月球的起源与地球内部结构极早期演化

第9卷第3期2002年9月

地学前缘(中国地质大学, 北京)

Earth Science Frontiers (China University of Geosciences, Beijing) Vol. 9No. 3Sept. 2002

月球的起源与地球内部结构极早期演化

周瑶琪, 宋晓东, 张欣, 储俊, 吴爱弟,

王鹏, 许晓霞

1, 2

, 王保三, 李茹

(11石油大学(华东) 地球化学与岩石圈动力学开放实验室, 山东东营257062;

21Department of Geology, Universi ty of Illinois, Urbana, IL 61801, USA; 31石油大学(华东) 物理系, 山东东营257062;

41石油大学(华东) 应用数学系, 山东东营257062; 51石油大学(华东) 计算机系, 山东东营257062)

摘要:基于地球内部结构模型(EISEM) , 建立了一个模型(IAMTM) 来模拟地球早期绝热压缩过程中的地球内部角速度的转移。计算的时间范围是从地球吸积完成开始5Ma 。改变不同的参数, 模型得出结论, 当t =1185Ma 时, 由于地心引力不稳定性, 地球外层的熔融层从地球赤道甩出。抛射过程持续了0105~0115Ma, 抛射出的物质质量为112~215M 0(M 0是现在的月球质量) , 这些物质碎片相互碰撞聚集逐渐在Roche 极限附近形成月球。随着物质分异和地核的逐渐增大, 地球的半径在抛射后减小到最小值(R =5075116km) 。随着潮汐摩擦力和地球体积的增大, 地球自转角速度变慢。2Ma 后地球和月球之间的距离增大到3个Roche 半径。关键词:月球起源; 角动量转移; 数值模拟

中图分类号:P18411; P18312 文献标识码:A 文章编号:10052321(2002) 03003110

0 引言

最近几年, 关于地球成为热门话题

[7]

[1~5]

于月球增生动力学的模拟、早期太阳系形成过程的

同位素年龄标定、极早期大气圈相关的稀有气体同位素的分析、以及极高温高压条件下的实验等方面的进展。这些进展暗示了月球的成分来源于地球, 而巨型撞击又解决了地月分离的角动量和速度难关。尽管这一理论在许多方面都是令人满意的, 尤其是在Roche 界限附近尘埃盘增生形成月球的动力学模拟方面, 但是仍有一些令人疑问之处, 例如地月系统极早期演化过程的时间框架结构和为了解决角动量问题而不得不借助于火星大小的行星碰撞, 以及难以解释地球与月球的钾同位素组成几乎没有分馏等等。而用偶然性极大的火星大小的行星碰撞来解释行星拥有卫星这一普遍现象也是难以令人信服的。为了更好地了解地月系统极早期阶段的演化, 我们重新考虑了乔治#达尔文

[11]

。为解决这个难题提出了许多模

[6]

[8]

型, 这些模型大体上可以分为三类:共吸积模型, 捕获模型, 分裂模型

。前两类模型已经因为其

致命的缺陷而被抛弃。比如说, 捕获模型无法解释地球与月球的化学性质的类似, 同样, 共吸积模型也无法解释地球与月球的化学性质的差异。传统的分裂模型面临着两大主要障碍:角动量不足和地球与月球的不同的铁内核。为了解决这些问题Davis 和Willim Hartmann

[10]

[9]

于1975年提出/巨型碰撞0理

论。其中巨型撞击导致在地球Roche 界线附近形成月球尘埃盘的假说, 它认为一个火星大小的原始行星撞击原始地球溅射出大量物质从而形成月球, 现在已获得越来越多人的赞同。其最主要的支持来自

收稿日期:20020426; 修订日期:20020604基金项目:国家/九五0攀登计划(SSER 计划(K000110A)

作者简介:周瑶琪(1963) ) , 男, 教授, 博士生导师, 地球化学专业, 目前主要从事地球动力学、盆地动力学、全球变化的研究。

I) ; 教育部骨干教师

在九十年前提出的

分裂假说, 月球在极早期从地球分裂出去, 在达尔

文的原著里是假设在地球自由脉动的同时由于太阳引力的巨大潮汐作用而形成共振从而将月球分裂出去。Jeffreys

[12]

指出这一假设的致命缺陷在于摩擦力

会阻止潮汐瘤从地球上分裂出去。我们对这一模型的不合理之处作了修改, 建立了关于/绝热压缩0, 的[1]

32 周瑶琪, 宋晓东, 张欣, 等P 地学前缘(Earth Science Frontiers) 2002, 9(3)

部结构演化动力学模型。为此我们还建立了地球内部角动量传递模型(I AMTM) 模拟了原始地球绝热压缩过程、地球内部角动量由里向外的转移、自转角速

度分布以及抛射月球的动力学过程。

对于自转轴) 。第一种是通过将旋转改变为轨道运动来实现动量转移; 第二种是将动量从内部转移到外部和周围的气体或尘埃。这种转移靠的是由粘滞摩擦、热对流或者磁滞效应所产生的力。在本文中

我们假设在原始行星的绝热压缩过程粘滞摩擦是导致内部角动量由内向外转移的主要因素, 而没有考虑热对流和磁滞效应所产生的影响。112 I AMTM 模型动力学方程组

(1)角动量转移方程:d J =d M ,

25X r Q =3图1 地球极早期演化

Fig 11 The Earth . s forepart evolution

a ) 地球在吸积后进入绝热压缩阶段(模拟起始点t =0Ma) , 地球半径=9167185km, 自转角速度=312366@10-4rad P s;

) 随着绝热压缩过程进行, 地球内部角动量向外转移, 并最终使地最外层角速度超过临界角速度而使地球开始向外抛射物质。当抛射过程结束(IA MTM, t =119M a) , 地球半径=527217km, 地核半径=199419km, 赤道处的自转角速度=1168752@10-3rad P s,

抛射出的物质迅速在赤道面附近形成尘埃盘

X +r 。(2) 角动量守恒方程:J =X s

P r Q m d r +3

i =1

8155

PX i , j Q c i (r i -(r i -$r ) ) +35

PX i , j Q m i (r i -(r i -$r ) ) 。(3) 绝热压缩运E +135i =mc

GM r d p r 2d v -k t

动学方程:--r X r =, V =V 0e s r 。(4) d r Q d t r r Q r

粘度方程:G r =k , 这里给出n =1, m =2。(5)

