方程__________________;

(3)某商品按定价的八折出售,售价14.80元,则原定价是_________元.

2. 肖青的妈妈前年买了某公司的二年期债4500元,今年到期,扣除利息税后,共得本利和约4700元.问这种债券的年利率是多少 (精确到0.01%)?

习题6.3.1

1. 一个角的余角比这个角的补角的一半小40°，求这个角的度数．

2. 某市去年年底人均居住面积为11平方米，计划在今年年底增加到人均13.5

平方米．求今年的住房年增长率（精确到0.1%）．

3. 某银行设立大学生助学贷款，分3～4年期，5～7年期两种．贷款年利率分

别为6.03%、6.21%，贷款利息的50%由国家财政贴补．某大学生预计6年 后能一次性偿还2万元，问他现在大约可以贷款多少（精确到0.1万元）？

4. 解答下列问题，并比较它们的区别：

（1）师徒两人检修一条长180米的自来水管道，师傅每小时检修15米，徒弟每小时检修10米．现两人合作，多少时间可以完成整条管道的检修？

（2）师徒两人检修一条煤气管道，师傅单独完成要10小时，徒弟单独完成要15小时．现两人合作，需多少小时完成？

5. 学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多

购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的 利润．求每套课桌椅的成本．

问题3

课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只

写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工

人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6

天”，就因校长叫他听一个电话而离开教室．

调皮的小刘说：“让我试一试．”上去添了“两人

合作需几天完成?”

有同学反对：“这太简单了!”但也引起了大家的

兴趣，于是各自试了起来：有添上一人先做几天再让另一人做的，有两人先合作再一人离开的，有考虑两人合作完成后的报酬问题的„„

李老师回教室后选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出： 现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到报酬450元．如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？

试解答这一问题，并与同学们一起交流各自的做法．

习题6.3.2

1. 试将下题内容改为与我们日常生活、学习有关的问题，使所列得的方程相同或相似：食堂存煤若干吨，原来每天烧煤3吨，用去15吨后，改进设备，耗煤量改为原来的一半，结果多烧了10天，求原存煤量．

2. 中国民航规定： 乘坐飞机普通舱旅客一人最多可免费携带20千克行李，超过部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票．一名旅客带了35千克行李乘机，机票连同行李费共付1 323元，求该旅客的机票价．

3. 为庆祝学校运动会开幕，初一（2）班学生接受了制作小旗的任务，原计划一半同学参加制作，每天制作40面。完成了三分之一以后，全班同学一起参加，结果比原计划提前一天半完成任务。假设每人制作的效率相同，问共制作小旗多少面？

阅读材料

2＝3吗

小红和小兵一起讨论方程2x33x2的解法.

小红说，移项求解：

2

2

2

x=1

2

2x2(x1)3(x1)

2＝3

小红一看，怎么，2＝3？！

你能帮助他们解开这个谜吗？

小 结

一、知识结构

二、注意事项

1．对一元一次方程的认识，要联系生活实际，在学习中体会：方程是反映 现实世界中数量相等关系的一个有效的数学模型.

2．解一元一次方程时，既要注意合理地进行方程的变形，也要注意根据方程

的特点灵活运用.

3．在应用一元一次方程解实际问题时，要学会分析问题的本领.能根据题 意，将实际问题转化为数学问题，特别是寻求主要的数量相等关系，列出方程.求得方程的解后，要注意检验所得结果是否符合实际问题的要求.

复 习 题

A组

1．解下列方程：

21（1）x1x3; （2）5(x5)2(x12)0; 32

12y；（3）4x＋3＝2(x－1)＋1； （4）y 23

232x53x21. （5）(3x7)2x; （6）7268

2．（1）x取何值时，代数式4x－5与3x－6的值互为相反数？

k13k1（2）k取何值时，代数式的值比的值小1？ 32

3．课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组12人，这样比原来减少2组．问这些学生共有多少人？

4．一种药品现在售价每盒56.10元，比原来降低了15%，问原售价多少元？

5．用一根直径12厘米的圆柱形铅柱，铸造10只直径12厘米的铅球，问应截4取多长的铅柱（球的体积为R3）？ 3

6．一个三位数，百位上的数字比十位上的数字大1，个位上的数字比十位上数字的3倍少2.若将三个数字顺序颠倒后，所得的三位数与原三位数的和是1 171，求这个三位数．

7．一年级三个班为希望小学捐赠图书．1班捐了152册，2班捐书数是三个班级的平均数，3班捐书数是年级总数的40%，三个班共捐了多少册？

B组

3x7x17312; 8．（1）2(x)5x; （2）245223

x4341x; （4）(x1)2x2. 2.5534

2339．已知x＝是方程3(mx)x5x的解，求m的值． 342

10．当k取何值时，方程2（2x－3）＝1－2x 和 8－k＝2（x＋1）的解相同？

11.学校在植树活动中种了杨树和杉树两类树种，已知种植杨树的棵数比总数的一半多56棵，杉树的棵数比总数的三分之一少14棵．两类树各种了多少棵？

12．一家商店将某型号彩电先按原售价提高40%，然后在广告中写上“大酬

宾，八折优惠”．经顾客投诉后，执法部门按已得非法收入的10倍处以每台2 700元的罚款．求每台彩电的原售价. （3）2.4

13. 从甲地到乙地公共汽车原需行驶7个小时，开通高速公路后，路程近了30

千米，而车速平均每小时增加了30千米，只需4个小时即可到达。求甲乙两地之间高速公路的路程。

14．小王每天去体育场晨练，都见到一位田径队的叔叔也在锻炼．两人沿400

米跑道跑步，每次总是小王跑2圈的时间，叔叔跑3圈．一天，两人在同地反向而跑，小明看了一下记时表，发现隔了32秒钟两人第一次相遇．求两人的速度．第二天小王打算和叔叔在同地同向而跑，看叔叔隔多少时间再次与他相遇．你能先给小王预测一下吗？

C组

215．当x＝2时，代数式2x＋（3－c）x＋c的值是10，求当x＝－3时这个代

数式的值．

16.解下列方程：

（1）︱x－3︱＝2 （2）︱2 x＋1︱＝5

117．一批树苗按下列方法依次由各班领取：第一班取100棵和余下的，第二10

11班取200棵和余下的，第三班取300棵和余下的，„„最后树苗全1010

部被取完，且各班的树苗数都相等．求树苗总数和班级数．

18．小赵为班级购买笔记本作晚会上的奖品．回来时向生活委员小陈交账说：

“一共买了36本，有两种规格，单价分别为1.80元和2.60元．去时我领了100元，现在找回27.60元．”小陈算了一下，说：“你肯定搞错了．”小赵一想，发觉的确不对，因为他把自己口袋里原有的2元钱一起当作找回的钱款给了小陈．请你算一算两种笔记本各买了多少？想一想有没有可能找回27.60元，试应用方程的知识给予解释．

19．初一（5）班有46名学生，安排值日生时要考虑： 周一至周五每天除打扫

教室外，还要打扫学校包干区；包干区面积不大，平时人数可少些，周五大扫除要和打扫教室人数差不多；周一早晨需安排1至2名同学整理教室；每位同学每周轮到一次值日．请你代理劳动委员，安排值日人数．