T r

我们用来模拟地球内部结构演化的EISE M 模

型还需要进一步的改进。目前它包括4个部分:质量守恒方程:M =4P r Q c d r +4P r Q m d r 。以

/绝热压缩0, /重力分异0, /相变0和/热传递0过程。

我们的首要目的是想研究地球内部大尺度的热和密上方程组中各项参数和变量的名称与单位均列于表

1中。

度结构演化, 以热量的聚散、角动量的转移、重力分

异、化学相变、液体对流、地磁场变化、地球体积大小的改变以及地月之间的相互作用等地质现象为基础来探讨行星地球的普遍演化历史。以地球分层微元和角动量转移为基础, 我们建立了IAMTM 模型来模拟地球极早期地球内部角动量转移和月球的诞生。一些重要的参数比如密度分布(Q r ) , 温度分布(T r ) 和地核增生速率(R c ) 取自EISE M 模型结果。关于EI SEM 模型我们将在另外一篇文章中讨论。

符号t T J J t J ear th J moon

表1 IAMTM 模型中用到的参数和变量

Table 1 IAMTM parameters and variables used by IAMTM

名称

时间温度角动量

地月系统的总角动量

地球相对于地球旋转轴的角动量月球相对于地球旋转轴的角动量质量

地月系统的总质量地球质量月球质量密度地核密度地幔密度角速度

地球表面角速度临界角速度

单位Ma K kg #km 2#s -16. 4765@1034kg #m 2#s -1kg #m 2#s -1kg #m 2#s -1

6. 0495@1024kg

kg kg 1012kg #km -31012kg #km -31012kg #km -3

rad P s rad P s rad P s

1 IAMTM 模型

111 假设

假设吸积过程结束于4516亿年前, 当时地球半径为9167185km, 原始地球的角速度X 0为312366@10

-4

M M t M ear th M moon Q Q c Q m X X s X cc

rad P s(由角动量守恒得出) , 以这一点为起点

(t =0Ma) 我们算出原始地球绝热压缩过程的温度压力和密度分布、地球熔融后角动量的转移和分布、以及抛射物质后地球角动量的变化。

周瑶琪, 宋晓东, 张欣, 等P 地学前缘(Earth Science Frontiers) 2002, 9(3)

续表

符号G d G P d r d p P d r p d v P d t R c R m R stept $r n p s G k G k K

粘度粘度梯度压力梯度压力

绝热压缩加速度地核半径熔融层半径地球半径时间步长空间步长地球分层数地表压力重力常数粘度系数压缩系数

每千克质量角动量吸积系数

名称

单位Pa #s Pa #s #km -1Pa #s #km -1

Pa m P s 2km km km M a(百万年)

km n =R P $r 2199@107Pa 61673@10-11N #m 2#kg -210-9K 2#km 2#s -15@10-12(10)

01046

-1, 有:

-kph

v e

j kiph

, k =

v 1+r ij

h r v =-1+r ij

过度因子为r ij

h r

-k Q h

A ij =Q ij r ij

3h t Q ij r ij r

j j -1

h r

h t A ij -3Q ij r ij =-ij r ij 3Q

j -1

G (h r , p )

h t A ij -1+r ij

Q ij r ij 。|3

G (h r , p ) |

ij r ij 3Q Q r 3ij ij 即要求

1-cos(Q Ãh r )

h t A ij

h r

sin(Q Ãh r )

ij h t A ij

h r

, 当|G (h r , p ) |[1

时稳定。

1-cos(Q Ãh r ) 1+r ij h t A ij

h r \

sin(Q Ãh r )

ij h t A ij

h r

只考虑层间粘滞摩擦。

1-cos(Q h r ) 4

Q h t A ij ij r ij 1+r ij 3h r r ij h r

从而不等式左边为1+

(2-2cos(Q h r ) ) +2

r ij (1-cos(Q h r ) )

h r

113 角动量转移偏微分方程有限差分算法的精度

及稳定性分析偏分方程X +r

55G 5X

=r Q 的显式差

3=1+2(1-cos(Q h r ) )

r ij r ij

1+h r h r 1+

2r ij

h r

分格式为(A ij 表示为G 的偏导数) e ij +r ij #e ij -e i -1j e ij -e ij -12

A ij =Q 。其误差传播方式为ij r ij

h r 3h t

r ij 2Q ij r ij

ij e i -1j -h r 3h t ij -1

e ij =,

r ij 2Q ij r ij

A ij +ij -h r 3h t

设

e i -1j =e ij -1=R , r ij 2Q ij r ij ij -h r 3h t

e ij =R ,

r ij 2Q ij r ij

A ij +ij -h r 3h t

2Q ij r ij

r ij 2Q ij r ij

1+-h r 3h t A ij

h t [

Q r A

3ij ij ij

5k #

以密度、温度、粘度方程为基础:

A ij =

当G =

, r =0~9000km, t =0~5Ma, T

18km, 得到等式右边的最大值为

令h r =这满足

#\0h t

则

[1**********]2@10P k 。

[1**********]2@10k [

h t

即是稳定的。

当k =时, 误差最小。h t

令h t =0. 05Ma, 即0115786@10s, 得出k =@1022

1334

|e ij |c =|R |#

3A ij

令空间步长h r =R P 500, 0[r ij P h r [500, 误差e ij 为h r 的增函数, 故h r 取最小值时精度最高。

用Fouler 析方, X

34 周瑶琪, 宋晓东, 张欣, 等P 地学前缘(Earth Science Frontiers) 2002, 9(3)

铀、钍、钾等长周期放射性核素的衰变, 但是这些仅仅

2 参数和边界条件讨论

211 由EISEM 模型给出的主要参数

(1) 密度分布:

当t

-7

能在最初的100Ma 内将平均温度升高100K

[13]

。如

此小的热贡献也对解决地核的形成问题无能为力。也许早期快速加热的主要来源是地球内部的彼此分离的小物体向内吸积所释放出的重力势能。随着这些物体加速吸积形成原始行星, 它们的重力势能转化为动能, 后者再在碰撞过程中绝大多数转化为热。这些热一部分辐射到外部空间一部分被增长的地球所吸收。吸积过程发生得越迅速, 被地球所吸收的热就越多。存在的不透明的大气也有助于热量更不容易散发出去。除碰撞生成的热量外, 更多的是由增长的

地球的绝热压缩所导致的内部温度升高。还有Al 等短寿命放射性核素在吸积过程开始后2~3Ma 的衰变所提供的可能的热量来源。这些所有的热量来t )

-92

3136551t +

-7

(01128386-01142773t +t ) r +(5@10@10

-17

10t ) r , Q c =21216453+617753t -2@10r -6

r 。当t \212Ma, 则Q m =171654-114589t

-62

-7

-17

+r (5@10t +010003t -010019) , Q c =18117-01517241t -2@10r -6@10

(2) 温度分布:

r 。

T =(-891011t +132618t +977148)

源仅仅在大约持续了2Ma 时间的吸积过程起作用。2

-(-010143t +011755t +010705) r +166。

这就是为什么普遍认为地核是在吸积过程中或者吸

(3) 地核增长速度:

积过程几百万年后形成的原因, 也是为什么我们把地

P R c =arctan[7(0113079+t ) -14]+核的形成时间尺度给定在大约2Ma 的理由。2

212 边界条件-1001921。

初始条件由EISEM 模型给出, 当t =0Ma 时, 地假设地球是由均匀吸积所形成的, 那么在其最初

球半径R 为9167185km, 地表的初始压缩速度v 0

-12

的100Ma 历史中肯定会出现达到铁的熔融点而熔融, 否则地核也不会形成。我们的问题是在估计地核

增生速率的基础上弄清楚地球热量的来源和它对地球温度分布的贡献。目前最主要的地球热量来源于

为8108207@10m P s, 地表的初始压缩加速

-82

度d v 0P d t 为-5

143@10m P s , 地球最内部的压缩速度和压缩加速度为0, 地球最内部的密度Q 0为

图2 地球极早期演化过程中地球的密度(a) , 温度(b) , 粘度(c) 和粘度梯度(d) 分布(得自IESEM 模型)

Fig 12 The Earth . s density (a) , te mperature(b) , vi scosi ty(c) and viscosity gradient(d) dis tribution

during Earth . s earl y evolution(derived from IESEM model)

图中是分别在t =01258, 1, 1185, 212, 4M a 时刻的分布, R 轴代表当时的地球半径。图a 中当t >01258Ma 后

地球密度分布分为两段, 左边的一段代表地核内的密度分布, 右边的一段代表地幔内的密度分布。

周瑶琪, 宋晓东, 张欣, 等P 地学前缘(Earth Science Frontiers) 2002, 9(3) 35

2132645@10kg P km , 地表的密度Q 180757@s 为110kg P km , 地球最内部的温度T 0为1143148K , 地表

系数在模型中比其他参数对模型影响因素都大。在稳定的不同范围内, 我们选取时间步长stept 为0105

的温度T s 为49711K , 地球的自转角速度X 0为Ma, 调整地球的分层数目(n ) 和粘度系数k , 得到表

-4

312366@10rad P s 。由温度方程、角动量守恒方程2中的数值模拟结果。从表2中, 我们可以发现地球和质量守恒方程得出:当t =01258102Ma 时地球中开始抛射月球物质的起始时刻都是t =118581Ma 。心开始熔融, 地球的整体自转角速度X ij 为[1**********]85rad P s; 地球半径R 为8538109km 。当t =0~01258Ma 时, 绝热压缩速率很高, 地球也一直保持固态。将t =01258102Ma 为初始值代入I AMTM 模型, 边界条件为X 0j =[1**********]85rad P s; w i 0=[1**********]85rad P s

。

然而抛射过程的结束却从119081Ma 到210081Ma 不等。当n 为定值时, 随着粘度系数k 的增加, 抛射出的月球物质的质量也随之增加。但是这一趋势

1028

非常缓慢, 例如, 当k 从10变化到10时, 得到的数值解仍保持不变。

21312 表面张力系数x

在I AMTM 模型中, 地球表面角速度随着角动量的逐渐向外转移而增加。当地表的角速度刚好达到第一宇宙速度X c 时, 熔融态的地表岩浆物质由于粘性的性质并不能挣脱地球引力的作用而脱离, 这就是说岩浆物质必须要克服地球的表面张力, 因此我们定义地球表面张力系数x , 当X s \X c +xk 时, 地球开始抛射月球物质。在本文中x 的值为5@10。

21313 潮汐摩擦系数X

抛射出的月球物质对液态地球有潮汐摩擦力作

图3 地核、熔融层、地球半径的变化

Fig 13 The radi us vari ation of the earth, the melti ng layer

and the core

当t =01258Ma 时地球最核开始熔融并开始形成地核;

当t =1185Ma 时, 整个地球完全熔融;

当t =2185M a 时地球半径减小为最小值(R =5075116km) ;

在t =116~2Ma 期间地核增长最快

-28

用。一方面, 潮汐摩擦作用使角动量由地球向月球转移并迫使月球远离地球。另一方面, 随着地月距

离的增大地球各圈层间的摩擦力减小, 这将影响到地球内部的角动量分布。在本文中我们简化了会使角速度发生变化的这种影响。在月球物质被抛射出后, 我们定义X 为潮汐摩擦系数, 并令X =X 0e 本文中X 的值为0101

关于表面张力系数和潮汐摩擦系数的物理内涵, 我们将在将来予以讨论。

-X P t

。

213 I AMTM 模型的可调参数21311 粘度系数k

在I AMTM 模型中空间步长、时间步长和粘度

表2 改变粘度系数k 和地球分层数目n 得到的数值模拟结果(时间步长stept 为0105Ma )

Table 2 results are deri ved from a variety of viscosity coefficient k and number of earth . s layers n (stept=0105M a)

n [***********]300

k P (10-9K 2#km 2#s -1) 016@1017112@1021016@1027112@1027112@1033016@1027112@1027

M earth P (1024kg) [***********][***********][1**********]44

J earth P (1028kg #km 2#s -1) [***********][***********][1**********]10

M moon P (1024kg) [***********][***********][1**********]06

J moon P (1028kg #km 2#s -1) [***********][***********][1**********]40

t begin P Ma [***********][***********]118581

R 1P km [***********][***********]523215

R c1P km [***********][***********]160310

t end P Ma [***********][***********]119581

R 2P km [***********][***********]522918

R c2P km [***********][***********]232618

M ear th :地球质量, M moon :抛射出的月球物质质量, J earth :地球角动量, J m o on :月球角动量, t be g in :开始抛射的时刻, R 1和R c1:分别为 t be g , t :和R

36 周瑶琪, 宋晓东, 张欣, 等P 地学前缘(Earth Science Frontiers) 2002, 9(3)

图4 不同时刻地球内部的径向角速度分布(t =013081Ma, t =115081M a, t =118581Ma, t =310081M a,

IAMTM 模型参数如下:粘度系数k 为016@10K #k m #s

-1

, 地球表面张力系数x 为5@10

-28

潮汐摩擦系数X 为0101, 时间步长stept 为0105Ma, 空间步长$r 为R P 500)

Fi g 14 The earth . s inner angular velocity dis tributi on along its radius at several time points (t =013081M a,

t =115081Ma, t =118581Ma, t =310081M a, parameters of IAM TM model are as follows:vis cosi ty coefficient k =016@10K #km #s

-1

, earth . s surface tensility coefficient x =5@10

-28

tidal friction coefficient X =0101, ti me s tep stept=0105M a, s pace step $r =R P 500)

3 计算结果和讨论

311 地球内部角速度分布随时间变化

证是否是由于算法的原因还是引力不稳定性造成了

这种现象。

314 地球内部压力分布随时间变化

假设地表压力p s 为2199@10Pa, 且不随地球

随着绝热压缩过程的进行, 地球的体积变的越半径变化而改变。地球内部压力梯度则可以由d p P 来越小, 这毫无疑问将导致地球自转速率的增加。d r 求得数值解(图7) 。当地球半径达到最小值的另外, 由于摩擦力矩, 角动量由内向外转移。图4显时候地球中心压力达到最大值。

示为由IAMTM 模型得到的不同时刻地球内部角速315 月球物质抛射后地月系统的演化度的分布。地球由内向外逐渐熔融。在1185Ma 以月球物质抛射后地月系统的演化见图8。前地球外层保持固态并以一个整体自转。在地球抛316 I AMTM 模型讨论射出月球物质后, 地球的自转角速度在潮汐摩擦作模拟结果显示绝热压缩过程持续了大约2Ma 。用下逐渐降低。

312 绝热压缩过程压缩速度和加速度随时间的变

化

随着绝热压缩过程的进行, 地球的重力势能得到释

261053

放, 地球内部的压力上升很快。除势能外Al, Be,

Mn 等放射性核素的衰变也起到对地球的热贡献, 结

大体上地球的绝热压缩过程是一个减速过程果是地球温度剧增。在大约t =01258Ma 时, 地球(图5) , 在这一过程中压缩速率迅速自地表至地心最内核开始熔融(1480K) 并同时出现物质分异。降低为0。与此同时压缩加速度分布为沿着径向从负值到0。图5显示为不同时刻地球内部压缩速率

在t =1185Ma 时地球表面温度达到1480K, 这时地球半径缩小到5323153km 。液体地球自转角速度

-3

也加速改变, 当表层自转角速度X =1168739@10

曲线分布, 这些曲线也表明地球的绝热压缩过程是

-3

一个减速过程。rad P s 超过临界值116368@10rad P s (大于第一宇宙313 地球内部压力梯度分布随时间变化速度) 时地球开始向外抛射物质。这时地核半径增

-4

在抛射月球物质前后(t =1185~2120Ma) 地幔大为1603103km, 核的自转角速度达到5115@10

周瑶琪, 宋晓东, 张欣, 等P 地学前缘(Earth Science Frontiers) 2002, 9(3) 37

图5 由IAMTM 模型得到的绝热压缩过程中不同时刻地球内部压缩速率(左图) 和加速度(右图) 分布(t =0Ma, t =013081M a, t =11081Ma, t =118581M a, t =212081Ma, t =218581M a)

Fig 15 Compres sion veloci ty(left) and acceleration(ri ght) dis tribution at di fferent ti me points (t =0M a, t =013081Ma, t =11081Ma, t =118581M a, t =212081Ma, t =218581Ma) during adiabatic co mpression, obtained from IAM TM model

每条曲线的右端点的横坐标为该时刻地球半径, 参数同图

图6 由IAMTM 模型得到的不同时刻地球内部压力梯度分布(t =013081Ma, t =115081Ma, t =118581M a, t =310081Ma) 在抛射月球物质前后(t =1185~2120Ma) 地幔的压力梯度曲线有些轻微的不稳定性, 参数同图4

Fig 16 The earth . s i nner pressure gradient di stribution at different ti me points

(t =013081Ma, t =115081M a, t =118581Ma, t =310081Ma) obtained from IA MTM

model

图7 由IAMTM 模型得到的不同时刻地球内部压力分布(t =013081Ma, t =115081Ma, t =118581Ma, t =310081Ma)

710111111

假设地表压力为2133@10Pa, 地心处的压力分别为:7@10, 218@10, 318@10, 514@10Pa, 参数同图4

Fi g 17 The earth . s inner pres sure dis tribution at different time points (t =013081Ma, t =115081Ma, t =118581Ma,

38 周瑶琪, 宋晓东, 张欣, 等P 地学前缘(Earth Science Frontiers) 2002, 9(3)

图8 在不同的参数条件下运行IAMTM 模型, 所有的结果表明在t =1185Ma 时原始地球开始抛射月球物质, 随后角动量迅速降低。然而地球的自转周期在t =5Ma 时由1103个小时上升为1131个小时(Fig 18b) ;

在t =3Ma 时月球的公转周期从7个小时上升到40个小时(Fig 18c) ;

在t =3Ma 时地月之间的距离由315倍的地球半径增加到12倍地球半径(Fig 18d)

Fig 18 Running IA MTM model w i th a variety of parameters, all res ults indicate that at t =1185Ma proto -earth begins to ej ect lunar material. During later evolution angular momentum decreases quickly. However, earth . s rotati on periods rise from 1103hour to 1131hour at t =5Ma (Fig 18b) ; the earth . s revoluti on peri ods rise from 7hours to 40hours at t =3Ma (Fig 18c) ; the distance between the earth and the moon i ncreases from 315R to 12R at t =3M a (R pres ents the earth . s radius) (Fig 18d)

a ) 地球平均角动量的演化; b ) 地球的外层抛射后的自转周期; c ) 月球的公转周期; d ) 地月之间的距离。得自IA MTM -I 模型, 参数同图4

倍现在月球质量的物质后, 地球表层角速度降低至临界值116368@10

-3

rad P s 以下。这总共的抛射过

程持续了大约0105~0115Ma 。在Roc he 极限附近

抛射的物质积聚起来。在Roche 极限半径以内的物质在潮汐引力的作用下又落回地球, 而超过Roche 极限部分的物质在3. 5倍地球半径远的地方参与形成月球。

4 主要结论和将来的研究方向

假设原行星的温度在其引力塌缩过程中不改变, 收缩速度将加快。每单位体积的引力将是Q P R

的函数, 即M P R , 而由压力梯度所产生的抵抗力和p (o ) P R 成比例, 为MT (o ) P R (p (o ) 表示行星中心压力, T (o ) 表示行星中心温度) , 即, 如果行星温度不改变, 中心压力不能阻止引力塌缩。如果行星质量超过临界值, 磁作用将不明显。不过角动量可以阻止引力塌缩。实际上, 类地行星如此不透明以致它们的塌缩几乎是绝热的, 所以压力可以很容易地使收缩停止。

, ,

图9 由IAMTM 模型得出随时间变化的地球赤道角速度。为了比较的目的, 这里列出了临界角速度(第一宇宙速度) 随时间的变化曲线。在1185~2M a 范围内, 地球赤道表面角速度超过了临界角速度, 从而向外抛射地球外层物质

Fi g 19 Time -dependent angular veloci ty at earth . s equator is derived from IAMTM model. For the purpose of comparis on here time -dependent critical angular veloci ty, angular veloci ty, the firs t cos mic veloci ty , and surface strain coefficient are presented

密度为Q ) , 以角速度X 旋转, 自引力超过离心力条

周瑶琪, 宋晓东, 张欣, 等P 地学前缘(Earth Science Frontiers) 2002, 9(3) 39

件是Q >3X P (4P G ) 。当Q >3X P (4P G ) , 不稳定性发生。

当角动量向外转移, 表面角速度愈来愈高, 当赤道表面动量角速度X s >X cc =(x +1) X c , X c =(GM P R ) , 引力不稳定性发生。因此, 地球甩掉它的外层。随着物质的抛射, 地球的质量和半径减小, 而这反过来使表面角速度X s 再次增加。如果在其余时间里X s

天体引力塌缩和绝热压缩过程研究的主要困难在于确定粘滞如何作用。在原行星的绝热压缩过程中, 一方面, 重物质沉到天体的中心, 另一方面, 轻物质携带角动量并将之向外转移, 这由粘滞摩擦力决定。在本文中, 我们只是非常粗略地调查了这一物理过程, 并在地球的早期绝热压缩物理过程的基础上建立了IAMTM 模型。

我们数值模拟的结果表明, 月球起源并不必须依靠大碰撞来补充额外的角动量。地球本身的角动量足以抛射外层物质以形成尘埃盘而增生形成月球。本模型不仅解决了老的0分裂0模型的角动量不足的问题, 而且解决了/巨型碰撞0模型中的钾同位素没有分馏的矛盾。在我们的数值模拟中, 地球的表面平均温度总在1500K 以下, 这样就不会出现钾同位素分馏。

目前, 我们对于地球演化的状态方程所知甚少。在这篇文章中我们仅获得了温度, 密度, 压力的相互关系的数值解, 这还需以后的试验和理论进一步确认。在我们的IAMTM 模型中, 我们仅考虑了液体层间对角动量传输的摩擦力而没有考虑不同纬度间粘滞摩擦力、以及由对流、系统热不稳定性、粘度不稳定性所导致的摩擦力和能量传递, 及地球内核所产生的磁力的影响。另外, 地核增长的速率也需要通过Hf W 同位素实验数据来证实。

1P 2

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40 周瑶琪, 宋晓东, 张欣, 等P 地学前缘(Earth Science Frontiers) 2002, 9(3)

ORIGIN OF THE MOON AND THE EARLY DYNAMICAL EVOLUTION PROCESS OF EARTH -MOON SYSTEM

ZHOU Yao -qi , SONG Xiao -dong , ZHANG Xin , CHU Jun , WU A-i di ,

11,251

WANG Peng , Xu Xiao -xia , W ANG Bao -san , Li Ru (11Laboratory o f Geochemistry &Lithos phere Dynamics , University o f Petroleum , Dongying 257062, China ;

21Department o f Geology , University o f Illinois , Urbana , IL 61801, U SA ; 31Department o f Physics , University o f Petroleum , Dongying 257062, China ; 41De partment o f Applied Mathematics , University o f Petroleum , Dongying 257062, China ; 51Department o f Computer Science , University o f Petroleum , Dongying 257062, China )

Abstract :Based on the Earth . s internal structure evolution model(EI SEM) , we have built a model to simulate the earth . s internal angular momentum transfer during its early adiabatic compression process(IAMTM). The time scale of

this calculation is 5Ma starting at about the completion of the earth -s accretion. Running a variety of para meters, our modeling results show that when t =1185Ma, owing to its gravity instability, the Earth . s liquid outlayer is spun off from equator. This ejection lasts 0105~0115Ma and the mass of ejec ted material is 112~215M 0(M 0is the present mass of the moon) which condenses quickly and generates debris disk gradually. Near the Roche limit the moon is pro -duced from debris disk. The Earth . s radius is reduced to its minimum value (R =5075116km) after this ejection. With material differentiating and c ore growing, the volume of the earth aggrandizes gradually. Because of tidal friction and aggrandize ment of the earth . s volume, the earth . s rotation angular velocity slows down. Two Ma later, the dis -tance between the earth and the moon rises to about 3Roche radius 1

Key words :origin of the moon; angular momentum transfer; numeric simulation

本刊编辑部声明:

为适应我国信息化建设需要, 扩大作者学术交流渠道, 本刊已加入5中国学术期刊(光盘版) 6和/中国期刊网0、/万方数据) ) ) 数字化期刊群0、/中文科技期刊数据库0, 并提供网络信息服务。作者著作权使用费与本刊稿酬一次性给付。如作者不同意将文章编入这些数据库, 请在来稿时声明, 本刊将作适当处理。

第9卷第3期2002年9月

地学前缘(中国地质大学, 北京)

Earth Science Frontiers (China University of Geosciences, Beijing) Vol. 9No. 3Sept. 2002

月球的起源与地球内部结构极早期演化

周瑶琪, 宋晓东, 张欣, 储俊, 吴爱弟,

王鹏, 许晓霞

1, 2

, 王保三, 李茹

(11石油大学(华东) 地球化学与岩石圈动力学开放实验室, 山东东营257062;

21Department of Geology, Universi ty of Illinois, Urbana, IL 61801, USA; 31石油大学(华东) 物理系, 山东东营257062;

41石油大学(华东) 应用数学系, 山东东营257062; 51石油大学(华东) 计算机系, 山东东营257062)

中图分类号:P18411; P18312 文献标识码:A 文章编号:10052321(2002) 03003110

0 引言

最近几年, 关于地球成为热门话题

[7]

[1~5]

于月球增生动力学的模拟、早期太阳系形成过程的

[11]

。为解决这个难题提出了许多模

[6]

[8]

型, 这些模型大体上可以分为三类:共吸积模型, 捕获模型, 分裂模型

。前两类模型已经因为其

[10]

[9]

于1975年提出/巨型碰撞0理

收稿日期:20020426; 修订日期:20020604基金项目:国家/九五0攀登计划(SSER 计划(K000110A)

作者简介:周瑶琪(1963) ) , 男, 教授, 博士生导师, 地球化学专业, 目前主要从事地球动力学、盆地动力学、全球变化的研究。

I) ; 教育部骨干教师

在九十年前提出的

分裂假说, 月球在极早期从地球分裂出去, 在达尔

文的原著里是假设在地球自由脉动的同时由于太阳引力的巨大潮汐作用而形成共振从而将月球分裂出去。Jeffreys

[12]

指出这一假设的致命缺陷在于摩擦力

会阻止潮汐瘤从地球上分裂出去。我们对这一模型的不合理之处作了修改, 建立了关于/绝热压缩0, 的[1]

32 周瑶琪, 宋晓东, 张欣, 等P 地学前缘(Earth Science Frontiers) 2002, 9(3)

部结构演化动力学模型。为此我们还建立了地球内部角动量传递模型(I AMTM) 模拟了原始地球绝热压缩过程、地球内部角动量由里向外的转移、自转角速

度分布以及抛射月球的动力学过程。

(1)角动量转移方程:d J =d M ,

25X r Q =3图1 地球极早期演化

Fig 11 The Earth . s forepart evolution

a ) 地球在吸积后进入绝热压缩阶段(模拟起始点t =0Ma) , 地球半径=9167185km, 自转角速度=312366@10-4rad P s;

抛射出的物质迅速在赤道面附近形成尘埃盘

X +r 。(2) 角动量守恒方程:J =X s

P r Q m d r +3

i =1

8155

PX i , j Q c i (r i -(r i -$r ) ) +35

PX i , j Q m i (r i -(r i -$r ) ) 。(3) 绝热压缩运E +135i =mc

GM r d p r 2d v -k t

动学方程:--r X r =, V =V 0e s r 。(4) d r Q d t r r Q r

粘度方程:G r =k , 这里给出n =1, m =2。(5)

T r

我们用来模拟地球内部结构演化的EISE M 模

型还需要进一步的改进。目前它包括4个部分:质量守恒方程:M =4P r Q c d r +4P r Q m d r 。以

/绝热压缩0, /重力分异0, /相变0和/热传递0过程。

我们的首要目的是想研究地球内部大尺度的热和密上方程组中各项参数和变量的名称与单位均列于表

1中。

度结构演化, 以热量的聚散、角动量的转移、重力分

符号t T J J t J ear th J moon

表1 IAMTM 模型中用到的参数和变量

Table 1 IAMTM parameters and variables used by IAMTM

名称

时间温度角动量

地月系统的总角动量

地球相对于地球旋转轴的角动量月球相对于地球旋转轴的角动量质量

地月系统的总质量地球质量月球质量密度地核密度地幔密度角速度

地球表面角速度临界角速度

单位Ma K kg #km 2#s -16. 4765@1034kg #m 2#s -1kg #m 2#s -1kg #m 2#s -1

6. 0495@1024kg

kg kg 1012kg #km -31012kg #km -31012kg #km -3

rad P s rad P s rad P s

1 IAMTM 模型

111 假设

假设吸积过程结束于4516亿年前, 当时地球半径为9167185km, 原始地球的角速度X 0为312366@10

-4

M M t M ear th M moon Q Q c Q m X X s X cc

rad P s(由角动量守恒得出) , 以这一点为起点

(t =0Ma) 我们算出原始地球绝热压缩过程的温度压力和密度分布、地球熔融后角动量的转移和分布、以及抛射物质后地球角动量的变化。

周瑶琪, 宋晓东, 张欣, 等P 地学前缘(Earth Science Frontiers) 2002, 9(3)

续表

符号G d G P d r d p P d r p d v P d t R c R m R stept $r n p s G k G k K

粘度粘度梯度压力梯度压力

绝热压缩加速度地核半径熔融层半径地球半径时间步长空间步长地球分层数地表压力重力常数粘度系数压缩系数

每千克质量角动量吸积系数

名称

单位Pa #s Pa #s #km -1Pa #s #km -1

Pa m P s 2km km km M a(百万年)

km n =R P $r 2199@107Pa 61673@10-11N #m 2#kg -210-9K 2#km 2#s -15@10-12(10)

01046

-1, 有:

-kph

v e

j kiph

, k =

v 1+r ij

h r v =-1+r ij

过度因子为r ij

h r

-k Q h

A ij =Q ij r ij

3h t Q ij r ij r

j j -1

h r

h t A ij -3Q ij r ij =-ij r ij 3Q

j -1

G (h r , p )

h t A ij -1+r ij

Q ij r ij 。|3

G (h r , p ) |

ij r ij 3Q Q r 3ij ij 即要求

1-cos(Q Ãh r )

h t A ij

h r

sin(Q Ãh r )

ij h t A ij

h r

, 当|G (h r , p ) |[1

时稳定。

1-cos(Q Ãh r ) 1+r ij h t A ij

h r \

sin(Q Ãh r )

ij h t A ij

h r

只考虑层间粘滞摩擦。

1-cos(Q h r ) 4

Q h t A ij ij r ij 1+r ij 3h r r ij h r

从而不等式左边为1+

(2-2cos(Q h r ) ) +2

r ij (1-cos(Q h r ) )

h r

113 角动量转移偏微分方程有限差分算法的精度

及稳定性分析偏分方程X +r

55G 5X

=r Q 的显式差

3=1+2(1-cos(Q h r ) )

r ij r ij

1+h r h r 1+

2r ij

h r

分格式为(A ij 表示为G 的偏导数) e ij +r ij #e ij -e i -1j e ij -e ij -12

A ij =Q 。其误差传播方式为ij r ij

h r 3h t

r ij 2Q ij r ij

ij e i -1j -h r 3h t ij -1

e ij =,

r ij 2Q ij r ij

A ij +ij -h r 3h t

设

e i -1j =e ij -1=R , r ij 2Q ij r ij ij -h r 3h t

e ij =R ,

r ij 2Q ij r ij

A ij +ij -h r 3h t

2Q ij r ij

r ij 2Q ij r ij

1+-h r 3h t A ij

h t [

Q r A

3ij ij ij

5k #

以密度、温度、粘度方程为基础:

A ij =

当G =

, r =0~9000km, t =0~5Ma, T

18km, 得到等式右边的最大值为

令h r =这满足

#\0h t

则

[1**********]2@10P k 。

[1**********]2@10k [

h t

即是稳定的。

当k =时, 误差最小。h t

令h t =0. 05Ma, 即0115786@10s, 得出k =@1022

1334

|e ij |c =|R |#

3A ij

令空间步长h r =R P 500, 0[r ij P h r [500, 误差e ij 为h r 的增函数, 故h r 取最小值时精度最高。

用Fouler 析方, X

34 周瑶琪, 宋晓东, 张欣, 等P 地学前缘(Earth Science Frontiers) 2002, 9(3)

铀、钍、钾等长周期放射性核素的衰变, 但是这些仅仅

2 参数和边界条件讨论

211 由EISEM 模型给出的主要参数

(1) 密度分布:

当t

-7

能在最初的100Ma 内将平均温度升高100K

[13]

。如

地球的绝热压缩所导致的内部温度升高。还有Al 等短寿命放射性核素在吸积过程开始后2~3Ma 的衰变所提供的可能的热量来源。这些所有的热量来t )

-92

3136551t +

-7

(01128386-01142773t +t ) r +(5@10@10

-17

10t ) r , Q c =21216453+617753t -2@10r -6

r 。当t \212Ma, 则Q m =171654-114589t

-62

-7

-17

+r (5@10t +010003t -010019) , Q c =18117-01517241t -2@10r -6@10

(2) 温度分布:

r 。

T =(-891011t +132618t +977148)

源仅仅在大约持续了2Ma 时间的吸积过程起作用。2

-(-010143t +011755t +010705) r +166。

这就是为什么普遍认为地核是在吸积过程中或者吸

(3) 地核增长速度:

积过程几百万年后形成的原因, 也是为什么我们把地

P R c =arctan[7(0113079+t ) -14]+核的形成时间尺度给定在大约2Ma 的理由。2

212 边界条件-1001921。

初始条件由EISEM 模型给出, 当t =0Ma 时, 地假设地球是由均匀吸积所形成的, 那么在其最初

球半径R 为9167185km, 地表的初始压缩速度v 0

-12

的100Ma 历史中肯定会出现达到铁的熔融点而熔融, 否则地核也不会形成。我们的问题是在估计地核

增生速率的基础上弄清楚地球热量的来源和它对地球温度分布的贡献。目前最主要的地球热量来源于

为8108207@10m P s, 地表的初始压缩加速

-82

度d v 0P d t 为-5

143@10m P s , 地球最内部的压缩速度和压缩加速度为0, 地球最内部的密度Q 0为

图2 地球极早期演化过程中地球的密度(a) , 温度(b) , 粘度(c) 和粘度梯度(d) 分布(得自IESEM 模型)

Fig 12 The Earth . s density (a) , te mperature(b) , vi scosi ty(c) and viscosity gradient(d) dis tribution

during Earth . s earl y evolution(derived from IESEM model)

图中是分别在t =01258, 1, 1185, 212, 4M a 时刻的分布, R 轴代表当时的地球半径。图a 中当t >01258Ma 后

地球密度分布分为两段, 左边的一段代表地核内的密度分布, 右边的一段代表地幔内的密度分布。

周瑶琪, 宋晓东, 张欣, 等P 地学前缘(Earth Science Frontiers) 2002, 9(3) 35

2132645@10kg P km , 地表的密度Q 180757@s 为110kg P km , 地球最内部的温度T 0为1143148K , 地表

系数在模型中比其他参数对模型影响因素都大。在稳定的不同范围内, 我们选取时间步长stept 为0105

的温度T s 为49711K , 地球的自转角速度X 0为Ma, 调整地球的分层数目(n ) 和粘度系数k , 得到表

-4

。

然而抛射过程的结束却从119081Ma 到210081Ma 不等。当n 为定值时, 随着粘度系数k 的增加, 抛射出的月球物质的质量也随之增加。但是这一趋势

1028

非常缓慢, 例如, 当k 从10变化到10时, 得到的数值解仍保持不变。

21312 表面张力系数x

21313 潮汐摩擦系数X

抛射出的月球物质对液态地球有潮汐摩擦力作

图3 地核、熔融层、地球半径的变化

Fig 13 The radi us vari ation of the earth, the melti ng layer

and the core

当t =01258Ma 时地球最核开始熔融并开始形成地核;

当t =1185Ma 时, 整个地球完全熔融;

当t =2185M a 时地球半径减小为最小值(R =5075116km) ;

在t =116~2Ma 期间地核增长最快

-28

用。一方面, 潮汐摩擦作用使角动量由地球向月球转移并迫使月球远离地球。另一方面, 随着地月距

关于表面张力系数和潮汐摩擦系数的物理内涵, 我们将在将来予以讨论。

-X P t

。

213 I AMTM 模型的可调参数21311 粘度系数k

在I AMTM 模型中空间步长、时间步长和粘度

表2 改变粘度系数k 和地球分层数目n 得到的数值模拟结果(时间步长stept 为0105Ma )

Table 2 results are deri ved from a variety of viscosity coefficient k and number of earth . s layers n (stept=0105M a)

n [***********]300

k P (10-9K 2#km 2#s -1) 016@1017112@1021016@1027112@1027112@1033016@1027112@1027

M earth P (1024kg) [***********][***********][1**********]44

J earth P (1028kg #km 2#s -1) [***********][***********][1**********]10

M moon P (1024kg) [***********][***********][1**********]06

J moon P (1028kg #km 2#s -1) [***********][***********][1**********]40

t begin P Ma [***********][***********]118581

R 1P km [***********][***********]523215

R c1P km [***********][***********]160310

t end P Ma [***********][***********]119581

R 2P km [***********][***********]522918

R c2P km [***********][***********]232618

M ear th :地球质量, M moon :抛射出的月球物质质量, J earth :地球角动量, J m o on :月球角动量, t be g in :开始抛射的时刻, R 1和R c1:分别为 t be g , t :和R

36 周瑶琪, 宋晓东, 张欣, 等P 地学前缘(Earth Science Frontiers) 2002, 9(3)

图4 不同时刻地球内部的径向角速度分布(t =013081Ma, t =115081M a, t =118581Ma, t =310081M a,

IAMTM 模型参数如下:粘度系数k 为016@10K #k m #s

-1

, 地球表面张力系数x 为5@10

-28

潮汐摩擦系数X 为0101, 时间步长stept 为0105Ma, 空间步长$r 为R P 500)

Fi g 14 The earth . s inner angular velocity dis tributi on along its radius at several time points (t =013081M a,

t =115081Ma, t =118581Ma, t =310081M a, parameters of IAM TM model are as follows:vis cosi ty coefficient k =016@10K #km #s

-1

, earth . s surface tensility coefficient x =5@10

-28

tidal friction coefficient X =0101, ti me s tep stept=0105M a, s pace step $r =R P 500)

3 计算结果和讨论

311 地球内部角速度分布随时间变化

证是否是由于算法的原因还是引力不稳定性造成了

这种现象。

314 地球内部压力分布随时间变化

假设地表压力p s 为2199@10Pa, 且不随地球

312 绝热压缩过程压缩速度和加速度随时间的变

化

随着绝热压缩过程的进行, 地球的重力势能得到释

261053

放, 地球内部的压力上升很快。除势能外Al, Be,

Mn 等放射性核素的衰变也起到对地球的热贡献, 结

在t =1185Ma 时地球表面温度达到1480K, 这时地球半径缩小到5323153km 。液体地球自转角速度

-3

也加速改变, 当表层自转角速度X =1168739@10

曲线分布, 这些曲线也表明地球的绝热压缩过程是

-3

一个减速过程。rad P s 超过临界值116368@10rad P s (大于第一宇宙313 地球内部压力梯度分布随时间变化速度) 时地球开始向外抛射物质。这时地核半径增

-4

在抛射月球物质前后(t =1185~2120Ma) 地幔大为1603103km, 核的自转角速度达到5115@10

周瑶琪, 宋晓东, 张欣, 等P 地学前缘(Earth Science Frontiers) 2002, 9(3) 37

图5 由IAMTM 模型得到的绝热压缩过程中不同时刻地球内部压缩速率(左图) 和加速度(右图) 分布(t =0Ma, t =013081M a, t =11081Ma, t =118581M a, t =212081Ma, t =218581M a)

每条曲线的右端点的横坐标为该时刻地球半径, 参数同图

Fig 16 The earth . s i nner pressure gradient di stribution at different ti me points

(t =013081Ma, t =115081M a, t =118581Ma, t =310081Ma) obtained from IA MTM

model

图7 由IAMTM 模型得到的不同时刻地球内部压力分布(t =013081Ma, t =115081Ma, t =118581Ma, t =310081Ma)

710111111

假设地表压力为2133@10Pa, 地心处的压力分别为:7@10, 218@10, 318@10, 514@10Pa, 参数同图4

Fi g 17 The earth . s inner pres sure dis tribution at different time points (t =013081Ma, t =115081Ma, t =118581Ma,

38 周瑶琪, 宋晓东, 张欣, 等P 地学前缘(Earth Science Frontiers) 2002, 9(3)

在t =3Ma 时月球的公转周期从7个小时上升到40个小时(Fig 18c) ;

在t =3Ma 时地月之间的距离由315倍的地球半径增加到12倍地球半径(Fig 18d)

a ) 地球平均角动量的演化; b ) 地球的外层抛射后的自转周期; c ) 月球的公转周期; d ) 地月之间的距离。得自IA MTM -I 模型, 参数同图4

倍现在月球质量的物质后, 地球表层角速度降低至临界值116368@10

-3

rad P s 以下。这总共的抛射过

程持续了大约0105~0115Ma 。在Roc he 极限附近

4 主要结论和将来的研究方向

假设原行星的温度在其引力塌缩过程中不改变, 收缩速度将加快。每单位体积的引力将是Q P R

, ,

密度为Q ) , 以角速度X 旋转, 自引力超过离心力条

周瑶琪, 宋晓东, 张欣, 等P 地学前缘(Earth Science Frontiers) 2002, 9(3) 39

件是Q >3X P (4P G ) 。当Q >3X P (4P G ) , 不稳定性发生。

1P 2

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40 周瑶琪, 宋晓东, 张欣, 等P 地学前缘(Earth Science Frontiers) 2002, 9(3)

ORIGIN OF THE MOON AND THE EARLY DYNAMICAL EVOLUTION PROCESS OF EARTH -MOON SYSTEM

ZHOU Yao -qi , SONG Xiao -dong , ZHANG Xin , CHU Jun , WU A-i di ,

11,251

WANG Peng , Xu Xiao -xia , W ANG Bao -san , Li Ru (11Laboratory o f Geochemistry &Lithos phere Dynamics , University o f Petroleum , Dongying 257062, China ;

Key words :origin of the moon; angular momentum transfer; numeric simulation

本刊编辑部声明:

月球的起源与地球内部结构极早期演化

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